12. Fale elektromagnetyczne

Zajmiemy się teraz podstawami teoretycznymi, powstawaniem i strukturą fali elektro-magnetycznej oraz własnościami falowymi i korpuskularnymi światła.

12.1. Równania Maxwella

W rozdziałach dotyczących pola elektrycznego i magnetycznego poznaliśmy kilka praw rządzących tymi polami w przypadku ich niezmienności w czasie (nieruchome ładunki w polu elektrostatycznym i stały prąd lub strumień indukcji magnetycznej w stałym polu magnetycznym) jak i przy zmianach w czasie (reguła Lenza). Przypomnimy je teraz w nieco innej formie i zestawimy w postaci tzw. równań Maxwella.

Zaczniemy od strumienia indukcji elektrostatycznej , który definiujemy:

lub

i który dla powierzchni zamkniętej jest równy całkowitemu ładunkowi Q zawartemu wewnątrz tej powierzchni.

Φ_{e, pow,zam} = Q

Powyższe równanie stanowi treść prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego. Można go również skomentować w ten sposób, że źródłem pola elektrostatycznego jest ładunek (pole elektrostatyczne jest źródłowe).

Przejdźmy teraz do stałego pola magnetycznego. Wiemy, że w polu tym dla dowolnej powierzchni zamkniętej tyle samo linii tego pola wchodzi do obszaru ograniczonego tą powierzchnią ile z niej wychodzi. Dzieje się tak dlatego, że linie tego pola są zamknięte. Ponieważ strumień pola interpretujemy jako ilość linii przechodzących przez powierzchnię z odpowiednim znakiem (+ dla linii wychodzących z obszaru ograniczonego tą powierzchnią i - dla wchodzących do niego) dlatego dla powierzchni zamkniętej strumień indukcji magnetycznej jest równy 0.

lub

Również to równanie możemy skomentować następująco: stałe pole magnetyczne nie jest źródłowe lecz jest wirowe (zamknięte linie pola magnetycznego).

Powyższe równania stanowią treść III i IV równania Maxwella.

Przejdźmy teraz do dwóch następnych. Przypomnijmy sobie regułę Lenza. Mówiła ona, że zmiany strumienia indukcji magnetycznej powodują powstawanie wirowego pola elektrycznego o natężeniu . Wiry tego pola elektrycznego wiążą się z powstawaniem siły elektromotorycznej .

lub

Iloczyn skalarny za znakiem sumy oznacza cząstkową siłę elektromotoryczną powstającą na fragmencie krzywej zamkniętej c obejmującej powierzchnię, po której liczymy strumień indukcji magnetycznej. Prawa strona równania oznacza ujemną pochodną po czasie z tego strumienia. Wzór ten stanowi treść kolejnego równania Maxwella (przy braku stałych sił elektromotorycznych) i można go interpretować podobnie jak regułę Lenza.

Następne równanie Maxwella wiąże się z powstawaniem wirów pola magnetycznego (człon w nawiasie w poniższym wzorze) wokół powierzchni przez którą przepływają prądy I.

lub

Oprócz przepływających prądów uwzględniono w powyższym wzorze tzw. prąd przesunięcia I_przes, który związany jest ze zmiennym strumieniem pola elektrycznego i obliczamy go z wzoru:

.

Poniższe równania wiążą wektory indukcji z wektorami natężenia odpowiednich pól oraz wektor gęstości prądu z wektorem natężenia pola elektrycznego (odpowiednik prawa Ohma).

Równania Maxwella

całkowo różniczkowo

prawo Gaussa dla pola elektrycznego

prawo Gaussa dla pola magnetycznego

prawo Faraday'a

uogólnione prawo Ampere'a

Równania te stanowią podstawę zrozumienia, powstawania i rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Napiszmy jeszcze raz równania związane ze zmiennym polem elektrycznym i magnetycznym dla próżni (brak ładunków i prądów). Wprowadzimy w tym celu pojęcie rotacji informującej o krążeniu wektora danej wielkości fizycznej (całka po krzywej zamkniętej z
lub
) przypadającym na jednostkę powierzchni.

12.2. Powstawanie i widmo fal elektromagnetycznych

Z powyższych równań wynika, że zmienne pole elektryczne powoduje powstawanie wirowego, zmiennego pola elektrycznego a to z kolei powstawanie wirowego, zmiennego pola elektrycznego itd. Rozpatrzmy teraz zachowanie tych pól wokół drgającego dipola elektrycznego (rysunek 84).

