Gdańsk 6.01.2001 r.

LABORATORIUM MIERNICTWA WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

Ćwiczenie 5

Pomiary drgań mechanicznych.

ESP sem.7

Wojciech Zaranek

Marek Gocłowski

1. Pomiar charakterystyki statycznej wytrząsarki elektrodynamicznej.

Wyniki pomiarów charakterystyki statycznej wytrząsarki elektrodynamicznej, które posłużyły nam do wykreślenia charakterystyki aproksymowanej zawiera tabela 1. Wykonaliśmy aproksymację charakterystyki statycznej przy użyciu funkcji REGLINP w programie EXCEL. Wyniki aproksymacji posłużyły nam też do wyznaczenia czułości statycznej wytrząsarki, która to wielkość jest wyznaczana jako współczynnik kierunkowy aproksymowanej prostej.

Tabela 1

Napięc. zasil.	U [mV]	-1000		-803,8	-605,3	-397,4	-199,8	0	203,6	414,5	610,8	802,1	925,3
Przemieszcze.	D [m]	-1368		-1128	-861	-572	-301	-12	281	594	882	1169	1354
Napięc. zasil.	U [mV]	925,3		804,2	603,3	405,6	200,5	0	-201,6	-400,1	-601,8	-795,6	-1001
Przemieszcze.	D [m]	1354		1198	911	626	329	44	-253	-537	-0824	-1091	-1371
Czułość statyczna			Kst[m/mV]		1,424		Histereza ch-ki D=f(U)			%	2,86

Poniższy rysunek zawiera aproksymowaną prostą oraz naniesione punkty pomiarowe.

Na podstawie pomiarów otrzymaliśmy dwie proste (w przybliżeniu), które prawie się pokrywają, lecz jednak jest pomiędzy nimi różnica, wynikająca z istnienia histerezy. Istnienie tego zjawiska powoduje, że wartość chwilowa wychylenia jest zależna od wartości poprzedniej. Powoduje to niestety powstawanie błędów pomiarowych, bo układ pokazuje różne wartości dla tego samego pobudzenia w zależności czy poprzednia wartość była większa czy mniejsza od aktualnej. Z tego też powodu podczas pomiarów zwracaliśmy szczególną uwagę by pobudzenie zmieniało się monotonicznie.

Wyniki pomiarów wykorzystaliśmy do obliczenia histerezy charakterystyki na podstawie wzoru:

Błąd histerezy=D_max/(D_max-D_min)

która ma wartość 2,86%, oraz do wyliczenia czułości statycznej równej 1,424m/mV.

Badana przez nas wytrząsarka ma „w zasadzie” liniową charakterystykę, więc liniowo zamienia wartość przemieszczenia na wielkość elektryczną. Stwierdzenie „w zasadzie” wynika z faktu istnienia histerezy, która stanowi największe źródło błędu pomiaru. Przy błędzie ok. 3% przyrząd taki nie może być nazwany przyrządem wzorcowym, lecz w sporej części zastosowań przemysłowych może być on używany z powodzeniem.

2. Pomiar odpowiedzi skokowej wytrząsarki elektrodynamicznej.

Na podstawie pomiaru odpowiedzi skokowej wytrząsarki możemy wyznaczyć takie jej parametry jak:

1. przelot względny
   liczony jako stosunek maksymalnej wartości odchylenia do wartości ustalonej,

2. częstotliwość drgań tłumionych obliczyliśmy jako
   , gdzie T to czasowa odległość pomiędzy dwoma kolejnymi minimami,

3. tłumienie względne można wyznaczyć z zależności:

co po przekształceniach daje:

4. częstotliwość naturalna
   

Wyniki pomiarów przedstawiliśmy na poniższych rysunkach.

Wyniki obliczeń parametrów wykonanych na podstawie pomiarów dla różnych wartości oporności obwodu zewnętrznego zawiera tabela 2.

Tabela 2

Oporność obwodu zewnętrznego	Rn []	2	4		8	15	30	0
Przelot Względny	y/y	0,150	0,271		0,419	0,540	0,640	----
Częstotliwość drgań tłumionych	f [Hz]	12,5	12,5		12,3	12,3	12,5	----
Tłumienie względne		0,516	0,384		0,267	0,193	0,141	?
Częstotliwość naturalna	f0 [Hz]	14,60	13,54		12,81	12,58	12,63
Częstotliwość naturalna średnia	f0śr [Hz]	13,23

Ruch membrany wytrząsarki jest spowodowany przez pole elektromagnetyczne wywołane przez cewkę poruszającą się w polu magnesu trwałego i dlatego możemy ją uważać za układ drgający drugiego rzędu.

