ĆWICZENIE NR 2

Uproszczone kryteria stabilności lokalnej

1. Wstęp.

Z technicznego punktu widzenia stabilność oznacza, że po wystąpieniu zakłócenia układ powraca do stanu równowagi. W przypadku systemu elektroenergetycznego możemy wyróżnić trzy cechy świadczące o poprawności jego działania:

• zachowanie synchronizmu generatorów,

• utrzymanie częstotliwości w dopuszczalnych granicach,

• utrzymanie napięć w dopuszczalnych granicach.

Zachowanie synchronizmu jest niezbędne z punktu widzenia zasady działania generatorów. Utrzymanie w dopuszczalnych granicach częstotliwości i napięć jest ważne z punktu widzenia poprawności pracy urządzeń elektrycznych systemu i odbiorców [3].

Jeśli po wystąpieniu zakłócenia system zachowuje wymienione cechy, to oznacza, że jest stabilny. Jeśli po wystąpieniu zakłócenia system traci którąkolwiek z wymienionych wyżej cech, to znaczy, że jest niestabilny. Stabilność systemu elektroenergetycznego (jako układu nieliniowego) zależy od stanu układu i wielkości zakłócenia. W danym stanie system jest stabilny lokalnie, jeśli jest stabilny przy działaniu małych zakłóceń. Stabilność lokalna określa więc jak duże może być zakłócenie aby układ nie utracił jeszcze stabilności.

Istnieje wiele kryteriów stabilności lokalnej. Ogólnie można je podzielić na kryteria uproszczone i dokładne. Kryteria uproszczone stosowane były dawniej, gdyż nie wymagały ani obszernej analizy, ani skomplikowanych obliczeń matematycznych. Obecnie (dzięki powszechnemu wykorzystaniu komputerów) stosuje się skomplikowane obliczeniowo kryteria dokładne (np. kryterium według I zasady Lapunowa) dające szerokie możliwości analizy stanu systemu elektroenergetycznego. Poniżej przedstawiono niektóre uproszczone i dokładne kryteria stabilności lokalnej.

2. Kryterium dodatniej mocy synchronizującej:

Rozpatrzmy prosty układ generator- sieć sztywna pokazany na rysunku 1 poniżej.

Rys.1 Układ generator- sieć sztywna [3]: a) schemat ideowy; b) schematy zastępcze;

c)wykres prądów i napięć; d) kątowa charakterystyka mocy przy R=0 oraz E_q= const.

Rozpatrzmy przypadek małych kołysań wirnika generatora. Małymi kołysaniami nazywa się zmiany kąta położenia wirnika generatora δ przy prędkościach bliskich prędkości synchronicznej. Częstotliwości małych kołysań wynoszą od 0,2 do 2,5 Hz. Rozróżniamy kołysania wymuszone (spowodowane regularnie pojawiającymi się zakłóceniami) oraz kołysania swobodne (powstałe na skutek jednokrotnego zakłócenia).

Załóżmy, że zmiany strumieni magnetycznych w generatorze przy kołysaniach swobodnych wirnika są na tyle małe, że można pominąć towarzyszące im zjawiska elektromagnetyczne i przyjąć E_q= const. Przy tym założeniu moc czynna wytwarzana przez generator P_e zależy tylko od kąta położenia wirnika względem napięcia sieci sztywnej δ i określona jest wzorem:

(1)

gdzie:

E_q -moduł sem generatora po przetransformowaniu do przestrzeni Parka,

U_S -napięcie sieci,

X= X_d+ X_T+ X_S -reaktancja wypadkowa gałęzi łączącej sem generatora z siecią sztywną,

X_d -reaktancja synchroniczna podłużna generatora,

X_T -reaktancja transformatora,

X_S -reaktancja sieci.

Wykres funkcji mocy czynnej generatora P_e od kąta δ nazywamy kątową
charakterystyką mocy:

Rys.2 Wykres zależności mocy czynnej generatora od kąta mocy.

Na rysunku 2 pokazano różne przypadki zmian kąta wirnika (kołysania wirnika) w otoczeniu różnych punktów równowagi po wystąpieniu małych wychyleń. Uzyskuje się je jako wynik analizy rozwiązań zlinearyzowanego równania ruchu wirnika zespołu turbina- generator.

