Christian Andreas Doppler był Austriackim fizykiem i matematykiem. Urodził się w 1803 roku w Salzburgu. Jak zapewne pamiętacie, XIX wiek to epoka swoistego boomu naukowego1, który spowodował, między innymi, szybki rozwój sieci kolejowych. Maszyny budowane przez człowieka osiągały prędkości, o jakich w poprzednim stuleciu nie śniło się nawet największym fantastom. W latach czterdziestych tego niesamowitego wieku Doppler wykładał na politechnice w Pradze. Kto wie, być może właśnie na stacji kolejowej w tym pięknym mieście zauważył, lub raczej usłyszał, bardzo niezwykłe zjawisko. A my teraz pójdziemy w jego ślady - wprawdzie nie wybierzemy się na żaden dworzec2, lecz spróbujemy wyjaśnić i matematycznie opisać to, co prawie dwa wieki temu zaciekawiło pewnego czekającego na pociąg Austriaka.
Opis efektu Dopplera zaczniemy nietypowo - do czegoś, co na pierwszy rzut oka nie ma z nim nic wspólnego. Powinno to jednak znacznie ułatwić wam zrozumienie zjawiska, gdyż operowanie formalizmem falowym może być na początku odrobinę mylące. Tak wiec - do dzieła! Wyobraźmy sobie strzelca, który celuję z pistoletu w sam środek tarczy. Załóżmy, że jest to strzelec doskonały3 - taki, który nigdy nie pudłuje i utrzymuje broń ciągle w tej samej pozycji - oraz, że środek tarczy znajduje się dokładnie na poziomie lufy pistoletu. Nasz strzelec, co T sekund, wystrzeliwuje pocisk (jest to specjalny typ futurystycznej amunicji, który dzięki wbudowanym stabilizatorom porusza się w powietrzu zawsze z prędkością vv). Oznacza to, że odległość dzieląca dwa wystrzelone po sobie pociski wynosi
W pewnej chwili nasz uniwersalny żołnierz, ciągle strzelając, zaczyna biegnąć z prędkością vs. Jaka teraz będzie odległość pomiędzy dwoma wystrzelonymi po sobie pociskami? Do czasu wystrzelenia kolejnego pocisku, pocisk poprzedni przebędzie drogę λ0 , czyli taka będzie jego odległość od punktu, z którego został wystrzelony. Jednak trzeba wziąć pod uwagę fakt, że w tym czasie strzelec zdążył się przemieścić od tego punktu o vsT. Dwa wystrzelone po sobie pociski będzie więc dzielić droga
 I czy nie jest to ciekawe? Przecież, choć strzelec ciągle strzela co T sekund, to w przypadku, gdy pozostaje on w spoczynku, pociski będą dolatywały do tarczy w większych odstępach czasu niż wtedy, gdy biegnie. Z drugiej strony, gdy strzelec będzie biegł w kierunku przeciwnym do tarczy, wówczas
czyli sytuacja się odwróci - pociski przy biegnącym strzelcu będą trafiały w większych odstępach czasu, niż przy pozostającym w spoczynku.
