Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa), każde z nich może zastosować jedną z trzech strategii marketingowych. Strategie przedsiębiorstwa A to A1, A2 i A3, a strategie przedsiębiorstwa B to B1, B2 i B3.

W poniższej tablicy podano wzrost udziału w rynku (w %) przedsiębiorstwa A (spadek udziału przedsiębiorstwa B) w zależności od decyzji podjętych przez przedsiębiorstwa.

		Strategie przedsiębiorstwa B
				B1	B2	B3
Strategie przedsiębiorstwa A	A1	3	-3	7
		A2	-1	5	2
		A3	0	-4	4

Znaleźć optymalne strategie marketingowe dla obu przedsiębiorstw.

Rozwiązanie

Rozwiązywanie każdej gry rozpoczynamy od sprawdzenia, czy istnieje punkt siodłowy gry. Poszukiwanie punktu siodłowego przedstawiono w poniższej tabeli:

		Strategie przedsiębiorstwa B
				B1	B2	B3	Najmniejsze wartości w wierszach Min a­ij
Strategie przedsiębiorstwa A	A1	3	-3	7	-3
		A2	-1	5	2	-1 VA Max (Min a­ij)
		A3	0	-4	4	-4
	Największe wartości w kolumnach Max a­ij	3 VB = Min (Max a­ij)	5	7

W tym przypadku V_A = max{min a_ij} = -1, natomiast V_B = min{max a_ij}= 3.

V_A = -1 jest nazywane dolną granicą gry, natomiast V_B = 3 górną granicą gry.

Ponieważ V_A ≠ V_B., więc gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych. Dla każdego gracza należy określić strategie mieszane. Strategia mieszana jest kombinacją strategii czystych stosowanych z odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Optymalną strategię mieszaną gracza A można zapisać:
, a optymalną strategię mieszaną gracza B:
, gdzie p₁, p₂, p₃ to prawdopodobieństwa (częstości) stosowania przez gracza A jego strategii (oczywiście 0 ≤ p_i ≤ 1, ∑p_i = 1), a q₁, q₂, q₃ to prawdopodobieństwa stosowania przez gracza B jego strategii (0 ≤ q_i ≤ 1,
∑q_i = 1). Naszym zadaniem jest określenie tych prawdopodobieństw oraz wartości gry v.

Po określeniu strategii mieszanych wartości gry będzie należeć do przedziału określonego przez dolną wartość gry (V_A) i górną wartość gry (V_B), a więc w tym wypadku v
(-1; 3).

Przed przystąpieniem do wyznaczania strategii mieszanych należy (jeżeli to możliwe) zredukować macierz wypłat (zmniejszyć jej rozmiary) przez wykreślenie tzw. strategii zdominowanych (strategii jawnie niekorzystnych dla każdego z graczy) Porównajmy na początek trzy strategie gracza A1, A2 i A3 (parami).

		Strategie przedsiębiorstwa B
				B1	B2	B3
Strategie przedsiębiorstwa A	A1	3	-3	7
		A2	-1	5	2
		A3	0	-4	4

Jak łatwo zauważyć, strategia A3 daje w każdym przypadku niższe wygrane niż A1. Gracz A nie powinien nigdy stosować strategii A3 (jest to strategia zdominowana przez A1).

Porównajmy również parami strategie gracza B: B1, B2 i B3. Strategia B3 daje zawsze większe przegrane niż strategia B1. Gracz B nie będzie więc używa! w czasie gry strategii B3 (jest to strategia zdominowana przez B1). Po wykreśleniu strategii zdominowanych otrzymamy nową macierz gry.

		Strategie przedsiębiorstwa B
		B1	B2	B3	Min a­ij
Strategie przedsiębiorstwa A	A1	3	-3	7	-3	p1
		A2	-1	5	2	-1	p2
		A3	0	-4	4	-4	p3 = 0
		3	5	7
		q1	q2	q3 = 0

Każdy z graczy powinien więc stosować tylko dwie strategie:

gracz A strategię A, z częstością p₁ i strategię A2 z częstością p₂ ( p₃ = 0);

gracz B będzie stosował strategię B1 z częstością q₁ i B2 z częstością q₂ (q₃ = 0).

Wygrana gracza A, oznaczona przez V_A, w przypadku gdy gracz B będzie stosował strategię B1 wyniesie:

V_A = 3p­­_1­­ - p ₂

natomiast gdy B będzie stosował strategię B2, wygrana gracza A wyniesie:

V_A = -3p­­_1­­ + 5p ₂

ponadto

p­­_1­­ + p ₂ = 1

skąd np. p ₂ = 1 - p­­_1­­.

Podstawiając to wyrażenie do obydwu równań i porównując równania stronami, otrzymujemy:

3p­­_1­­ - 1 + p _2­­­ = 3p­­_1­­ + 5(1 - p­­_1­­).

Rozwiązaniem powyższego równania jest:

p­­₁ = 6/12 = ½, a więc p ₂ = 1 - ½ = ½

Wstawiając te wartości do równania V_A, otrzymujemy wartość gry V:

V = 3 * ½ - ½ = 2/2 = 1

Optymalną strategię mieszaną gracza A można wiec zapisać:
, a zatem menedżer przedsiębiorstwa A powinien stosować strategię A1 z częstością ½ (50%) i strategię A2 z częstością ½ (50%), a strategii A3 w ogóle nie stosować. Przy takim postępowaniu jego udział w rynku wzrośnie przeciętnie o 1%.

Podobne rozwiązanie można wyznaczyć dla gracza B. Wygrana gracza B - V_B, w przypadku gdy A będzie stosował strategię A1 wyniesie:

V_B = 3q­­_1­­ - 3q ₂

Podobnie, gdy A będzie stosował strategię A2, wygrana gracza B wyniesie:

V_B = -q­­_1­­ + 5q ₂

Wiadomo ponadto, że:

q ₂ = 1 - q­­_1­­. Po uwzględnieniu tej równości i porównaniu równań V_B pozostaje do rozwiązania równanie z jedna niewidomą:

3q­­_1­­ - 3(1 - q­­_1­­) = -q­­_1­­ + 5(1 - q­­_1­­)

Stąd: q­­₁ = 8/12 = 2/3, a więc p ₂ = 1 - 2/3 = 1/3.

Obliczona wartość gry wyniesie:

V = 3 * 2/3 - 3 * 1/3 = 1

Optymalną strategię mieszaną gracza B można wiec zapisać:
, a zatem menedżer przedsiębiorstwa B powinien stosować strategię B1 z częstością 2/3 (66%) i strategię B2 z częstością 1/3 (33%), a strategii B3 w ogóle nie stosować. Przy takim postępowaniu jego udział w rynku wzrośnie przeciętnie o 1%.

---