Wydział Fizyki	Środa 8:00		Nr zespołu 2
		Data: 14.03.2007
1.Mellem Krzysztof 2.Grzegorz Siudem	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:	Ocena końcowa:
Prowadzący:		Podpis prowadzącego

Ćwiczenie 38. Doświadczenie Younga. Natężenie w obrazie dyfrakcyjno-interferencyjnym

1. Pomiar długości fali elektromagnetycznej interferometrem Michelsona

Jeżeli dwie fale o stałej w czasie różnicy faz nakładają się na siebie możemy zaobserwować zjawisko interferencji. W jego wyniku może dojść do wzmocnienia lub osłabienia natężenia fali w zależności od różnicy faz. Jeśli różnica dróg przebytych przez fale
, gdzie
to długość fali a m jest liczbą naturalną to otrzymamy wzmocnienie natężenia. Wykorzystując zjawisko interferencji możemy zmierzyć długość fali.

Celem naszych pomiarów będzie wyznaczenie długości fali elektromagnetycznej (lasera) przy użyciu interferometru Michelsona. Zasadę działania tego przyrządu objaśnia Rys. 1. Fala pada na półprzepuszczalne zwierciadło, dzięki czemu część wiązki dociera do zwierciadła Z₁, a część do zwierciadła Z₂. Kolejne wiązki odbijając się lub przechodząc przez zwierciadło P padają na ekran (dzięki kamerze obserwujemy obraz na monitorze komputera). Przez to, że zwierciadło Z₁ jest ruchome możemy manipulować różnicą dróg przebytych przez fale. Śruba mikrometryczna, która te zmiany umożliwia służy jednocześnie do zmierzenia „odległości pomiędzy kolejnymi wzmocnieniami”. Odczytujemy położenie x₁ od którego rozpoczynamy pomiar. Powoli przesuwamy śrubą, licząc kolejne wzmocnienia światła laserowego (przyjęliśmy 100 wzmocnień jako rozsądną ilość). Następnie mierzymy położenie końcowe x₂. Dokonujemy dwóch pomiarów. Wyniki zamieszczamy w Tabeli 1.

Rys. 1. Budowa interferometru Michelsona. E - ekran,

Z ₁, Z₂ - zwierciadła, P - zwierciadło półprzepuszczalne

L - laser

1		2
x1 [mm]	10	x1 [mm]	10,01
x2 [mm]	10,32	x2 [mm]	10,34
l [mm]	0,32	l [mm]	0,33
n	100	n	100
[nm]	640	[nm]	660

Tabela 1. Wyniki pomiarów Interferometrem Michelsona

Ze względu na to, że nie interesują nas położenia zwierciadła przy pierwszym i setnym wzmocnieniu, a jedynie różnica tych odległości, zapisujemy w tabeli wielkość l, której odpowiada wartości l=x₂-x₁. Ze względu na to, że śruba posiada 10-krotne przełożenie, a każde nasze przesunięcie powoduje dwukrotną zmianę (światło przebywa tę drogę dwukrotnie - przed odbiciem i po nim) wartość długości fali możemy wyznaczyć teraz korzystając ze wzoru

,

Otrzymujemy

. W dalszych rachunkach za wartość
przyjmiemy średnią arytmetyczną tych dwóch wartości (jak się później okaże zarówno
i
mieszczą się w granicach niepewności pomiarowej).

Szacujemy
- 0,2*2 wynika z przełożenia śruby i tego, że dokonujemy dwóch pomiarów x₁ x₂ , natomiast
(wartość najmniejszej podziałki). Ostatecznie

Ze względu na to, że mogliśmy popełnić pomyłkę przy zliczaniu wzmocnień szacujemy

Niepewność pomiaru szacujemy metodą różniczki logarytmicznej:

(W obliczeniach pojawia się wartość l, bez sprecyzowania którą z dwóch l z Tabeli 1. jest. Postąpiliśmy tak, gdyż obie wartości po zaokrągleniu dają ten sam wynik.)