Generator otrzymuje poprzez wał moc mechaniczną P_m turbiny. Generator generuje moc P_e, przesyłaną poprzez transformator i linię do szyn systemu elektroenergetycznego. Jeśli pominąć straty mocy w generatorze, to wirnik zespołu turbina - generator wiruje ze stałą prędkością synchroniczną tylko wtedy, gdy moc P_m równa jest mocy P_e. Jeśli jednak pojawi się jakakolwiek różnica pomiędzy tymi mocami (np. w wyniku zakłócenia w systemie), to zostanie ona zużyta na :

• zmianę energii kinetycznej mas wirujących i prędkości wirowania wirnika,

• pokonanie momentu hamującego, który pojawi się w uzwojeniach tłumiących [1].

Prędkość wirowania wirnika generator - turbina zależy od różnicy mocy ΔP_e = P_m-P_e. Jeśli ΔP_e>0, to wirnik przyśpiesza i ω>ω_n. Jeśli ΔP_e<0, to wirnik hamuje i ω<ω_n. Zmiany mocy turbiny P_m zależą od dopływu pary do turbiny, a więc od działania regulatora prędkości. W czasie zakłócenia wartość P_m jest stała ze względu na brak działania regulatora. Zjawiska te opisuje się równaniem ruchu wirnika zespołu turbina- generator:

(2)

gdzie :

W_kin - reprezentuje całkowitą energię kinetyczną mas wirujących układu wzbudnica - generator - turbina w MWs albo MJ

P_D - reprezentuje moc czynną traconą na pokonanie momentu hamującego w uzwojeniach tłumiących.

Przy czym:

(3)

(4)

Czyli ostatecznie:

(5)

gdzie :

P_m- moc mechaniczna turbiny w MW,

P_e- moc elektryczna czynna generatora w MW,

T_m - mechaniczna stała czasowa zespołu wytwórczego w s,

S_n - moc znamionowa generatora w MVA,

ω_n - pulsacja znamionowa w rad/s,

δ - kąt położenia wirnika maszyny odniesiony do osi wirującej z prędkością synchroniczną w rad_{elektrycznych},

D - dodatni współczynnik tłumienia ruchu wirnika maszyny w MWs/rad, którego wartość przyjmuje się :

δ_gr - jest graniczną wartością kąta δ

Przy małych wartościach kąta obciążenia δ stabilność układu jest oscylacyjna (punkty A oraz B na rysunku 2), a przy większych kątach aperiodyczna (punkt C na rysunku 2). Niestabilność pojawia się dopiero przy H≤0 i jest zawsze aperiodyczna (punkty D oraz E na rysunku 2).

Podstawowym wnioskiem z powyższej analizy jest fakt, że przy D>0 układ generator sieć sztywna może pracować przy działających małych zakłóceniach tylko w zakresie H>0.

(6)

Pochodną H nazywano mocą synchronizującą i stwierdzono, że warunkiem stabilności układu generator sieć sztywna jest dodatnia wartość mocy synchronizującej. Z rysunku 2 wynika, że warunek stabilności jest spełniony w zakresie kątów 0≤δ≤δ_gr oraz mocy czynnej generatora 0≤P_e≤P_gr. Punkt (δ_gr, P_gr) będący wierzchołkiem charakterystyki mocy stanowi granicę stabilności [3].

P_gr jest to maksymalna wartość mocy czynnej, którą może być obciążony generator bez obawy o utratę równowagi statycznej. Znajomość tej wartości dla układów rzeczywistych jest sprawą ważną.

Wartość kąta δ, przy której moc generatora P_e jest równa mocy maksymalnej, tj. P_e= P_gr, nazywa się kątem granicznym δ_gr. Teoretycznie, dla turbogeneratorów, w których sem E_q = const, δ_gr jest równe π/2 (patrz rysunek 2). Dla hydrogeneratorów z sem E_q = const, δ_gr jest nieco mniejsze niż π/2, a dla maszyn z regulacją napięcia E' = const, bądź U_G = const, kąt graniczny δ_gr jest nieco większy od π/2.

