Одесский национальный медицинский университет

Кафедра биофизики, информатики и медицинской аппаратуры

Методические рекомендации по теме

• “Основы интегрального исчисления”

Утверждено

на методическом совете кафедры

«___»_______________2010 года

Зав.кафедрой

Профессор __________ Годлевский Л.С.

Одесса 2010 р.

• 1.Тема: “Основы интегрального исчисления”.

• 2. Актуальность темы.

Методы математического анализа нашли широкое приминение в клинической медицине и охране здоровья. Они используются, в частности, при разработке математических моделей для приблизительного описания функционирования отдельных систем и органов, моделей биологических систем. Современные медицина и биология при построении теории биосистем широко используют методи математического анализа связей исходящих координат с входящими действиями. Самое простое математическое описание таких связей можно сделать при помощи соответствующих алгебраических функций. Такие модели биосистем называются функциональными. Знайомство с идеями и методами математического анализа является необходимым элементом профессионального образования каждого работника охраны здоровья. Быстрый рост роли математических методов описания и анализа функционирования в последнее время связан со стремительным развитием компьютерной техники и, особенно, соответствующего програмного обеспечения.

С некоторыми программами моделирования и анализа медико-биологических процессов Вы познайомитесь на 2 курсе, изучая курс "Медицинской информатики". Что касается темы першого занятия раздела, то её актуальность определяется тем, что среди элементарных методов математического анализа чаще всего используют дифференциальное и интегральное исчисление.

3. Цели занятия.

Общей целью занятия является научить студентов сознательно использовать аппарат интегрального исчисления при решении задач медико-биологического профиля.

Конкретные цели занятия - научить студентов вычислять :

• первообразные функции и неопределённые интегралы;

• определённые интегралы;

• среднее значение функции.

Студент должен знать (2 уровень):

• определение первичной функции;

• определение неопределённого интеграла;

• линии свойства интеграла;

• геометрический смысл неопределённого интеграла;

• основне неопределённые интегралы;

• метод замены переменной интегрирования;

• определение определённого интеграла;

• интерпретацию механического и геометрического смысла определённого интеграла;

• определение среднего значения функции;

• формулу Ньютона-Лейбница.

Студент должен овладеть елементарными навыками вычисления (3 уровень):

• первичных функций и неопределённых интегралов;

• определённых интегралов;

• интегралов методом замены переменной интегрирования;

• среднего значения функции.

4. Материалы для до аудиторной самостоятельной подготовки студентов.

4.1. Основные базовые знания, умения и навыки, которые необходимы для самостоятельного освоения темы и основаны на междисциплинарных связях

Дисциплины	Знать	Уметь
1.Предыдущие дисциплины: Курс математики средней школы	Постоянные и переменные величины; аргумент и функция; определение и интерпретацию производной функции; таблицу производных элементарных функций; производные алгебраической суммы, произведения, частного функции и производную сложной функции.	Вычислять производные элементарных функций при помощи таблицы производных и соответствующих правил.

4.2 Содержание темы.

Первообразная и неопределённый интеграл

Функция
називается первообразной для функции
, если
является производной для
.

Совокупность первообразных
для данной функции
називается неопределённым интегралом

,

(читается: "неопределённый интеграл еф от икс де икс ").

Терминология:

•  - знак интеграла

• x - переменная интегрирования

• (x) - подинтегральная функция

• (x)dx - подинтегральное выражение

• С - постоянная интегрирования.

Геометрически неопределённый интеграл прелставляет собой семью кривых, уравнения которых отличаются одно от другого постоянным слогаемым С, и получить их можно параллельным переносом вдоль оси ординат.

Линейные свойства операции интегрирования можно выразить одной формулой

,

где a и b - произвольные постоянные множители.

Основные неопределённые интегралы:

.

Определённый интеграл

К необходимости вычислять определённый интеграл приводят множество практических задач, например, вычисление площади S криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху участком графика АВ функции (x), а внизу интервалом [a,b] оси Х. С учётом обозначения границ интервала (нижней a и верхней b) и функции (x), определённый интеграл записывают так

S =

,

( читается: " определённый интег­рал от a до b еф от икс де икс").

Терминология, введеная для неопределённого интеграла, остаётся в силе и дополняется:

• a - нижня граница интегрирования

• b - верхня граница интегрирования

• [a,b] - область интегрирования.

В общем случае для вычисления определённых интегралов используют специальные методы численного интегрирования. Однако, если для подинтегральной функции (x) известна первичная функция
, то можно воспользоваться форму­лой Ньютона - Лейбница:

.

Определённый интеграл используют, в частности, для вычисления среднего значения
функции (x) на интервале [a,b]:

.

