Klasyfikacja systemów czasu dyskretnego

y[n]=T{x[n]} Odwzorowanie ciągu wejściowego x[n] w ciąg wyjściowy y[n] NP. opóźnienie y[n]=x[n-n_d], -∞<n<∞; średnia ruchoma
. Systemy nie posiadające pamięci: Sygnał wyjściowy w każdym punkcie y[n] zależy tylko od sygnału wejściowego x[n], np. y[n]=(x[n])­­­² Systemy liniowe: Systemy spełniające zasadę superpozycji T{ax₁[n]+bx₂[n]}=aT{x₁[n]}+bT{x₂[n]} dla każdego n,a,b (a,b-stałe) T{x₁[n]+x₂[n]}=T{x₁[n]}+T{x₂[n]} (addytywność) i T{ax[n]}=aT{x[n]} (homogeniczność). Systemy nieliniowe -systemy nie spełniające zasady superpozycji. Wystarczy znaleźć tylko jedno takie n dla którego nie spełniona jest zasada addytywności lub homogeniczności - łatwiejsze do udowodnienia niż liniowość. Systemy kumulujące (accumulator systems)
Można udowodnić, że system kumulujący jest systemem liniowym. Systemy przyczynowe (niezmienne w czasie) Są to systemy, w których opóźnienie (przesunięcie) sygnału jest takie same na wejściu jaki na wyjściu układu x₁[n]=x[n-n₀] => y₁[n]=y[n-n₀]. Systemy kompresujące: y[n]=x[Mn] -∞<n<∞,M>0 Sygnał wyjściowy zawiera co M- ty wyraz z sygnału wejściowego Nie jest to system niezmienny w czasie. Systemy stabilne System jest stabilny w sensie ograniczonego wejścia-wyjścia (BIBO - bounded input bounded output) wtedy i tylko wtedy gdy każdy ograniczony sygnał wejściowy daje na wyjściu ograniczony sygnał wyjściowy Sygnał (ciąg) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n istnieje takie B > 0, że
.

Wyznaczanie sygnału wyjściowego układu LTI dla danego sygnału wejściowego i znanej odpowiedzi impulsowej.

Taki system w sposób kompletny określony poprzez jego odpowiedź impulsową. Niech h_k[n] oznacza odpowiedź systemu na impuls δ[n-k] (odpowiedź impulsowa) Dowolny sygnał dyskretny można wyrazić jako ważoną sumę pojedynczych dyskretnych impulsów,
suma splotowa Z zasady superpozycji wynika, że:
Z niezmienności w czasie wynika, że: T{δ[n-k]}=h[n-k],
, y[n]=x[n]*h[n-k] splot dyskretny . Przykład : obliczanie sygnału wyjściowego dla systemu LTI o odpowiedzi impulsowej h[n]: h[n]=u[n]-u[n-N]={1 dla 0≤n≤N-1 i 0 dla pozostałych} dla sygnału x[n]=aⁿu[n]. Rozw.:
dla 0≤n≤N-1;
dla 0≤n≤N-1 =>

, N₂≥N₁ ;
dla N-1<n =>
zatem y[n]= {0 dla n<0;
dla 0≤n≤N-1;
dla N-1<n .

Badanie stabilność i przyczynowość układów LTI

Stabilność System LTI jest stabilny
każde ograniczone pobudzenie powoduje ograniczoną odpowiedź (warunek konieczny i wystarczający), ponieważ
=>
; Aby wykazać, że jest to też warunek wystarczający należy pokazać, że dla S=∞ ograniczone wejście powoduje nieograniczoną odpowiedź
dla h[n]≠0 i 0 dla h[n]=0 ;
Zatem jeśli £ = m , to możliwe jest aby ograniczony sygnał wejściowy dawał na wyj. nieograniczony sygnał wyjściowy. Przyczynowość x₁(n)=x₂(n), n<n₀ => y₁(n)=y₂(n), n<n₀ zmiany na wejściu nie poprzedzają zmian na wyjściu Wnioski: *Dla danego sygnału wejściowego, sygnał wyjściowy nie jest jednoznacznie określony. Potrzebne są dodatkowe warunki początkowe. *Jeżeli dodatkowe warunki początkowe są dane w postaci N wartości wyjściowych, wartości następne i poprzednie uzyskuje się poprzez odpowiednie przekształcenie równania różnicowego *Liniowość, niezależność od przesunięcia w czasie zależą od warunków początkowych. Jeśli
dodatkowo przy braku wymuszenia y[n] = 0 to układ będzie liniowy i niezależny od przesunięcia.

Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej i fazowej na podstawie odpowiedzi impulsowej układu LTI.