W danym punkcie pracy (δ₀, P₀) odległość od granicy stabilności może być określona jednym z trzech podanych niżej współczynników nazywanych współczynnikami zapasu stabilności lokalnej [3]:

(7)

(8)

(9)

W praktyce elektroenergetycy posługują się głównie mocami elektrycznymi i dlatego współczynnik k_P jest najczęściej stosowany.

W prostym układzie generator- sieć sztywna utrata stabilności lokalnej może przyjąć jedną z trzech form:

• utrata synchronizmu w sposób aperiodyczny. Wirnik turbozespołu obraca się asynchronicznie w stosunku do wirników pozostałych generatorów w SEE.

• samowzbudzenie generatora polegające na nadmiernym i niekontrolowanym wzroście sem E_q maszyny, przy tym wirnik generatora może obracać się z prędkością synchroniczną. Jest to spowodowane strukturą systemu (np. po zastosowaniu kondensatorów szeregowych) zachodzi bowiem, jeśli reaktancja zewnętrzna ma wartość ujemną, zawartą w pewnym przedziale.

• kołysanie spontaniczne, które może wystąpić przy małych obciążeniach generatora mocą czynną P.

Fizyczne uzasadnienie dodatniej mocy synchronizującej (jako warunku stabilności) opisano poniżej według [1].

Rozważmy przypadek pokazany na rysunku 3. Załóżmy, że stan równowagi jest w punkcie A o współrzędnych (Po,δo). Niech kąt δo wzrośnie o wartość Δδ, co będzie oznaczać małe przemijające zakłócenie w stanie równowagi. Otrzymuje się nowy punkt B. Moc turbiny pozostanie stała, gdyż nie zależy od kąta δ, a od działania regulatora turbiny i jest równa Po. W stanie B wystąpi większa moc hamująca wirnik P_D niż moc napędowa P_m: P_m-P_D=ΔP<0.

Rys. 3 Wykres analizy stabilności systemu za pomocą kątowej charakterystyki mocy [1].

W rezultacie, wirnik maszyny jest hamowany (przyspieszenie jest ujemne) i maszyna zaczyna zmniejszać swą prędkość kątową, a kąt δ zaczyna maleć. Oznacza to, że stan B zaczyna powracać do stanu równowagi A. Towarzyszą temu zanikające oscylacje kąta wokół wartości δo. Maksymalna wartość tych oscylacji jest równa Δδ.

Gdyby założyć, że stan równowagi odpowiada punktowi A', to zmiana kąta δ o wartości Δδ spowoduje, że otrzyma się nowy punkt B'. W stanie B' zachodzi : P_m>P_D, i ΔP>0. W konsekwencji wirnik maszyny będzie ciągle przyspieszany, czyli nastąpi dalszy przyrost kąta mocy δ w sposób aperiodyczny. Oznacza to, że wytrącenie zespołu ze stanu równowagi chwiejnej A' powoduje, że zespół nigdy już do tego stanu nie powróci i dlatego stan A' nie może być uważany za stabilny lokalnie.

3. Zjawiska napięciowe przy zaburzeniach bilansu mocy biernej- kryteria napięciowe:

3.1. Stabilność napięciowa- wstęp:

W opisywanych zjawiskach główną rolę odgrywają charakterystyki napięciowe odbiorów sieci wysokiego napięcia. Odbiory sieci wysokiego napięcia nazywać będziemy odbiorami kompleksowymi lub w skrócie odbiorami. Przykład charakterystyki statycznej odbioru pokazano na rysunku 4. Taka charakterystyka jest typowa dla odbiorów zawierających silniki asynchroniczne, które przy obniżeniu napięcia, zwiększają poślizg, a wskutek tego pobierają większą moc bierną [3].

Rys. 4 Przykład charakterystyk napięciowych odbioru kompleksowego (wykres w

jednostkach względnych) [3].

Właściwości systemu jako źródła zasilającego wybrany węzeł odbiorczy opisuje się za pomocą charakterystyki wytwarzania mocy biernej zwanej charakterystyką wytwarzania i oznaczonej Qs(U). Charakterystyka ta określa w funkcji napięcia moc bierną oddawaną przez źródło przy obciążeniu go mocą czynną odbioru P_l(U). Na rysunku 5 przedstawiony jest schemat systemu elektroenergetycznego w którym zastąpiono system elektroenergetyczny źródłem napięciowym Thevenina o sile elektromotorycznej |E| oraz reaktancji X zastępującej całą sieć przemysłową i odpowiadającej reaktancji widzianej z wybranego węzła w kierunku węzłów generatorowych.

