Zadania z metod statystycznych w socjologii

Zadanie 4.17 - dla wszystkich

W klasie II a gimnazjum dokonano pomiaru wzrostu chłopców (w cm) i otrzymano następujące wyniki: 163, 164, 164, 165, 166, 166, 170, 170,170, 171, 172, 174, 174, 175, 176, 176, 178, 180. Na podstawie zaprezentowanych wyników oblicz: średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, kwartyl pierwszy i trzeci oraz dokonaj interpretacji otrzymanych wyników.

Rozwiązanie:

Jest to szereg szczegółowy. Korzystamy, więc z wzorów dla tegoż szeregu.

Obliczam średnią arytmetyczną, korzystając ze wzoru:

x_i = 163 + 164 + 164 + 165 + 166 + 166 + 170 + 170 + 170 + 171 + 172 + 174 + 174 + 175 + 176 + 176 + 178 + 180 = 3074

N = 18

X = 3074: 18 = 170,78 [cm]

Średni wzrost chłopców klasy II a gimnazjum wynosi 170,78 cm.

Obliczam Me:

Me = (170 + 171) / 2 = 170,5 [cm]

Połowa chłopców klasy II a gimnazjum ma wzrost 170,5 cm lub mniej, a druga połowa 170,5 cm lub więcej.

Wyznaczam Do:

Do = 170 [cm]

Najwięcej było chłopców w klasie II a gimnazjum o wzroście 170 cm.

Obliczam Q₁:

Q₁: 163, 164, 164, 165, 166, 166, 170, 170, 170

Q₁ = 166 [cm]

25 % chłopców klasy II a gimnazjum ma wzrost 166 cm lub mniej, a 75 % 166 cm lub więcej.

Obliczam Q₃:

Q₃: 171, 172, 174, 174, 175, 176, 176, 178, 180

Q₃ = 175 [cm]

75 % chłopców klasy II a gimnazjum ma wzrost 175 cm lub mniej, a 25 % 175 cm lub więcej.

Zadanie 4.18 - dla wszystkich

Dane na temat emigracji Polaków w 2002 roku wg wieku przedstawia poniższa tablica. Oblicz przeciętny wiek emigrujących w 2002 roku Polaków korzystając z odpowiedniej miary przeciętnej. Wybór należy uzasadnić.

Wiek (w latach)	Liczba emigrantów	nisk
do 14 lat 15 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 44 45 - 49 50 i więcej	2045 4053 4997 4011 2789 2273 4384	2045 6098 11075 15086 17875 20148 24532
∑	24532	X

Rozwiązanie:

Nie możemy tu skorzystać ze syreniej arytmetycznej, ponieważ mamy doczynienia z szeregiem rozdzielczym przedziałowym o otwartych przedziałach klasowych, ( o czym sugerują nam: do 14 lat, 50 i więcej). Wszędzie tam gdzie nie możemy skorzystać ze średniej arytmetycznej korzystamy z mediany.

Aby obliczyć Me korzystając ze wzoru

1. ustalam Nr_Me

Nr_Me = 24532/2 = 12 266

2. Obliczam liczebności skumulowane

3. Ustalam, w którym przedziale znajduje się Me.

Me = 30 + 10/4011 * (12266 - 11075) = 32,97 ~ 33 [lata]

Przeciętny wiek emigrujących w 2002 roku wynosił 33 lata ( połowa emigrujących miała 33 lata lub mniej, a druga połowa 33 lata lub więcej)

Zadanie 4.19 - dla wszystkich

W pewnym osiedlu mieszkaniowym przeprowadzono badanie dotyczące powierzchni użytkowej mieszkań. Dla wylosowanych 100 rodzin uzyskano następujące dane. Na podstawie poniższych danych oblicz: średnia arytmetyczną, medianę, dominantę oraz dokonaj interpretacji otrzymanych wyników.

Powierzchnia mieszkań w (m^2)	Liczba mieszkań	^0xi	^0xi * ni	nisk
25 - 35 35 - 45 45 - 55 55 - 65 65 - 75	10 30 40 15 5	30 40 50 60 70	300 1200 2000 900 350	10 40 80 95 100
∑	100	X	4750	X

Rozwiązanie:

Jest to szereg rozdzielczy przedziałowy o zamkniętych przedziałach klasowych.