Rys. 84 Powstawanie fali elektromagnetycznej

Z rysunku widać, że powstające wiry pól leżą w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych a wektory i drgają prostopadle do kierunku propagacji (rozchodzenia się) fali . Wersory tych trzech kierunków tworzą trójkę prawoskrętną:

Układ zmieniających się wektorów w strukturze fali elektromagnetycznej przedstawia rysunek 85.

Rys. 85 Struktura fali elektromagnetycznej

Płaszczyznę wyznaczoną przez kierunek drgań wektora pola elektrycznego i kierunek propagacji fali nazywamy płaszczyzną drgań fali elektromagnetycznej. Płaszczyznę wyznaczoną przez kierunek drgań wektora pola magnetycznego i kierunek propagacji fali nazywamy płaszczyzną polaryzacji fali elektromagnetycznej. Zwróćmy uwagę, że ta ostatnia jest prostopadła do kierunku drgań wektora elektrycznego.

Zaznaczona na rysunku długość fali λ wiąże się z prędkością rozchodzenia się fali elektromagnetycznej v i okresem drgań źródła T wzorem:

λ = v T .

Informacja a więc i energia pola elektromagnetycznego są przenoszone w postaci paczek fal elektromagnetycznych zwanych też kwantami promieniowania elektromagnetycznego lub fotonami. Paczki te powstają w wyniku nałożenia się na siebie ciągu fal o częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej f (). Obiekt ten zajmuje niewielki obszar i może poruszać się w przestrzeni z prędkością nie przekraczającą prędkości światła w próżni c. Przenosi on energię E równą:

E = h f ,

gdzie h = 6,625⋅10^-34 J⋅s jest tzw. stałą Plancka.

Promieniowanie elektromagnetyczne (rysunek 86) ze względu na długości fal lub częstotliwości pogrupowano w przedziały różniące się własnościami i zastosowaniami. Grupę fal radiowych o największych długościach fal podzielono na zakresy fal długich, średnich i ultrakrótkich. Najbardziej znanym ich zastosowaniem jest komunikacja radiowa, telewizyjna i „komórkowa”. Pochłanianie tych fal rośnie ze wzrostem ich częstotliwości. W zakresie długości fal 10^-3-10^-1m znajdują się mikrofale wykorzystywane w technice grzewczej (kuchenki mikrofalowe), defektoskopii i radiolokacji. Następny zakresy fal z promieniowania słonecznego przepuszczane przez atmosferę: to promieniowanie podczerwone (ogrzewanie), światło widzialne (zmysł wzroku u zwierząt, fotosynteza u roślin), promieniowanie ultrafioletowe (szkodliwe dla tkanek). Kolejne przedziały fal elektromagnetycznych, ujawniające w niektórych zjawiskach własności korpuskularne, to promienie Roentgena i promieniowanie
. Pierwsze z nich wykorzystano w diagnostyce medycznej i analizie fazowej ciał krystalicznych. Promieniowanie
jako najbardziej energetyczne prowadzi do rozpadu wiązań chemicznych i jako promieniowanie jonizujące jest jednym z najbardziej szkodliwych czynników niszczących organizmy żywe.

Rys. 86 Widmo fal elektromagnetycznych

12.3. Dualizm falowo-korpuskularny

Światło składające się z fotonów (paczek fal elektromagnetycznych) zachowuje się w zależności od częstotliwości jak fala lub jak korpuskuła (cząstka materialna posiadająca masę spoczynkową). Własności falowe światła ujawniają się w takich zjawiskach fizycznych jak: ugięcie i interferencja, polaryzacja, zjawisko Dopplera oraz przy anihilacji par cząstek elementarnych. Własności korpuskularne światła ujawniają się w widocznej zmianie jego kierunku propagacji w pobliżu wielkich mas (oddziaływanie grawitacyjne) oraz w zjawiskach: fotoelektrycznym, Comptona i przy kreacji par cząstek elementarnych. Prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska korpuskularnego (przy spełnieniu określonych warunków) rośnie ze wzrostem energii fotonu (częstotliwości). Również typowe cząstki obdarzone masą spoczynkową mogą wykazywać własności falowe. Na przykład wiązka elektronów po przejściu przez cienką folię metalową daje obraz interferencyjny.