Z otrzymanych charakterystyk i wykonanych obliczeń wynika, że tłumienie drgań wytrząsarki maleje wraz ze wzrostem rezystancji w obwodzie zasilania. Wywołane jest to zjawiskiem elektromagnetycznego tłumienia drgań, które to zjawisko polega na tym, że membrana wprowadzana jest w ruch drgający przez zmienne pole elektromagnetyczne powstające w cewce pod wpływem przyłożonego do niej napięcia i pola magnesu stałego. Cewka jest pobudzana uskokiem co oznacza, że pobudzenie poza tą chwilą nie zmienia się. Ruch membrany powoduje, że w cewce indukuje się napięcie skierowane przeciwnie do zwrotu sił wywołujących ten ruch. W odpowiedzi napięcie powoduje przepływ prądu przez cewkę skierowanego przeciwnie do pobudzenia co powoduje, że membrana odchyla się w przeciwnym kierunku. Cewka w wytrząsarce jest stosunkowo duża, gdyż musi wprawiać w ruch dość znaczną masę. Powoduje to, że jej dobroć jest stosunkowo duża, więc prąd wsteczny cewki jest ograniczany tylko przez rezystancję szeregową cewki. Jako, że jest ona mała prąd ten jest duży. Dołączenie do cewki szeregowo rezystancji (a tak w ćwiczeniu była dołączona rezystancja R_n) powoduje ograniczenie prądu wstecznego, co wywoła zmniejszenie wychylenia zwrotnego tzn., że tłumienie mechaniczne zmniejszy się. W konsekwencji drgania wywołane odpowiedzią skokową będą słabiej tłumione i będą miały większą amplitudę i dłuższy czas trwania.

Widać to zjawisko wyraźnie na powyższych rysunkach, oraz na podstawie wyników w tabeli. Wyraźnie widać, że wzrost rezystancji powoduje zmniejszenie tłumienia, wzrost przelotu względnego.

Częstotliwość drgań tłumionych w zasadzie nie zmienia się a występujące różnice można wytłumaczyć błędami pomiarowymi ma ona wartość ok. 12,5Hz. Wzrost rezystancji powoduje nieznaczne ale jednak wyraźne zmniejszenie wartości częstotliwości naturalnej całego układu. Wartości tłumienia względnego dla R_n=0 nie możemy wyznaczyć precyzyjnie, ale wartość ta jest na pewno mniejsza od 1 i większa od 0,516. Wartość tłumienia równą 1 możemy osiągnąć dla cewki o zerowej rezystancji szeregowej.

3. Pomiar charakterystyki przejściowej wytrząsarki elektrodynamicznej.

Wyniki pomiarów charakterystyki przejściowej zamieściliśmy w tabeli 3.

Tabela 3

Napięcie zasilania	Usk [V]	0,2	0,5	1	1,43	2	3	4	6	7
Amplituda drgań	Dpek [m]	1,3	2,3	4,6	8,6	7,8	11,8	16,1	26,6	29,8
Czułość dynamiczna		Kdyn [m/V]	4,27	Nieliniowość ch-ki Dpek=f(Usk)		%	3,67
Zakres liniowości drgań		Dmax [m]	29,8	fpom=200Hz

Otrzymaną charakterystykę aproksymowaliśmy metodą najmniejszych kwadratów używając do tego podobnie jak w punkcie 1 programu „Excel”. Jeden z punktów pomiarowych (dla U_sk=1,43V) odrzuciliśmy jako obarczony błędem grubym, gdyż jego wartość znacznie odbiega od prostej aproksymującej. Prosta aproksymująca jest opisana wzorem:

znając równanie tej prostej wyliczyliśmy błąd nieliniowości którego wartość to 3,67%, co oznacza zgodnie z przyjętym kryterium liniowości (błąd nieliniowości 5%), iż możemy uznać za zakres liniowej pracy wytrząsarki cały zakres pomierzony przez nas. Zakres liniowości drgań ma wartość D_max=29,8m. Tu jednak może pojawić się pytanie czy w rzeczywistości zakres liniowości drgań nie jest większy. Na podstawie przeprowadzonych przez nas pomiarów nie można tego rozstrzygnąć. Czułość dynamiczna ma wartość 4,27%. Poniżej zamieściliśmy wykres prostej aproksymującej wraz z naniesionymi punktami pomiarowymi.

Czułość dynamiczna wytrząsarki jest większa od czułości statycznej, błąd nieliniowości jest jednak nieco większy, natomiast zakres liniowej pracy wytrząsarki jest znacznie większy w przypadku pomiarów statycznych.

4. Pomiar charakterystyki przejściowej przetwornika elektrodynamicznego.

Wyniki pomiarów oraz obliczeń zawiera poniższa tabela.