Obliczam X:

X = 4750 / 100 = 47,5 [m²]

Średnia powierzchnia mieszkania wynosi 47,5 m²

Obliczam Me:

Nr_Me = 100 / 2 = 50

Me = 45 + 10/40 * (50 - 40) = 47,5 [m²]

Połowa mieszkań ma powierzchnię 47,5 m² lub mniej, a druga połowa 47,5 m² lub więcej.

Obliczam Do:

Aby móc skorzystać ze wzoru interpolacyjnego służącego do wyznaczania Do w szeregu rozdzielczym przedziałowym, szereg musi spełniać trzy warunki:

1. musi występować jedno max wśród liczebności

2. rozpiętość przedziału, w którym znajdzie się dominanta i dwóch przedziałów z nią sąsiadujących musi być taka sama

3. szereg nie może być skrajnie asymetryczny, co w praktyce oznacza, że wartość dominująca nie może się znajdować ani w pierwszym ani w ostatnim przedziale.

Do = 45 + 100/35 = 47,86 [m²] Najwięcej jest mieszkań o powierzchni 47,86 m²

Zadanie 4.20 - dla wszystkich

Zbadano pracowników hipermarketu pod względem posiadanych dzieci. Otrzymane wyniki prezentuje tablica. Na podstawie zawartych w niej danych oblicz: średnią arytmetyczną, dominantę, kwartyl pierwszy i trzeci oraz dokonaj interpretacji otrzymanych wyników.

Liczba dzieci	Liczba pracowników	xi * ni	nisk
0 1 2 3 4	12 23 31 25 10	0 23 62 75 40	12 35 66 91 101
∑	101	200	X

Jest to szereg rozdzielczy punktowy.

Obliczam:

1. Średnią

X = 200 / 101 = 1,98 [dzieci] - Średnio pracownicy hipermarketu posiadają 1,98 dzieci

2. Dominantę

Do - sprawdzam liczbę najczęściej występujących dzieci

Do = 2 - Najczęściej pracownicy hipermarketu mieli dwoje dzieci.

3. Kwartyl pierwszy

Nr_Q1 = 101 + 1 /4 = 25,5

Q₁ = 1 - 25 % pracowników hipermarketu posiada jedno dziecko lub mniej, a 75 % jedno dziecko lub więcej.

4. Kwartyl trzeci

Nr_Q3 = 3 * (101 + 1) / 4 = 76,5

Q₃ = 3 - 75 % pracowników hipermarketu posiada 3 dzieci lub mniej, a 25 % 3 dzieci lub więcej.

Zadanie 5.2 - dla wszystkich

W dwóch regionach Polski badano wielkość zatrudnienia w firmach transportowych. Badanie wykazało, że w regionie A przeciętne zatrudnienie wynosiło 30 osób, odchylenie standardowe 10. Najwięcej firm zatrudniało 26 osób. Informacje o wielkości zatrudnienia w regionie B przedstawia szereg. Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej firm transportowych regionu A i B pod względem wielkości zatrudnienia.

liczba zatrudnionych osób	liczba firm	^0xi	^0xi * ni	^0xi - X	(^0xi - X)^2	(^0xi - X)^2*ni
1 - 10 11 - 20 21 - 30 Do 31 - 40 41 - 50	2 5 10 30 3	5,5 15,5 25,5 35,5 45,5	11 77,5 255 1065 136,5	-25,4 -15,4 -5,4 4,6 14,6	645,16 237,16 29,16 21,16 213,16	1290,32 1185,80 291,60 634,80 639,48
∑	50	X	1545	X	X	4042

Rozwiązanie:

Jest to szereg rozdzielczy przedziałowy o zamkniętych przedziałach klasowych.

