Wartość przyszła

• procent prosty

• procent składany

Oznaczenia:

i - bieżąca chwila czasu, i = 1, 2, ..., n, ... ,

n - liczba lat lub ogólniej liczba okresów (pożyczania od kogoś lub inwestowania),

r - oprocentowanie, stopa procentowa stała w czasie

r_i, i = 1, 2, ..., i,, ..., n, ... - oprocentowanie, stopa procentowa zmienna w czasie,

PV - obecna wartość kapitału - pewnej kwoty pieniężnej (ang. present value),

PV0, PV1, ..., PVn - wartość kapitału bieżąca dla chwili 0, 1, ..., n.

FV - przyszła wartość kapitału (ang. future value),

FVn FVn-1, ..., FV1, FV0 - wartość przyszła kapitału w chwili n, (n-1), ..., 1, 0.

Procentem prostym nazywamy odsetki płacone (w przypadku pożyczki płacone pożyczającemu) lub zarabiane (w przypadku inwestowania) wyłącznie od podstawowej kwoty kapitału (ang. simple interest).

FVn = PV + PV*n*r

Wzór jest słuszny również, gdy

- n jest niecałkowitą liczbą lat,

• okres, po którym naliczane są odsetki nie jest rokiem, ale innym okresem, jak na przykład dzień, miesiąc, kwartał, półrocze; wówczas r oznacza stopę procentową w tym okresie.

gdzie r1, r2, ..., rn - stopa oprocentowania w poszczególnych okresach.

Proces dopisywania odsetek do kwoty kapitału nazywa się kapitalizacją - odsetki są skumulowywane z kwotą kapitału (ang. compounding).

Okres, po którym dopisywane są odsetki do kwoty kapitału, nazywa się okresem kapitalizacji (ang. compounding period).

Procentem składanym (ang. compound interest) nazywamy odsetki płacone lub zarabiane nie tylko od podstawowej kwoty kapitału ale i od zapłaconych lub zarobionych odsetek we wcześniejszym okresie ich naliczania; o ile te odsetki nie zostały już przez pożyczającego lub inwestującego wycofane (podjęte).

Wartość przyszła z kumulacją odsetek

, lub

dla r₁ = r₂ = ... = r_n = r.

LUB

= MWP(n,r) = (1 + r)ⁿ .

FV_n = PV*

Wartość obecna

"ile jest warta w tej chwili kwota otrzymana lub inwestowana w przyszłości?.

Dla stałej (takiej samej w każdym okresie kapitalizacji) stopy procentowej wzór przybiera postać:

,

dla r₁ = r₂ = ... =r_n = r

LUB

= MWO(n,r) =
.

PV = FV_n*

Wartość przyszła 1zł dla różnych stóp procentowych i różnej liczby okresów kapitalizacji.

Efektywną roczną stopą procentową przy m kapitalizacjach w ciągu roku nazywamy taką stopę, która dawałaby to samo oprocentowanie przy jednokrotnej, rocznej kapitalizacji (ang. effective annual rate - EFF).

,

czyli

Zamiast więc stosowania kapitalizacji częstszej niż roczna można używać stopy efektywnej i kapitalizacji rocznej.

gdzie:
m - liczba kapitalizacji w ciągu roku,
n - liczba lat oprocentowania kapitału,
r_nom - oprocentowanie nominalne.

Kapitalizacja ciągła

e ≈ 2.718 jest podstawą logarytmów naturalnych.

Renta

Renta

Renta jest serią wpłat lub wypłat co pewien stały, określony czas. Renta płatna z dołu (lub po prostu renta, ang. ordinary annuity) posiada płatności na koniec każdego odcinka czasu.

Renta płatna z góry (ang. annuity due) posiada płatności na początku każdego odcinka czasu

Wartością przyszłą renty FVA (renty z góry FVAD) jest taka kwota na końcu ostatniego odcinka czasu, że jest ona równoważna serii płatności przy danym oprocentowaniu i danej liczbie okresów.

Wartością obecną renty PVA (renty z góry PVAD) jest taka kwota w chwili 0, że jest ona równoważna serii płatności przy danym oprocentowaniu i danej liczbie okresów.

Renta płatna z dołu - wartość przyszła

Jaka będzie wartość renty po n okresach, jeśli okresowe wpłaty wynoszą PMT (ang. payment - płatność), a oprocentowanie r? Problem przedstawimy graficznie na rysunku

Każdy ze składników przyszłej wartości renty jest wartością przyszłą odpowiedniej wpłaty.

= PMT.

= PMT*(1+r).

.

= PMT*(1+r)^{n - 2},

= PMT*(1+r)^{n - 1}

Więc

Rys.Wartość przyszła renty.

Renta płatna z góry - wartość przyszła

Ponieważ w rencie płatnej z góry każda płatność PMT procentuje o jeden okres dłużej więc i suma tych płatności czyli FVA procentuje o jeden okres dłużej.

Można więc napisać, że wartość przyszła renty z góry:

FVAD = FVA*(1+r)

Nie publikuje się tablic mnożnika dla renty płatnej z góry. Jej obliczenie jest proste, jeśli znana jest wartość przyszła renty zwykłej, którą z kolei łatwo wyliczyć.

Renta (zwykła) - wartość obecna

Wartość obecną renty PVA (ang. present value of annuity)

lub

Renta z góry - wartość obecna

Analogicznie do obliczenia wartości przyszłej renty z góry, postąpimy przy obliczaniu wartości obecnej renty z góry:

PVAD = PVA*(1+r)

Renta wieczna - wartość obecna.

Renta wieczna to renta (zwykła) o płatnościach, które się nigdy nie kończą, a więc o nieskończenie wielu płatnościach (ang. perpetuities)

Spłata pożyczek

Rys. Spłata kredytu - r = 20% w okresie, kwota kredytu = 1000, 12 rat.

Spłata kredytu stałą kwotą sumy raty i odsetek

Rys. Spłata kredytu - r = 20% w okresie, kwota kredytu = 1000, 12 rat.

---