1Równanie różnicowe: y(k)=2u(k)-3u(k-1)-5u(k-2)+7u(k-3)+4u(k-4)

Transmitancja: y(z)= 2u(z)z^0 - 3u(z)z^-1 - 5u(z)z^-2 + 7u(z)z^-3 + 4u(z)z^-4

H(z)=y(z)/u(z)= 2 - 3z^-1 - 5z^-2 + 7z^-3 + 4z^-4 (postać do odpowiedzi impulsowej)

H(z)=2 - 3/z - 5/z^2 +7/z^3 + 4/z^4

H(z)=(2z^4 - 3z^3 - 5z^2 +7z +4)/z^4 (postać potrzebna do obliczenia stabilności)

Stabilność zależy od miejsc zerowych mianownika, w naszym przypadku z^4=0, czyli mamy 4 bieguny w 0, na tej podstawie możemy stwierdzić że jest to układ stabilny SOI.

Odpowiedz impulsowa: h0(K)= z^-1 {H(z)} h0(K)= y(k)=2σ(k)-3σ(k-1)-5σ(k-2)+7 σ(k-3)+ σ(k-4)

Charakterystyka częstotliwościowa

H(z)= 2 - 3z^-1 - 5z^-2 + 7z^-3 + 4z^-4

Przechodzimy na charakterystykę częstotliwościową z= e^j 

H(z)= 2 - 3 e^-j - 5 e^-2j + 7 e^-3j + 4e^-4j

H(z)= 2 - 3 e^-j - 5 e^-2j + 7 e^-3j + 4e^-4j

H(z)= 2 - 3(cos - jsin- 5(cos2 - jsin2 + 7(cos3 - jsin3 + 4(cos4 - jsin4

Charakterystyka Amplitudowa jest to moduł z H(): |H()|=sqrt((2 - 3cos - 5cos2 + 7cos3 + 4cos4^2 + (2+3jsin+5sin2- 7sin3 - 4sin4^2)

Charakterystyka fazowa =arctg im/Re =arctg((2 - 3cos - 5cos2 + 7cos3 + 4cos4/(2+3jsin+5sin2- 7sin3 - 4sin4)

Odpowiedź na pobudzenie ciągiem impulsów:

U(0)=1; U(1)=-1; U(2)=1; U(3)=0; U(4)=0; z odpowiedzi impulsowej: h0(0)=2; h0(1)=-3; h0(2)=-5; h0(3)=7; h0(4)=4; y(k)=h0(k)*u(k)

Y[0] h0 0 0 0 0 u(0)

Y[1] h1 h0 0 0 0 u(0)

Y[2] = h2 h1 h2 0 0 * u(0)

Y[3] h3 h2 h1 h0 0 u(0)

Y[4] h4 h3 h2 h1 h0 u(0)

y(0)=2; y(1)=-3-2=-5; y(2)=-5+3+2=0; y(3)=7+5-3=9; y(4)=4-7-5=-8; teraz powyższe dane przenosimy na wykres:

Schemat blokowy układu:

2.Przykład:

y(k + 2) + c₁ y(k + 1) + c₀ y(k) = b₂ u(k + 2+) + b₁ u(k + 1) + b₀ u(k)

y(k + 1) = D{ y(k + 2)} = b₂ u(k + 1) + b₁ u(k) + c₁ y(k) + D { b₀ u(k) - c₀ y(k) }

y(k) = b₂ u(k) + D { b₁ u(k) - c₁ y(k)} + D{ b₀ u(k) - c₀ y(k) }

struktura:

Zamiana na równania stanów:

x₁(k) = D { x₂(k) + b₁ u(k) - c₁ y(k) }

x₂(k) = D { b₀ u(k) - c₀ y(k) }

y(k) = x₁(k) + b₂ u(k)

x₁ (k + 1) = - c₁ x₁ (k) + x₂(k) + (b₁ - b₂ c₁) u(k)

x₂(k + 1) = - c₀ x₁(k) + (b₀ - b₂ c₀) u(k)

y(k) = x₁(k) + b₂ u(k)

-c₁ 1 b₁ - b₂ c₁

A = B = C = [ 1 , 0 ] D = b₂

-c₀ 0 b₀ - b₂ c₀

Jeżeli zadane jest wejście-wyjście lub równanie stanu , można zbudować maszynę realizującą daną funkcję w dziedzinie czasu.

Rozwiązywanie równań stanu w dziedzinie czasu.

x(k + 1) = A x(k) + B u(k)

y(k) = C x(x) + D u(k)

Zadane: x(0) , { u(k) } , V_k = 0(1)

x(1) = A x(0) + B u(0)

x(2) = A x(1) + B u(1) = A [A x(0) + B u(0)] + B u(1)

x(k) = A^k x(0) + ∑ A^χ B u(k - χ - 1)

wektor stanu w dowolnej chwili k startując od k = 0

wtedy odpowiedz układu:

y(k) = C A^k x(0) + C ∑ A^χ B u (k - χ - 1) + D u(k)

Wyznaczanie odpowiedzi impulsowej. pobudzenie impulsem:

x(0) = 0 ; u (k) = γ₀ (k)

x (k) = A^{k - 1}B ; k = 1(1) ∞

h₀(k) = C x(k) = C A^{k - 1} B ; k = 1(1)∞

h₀(0) = D

Pobudzenie spróbkowanym w czasie przebiegiem harmonicznym.

u (k) = U z^k k ∈ ( - ∞ , ∞ ) k ∈ C

U - liczba zespolona ; ustalona z - zmienna liczba zespolona z = e ^sT

tj. U (k) = U e^{s k T}

dla s = jω

u (k) = U e^{j ω k T} = U e ^{j ω t}

t = k

ciąg jest spróbkowany ciągiem harmonicznym

u (k) = U z^k y(k) = Y (z) z^k

przewidujemy taką odpowiedz dla takiego pobudzenia.

Np. y(k + 2) + c₁ y (k+1) + c₀ y(k) = b₂ u(k+2) + b₁ u(k+1) + b₀ u(k)

Y (z) z^{k + 2} + c₁ Y(z) z ^{k + 1} + c₀ Y (z) z^k = b₂ U z^{k + 2} + b₀ U z^k

Jeżeli powyższe równanie ma być spełnione dla każdego k :

b₂ z² + b₁ z + b₀

Y (z) = U

z² + c₁ z + c₀

Na wyjściu mamy taki sam ciąg jak na wejściu, ale jego amplitudy są określone przez (stosunek) transmitancji układu H(z) dla każdego z. z związane z s zależnością: z = e ^{s t}

Stabilność: M(z)= z^2 +b1z+b0; równanie charakterystyczne, =b1^2 - 4b0 sqrt  =sqrt(b1^2 +b0^2); z1=(-b1 + sqrt(b1^2 +b0^2))/2; z2=(-b1 - sqrt(b1^2 +b0^2))/2; układ stabilny dla: -z<-b1 + sqrt(b1^2 +b0^2>z i dla -z<-b1 - sqrt(b1^2 +b0^2>z;

---