Jeżeli ciągiem wejściowym jest ciąg taki, że x[n] = e^jωn n€(-∞;∞), wówczas odpowiedź układu LTI będzie wynosiła:
;

charakterystyka częstotliwościowa układu ;

Przykład: Znaleźć charakterystykę częstotliwościową idealnego układu opóźniającego y[n]=x[n-n_d] gdzie n_d stała liczba całkowita.
=>
x[n]=e^jωn n€(-∞;∞) (ciąg wejściowy) => |H(e^jω)|=1 arg|H(e^jω)=-ωn_d Jeżeli ciąg wejściowy będzie określony następująco:
n€(-∞;∞) wówczas na podstawie zasady superpozycji
n€(-∞;∞) Jeżeli ciąg wejściowy można przedstawić jako superpozycję ciągów wykładniczych zespolonych wówczas można znaleźć ciąg wyjściowy y[n] . Odpowiedź układu LTI na wymuszenie x[n]=e^jωnu[n] Zakładamy, że n=0 y[n]={0 dla n<0 i
dla n≥0 suma splotowa Dla n≥0 :
Składowa przejściowa jest identyczna z odpowiedzią układu na sygnał wykładniczy w postaci: x[n]=e^jωn n€(-∞;∞) Składowa przejściowa może zanikać:
Jeżeli odpowiedź impulsowa ma skończona, długość, tzn. h[n]=0 oprócz 0≤n≤M y[n]=H(e^jω)e^jωn, n>M-1 . Jeżeli odpowiedź impulsowa ma długość nieskończony, wówczas:
Jeżeli
<∞ układ jest stabilny. Warunkiem wystarczającym zanikania składowej przejściowej jest stabilność układu. Warunek stabilności jest również warunkiem wystarczającym istnienia odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości |H(e^jω)|=
≤
≤
;
Ogólny warunek istnienia odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości.

Filtr cyfrowy - algorytm (zrealizowany programowo lub sprzętowo) przekształcający sygnał wejściowy x[n] w sygnał wyjściowy y[n], który posiada pożądane właściwości zależne od konkretnego zastosowania- np. redukcja szumu, eliminacja nadmiaru informacji w sygnale akustycznym w celu jego kompresji etc. Rozpatrywane będą filtry cyfrowe należące do grupy układów LTI.
a_k=0


transformata Z

, transmitancja filtru:

Klasyfikacja filtrów cyfrowych: filtry cyfrowe rekursywne i filtry cyfrowe nierekursywne. Właściwości cyfrowych filtrów rekursywnych: *Przynajmniej jeden ze współczynników a_k mianownika transmitancji jest różny od zera. *Sygnał wyjściowy filtru rekursywnego zależy od próbek sygnału wejściowego i poprzednich wartości sygnału wejściowego. *Zazwyczaj odpowiedź impulsowa filtru rekursywnego jest nieskończona w czasie (z wyjątkiem przypadku, kiedy wszystkie bieguny kompensowane są przez zera) -> filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI, IIR). *Przyczynowy filtr NOI jest stabilny, jeżeli bieguny jego transmitancji leżą wewnątrz okręgu jednostkowego. Właściwości cyfrowych filtrów nierekursywnych: *Wszystkie współczynniki a_k mianownika transmitancji są równe zeru. *Sygnał wyjściowy filtru nierekursywnego zależy tylko od próbek sygnału wejściowego. *Odpowiedź impulsowa filtru nierekursywnego jest zawsze skończona w czasie -> filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI, FIR) są zawsze stabilne. *Nie każdy filtr SOI , jest nierekursywny. realizacja filtru cyfrowego: -> przetworzenie sygnału wejściowego w sygnał wyjściowym -> np. na podstawie równania różnicowego. opis struktury filtru: schematy blokowe, grafy przepływu sygnałów, zapis macierzowy.

Podstawowe struktury sieci filtrów NOI (IlR): Postać bezpośrednia typu I Wynika wprost z równania różnicowego:

Graf filtru przy założeniu, że M=N. Ponieważ jest to układ LTI, można zamienić gałęzie miejscami. Postać bezpośrednia typu II

Jest to struktura kanoniczna - w oparciu o taką strukturę potrzeba minimalną liczbę układów opóźniających, sumatorów i układów mnożących. Jeśli M=N, wówczas w strukturze kanonicznej występuje N opóźnień, 2N operacji dodawania oraz 2N+ 1 mnożeń. Transponowanie grafu - w grafie o jednym wejściu i jednym wyjściu jeśli zamianie ulegnie wejście z wyjściem oraz kierunki we wszystkich gałęziach grafu ulegną odwróceniu, wówczas transmitancja opisana tym grafem nie ulegnie zmianie -> struktura odwrócona II. Odwrócona struktura bezpośrednia typu II dla M=N:

Każdą transmitancję można przedstawić w postaci:
N≤M . Zera i bieguny (zespolone) występują w parach sprzężonych, zatem lepiej zastosować czynniki stopnia drugiego
M=N, K jest częścią całkowitą liczby M/2 . Struktura kaskadowa

Struktura równoległa

Podstawowe struktury sieci filtrów SOI (FIR) - nierekursywnych. Transmitancja nierekursywnego filtru SOI:
Niech h[n] oznacza odpowiedź impulsową filtru. Transformata Z tego filtru jest jednocześnie transmitancja układu:
elementami filtru nierekursywnego jest ciąg odpowiedzi impulsowej. Struktura bezpośrednia filtru SOI
sygnał wyjściowy jest splotem jego współczynników i sygnału wejściowego. Struktura kaskadowa filtru SOI
. Struktura bezpośrednia filtru SOI

Struktura kaskadowa filtru SOI

Struktura filtru SOI z próbkami częstotliwości. Transmitancję filtru można wyrazić za pomocą wielomianu Lagrange'a, interpolującego transmitancję filtru w postaci:

z_n(0≤n≤N-1) stanowi N dowolnie wybranych punktów na płaszczyźnie zespolonej. Jeżeli punkty z_n są równomiernie rozmieszczone na okręgu jednostkowym: z_n=e^j2Πn/N n=0,2,…,N-1

Struktura z próbkami częstotliwości

5

---