Rys. 5 System elektroenergetyczny jako źródło mocy biernej w danym węźle odbiorczym

[3]: a) fragment sieci z trzema generatorami zasilającymi jeden wspólny odbiór;

b)zastąpienie systemu jednym źródłem napięciowym; c) schemat zastępczy źródła oraz

wykres prąd*w i napięć węzłowych, G - węzły wytwórcze, l - wybrany węzeł odbiorczy;

E, X - fikcyjna siła elektromotoryczna oraz reaktancja zastępcza systemu, δ- kąt między

wektorami E oraz U, ϕ-kąt między wektorami U oraz I.

Dla tak zdefiniowanego źródła możemy zapisać następujące zależności:

(10)

(11)

które określają moc czynną i bierną dostarczaną ze źródła. Zgodnie z definicją charakterystyki wytwarzania obciążamy źródło mocą czynną odbioru, czyli podstawiamy P_s(U)=P_l(U) i poszukujemy wzoru określającego moc bierną dostarczaną przez źródło. Wprowadzamy do równania (10) wzór na jedynkę trygonometryczną 1=sin²δ + cos²δ dzięki czemu otrzymujemy:

(12)

Pozbywając się pierwiastka i stosując przekształcenia otrzymujemy:

(13)

(14)

(15)

Podstawiając (15) do (11) otrzymujemy wzór określający moc bierną dostarczaną przez źródło:

(16)

Charakterystyka wytwarzania odpowiadająca temu wzorowi jest krzywą zbliżoną do odwróconej paraboli [3].

3.2. Kryterium dΔQ/ dU jako kryterium stabilno*ci:

W zależności od warto*ci parametrów układu charakterystyka wytwarzania i charakterystyka odbioru mogą przyjmować względem siebie trzy charakterystyczne położenia przedstawione na rysunku 6:

(16)

(17)

Rys. 6 Wzajemne położenie charakterystyki wytwarzania Q_s i odbioru Q_l [3]: a) dwa

punkty równowagi; b) jeden punkt równowagi; c) brak punktu równowagi.

Źródło i odbiór mogą ze sobą pracować tylko w punktach w których Q_s(U)=Q_l(U), czyli w punktach przecięcia charakterystyk (tzw. punktach równowagi).

Punktem trwałej równowagi może być tylko punkt równowagi stabilny lokalnie, dla którego warunek stabilno*ci jest następujący:

(19)

przy czym:

ΔQ- nadwyżka mocy biernej źródła nad potrzebami odbioru:

(20)

Rozpatrzmy przypadek pokazany na rysunku 6a. Załóżmy, że punkt S jest aktualnym punktem pracy odbioru. Przy napięciu U_s mamy równo*ć mocy biernej zapotrzebowanej przez odbiór Q_l z mocą bierną dostarczoną do węzła Q_s. Jeżeli w pewnym momencie nastąpi przypadkowe obniżenie napięcia o małą warto*ć ΔU, któremu towarzyszy nadmiar mocy wytwarzanej nad odbieraną Q_s > Q_l, to w węźle odbiorczym pojawi się nadmiar mocy wytwarzanej ΔQ czemu towarzyszy wzrost napięcia do poziomu pierwotnego.

Podobnie chwilowemu wzrostowi napięcia o małą warto*ć ΔU towarzyszy nadmiar mocy pobieranej nad oddawaną Q_s<Q_l, w węźle odbiorczym pojawia się niedomiar mocy biernej oddawanej ΔQ, w wyniku czego napięcie maleje do poziomu pierwotnego, przy którym mamy Q_s=Q_l. Mamy w tym przypadku samoczynny powrót do stanu równowagi. Punkt S nazywamy punktem trwałej równowagi. Zatem praca układu jest stabilna w węźle odbiorczym tak długo, póki pochodna dΔQ/dU jest mniejsza od zera. Natomiast dla punktu N warunek stabilno*ci (18) i (19) nie jest spełniony. Niespodziewanej obniżce napięcia o małą warto*ć ΔU towarzyszy nadmiar mocy odbieranej nad wytwarzaną, co pociąga za sobą dalszą obniżkę napięcia. W punkcie N nie wystąpi samodzielny powrotu do napięcia początkowego. Układ odchodzi od punktu równowagi, przy stale malejącym napięciu. Taki sposób utraty stabilno*ci systemu nazywamy lawiną napięciową.