Rodzi się dość istotne pytanie - jak to wszystko ma związek z efektem Dopplera? Odpowiedź jest bardzo prosta. Doppler przeprowadził podobno następujący eksperyment: umieścił w pociągu orkiestrę i poprosił ją, aby grała przez cały czas dźwięk o tym samym tonie. Gdy pociąg zbliżał się w jego kierunku z odpowiednio dużą prędkością, Doppler zauważył, że docierający do niego dźwięk ma wyższy ton. Kiedy pociąg zaczął się oddalać, dźwięk stał się niższy. Jak wyjaśnić to dziwne zjawisko? Jak zapewne pamiętacie, dźwięk jest rozchodzącą się w powietrzu falą. Możemy ją opisać, na przykład, harmoniczną funkcją falową
Analogia pomiędzy przykładem ze strzelcem i orkiestrą jest prosta. Załóżmy, że strzelec emituje fale o długości λ0 i okresie T - jednym słowem, jest źródłem. Kolejne maksima fali odpowiadają wystrzeliwanym przez strzelca pociskom. Jeżeli źródło pozostaje w spoczynku, wówczas odległość pomiędzy kolejnymi emitowanymi maksimami fali wynosi λ0. Jeżeli jednak źródło porusza się, wówczas dochodzi do zmiany tej odległości
czyli de facto do zmiany długości i częstotliwości fali docierającej do obserwatora (tarczy). Intuicyjnie można powiedzieć, że emitowana fala jest kompresowana/rozprężana. Wyraźmy tę zmianę poprzez częstotliwość, korzystając z podanych w rozdziale trzecim wzorów
Rozpatrzmy teraz bardziej ogólny, trójwymiarowy przypadek, schematycznie przedstawiony na poniższym rysunku
Załóżmy, że źródło porusza się z prędkością
gdzie
jest wersorem
Źródło z obserwatorem łączy promień wodzący
. Otrzymany poprzednio wzór na dopplerowską zmianę częstotliwości jest dobry również i w trójwymiarowym przypadku, należy jednak się zastanowić nad tym, co rozumiemy przez zawartą w nim skalarną prędkość źródła - będzie to prędkość, z jaką porusza się ono w stronę obserwatora, czyli wartość rzutu jego wektorowej prędkości na wektor promienia wodzącego. Nazwijmy tę prędkość składową radialną
Zapis
oznacza kąt pomiędzy wektorami a i b. Ostatecznie więc, wzór na zamianę częstotliwości spowodowaną efektem Dopplera przybiera postać
Aby nie ograniczać się do odrobinę nie intuicyjnych wzorów i symboli rozważmy pewien konkretny przykład. Wyobraźmy sobie, że stoimy na chodniku, oddaleni o dziesięć metrów od ulicy (d = 10 m). Ulicą jedzie, z naszej prawej strony, rower (vs= 25 km/h), karetka (vs= 100 km/h) i motor (vs= 200 km/h). Zamontowano na nich źródła dźwięku o częstotliwości f0= 100 Hz (jego prędkość w powietrzu wynosi vv= 343 m/s). Poniższy wykres przedstawia dochodzącą do nas częstotliwość tego dźwięku (f1) w zależności od drogi s , dzielącej znajdujący się vis-à -vis nas środek ulicy i pojazd.
Jak widać, do obserwowalnej zmiany częstotliwości dojdzie jedynie wtedy, kiedy źródło będzie znajdować się bardzo blisko nas. Aby sprawdzić maksymalną i minimalną słyszalną częstotliwość, policzmy granicę wyznaczonej wcześniej funkcji.
Z obliczeń wynika, że istnieją dwie asymptoty poziome, do których dąży funkcja częstotliwości. Co ciekawe, ich równania są dokładnie takie same, jak wyznaczone przez nas wcześniej wzory na jednowymiarowy efekt Dopplera. Należało się tego spodziewać, gdyż kiedy obserwator jest daleko od źródła, wówczas można zaniedbać odległość d , dzielącą go od ulicy. Możemy teraz policzyć zakres częstotliwości (pasmo)
Dla roweru z naszego przykładu Δf ≈ 4.05 Hz , dla karetki Δf ≈ 16.30 Hz , a dla motoru Δf ≈ 33.27 Hz.
Interesujący jest również sposób, w jaki zmienia się dochodząca do nas (czyli do nieruchomego obserwatora) częstotliwość w zależności od tego, jak daleko stoimy od środka ulicy. Możemy to zaobserwować na poniższym wykresie (s = 50 m)
Jak widać, wraz ze zwiększającą się odległością d , maleje zmiana częstotliwości. Matematyczne wytłumaczenie tego faktu jest bardzo proste
Intuicja również to potwierdza podpowiadając, że dla obserwatora znajdującego się bardzo daleko od środka ulicy, poruszające się źródło pozostaje w spoczynku - można zaniedbać odległość s.
Opisując efekt Dopplera można zwrócić uwagę na jeszcze jedną możliwość - co się stanie, gdy poruszać się będzie obserwator, a nie źródło. Spróbujmy to sprawdzić. Załóżmy, że obserwator odległy jest o λ od najbliższego maksimum fali i porusza się w jego kierunku z prędkością vo. W pewnym momencie spotkają się w tym samym punkcie, co pozwala napisać nam równanie
Obserwator każde kolejne maksimum będzie mijał po czasie t , co oznacza, że z jego punktu widzenia właśnie taki będzie okres docierającej do niego fali.