Ostatecznie wyznaczona przez nas wartość długości fali światła laserowego wynosi

Podsumowanie i wnioski:

Otrzymaliśmy dobrą dokładność (3%), pomimo, że jest to maksymalny oszacowany przez nas błąd (zastosowana metoda różniczki logarytmicznej w tej postaci może grozić zbyt pesymistycznym oszacowaniem błędu, jednak pomimo to jego wartość jest przyzwoita). Poza tym wyznaczona przez nas długość fali światła czerwonego lasera jest zgodna z tablicową wartością długości fali światła czerwonego.

Głównym źródłem błędu jest pomiar długości. Aby go zminimalizować dokonaliśmy zliczenia 100 wzmocnień i zmierzyliśmy odległość pomiędzy nimi. Zwiększając liczbę zliczeń można ten błąd zredukować jeszcze bardziej.

Istotny wkład do niepewności miał też pomiar liczby wzmocnień. Głównie ze względu na fakt, że śruba, którą zmienialiśmy odległość nawet z uwzględnieniem przekładni jest zbyt czuła. Jej delikatne przesunięcie powoduje bardzo szybkie pojawienie się kolejnego wzmocnienia. Ciekawym rozwiązaniem byłoby zamontowanie dźwigni (metalowego pręta) prostopadłej do osi śruby. (Rysunek 2.) Umożliwiłoby to dużo precyzyjniejsze ustawienie śruby. Podobnie jak użycie do obracania śrubą silniczka elektrycznego o odpowiednio dobranej przekładni. Innym interesującym usprawnieniem tego układu pomiarowego byłaby próba napisania programu, który zliczałby ekstrema rejestrowane przez kamerę - wtedy wystarczyłyby jedynie dwa pomiary położenia, wartość n dostawalibyśmy jako wynik działania programu.

Policzoną w tym punkcie wartość długości fali światła laserowego będziemy wykorzystywać w kolejnych punktach wraz z niepewnością jej wyznaczenia.

Rysunek 2. Nasza propozycja usprawnienia śruby

przy interferometrze Michelsona

2. Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Ze zjawiskiem dyfrakcji mamy do czynienia gdy fala napotykając niewielkie (w stosunku do jej długości) przeszkody ugina się. Przykładem takiej przeszkody może być pojedyncza szczelina. Jeżeli w myślach podzielimy ową szczelinę na n części, to każda z nich stanie się źródłem nowej fali kulistej (zgodnie z zasadą Huygensa). Stosując analogiczny, jak dla siatki dyfrakcyjnej wzór na przybliżenie Fraunhofera (
, gdzie a - szerokość otworu,
- długość fali, l - odległość otworu od ekranu), otrzymamy (dla odległości od środków kolejnych wygaszeń):

Dla małych kątów funkcję sinus możemy przybliżyć funkcją tangens. Jeżeli zastosujemy oznaczenia z Rysunku 3. pamiętając jednocześnie o tym, że dla każdego pomiaru odległość środka wygaszenia liczymy jako średnią z pomiaru x_i i x_i' to otrzymamy następujący wzór:

Rysunek 3. Obraz dyfrakcyjny uzyskany na pojedynczej szczelinie S

Aby dokonać pomiaru szerokości szczeliny zmontujemy zestaw pomiarowy jak na Rysunku 4. Światło lasera padając na szczelinę daje obraz, który obserwujemy na ekranie. Następnie mierzymy wielkości l oraz x dla kolejnych minimów. Wyniki pomiarów zamieszczamy w Tabeli 2. Następnie zastępujemy szczelinę włosem studenta. Dokonujemy pomiarów ponownie, zamieszczamy ich wyniki w Tabeli 3.

(Wszystkie wyniki „primowane” podajemy z minusem, żeby podkreślić, że pomiarów dokonywaliśmy obustronnie)

Rysunek 4. Układ pomiarowy do badania dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

L - laser

Zarówno przy pomiarach grubości włosa jak i szerokości szczeliny przyjmujemy:

Niepewność wyznaczenia
policzymy metodą różniczki logarytmicznej:

Wartości
zamieszczamy w tabeli przy każdym z pomiarów.

nr	x [cm]	x' [cm]	x [cm]	a [ m]	[ m]
1	1,6	-1,3	1,5	71	7
2	3	-2,8	2,9	71	5
3	4,3	-4,1	4,2	74	4
l=159 cm

Tabela 2. Wyniki pomiaru szerokości szczeliny.

nr	x [cm]	x' [cm]	x [cm]	a [ m]	[ m]
1	1,2	-0,8	1	100	14
2	2,1	-1,8	2	100	9
3	3,1	-2,8	3	100	7
4	4,1	-3,7	3,9	100	7
5	5	-4,7	4,9	100	6
6	6,1	-5,8	6	100	5
l=165 cm

Tabela 3. Wyniki pomiaru grubości włosa.

