Egzamin termin n +1 (sesja zimowa)

Automatyka i Robotyka

1. Kosmonauta o masie m wylądował na kulistej, jednorodnej planetoidzie o promieniu R. Na jej powierzchni ważył 8-krotnie mniej niż na Ziemi. Dane jest przyspieszenie ziemskie g oraz stała grawitacji G.

1. Oblicz natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni planetoidy. (2)

2. Podaj prawo Gaussa dla grawitacji oraz krótko je objaśnij. (3)

3. Drążąc pionową studnię w planetoidzie, kosmonauta znalazł się na głębokości h =R/6

pod powierzchnią planetoidy. Korzystając z prawa Gaussa, oblicz, ile w tym miejscu

ważył kosmonauta. (7)

4. Oblicz z jaką szybkością krąży statek-baza kosmonauty, znajdujący się na kołowej orbicie w odległości x = 2R od powierzchni planetoidy. (6)

5. Oblicz, korzystając z definicji, pracę jaką muszą wykonać silniki lądownika o masie całkowitej M_L, aby wynieść go na orbitę do statku-bazy. (6)

2. Dwa jednakowe ładunki dodatnie Q znajdują się na płaszczyźnie X,Y w punktach o współrzędnych: (-d, 0), (d, 0)

1. Zrób rysunek z zaznaczeniem w dowolnym punkcie P (x, y) płaszczyzny, wektorów składowych i wektora wypadkowego pola elektrycznego
   (2)

2. Oblicz wypadkowy potencjał V_w
   w dowolnym punkcie P płaszczyzny. (5)

3. Udowodnij, obliczając gradient potencjału
   , że natężenie pola elektrycznego w środku układu jest równe zero. (7)

3. Dwa ciągi fal o jednakowych amplitudach i częstościach kołowych biegną w przeciwnych kierunkach osi OX.

1. Wyprowadź równanie powstającej fali stojącej. (6)

2. Znajdź położenia węzłów i strzałek oraz zrób odpowiedni rysunek. (6)

4.a. Wychodząc z zasady zachowania energii, wyprowadź równanie II prawa Kirchhoffa dla

obwodu RC zasilanego z baterii o SEM ε. (6)

b. Podaj wzory opisujące zależność Q(t) oraz I(t) i udowodnij, że spełniają one równanie

Kirchhoffa. (5)

c. Zrób odpowiednie wykresy Q(t) oraz I(t). (2)

4. Wyjaśnij pojęcie: czas relaksacji. (5)

5a. Podaj prawa: Biota-Savart'a oraz prawo Ampera: zrób odpowiedni rysunek i objaśnij

występujące wielkości. (6 p)

b. Przez cienki przewodnik w kształcie pętli o promieniu R płynie prąd o natężeniu i.

Korzystając z prawa Biota-Savart'a oblicz indukcję B w środku pierścienia. (5 p)

6. Cienką obręcz o masie m i promieniu R zawieszono na cienkiej i nieważkiej lince (zaniedbaj

masę linki) o długości l=R. Obręcz wychylono o niewielki kąt w jej płaszczyźnie z położenia

równowagi.

1. Oblicz moment bezwładności takiego wahadła. (10p)

2. Podaj różniczkowe równanie ruchu tego wahadła fizycznego. (5p)

3. oblicz okres drgań tego wahadła. (5p)

7.a. Korzystając z prawa Gaussa oblicz natężenie pola elektrycznego pomiędzy okładkami

kondensatora płaskiego dołączonego do źródła o napięciu U.(5p)

3. Wyprowadź wzory na pojemność i różnicę potencjałów między okładkami tego

kondensatora oraz na energię w nim zgromadzoną. (10p)

4. Wyprowadź wzory na gęstość energii zależną od pola E (rozważ kondensator płaski) i pola H (rozważ solenoid). (10p)

---