Wszechstronna analiza obejmuje:

• miary średnie - X, Do

• miary zróżnicowania - Sx, V_s(x)

• miary asymetrii - Ws

Tabelka wynikowa

miary	Region A	Region B
X	30 osób	30,9 osób
Do	26 osób	35,3 osób
Sx	10 osób	9 osób
Vs(x)	33,3 %	29,1 %
Ws	0,4	-0,5

Obliczam brakujące miary dla regionu A:

1. współczynnik zmienności oparty o odchylenie standardowe

V_s(x) = 10/30 *100 = 33,3 %

Odchylenie od średniego zatrudnienia w firmach transportowych regionu A wynosi 33,3 %

2. współczynnik asymetrii

Ws = (30 - 26) / 10 = 0,4 - asymetria dodatnia, umiarkowana

Obliczam miary dla regionu B:

1. Średnia

X = 1545/50 = 30,9 [osób]

Średnie zatrudnienie w firmach transportowych w regionie B wynosi 30,9 osób

2. Dominanta

Do = 31 + {[(30-10)*10]/[(30-10)+(30-3)]} = 35,3 [osób]

Najwięcej firm transportowych w regionie B zatrudniało 35,3 osób.

3. Odchylenie Standardowe

Sx = √4042/50 = 8,99 ~9 [osób]

Średnie zatrudnienie z firmach transportowych regionu B odchyla się na plus - minus 9 osób

4. współczynnik zmienności oparty o odchylenie standardowe

V_s(x) = 9/30,9 * 100 = 29,1 %

Odchylenie od średniej wielkości zatrudnienia w firmach transportowych w regionie B wynosiło 29,1 %

5. współczynnik asymetrii

Ws = (30,9 - 35,3) / 9 = - 0,5 - asymetria ujemna, umiarkowana

Wnioski:

1. Przeciętnie wyższym zatrudnieniem charakteryzowały się firmy transportowe w regionie B, co potwierdzają wszystkie wyznaczone miary średnie.

2. Większym zróżnicowaniem zatrudnienia charakteryzowały się firmy transportowe w regionie A.

3. Asymetria pracowników zatrudnionych w firmach transportowych regionu A jest dodatnia (prawostronna) i umiarkowana - przeważająca część firm transportowych zatrudnia mniej pracowników niż jest średnio zatrudnianych. Asymetria pracowników zatrudnionych w firmach transportowych regionu B jest ujemna (lewostronna) i umiarkowana - przeważająca część firm transportowych zatrudnia więcej niż średnia zatrudnianych

Zadanie 5.3 - dla wszystkich

Zbadać za pomocą odpowiedniego parametru stopień asymetrii płac pracowników firmy budowlanej, jeśli wiadomo, że:

• płaca środkowa wynosi 2500 zł

• 25 % pracowników zarabia nie więcej niż 2000 zł

• 25 % pracowników zarabia nie mniej niż 3700 zł

Rozwiązanie:

Mamy dane:

Me = 2500 zł

Q₁ = 2000 zł

Q₃ = 3700 zł

Możemy skorzystać więc z pozycyjnego współczynnika asymetrii.

A_Q = (3700 + 2000 - 2*2500)/ (3700 - 2000) = 700/1700 = 0,41 [zł]

Zadanie 5.4 - dla wszystkich

Średni wiek osób, które uczestniczyły w piątkowych seansach filmowych Multikina wynosiła 25 lat. Wiadomo ponadto, że odchylenie standardowe stanowiło 30 % średniej, a także, że najwięcej osób było w wieku 26 lat. Badanie to ponowiono niedzielę i otrzymano informacje zaprezentowane w tablicy. Porównaj strukturę osób uczestniczących w piątkowych i niedzielnych seansach Multikina pod względem wieku.

wiek (w latach)	liczba osób	^0xi	^0xi * ni	^0xi - X	(^0xi - X)^2	(^0xi - X)^2*ni
0 - 10 10 - 20 Do 20 - 30 30 - 40 40 - 50	200 200 300 200 100	5 15 25 35 45	1000 3000 7500 7000 4500	-18 -8 2 12 22	324 64 4 144 484	64800 12800 1200 28800 48400
∑	1000	X	23000	X	X	156000

Rozwiązanie:

Tabelka wynikowa

miary	seans piątkowy	seans niedzielny
X	25 lat	23 lat
Do	26 lat	25 lat
Sx	7,5 lat	12,5 lat
Vs(x)	30 %	54,3 %
Ws	-0,13	-0,16

Obliczam brakujące miary dla seansu piątkowego

1. odchylenie standardowe - potrzebne jest nam do odliczenia współczynnika asymetrii

Sx = V_s(x) * X/100 = 0,3 *25 = 7,5 [lat]

Odchylenie od średniego zatrudnienia w firmach transportowych regionu A wynosi 33,3 %

2. współczynnik asymetrii

Ws = (25 - 26) / 7,5 = -0,13

Obliczam miary dla seansu niedzielnego:

1. Średnia

X = 23000/1000 = 23 [lat]

Średni wiek osób będących na seansie niedzielnym w Multikinie to 23 lata.

2. Dominanta

Do = 20 + {[(300-200)*10]/[(300-200)+(300-200)]} = 25 [lat]

Najwięcej osób na seansie niedzielnym w Multikinie miało 25 lat

3. Odchylenie Standardowe

Sx = √156000/1000 = 12,5 [lat]

4. współczynnik zmienności oparty o odchylenie standardowe

V_s(x) = 12,5/23 * 100 = 54,3 %

Odchylenie od średniego wieku osób na seansie niedzielnym w Multikinie wynosiło 54,3 %

5. współczynnik asymetrii

Ws = (23 - 25) / 12,5 = - 0,16 - asymetria ujemna, umiarkowana

Wnioski:

1. Przeciętnie wyższym wiekiem charakteryzowały się osoby będące na seansie piątkowym w Multikinie, co potwierdzają wszystkie wyznaczone miary średnie.

2. Większym zróżnicowaniem wieku charakteryzowały się osoby na seansie niedzielnym w Multikinie.

3. Asymetria na obu seansach jest ujemna (lewostronna) i słaba co oznacza, że przeważały osoby w wieku większym niż średnim

Zadanie 5.5 - dla wszystkich

Bank spółdzielczy posiada w pewnym regionie 6 oddziałów. Poniżej podajemy, jaka była średnia wielkość kredytów zaciągniętych w poszczególnych oddziałach. Dokonaj wszechstronnej analizy średniej wielkości kredytów udzielonych przez poszczególne oddziały banku.

oddział	I	II	III	IV	V	VI
średni kredyt (w tys.)	20	23	15	18	21	25

Rozwiązanie:

Jest to szereg szczegółowy po uporządkowaniu.

15, 18, 20, 21, 23, 25

Obliczam:

1. Średnią

x_i = 15 + 18+ 20 +21 +23 +25 = 122

N = 6

X = 122/6 = 20,3 [tys. zł] - średnia wielkość udzielanych kredytów Banku spółdzielczego wynosiła 20,3 tys. zł.

2. Medianę

Me = 20+21 / 2 = 41/2= 20,5 [tys. zł]

Połowa oddziałów banku spółdzielczego udzieliła kredytów w wysokości 20,5 tys. zł lub mniej, a druga połowa 20,5 tys. zł lub więcej.

3. Dominantę

Do - nie występuje wielkość dominująca

4. Odchylenie standardowe

xi	xi - X	(xi - X)^2
15 18 20 21 23 25	-5,3 -2,3 -0,3 0,7 2,7 4,7	28,09 5,29 0,09 0,49 7,29 22,09
∑	X	63,34

Sx = √63,34/6 = 3,2 [tys. zł] odchylenie od średniego udzielonego kredytu jest na plus minus 3,2 tys. zł

5. Współczynnik zmienności oparty na odchyleniu standardowym

V_S(x) = 3,2/20,3 *100 = 15,8 %

Zadanie 5.6 - dla wszystkich

W pewnym hipermarkecie analizowano liczbę godzin nadliczbowych przepracowanych przez pracowników działu ds. reklamy i promocji. Liczba godzin nadliczbowych dla poszczególnych pracowników w czerwcu 2004 roku kształtowała się następująco: 5, 7, 4, 6, 10, 5, 6, 8, 3, 4, 5, 8, 10, 8, 5, 7, 10, 11, 8, 10. Zanalizuj kompleksowo liczbę godzin nadliczbowych przepracowanych w czerwcu 2004 r. stosując odpowiednie miary struktury zbiorowości.