Mamy więc już wszystkie dane do wyznaczenia nowej częstotliwości
Powyższy wzór możemy zapisać w bardziej ogólnej postaci
w której znak zależy od tego, czy obserwator porusza się w stronę źródła.
Zastanówmy się teraz, jaką postać przybierze ten wzór w przypadku trójwymiarowym. Tak jak w poprzednio, musimy wyznaczyć prędkość, z jaką obserwator porusza się w kierunku źródła. Intuicyjne byłoby użycie w tym celu wektora łączącego obserwatora ze źródłem, jednak dla spójności wzorów skorzystamy z wektora łączącego źródło z obserwatorem. Będzie to proste, gdyż zachodzi pomiędzy nimi następująca relacja
Możemy teraz bez problemu wyznaczyć składową radialną
i podstawić ją do wzoru
I znowu, aby nie pozostawać jedynie przy samych symbolach, rozpatrzmy pewien konkretny przykład. Trzy pojazdy - rower, karetka i motor - jadą ulicą z prawa na lewo. Jednak tym razem źródło dźwięku f = 100 Hz jest umieszczone na chodniku w odległości d = 10 m od ulicy, a poniższy wykres przedstawia zależność częstotliwości dochodzącej do każdego pojazdu w funkcji jego odległości od znajdującego się vis-à -vis źródła środka ulicy4.
Obliczmy graniczne wartości częstotliwości
Tak jak należało się spodziewać, uzyskaliśmy znowu wzory opisujące jednowymiarowy przypadek. Określmy teraz zakres częstotliwości
Podstawiając dane z przykładu otrzymamy, że dla roweru Δf ≈ 4.05 Hz , dla karetki Δf ≈ 16.20 Hz , a dla motoru Δf ≈ 32.39 Hz. Pora na małe zestawienie wyników. Aby ułatwić ich interpretację i analizę ilościową wprowadźmy pojęcie pasma bezwzględnego
zależnego jedynie od prędkości fali i źródła/obserwatora.
Na pierwszy rzut oka, przed wykonaniem jakichkolwiek obliczeń, moglibyśmy pomyśleć, że w obu przypadkach - ruchomy obserwator/nieruchome źródło i nieruchomy obserwator/ruchome źródło - wyniki będą identyczne. W fizyce istnieje wiele procesów, które wykazują taką właśnie symetrię. A jednak efekt Dopplera nie jest jednym z nich. Dla małych prędkości wyniki są prawie takie same, co można intuicyjnie wytłumaczyć tym, że kiedy prędkość vs ze wzoru dla ruchomego źródła
jest dużo mniejsza od vv , wówczas nic nie stoi na przeszkodzie, aby zaniedbać jej kwadrat w mianowniku, otrzymując
czyli wzór taki sam, jak dla ruchomego obserwatora. Jeżeli nie przemawia do was intuicja, wystarczy rozbić wzór dla ruchomego źródła w szereg Taylora
i ograniczyć siÄ™ do wyrazu liniowego. Tak czy inaczej, osiÄ…gniemy ten sam efekt. Jednak wraz ze wzrostem prÄ™dkoÅ›ci, kiedy vs w porównaniu z vv nie jest zaniedbywalna, możemy zauważyć wyraźnÄ… różnicÄ™ pomiÄ™dzy otrzymanymi wynikami dla obu przypadków efektu Dopplera. Widać jÄ… wyraźnie na poniższym wykresie (linia „obserwator” oznacza ruchomego obserwatora (vo = 100 km/h), a „źródÅ‚o” - ruchome źródÅ‚o (vs = 100 km/h); czÄ™stotliwość fali wynosi  f0= 100 Hz).
Pozostało nam już jedynie połączenie uzyskanych poprzednio wyników w całość i napisanie ostatecznego, uwzględniającego ruch zarówno obserwatora jak i źródła, wzoru na efekt Dopplera. W tym celu konstruujemy układ równań
do którego doprowadziło nas następujące rozumowanie: nieruchome źródło emituje falę o częstotliwości  f0. Kiedy zaczyna poruszać się z pewną prędkością, dochodzi do zmiany tej częstotliwości dla będącego w spoczynku obserwatora, który odbiera falę o fe. Jeżeli również i obserwator będzie się poruszał, wówczas oba efekty nałożą się - docierająca do niego fe będzie modyfikowana przez jego ruch. W rezultacie uzyskujemy następujący wzór5
gdzie:
f0 - częstotliwość emitowana przez źródło.
vv - prędkość fali (dźwięku).
vs - prędkość źródła.
vo - prędkość obserwatora.
