JANIUK BARTŁOMIEJ

Grupa 12

Wydział Mechaniczny

Przybliżone rozwiązywanie równań.

Metoda Newtona.

Metodą Newtona możemy podawać przybliżone rozwiązania równań algebraicznych, jaki i przestępnych. Proces obliczania pierwiastków składa się z dwóch części:

1. Odnalezienie z grubsza przybliżonej wartości pierwiastków.

2. Uściślenie odnalezionych przybliżeń.

Metodą Newtona uściślenie wyznacza się w następujący sposób.

Jeżeli x₀ jest przybliżoną wartością pierwiastka α równania f(x)=0, to za przybliżenie dokładniejsze przyjmuje się:

Gdzie:

Zastępując x₀ przez x₁ można otrzymać następujące przybliżenie x2 itd. Algorytm kolejnych przybliżeń jest zawsze zbieżny, jeżeli pierwiastek α jest jednokrotny, tzn. jeżeli f'(α)≠0, i pierwsze przybliżenie wzięte jest z wystarczającą dokładnością. Tak więc pierwiastek można obliczyć z dowolnym stopniem dokładności.

Przykład.

Obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia z 91.

91=x³

x³-91=0

f(x)=x³-91

f'(x)=3x²

x₀≅4

x₁=x₀-ε₁

ε₁=f(x₀)/f'(x₀)

ε₁=-0,5625

x₁=4,5625

x₂=x₁-ε₂

ε₂=f(x₁)/f'(x₁)

ε₂=0,06364937136423

x₂=4,498850628636

x₃=x₂-ε₃

ε₃=f(x₂)/f'(x₂)

ε₃=9,089996337533e-4

x₃=4,497941629002

Wartość pierwiastka trzeciego stopnia z 91 obliczona na kalkulatorze wynosi: 4,497941445 i zajmuje ta liczba cały zakres wyświetlacza. Obliczona przeze mnie wartość („w trzech krokach”) jest dokładniejsza i jak widzimy sześć liczb po przecinku jest identycznych.

Zaletą tej metody wyznaczania przybliżeń pierwiastków jest między innymi, możliwość określenia wartości pierwiastka prawie dowolnego stopnia. Można tego dokonać o ile ma się wystarczająco dużo wolnego czasu oraz jeszcze więcej papieru.

1

---