Przyczyną takich sytuacji może być chwilowy niedostatek mocy biernej w danym węźle sieciowym, co objawia się obniżką napięcia. W takich przypadkach następuje początkowo powolne, a potem coraz szybsze obniżanie się napięcia. Także duże przesyły mocy powodują duże straty mocy biernej, co dodatkowo obniża napięcia w mocno obciążonych węzłach. Obniżenie napięcia w jednym węźle poniżej napięcia krytycznego powoduje zatrzymanie silników asynchronicznych a przez to znacznie większy pobór przez nie mocy biernej. Prowadzi to z kolei do obniżenia napięcia w węzłach sąsiednich, co również może spowodować zatrzymanie silników kolejno w tych węzłach i zainicjować ciężką awarię systemową. Utrata stabilności może nastąpić także wskutek nagłego zwiększenia obciążenia lub awaryjnego wyłączenia ważnej dla systemu gałęzi przesyłowej.

Na rysunku 7 przedstawiony jest przybliżony przebieg lawiny napięciowej a na rysunku 8 skutki lawiny napięciowej na pracę generatora.

Rys.7 Przybliżony przebieg lawiny napięcia wraz z odbudową napięcia [2].

Rys. 8 Utrata synchronizmu generatora zainicjowana lawiną napięcia: a) fragment

systemu, b) przebieg zmian napięcia [3].

3.3. Wzrost obciążenia:

Powolny wzrost obciążenia danego węzła (wynikający np. z dobowych zmian obciążenia) wywołuje dwa (niekorzystne z punktu widzenia stabilno*ci napięcia) efekty. Wzrost mocy czynnej odbioru zgodnie ze wzorem (16) obniża charakterystykę wytwarzania. Wzrost mocy biernej powoduje podniesienie się charakterystyki odbioru. W rezultacie stabilny punkt równowagi S przesuwa się w kierunku niższych napięć, a niestabilny punkt N przesuwa się w kierunku wyższych napięć. Przy dalszym wzroście obciążenia, oba te punkty zbliżają się do siebie, aż przy pewnym obciążeniu tworzą jeden niestabilny punkt równowagi, co przedstawia rysunek 6b. Punkt ten nazywa się punktem krytycznym, a jego współrzędnymi są moc krytyczna Q_kr oraz napięcie krytyczne U_kr. Gdy obciążenie dochodzi do warto*ci krytycznej układ traci stabilno*ć poprzez lawinowe obniżenie się napięcia. Zachodzi to przy napięciu krytycznym U_kr, dla którego:

(21)

3.4. Wyznaczenie napięcia krytycznego - wzory iteracyjne:

Aby ocenić pewność pracy systemu należy wyznaczyć moc i napięcie krytyczne. W czasie pracy systemu warto*ci napięcia i mocy w węzłach odbiorczych powinny być znacznie

oddalone od warto*ci krytycznych. Napięcie U_kr możemy wyliczyć za pomocą wzorów

iteracyjnych, przy następujących założeniach [3]:

• moc pozorna odbioru zwiększa się przy stałej warto*ci współczynnika mocy (utrzymywanego przez odbiorców), czyli:

(22)

przy czym: P_n, Q_n - moce znamionowe w danej chwili , P_o, Q_o - moce znamionowe w

chwili początkowej, ξ - współczynnik wzrostu obciążenia.

• charakterystyki odbioru przeliczone na jednostki względne dają się aproksymować następującymi wielomianami (odpowiednio: parabolą i linią prostą):

(23)

(24)

• skład odbioru nie ulega istotnym zmianom, co pozwala przyjąć, że współczynniki α_1w, α_2w, α_0w, β_1w w powyższych wielomianach aproksymujących są stale.