Ostatecznie za wartość wyznaczonej szerokości szczeliny i grubości włosa przyjmujemy najdokładniej wyznaczone wartości (dla jak najdalszych minimów).

Szerokość szczeliny

Grubość włosa

Podsumowanie i wnioski:

Oba pomiary udało nam się wyznaczyć z dobrą dokładnością (każdy około 5%). W wypadku pomiaru włosa (jego dawca jest brunetem, włos miał kolor czarny) dodatkowym potwierdzeniem na słuszność naszych wyników są dane na temat średniej grubości czarnych włosów u ludzi rasy białej (dostępnych w Internecie, choćby w wikipedii), z którymi to wynikami nasze pomiary się zgadzają.

Głównym źródłem błędów w tym doświadczeniu były pomiary odległości (zarówno l jak i x), ze względu na trudność przy równoległym przyłożeniu linijki i braku jednoznaczności przy określaniu minimum nasze wyniki (zwłaszcza te dla 1. minimum) są obarczone dość dużym błędem.

Poważnym problemem przy pomiarach było zmierzenie położenia minimów - ciemność oraz rozciągłość minimum były tutaj istotnymi utrudnieniami.

Na wynik pomiaru wpływała też niepewność wyznaczenia długość fali światła laserowego (wyznaczona w punkcie 1.)

Ciekawym faktem jest, że dzięki temu zestawowi pomiarowemu udało nam się zmierzyć grubość ludzkiego włosa. Jest to największy atut tej metody pomiarowej (umożliwia mierzenie szczelin rzędu 10­^-7m), jednak nie oferuje ona nadzwyczajnej dokładności (dzięki pełnemu zaciemnieniu, które umożliwiło nam zbadanie dużej liczby minimów uzyskaliśmy przyzwoitą dokładność).

2. Siatka dyfrakcyjna.

Gdy fala natrafia na szczelinę o rozmiarze porównywalnym z jej długością fali zachodzi zjawisko dyfrakcji. W siatce dyfrakcyjnej wykorzystujemy ten efekt do otrzymania interferencji. Każda ze szczelin na powierzchni siatki staje się zgodnie z prawem Huyghensa źródłem nowej fali. Dzięki temu wszystkie otrzymane fale są spójne.

Oznaczmy przez d odległość pomiędzy środkami sąsiednich szczelin. Jeżeli czujnik mierzący natężenie otrzymanej fali znajduje się w dużej odległości od siatki dyfrakcyjnej, to m-te maksima natężenia powinniśmy otrzymywać dla kątów
spełniających zależność

gdzie
jest mierzony względem normalnej do powierzchni siatki dyfrakcyjnej, m jest pewną liczbą naturalną, d jest stałą siatki a
oznacza długość fali. Dzięki zastosowaniu tej metody możemy wyznaczyć stałą siatki dyfrakcyjnej znając długość fali użytej w doświadczeniu, którą wyznaczamy za pomocą interferometru Michelsona.

Z teoretycznego punktu widzenia nie ma istotnej różnicy pomiędzy sytuacją gdy światło ulega dyfrakcji po przejściu przez siatkę (siatka dyfrakcyjna transmisyjna) czy po odbiciu od jej powierzchni (siatka dyfrakcyjna odbiciowa). W naszym doświadczeniu zastosujemy więc oba typy siatek.

Dla pomiaru stałej siatki transmisyjnej umieszczamy ją na uchwytach pomiędzy źródłem światła laserowego a ekranem, na którym możemy zaobserwować prążki dyfrakcyjne. Mierząc ich położenie na skali z podziałką milimetrową oraz odległość pomiędzy siatką a ekranem możemy wyznaczyć wartość
. Ponieważ mierzone kąty są małe dla uproszczenia stosujemy dobrze spełnione przybliżenie
.