12.3.1. Zjawiska falowe

polaryzacja

Fale elektromagnetyczne, jako fale poprzeczne ulegają polaryzacji. Zjawisko to polega na wyróżnieniu kierunku drgań wektora elektrycznego w wiązce światła o różnych kierunkach tych drgań. Przyrządy polaryzujące wiązkę światła nazywamy polaryzatorami. Działanie tych przyrządów oparte jest na takich zjawiska jak: anizotropia (niejednakowe własności w różnych kierunkach) pochłaniania, anizotropia odbicia i załamania, dwójłomność w kryształach. Do badania wiązki spolaryzowanej używa się drugiego polaryzatora, który ze względu na pełnioną funkcję nazywany jest analizatorem.

Rys. 87 Polarymetr

Jeśli między polaryzator i analizator wstawimy substancję czynną optycznie, która może skręcić płaszczyznę polaryzacji o pewien kąt α to otrzymamy urządzenie zwane polarymetrem (rysunek 87). Może on służyć np. do wyznaczania stężenia roztworu cukru. Skręcenie płaszczyzny polaryzacji α dla ciał stałych i roztworów zależy od grubości warstwy d, skręcalności właściwej „w” (czyli od rodzaju substancji), od temperatury i wykorzystywanej długości fali świetlnej. W przypadku roztworu zależy też od jego stężenia s.

α = w ⋅s ⋅ d

Dla światła monochromatycznego przy obrocie analizatora o kąt α (bez substancji skręcających płaszczyznę polaryzacji) otrzymamy składową:

E_ = E₀ ⋅ cosα .

Ponieważ energia przenoszona przez fale elektromagnetyczne (jasność) jest proporcjonalna do kwadratu E stąd wzór na intensywność wiązki po przejściu przez analizator:

I_ = I₀ ⋅ cos²α .

interferencja

Fale elektromagnetyczne, podobnie jak mechaniczne, ulegają ugięciu na niejednorodnościach środowiska (patrz odbicie i załamanie światła), superpozycji i interferencji. Superpozycja polega na wektorowym nakładaniu się natężeń pól elektrycznych. Z interferencją mamy do czynienia gdy nakładające się fale są spójne (koherentne) tzn. gdy mają tą samą częstotliwość.

Warunkiem uzyskania stabilnego obrazu interferencyjnego jest stałość różnicy faz drgań dochodzących do danego punktu z dwóch źródeł Z₁ i Z₂.

Jak wykazano w rozdziale 6 dla uzyskania interferencji wystarczająca jest równość częstotliwości drgań źródeł.

zjawisko Dopplera

Zjawisko to, podobnie jak w akustyce, powoduje zmianę rejestrowanej częstotliwości światła przy względnym ruchu źródła światła i obserwatora. Uwzględniając efekt relatywistyczny dla oznaczeń jak na rysunku:

Rys. 88 Zjawisko Dopplera

otrzymujemy:

,

gdzie ω oznacza częstość odbieraną, ω₀ częstość wysyłaną przez źródło poruszające się z prędkością v w układzie obserwatora i pod kątem Θ względem kierunku obserwacji.

Rys.89 Zjawisko Dopplera w akustyce

Na rysunku 89 u₁ i u₂ oznaczają odpowiednio prędkość źródła fal akustycznych i obserwatora, ₁ i ₂ odpowiednie kąty do tych prędkości liczone od kierunku obserwacji. dpowiedni wzór na częstotliwość f rejestrowaną przez obserwatora ma postać:

,

gdzie v oznacza wartość prędkości dźwięku.

12.3.2. Zjawiska korpuskularne

zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z powierzchni metalowej pod wpływem padającego promieniowania elektromagnetycznego. Energia padającego fotonu jest zużywana na pracę wyjścia W elektronu z powierzchni i nadanie mu energii kinetycznej E. Konsekwencją zasady zachowania energii jest tu równanie Einsteina:

hν = W + .

Fotokomórkę i jej charakterystykę prądowo-napięciową z oświetloną katodą przedstawiają rysunki 89 i90.

Rys. 90 Fotokomórka i wykres zależności I(U)

Widać z wykresu I(U), że nawet bez przyłożenia zewnętrznego napięcia U między katodą i anodą płynie prąd elektryczny spowodowany wybijanymi fotoelektronami. Dodatnie spolaryzowanie elektrod zwiększa wartość natężenia prądu aż do nasycenia, przy którym wszystkie fotoelektrony dochodzą do anody. Dalszy wzrost natężenia prądu jest ograniczony ilością nośników prądu elektrycznego. Aby zwiększyć wartość I_n należałoby zwiększyć natężenie oświetlenia katody co spowodowałoby zwiększenie ilości fotoelektronów. Wyzerowanie wartości natężenia fotoprądu możliwe jest po przyłożeniu do elektrod przeciwnie skierowanego zewnętrznego napięcia -U₀, którego praca skompensuje maksymalną energię kinetyczną fotoelektronów. Otrzymamy wówczas równanie:

hν = W + eU₀.