Korzystając z założenia (22), możemy przeliczyć charakterystyki względne (23) i (24)

na jednostki mianowane w następujący sposób:

(25)

(26)

gdzie:

Uwzględniają zależność (26) we wzorze (16) otrzymamy:

(27)

Z rysunku 6b wynika, że w punkcie krytycznym muszą być spełnione dwa następujące równania: Q_S(U_kr)= Q_l(U_kr) oraz dQ_S/dU= dQ_l/dU. Po uwzględnieniu wzorów (27) i (25) równania te przyjmują dla napięcia krytycznego postać:

(28)

(29)

Z drugiego z tych równań wyznacza się napięcie krytyczne w funkcji parametrów systemu oraz nieznanego współczynnika wzrostu obciążenia:

(30)

Łącząc oba równania (28) i (29) tak, aby usunąć niewygodny pierwiastek kwadratowy otrzymujemy wzór na krytyczny współczynnik wzrostu obciążenia:

(31)

Wzory (30) i (31) wykorzystamy w załączonych przykładach do iteracyjnego obliczania warto*ci krytycznych w konkretnych przykładach.

3.5. Zmiany konfiguracji sieci oraz kształtu charakterystyki mocy czynnej:

Analizując wzór (16) opisujący położenie charakterystyki wytwarzania stwierdzamy, że moc bierna generowana przez źródło Q_S zależy od reaktancji zastępczej systemu. Zmiany tej reaktancji (powodowane np. wyłączeniem elementów sieci) mogą być na tyle duże, że obniżają charakterystyki wytwarzania aż do stanu krytycznego i powodują utratę stabilno*ci napięcia w danym węźle odbiorczym.

Ze wzoru (16) wynika również, że moc czynna odbioru obniża charakterystykę wytwarzania mocy biernej. Oznacza to, że odbiory o charakterystykach mocy czynnej zależnych od napięcia stwarzają warunki pracy układu lepsze, niż odbiory o sztywnych charakterystykach mocy czynnej, co przedstawia rysunek 9:

Rys. 9 Charakterystyki: a) mocy czynnej; b) mocy biernej źródła (zależne od

charakterystyk mocy czynnej odbioru) i odbioru [3] .

3.6. Wpływ regulacji napięcia:

Jeśli zmiany obciążenia są powolne to (przy braku przekroczeń zadanych prądów i kątów generatora) regulatory napięcia utrzymują na generatorze zadane napięcie. Można wówczas zastąpić SEE źródłem napięciowym o odpowiednio zmniejszonej reaktancji oraz pewnym fikcyjny napięciu U_g. Zmniejszenie reaktancji zastępczej systemu, zgodnie ze wzorem (16), powoduje podwyższenie charakterystyki wytwarzania mocy biernej. Oznacza to, że dzięki regulacji napięcia generatorów stan krytyczny układu oddala się od jego punktu pracy i tym samym zagrożenie utraty stabilno*ci napięcia danego węzła zmniejsza się.

3.7. Równowaga odbiorów w węzłach układu obliczana według kryterium dE/dU:

Kryterium to dotyczy układu energetycznego pokazanego poniżej na rysunku 10. Układ składa się z jednej zastępczej elektrowni oraz odbioru uogólnionego.

Rys. 10 a)schemat zastępczy układu elektroenergetycznego, b) wykres wskazowy [3];

gdzie: P_s, Q_s - moc czynna i bierna generowana; P_l , Q_l - moc czynna i bierna odbioru.

(32)

(33)

gdzie: ΔQ_x - straty mocy biernej na reaktancji zastępczej X.

Korzystając ze schematu zastępczego przedstawionego na rysunku 10, dla danego punktu równowagi można wyznaczyć zależność napięcia w węźle odbiorczym od siły elektromotorycznej źródła zastępującego system elektroenergetyczny:

(34)

gdzie:

Q_lX/U - wzdłużna strata napięcia

P_lX/U - poprzeczna strata napięcia.