Rysunek 5. Układ pomiarowy do pomiaru stałej d siatki transmisyjnej

L - laser, SD - siatka dyfrakcyjna, E - ekran

Oznaczmy przez
i
odpowiednio odległość prawego i lewego prążka i-tego rzędu od zera na skali na ekranie, przy czym wartości primowane będziemy oznaczać liczbami ujemnymi. Bierzemy pod uwagę współrzędne obu maksimów, by wyeliminować błąd położenia zera skali. Jeśli l oznacza odległość ekranu od siatki to

W doświadczeniu zmierzyliśmy stałe siatki z zestawu laboratoryjnego oraz przeźroczystej płyty CD, która dzięki porównywalnej z długością fali światła odległości pomiędzy ścieżkami również wywołuje dyfrakcję światła, przy czym wartość d jest odległością pomiędzy kolejnymi ścieżkami płyty.

Dla siatki transmisyjnej przeprowadziliśmy pomiary w orientacji pionowej oraz poziomej, by sprawdzić, czy wartość d zależy od orientacji. Wyniki pomiarów zamieszczono w tabelce:

Tabela 5. Siatka transmisyjna, orientacja pozioma
i	[cm]	[cm]
1	4,4	-4,3
2	8,7	-8,6
l = 166 cm

Tabela 4. Siatka transmisyjna, orientacja pionowa
i	[cm]	[cm]
1	4,2	-4,5
2	8,5	-8,9
l = 166 cm

Tabela 6. Przeźroczysta płyta CD
i	[cm]	[cm]
1	24,7	23,8
l = 55 cm

Dla przeźroczystej płyty CD nie możemy już zastosować przybliżenia
. Odpowiedni wzór przyjmie w tym przypadku postać
.

Zastosowaliśmy również alternatywną metodę pomiaru, dzięki której mogliśmy odczytać bezpośrednio położenia kątowe prążków dyfrakcyjnych. Pomiarów dokonywaliśmy za pomocą obrotowego ramienia przymocowanego do uchwytu, na którym spoczywała siatka. Na końcu ramienia znajdował się pręt, na którym w pewnych położeniach były widoczne prążki dyfrakcyjne. Ich położenie kątowe mogliśmy odczytać na kątomierzu znajdującym się pod ramieniem. By wyeliminować możliwość niezgodności zera na skali z położeniem maksimum zerowego rzędu zmierzyliśmy położenia maksimów po obu stronach skali, przy czym kąty odpowiadające lewym prążkom i-tego rzędu,
, oznaczamy liczbą ujemną. Zatem

Tabela 7. Przeźroczysta płyta CD
i	[stopnie]	[stopnie]
1	34	-17
2	51	-52

Przy pomiarze stałej siatki odbiciowej oświetlamy ją światłem lasera, które ulega odbiciu oraz dyfrakcji na jej powierzchni. Pomiaru kątów
dokonujemy za pomocą obrotowego ramienia opisanego w poprzednim podpunkcie.

Rysunek 6. Układ pomiarowy do pomiaru stałej d siatki odbiciowej

CD - płyta CD, L - laser

W tym przypadku można by również zastosować ekran, jednak odległość pomiędzy nim a powierzchnią siatki jest teraz mała i nie możemy już stosować przybliżenia małych kątów. Ponadto płyta CD jest teraz obrócona względem ekranu, co niezwykle komplikuje obliczenia. Jako siatki odbiciowe zastosowaliśmy płyty CD oraz DVD.

Tabela 8. Płyta CD
i	[stopnie]	[stopnie]
1	23	-28
2	54	-65

Tabela 9. Płyta DVD
i	[stopnie]	[stopnie]
1	68	-58

W przypadku płyty DVD udało się nam uchwycić jedynie prążki dyfrakcyjne pierwszego rzędu.