Tabela 4

Amplituda drgań	Dmax [m]	5	10	15	20	30	40	50
Napięcie wyjściowe skuteczne	Usk [V]	0,0465	0,0876	0,1315	0,1752	0,2650	0,3478	0,4257
Amplituda drgań	Dmax [m]	60	70	80	100	120	150	180
Napięcie wyjściowe skuteczne	Usk [V]	0,5163	0,6054	0,6876	0,8554	1,0287	1,289	1,489
Dla ch-ki Usk=1/Kdyn*Dpeak	Kdyn [m/mV]	119,1	Zakres lin.	Dmax [m]	180	Nielin. ch-ki	%	2,15

Wyniki pomiarów pozwoliły nam na wykreślenie charakterystyki przejściowej przetwornika elektrodynamicznego badanego przy częstotliwości 65Hz. Charakterystyka ta pozwoliła nam na określenie trzech parametrów: czułości dynamicznej K_dyn, zakresu liniowości D_max i nieliniowości charakterystyki. Czułość dynamiczna jest podawana w m/mV, dlatego by uzyskać jej wartość z równania prostej aproksymującej należy 1 podzielić przez współczynnik kierunkowy tej prostej. Charakterystyka jest liniowa w całym zbadanym przez nas zakresie (nie przekracza w żadnym miejscu pięcioprocentowego progu), dlatego jako zakres liniowy charakterystyki przyjęliśmy maksymalną wartość amplitudy drgań czyli 180m.

Na rysunku zamieściliśmy aproksymację punktów pomiarowych wykonaną podobnie jak w poprzednich przypadkach, oraz punkty pomiarowe.

5. Pomiar modułu transmitancji prędkościowej przetwornika elektrodynamicznego.

Wyniki pomiarów oraz obliczenia zamieściliśmy poniżej.

Tabela 5

Częstotliwość drgań	f [Hz]	6		8	10	12		13	14	15		16	17		18
Napięcie wyjściowe	U [mV]	183,2		166,8	204,6	349,8		426,7	480,3	499,2		483,6	452,9		435,3
Częstotliwość drgań	F [Hz]	20		24	30	40		60	90	130		180	250
Napięcie wyjściowe	U [mV]	393,2		318,4	282,3	260,0		242,7	229,6	222,4		220,4	221,3
Częstotliwość rezonansowa			fr [Hz]		15		Częstotliwość własna				f0 [Hz]			15,00045
Tłumienie względne					0,00547		Szczyt rezonansowy				Mp			6,78

Dane z tabeli 5 pozwoliły nam wykreślić charakterystykę modułu transmitancji prędkościowej przetwornika elektrodynamicznego.

Rysunek przedstawiliśmy w skali log-log. Częstotliwość rezonansowa jest równa f_r=15Hz.

Współczynnik szczytu M_P możemy wyznaczyć jako stosunek modułu transmitancji prędkościowej przetwornika dla częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej i modułu transmitancji dla f=0Hz.

Nie wykonywaliśmy pomiaru modułu transmitancji przy zerowej częstotliwości a najniższą częstotliwością pomiarową była częstotliwość 6Hz i w zasadzie tą wartość moglibyśmy wykorzystać do obliczenia M_P, lecz wartość modułu uzyskaną dla tej częstotliwości jest najprawdopodobniej obarczona błędem grubym. Możemy też spróbować aproksymować charakterystykę i z równania krzywej aproksymującej wyliczyć punkt przecięcia z osią Y (to jest właśnie wartość modułu przy zerowej częstotliwości). Zdecydowaliśmy się wykorzystać opcję „dodaj linię trendu” w programie „Excel” na wykresie w układzie lin-lin. Linia trendu jaką użyliśmy była typu wykładniczego o równaniu y=73,68e_­­^0,1021x. Charakterystykę z „dorysowaną” częścią pochodzącą z powyższego równania zamieściliśmy na końcu sprawozdania. Do wyliczenia M_P użyliśmy zatem wartości 73,68mV, a wynik umieściliśmy w tabeli.

Wartość tłumienia względnego jest związana z M_P wzorem:

zaś częstotliwość własną możemy wyliczyć na podstawie wzoru:

Z pierwszego równania obliczamy tłumienie względne co sprowadza się do znalezienia rozwiązania poniższego równania:

Rozwiązania równania mniejsze od zera odrzucamy i w ten sposób zostają nam dwa rozwiązania =0,995 i =0,00547, lecz wybór pada na drugie rozwiązanie bo podstawiając pierwsze do wzoru na f₀ otrzymalibyśmy pod pierwiastkiem liczbę ujemną. Podstawiając do wzoru na częstotliwość własną wyliczoną wartość tłumienia względnego  i częstotliwość f_r otrzymaliśmy wartość równą 15,00045Hz. Wartość ta jest bardzo bliska częstotliwości rezonansowej co wynika z bardzo małego współczynnika tłumienia.

Poniższy rysunek zawiera złożenie charakterystyki pomierzonej (bez punktu dla 6Hz obarczonego prawdopodobnie błędem grubym) i aproksymacji wykładniczej dwóch punktów (dla 8Hz i 10Hz). Nie jest być może to aproksymacja najdokładniejsza ale w pewien sposób przybliża postać tej funkcji i pozwala przyjąć jakąś w miarę zbliżoną do rzeczywistej wartość modułu transmitancji prędkościowej dla częstotliwości 0Hz.

---