Stąd:

(35)

Przebieg zmian E w funkcji U silnie zależy od charakterystyk odbioru. Przy obniżaniu napięcia siła elektromotoryczna opisana wzorem (35) początkowo zmniejsza się, gdyż straty napięcia maleją. Począwszy jednak od pewnego napięcia, wzdłużna strata napięcia w sile elektromotorycznej zaczyna wzrastać i siła elektromotoryczna staje się coraz większa, (rysunek 11).

Rys. 11 Ilustracja do warunku stabilno*ci (dE /dU)>0 [3].

Rozpatrzmy zachowanie się układu w punkcie S leżącym na rosnącej części charakterystyki. Chwilowy spadek napięcia o ΔU powoduje, że siła elektromotoryczna źródła jest za duża o ΔE w porównaniu z aktualnym napięciem i źródło wymusza wzrost napięcia, czyli powrót do stanu równowagi. Również wzrost napięcia o ΔU prowadzi do sytuacji, w której źródło nie jest w stanie utrzymać aktualnej warto*ci napięcia i układ wraca do punktu równowagi. Natomiast w punkcie N leżącym na opadającej części krzywej chwilowy spadek napięcia o ΔU powoduje, że siła elektromotoryczna źródła jest za mała o ΔE do podtrzymania aktualnej warto*ci napięcia. Dlatego napięcie obniża się i układ oddala się od punktu równowagi. Następuje lawinowy spadek napięcia. Z powyższego wynika, że warunkiem stabilno*ci lokalnej w danym punkcie równowagi jest:

(36)

3.8. Wyznaczenie napięcia krytycznego U_kr w oparciu o kryterium dE/dU:

W celu obliczenia napięcia krytycznego U_kr konieczne jest wyznaczenie charakterystyki E= f(U) oraz Q= f(E), a warto*ci ekstremalne dadzą nam napięcie krytyczne w rozpatrywanym węźle. Dla napięcia równego napięciu krytycznemu pochodna siły elektromotorycznej po napięciu równa się zeru:

(37)

Obliczenia warto*ci napięcia krytycznego, a przez to badanie równowagi trwałej prowadzone są w okresach obciążenia szczytowego w danym węźle. W tym celu zakładamy napięcie znamionowe w tym węźle U₀=1,0 i przy tym założeniu obliczamy warto*ć siły elektromotorycznej E ze wzoru (35), gdzie Q_l , P_l- charakterystyki odbiorów, które dają się aproksymować do wielomianów: Q_l = Q_n⋅[α₂⋅U²-α₁⋅U+α₀] oraz P_l = P_n⋅[β₂⋅U²-β₁⋅U+β₀], przy czym Q_n, P_n - moce znamionowe. Obliczamy moc bierną dopływającą do węzła z generatora Q_S ze wzorów (32) i (33). Następnie (w celu wyznaczenia charakterystyki E= f(U) oraz Q=f(E)) powtarzamy obliczenia dla napięć U=0,95, U=0,9 itd., a warto*ci ekstremalne tych krzywych dają nam napięcie krytyczne w rozpatrywanym węźle. Przykładowe wykresy pokazano poniżej na rysunku 12:

Rys. 12 Wykresy zależności E= f(U) oraz Q= f(E).

3.9. Zapas stabilności systemu:

Przy danych warunkach pracy odbioru kompleksowego (P₀, Q₀, U₀) zapas stabilno*ci danego węzła może być zdefiniowany za pomocą jednego ze współczynników:

(38)

(39)

(40)

gdzie:

E₀- sem generatora zastępczego w przypadku napięcia znamionowego w węźle (U₀=1),

E_kr- sem generatora zastępczego dla przypadku napięcia krytycznego w badanym węźle,

Q(U_kr)- to moc bierna dopływająca do węzła przy napięciu U_kr,

Q₀- to moc bierna dopływająca do węzła w przypadku napięcia znamionowego (U₀=1).

Wykaz literatury:

1. [1] Materiały z wykładów „Praca systemów elektroenergetycznych” prowadzonych przez dr inż. Janusza Brożka,

2. [2] Z. Kremens, M. Sobierajski „Analiza systemów elektroenergetycznych”, WNT Warszawa 1996,

3. [3] J. Machowski, S. Bernas „Stany nieustalone i stabilność systemu elektroenergetycznego”, WNT Warszawa 1989.

21

---