Znając wartość d dla płyt DVD oraz CD możemy wyznaczyć ilość ścieżek s na tych płytach, zakładając, że są rozmieszczone równomierne. Jeżeli
i
są odpowiednio wewnętrzną i zewnętrzną średnicą tej części płyty, na której mogą być umieszczone dane (poznajemy to po efektach dyfrakcyjnych widocznych gołym okiem na jej powierzchni w postaci tęczowych kolorów), to

	Płyta CD	Płyta DVD
[cm]	1,3	1,5
[cm]	5,25	5,27

Tabela 10. Wyniki pomiarów średnicy płyt CD oraz DVD

Wyniki i analiza błędów pomiarowych

Błąd pomiaru
i
mierzonych na ekranie na skali z podziałką milimetrową wynosi

Wartość l mierzono linijką z podziałką milimetrową, jednak z uwagi na trudność pomiaru ustaliliśmy błąd
.

Wartość
została wyliczona w części sprawozdania poświęconej pomiarowi
.

Ponieważ
, więc
.

Ze wzoru
i metody pochodnej logarytmicznej otrzymujemy

Dla siatki transmisyjnej w orientacji pionowej dla prążków pierwszego rzędu:

a w orientacji poziomej

Dla siatki transmisyjnej w orientacji pionowej dla prążków drugiego rzędu:

a w orientacji poziomej

Otrzymaliśmy bardzo dobrą zgodność wyników pomiarów. Świadczy to o tym, że stała badanej siatki była równa dla orientacji poziomej i pionowej. Na błąd pomiaru największy wpływ ma błąd względny
. Dla zwiększenia dokładności należałoby oddalić ekran od siatki by zwiększyć mierzone odległości
zmniejszając tym samym błąd względny. Niestety, przy użytym ekranie prążki drugiego rzędu przy oddaleniu wychodziłyby już poza jego powierzchnię.

Ze wzoru
w przypadku przeźroczystej płyty CD po zastosowaniu metody różniczki zupełnej dostaniemy
,
,
i ostatecznie

Ze wzoru
i metody pochodnej logarytmicznej otrzymamy

Zatem

Kąty
mierzymy kątomierzem z dokładnością
radiana, zatem
.

Ze wzoru
otrzymujemy
.

By oszacować błąd pomiarowy używamy metody różniczki zupełnej. Mamy
, więc
. Ponieważ
,
, więc ostatecznie

Dla prążków pierwszego rzędu przeźroczystej płyty CD

Dla prążków drugiego rzędu przeźroczystej płyty CD

Dla prążków pierwszego rzędu płyty CD

Dla prążków drugiego rzędu płyty CD

Dla prążków pierwszego rzędu płyty DVD

Widać dość duże rozbieżności pomiędzy wynikami. Są one spowodowane niespełnieniem założeń, które przyjęliśmy przy wyprowadzaniu wzoru. Ramię do pomiaru kątów jest zdecydowanie za krótkie, by spełnione było niezwykle istotne przybliżenie równoległości promieni wychodzących ze szczelin. Dla zwiększenia dokładności należałoby je wielokrotnie wydłużyć. Widać też, że większą dokładność uzyskujemy dla prążków wyższego rzędu, gdyż wtedy błąd względny pomiaru kąta jest mniejszy. Porównując wartości błędów względnych widzimy, że najdokładniejszy jest pomiar dla prążków drugiego rzędu płyty CD.

Błąd pomiaru
, które mierzymy za pomocą suwmiarki oceniamy na
z powodu niedokładności związanych z przyłożeniem suwmiarki.

Ponieważ
z metody pochodnej logarytmicznej dostaniemy

Do obliczenia ilości szczelin w przypadku płyt CD wybieramy pomiar, w którym osiągnięto największą dokładność względną czyli dla prążków drugiego rzędu płyty CD.

Ilość szczelin obliczona dla prążków drugiego rzędu płyty CD

Ilość szczelin obliczona dla prążków pierwszego rzędu płyty DVD

Błąd obliczenia ilości szczelin zależy od wszystkich wyznaczonych wcześniej błędów. Metody ich minimalizacji zostały opisane we wcześniejszej części sprawozdania.

Zespół numer 2

Mellem Krzysztof Ćwiczenie 38.Doświadczenie Younga. Natężenie Politechnika Warszawska

Siudem Grzegorz w obrazie dyfrakcyjno-interferecyjnym. Wydział Fizyki

1

---