Równanie to można wykorzystać do wyznaczenia stosunku e/h. Potrzebne są do tego przynajmniej dwa filtry przepuszczające światło o częstotliwości odpowiednio ν₁ i ν₂, fotokomórka, zasilacz, woltomierz i amperomierz. Proponuję czytelnikowi zaprojektowanie tego doświadczenia i wyprowadzenie odpowiedniego wzoru.

zjawisko Comptona

Polega ono na rozpraszaniu fotonu na spoczywającym elektronie lub innym obiekcie. Zjawisko to z zaznaczonymi pędami przedstawia rysunek 91.

Rys. 91 Zjawisko Comptona

Po uwzględnieniu zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii otrzymujemy:

Δλ = λ' - λ = 2 λ_C sin ² = 2 sin ² .

Tak więc rejestrowana zmiana długości fali Δλ rośnie ze wzrostem kąta rozproszenia fotonu i maleje ze wzrostem masy centrum rozpraszającego.

kreacja i anihilacja par

Zjawisko kreacji polega na zniknięciu wysokoenergetycznego fotonu i powstaniu pary elektron - pozyton. Zjawisko odwrotne (anihilacja) polega na zniknięciu pary elektron - pozyton przy ich zderzeniu i powstaniu pary fotonów gamma. W obu zjawiskach spełnione są zasady zachowania pędu, energii i ładunku elektrycznego. Minimalna wartość energii fotonu z którego powstaje para elektron pozyton wynosi 2m_ec² (m_e - masa spoczynkowa elektronu).

12.4. Światło jako fala prawdopodobieństwa

Patrząc na wzór Plancka (E=hf=hc/) rodzi się podstawowa wątpliwość. We wzorze tym występuje typowa wielkość falowa - długość fali  trudno przyjąć, że foton jest falą rozciągającą się w nieskończoność. Wątpliwości te związane są z analizą doświadczenia Younga.

Rys.92 Doświadczenie Younga

Płaska wiązka światła po przejściu przez obie szczeliny daje na ekranie miejsca o większej lub mniejszej jasności (pominięto różnicę wysokości pików). Gdybyśmy przesuwali wzdłuż ekranu rejestrator fotonów to uzyskalibyśmy przypadkowy rozkład, który z czasem zacząłby przypominać rozkład jak na rysunku 92. Wynika stąd, że falę o długości  stowarzyszoną z fotonami powinniśmy potraktować jako falę prawdopodobieństwa determinującą „przypadkowe” zachowanie fotonów. Prawdopodobieństwo to (przypadające na jednostkę czasu i objętości) jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy wektora pola elektrycznego w danym punkcie.

Wersja jednofotonowa powyższego doświadczenia polega na stosowaniu w powyższym doświadczeniu bardzo słabej wiązki światła. Możemy wówczas przyjąć, że pojedyncze fotony emitowane są niejednocześnie (jeden za drugim). Okazuje się, że również wówczas otrzymujemy po pewnym czasie taki sam obraz. Powstają pytania: skąd foton „wie” przez którą szczelinę ma się poruszać i skąd pojedynczy foton „wie” o istnieniu obu szczelin i czy może on przechodzić przez obie jednocześnie? Ponieważ o istnieniu fotonu dowiadujemy się w procesie oddziaływania z materią (nikt nie widział wędrującego fotonu) dlatego można przyjąć, że jest to energia zdeponowana w przestrzeni znikająca w procesie absorpcji przez materię i sterowana przez falę prawdopodobieństwa stowarzyszoną z tą energią.

Podobne doświadczenie można przeprowadzić zastępując fotony elektronami (korpuskuły). W tym przypadku korpuskule przyporządkowujemy falę materii o długości =h/p (p-pęd cząstki) zwaną długością fali de Broglie'a. Fala materii opisywana jest przez funkcję falową występującą w równaniu Schroedingera. Kwadrat jej amplitudy pełni rolę gęstości prawdopodobieństwa wykorzystywanej do wyznaczenia prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pewnym przedziale czasu w pewnym otoczeniu punktu.

---