- kąt pomiędzy wektorem promienia wodzącego a wektorem prędkości źródła.
- kąt pomiędzy wektorem promienia wodzącego a wektorem prędkości obserwatora.
f1 - częstotliwość odbierana przez obserwatora.
2.2 Efekt Dopplera w astronomii
Pewnie nie raz zastanawialiÅ›cie siÄ™, skÄ…d wiemy tak dużo na temat ciaÅ‚ niebieskich. Przecież na zdecydowanej wiÄ™kszoÅ›ci z nich czÅ‚owiek nawet nie postawiÅ‚ nogi (wyjÄ…tkiem jest ziemski księżyc, choć zwolennicy „księżycowej teorii spisku” sÄ… pewnie innego zdania). Ich budowa, dzielÄ…ca nas odlegÅ‚ość - co jest źródÅ‚em tych wszystkich informacji? Zaraz spróbujemy odpowiedzieć na chyba jeszcze ważniejsze pytanie: czy obserwowane przez nas sfery niebieskie zbliżajÄ… siÄ™ do Ziemi, czy oddalajÄ…? Co wiÄ™cej - czy wszechÅ›wiat rozszerza siÄ™, czy też może kurczy? Pomoże nam w tym oczywiÅ›cie efekt Dopplera.
Planety, gwiazdy i galaktyki wysyłają elektromagnetyczne fale świetlne. Czasem same emitują światło (jak w przypadku gwiazd), a czasem tylko odbija się ono od nich (planety). Przypatrzmy się spektrum światła widzialnego
które, jak widać, rozciÄ…ga siÄ™ od barwy czerwonej (odpowiada jej dÅ‚ugość λ = 700 nm) aż do fioletowej (o dÅ‚ugoÅ›ci  λ = 380 nm). Oznacza to, że fala o barwie bliżej czerwieni ma mniej „upakowane” maksima, czyli mniejszÄ… czÄ™stotliwość, od tej o barwie niebieskiej. Spójrzmy na rysunek
Na górze przedstawiona jest fala, wysyłana przez niebiesko-białą gwiazdę (na przykład taką, jak Sirus), natomiast poniżej - przez czerwoną gwiazdę (jak Arcturus). Różnica jest widoczna gołym okiem. Pamiętacie przykład z biegnącym strzelcem wyborowym? Otóż, z gwiazdami jest podobnie. Poprzez analogie możemy powiedzieć, że strzelają one do nas falami świetlnymi. Kiedy już naukowcy ustalą z czego zbudowana jest gwiazda (z jakich pierwiastków) oraz jaka panuje na niej temperatura, mogą również obliczyć jaką barwą powinna świecić. Porównując te widma (wyznaczone i to, które do nas dociera), możemy powiedzieć, czy jest ono przesunięte ku czerwieni (tzw. red shift), czy ku barwie niebieskiej (blue shift). Jeżeli mamy do czynienia z pierwszym przypadkiem, oznacza to, że dana gwiazda się od nas oddala. Gdy przesunięcie następuje w stronę barwy niebieskiej, gwiazda się do nas zbliża. Znając przesunięcie, można obliczyć prędkość, z jaką się porusza i dzielącą nas odległość. Obserwując oddalające się od nas galaktyki możemy przypuszczać, że wszechświat wciąż się rozszerza.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
47 Efekt Dopplera
FIZYKA?la,?ekt Dopplera, dźwiek itd
47 Efekt Dopplera
47
44 47 407 pol ed02 2005
47 2
47. Algorytm ABC w pomocy przedszpitalnej, Ratownictwo Medyczne
FIZYKA 47, fff, dużo
47 Nazizm a?szyzm
47 Wojna stuletnia
47,e g
6 (47)
konflikt doppler
ei 01 2001 s 46 47
Conan 47 Conan i szalony bóg
47 50
więcej podobnych podstron