4.3 Материалы для самоконтроля

1. Примеры задач с решениями

Задача 1.

Реакция на определённую дозу лекарств через
часов после её принятия задаётся величиной r (вираженой в соответствующих единицах )

.

Найдите величину сумарной реакции на заданую дозу лекарств.

Решение. Сумарная реакция R определяется интегралом

...

,

Итак, сумарная реакция на заданную дозу лекарств составляет 0,5.

Задача 2.

Какая работа совершается при растягивании мышци на l мм, если известно, что при нагрузке
мышца растягивается на
мм. Считать силу, которая растягивает мышцу, прямо пропорциональной её удлинению.

Решение. Согласно условию задачи

P = kl.

Значение коэфициента k определяется из условия
= k
.. По этому
. Известно, что элементарная работа dA составляет

.

Интегрируя, получим искомый ответ

Задача 3.

Скорость изменения концентрации n препарата с изотопным индикатором в момент времени t (час.) задаётся формулой

.

Определить концентрацию препарата через 2 часа после введения, если начальная концентрация составляет 30 мкг на литр.

Решение. Концентрация n препарата с изотопным индикатором является первообразной для своей производной
. Высчитаем соответствующий интеграл

.

Известно, что начальная концентрация составляет 30 мкг на литр. Найдём значение постоянной интегрирования, используя это условие

.

Видим, что С = 10, и так, формула для концентрации препарата должна виглядеть так:

.

Через 2 часа после введения концентрация препарата будет составлять

.

Таким образом, уже через два часа после введения препарата его концентрация уменьшается вдвое и составляет 15 мкг на литр.

Задача 4.

Связь между переменной dp избыточного давления в кровеносном сосуде и переменной dr его радиуса (при больших значениях модуля упругости E) выражается формулой

,

где b = const.

Определить зависимость p(r) .

Решение. Изменение избыточного давления p(r) в кровеносном сосуде, вызванное изменением его радиуса от
до
,, составляет

p(r) =
.

Задача 5.

Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону

(мА).

Длительность імпульса  равняется 0,1с.

Вычислить заряд q, который прошел через тело животного.

Решение. Поскольку

,

то, интегрируя, получим

И так, заряд, который прошел через тело животного, составляет 1,6 мКл.

Задача 6.

Напряженность електрического поля позитивного токового униполя определяется по формуле

.

Найти потенциал електрического поля токового униполя.

Решение. Напряженность электрического поля с учётом сферической симетрии задачи может быть представлена в виде

и так,

,

откуда

Конечно выбирают условие
при
. Тогда С = 0 и окончательно получим потенциал електрического поля позитивного токового униполя в виде

.

Потенциал електрического поля негативного токового униполя отличается только противоположным знаком.

2. Задачи для самоконтроля.

1. Определить среднее значение объёмной плотности энергии магнитного поля аппаратуа индуктотермии

.

2. Определить мгновенное значение смещения барабанной перепонки, которая колеблется со скоростью

.

3. Крутячий момент М, действующий на молекулу с магнитным моментом р, расположенную в магнитном поле с индукцией В равняется

М = рВsin,

где  - угол между векторами магнитного момента и индукции.

Определить потенциальную енергию молекули в магнитном поле.

4. Определить потенциальную энергию сжатой пружины в границах упругости (F = - kx ).

5. Мощность экспозиционной дозы радиоактивного излучения имеет вид

,

где А - активность источника излучения, r - расстояние до источника,
- гамма постоянная радиоактивного изотопа.

Определить експозиционную дозу Х, учитывая, что

,

где - постоянная распада,
- начальное число радиоактивных ядер.

3. Контрольные вопросы

1. Первообразная функция.

2. Неопределённый интеграл.

3. Линейные свойства интеграла.

4. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

5. Основне неопределённые интегралы.

6. Метод замены переменной.

7. Определённый интеграл и его геометрический смысл.

8. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Среднее значение функции.

5. Основная литература

1. Элементи вышей математики. Методические указания для студентов медицинского института. Одесса, 1981 (на рус. яз), с. 56-73.

2. П.Г.Жуматий. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2000 (приготовлено для печати на укр. яз).

3. П.Г.Жуматий. “Математическая обработка медико-биологических данных”. Одесса, 1997 (приготовлено для печати на укр. та рус. языках).

6. Дополнительная литература

1. О.М.Ремизов, Н.Х.Исакова, О.Г.Максина Сборник задач по медицинской и биологической физике. М., .,“Вища школа”, 1987 (на рус. яз).

Методические рекомендации составил доц. П.Г.Жуматий.

Y B

A

a b X

---