Jest to szereg rozdzielczy punktowy.

liczba godzin nadliczbowych	liczba pracowników	xi*ni	nisk	xi - X	(xi - X)^2	(xi - X)^2*ni
3 4 5 6 7 8 10 11	1 2 4 2 2 4 4 1	3 8 20 12 14 32 40 11	1 3 7 9 11 15 19 20	-4 -3 -2 -1 0 1 3 4	16 9 4 1 0 1 9 16	16 18 16 2 0 4 36 16
∑	20	140	X	X	X	108

. Obliczam:

1. Średnią

X = 140/20 = 7 [godz.] - średnia liczba godzin nadliczbowych przepracowanych przez pracowników ds. promocji i reklamy w pewnym hipermarkecie wynosiła 7 godzin.

2. Medianę

Nr_Me = 20/2 = 10

Odszukujemy Nr _Me w liczebnościach skumulowanych i odczytujemy wartość Me

Me = 7 [godz.] połowa pracowników ds. promocji i reklamy zatrudnionych w pewnym hipermarkecie ma 7 godzin nadliczbowych lub mniej, a druga połowa 7 godzin lub więcej.

3. Dominantę - brak

4. odchylenie standardowe

Sx = √108/20 = 2,3 [godz.]

5. współczynnik zmienności oparty o odchylenie standardowe

V_S(x) = 2,3/7 *100 = 32,9 %

6. Kwartyl pierwszy

Nr_Q1 = 20/4 = 5

Q₁ = 5 [godz.] 25 % pracowników ds. promocji i reklamy ma 5 lub mniej godzin nadliczbowych, a 75 % 5 godzin lub więcej

7. Kwartyl trzeci

Nr_Q3 = 3*20/4 = 15

Q₃ = 8 [godz.] 75 % pracowników ds. reklamy i promocji ma 8 lub mniej godzin nadliczbowych, a 25 % ma 8 godzin lub więcej.

8. pozycyjny współczynnik asymetrii

A_Q = 8+5-2*7 / 8 - 5 = -0,33

Zadanie 5.7 - dla wszystkich

Strukturę zarejestrowanych bezrobotnych w Polsce w 2002 roku według wieku i płci zaprezentowano w tablicy. Dokonaj wszechstronnej analizy porównawczej wieku bezrobotnych kobiet i mężczyzn.

wiek (w latach)	liczba bezrobotnych kobiet (w tys.)	liczba bezrobotnych mężczyzn (w tys.)	niskk	niskm
poniżej 25 25 - 34 35 - 44 45 - 54 55 i więcej	448,2 489,7 348,8 302,7 20,4	447,6 391,9 336,4 336,6 58,7	448,2 937,9 1286,7 1589,4 1609,8	447,6 839,5 1175,9 1512,5 1571,2
∑	1609,8	1571,2	X	X

Jest to szereg rozdzielczy przedziałowy o otwartych przedziałach klasowych.

Nie możemy w tym przypadku obliczyć średniej ponieważ mamy otawrte przedziały klasowe. Korzystamy więc z Me.

Obliczam:

1. dla kobiet

• mediana

Nr_{Me =} 1609,8 + 1/ 2 = 805,4

Me = 25 + 10/489,7 *(805,4 - 448,2) = 32,3 połowa kobiet bezrobotnych była w wieku 32,3 lat lub mniej a druga połowa 32,3 lat lub więcej

• dominanta

Aby móc skorzystać ze wzoru interpolacyjnego służącego do wyznaczania Do w szeregu rozdzielczym przedziałowym, szereg musi spełniać trzy warunki:

1. musi występować jedno max wśród liczebności

2. rozpiętość przedziału w którym znajdzie się dominanta i dwóch przedziałów z nią sąsiadujących musi być taka sama

3. szereg nie może być skrajnie asymetryczny co w praktyce oznacza, że wartość dominująca nie może się znajdować ani w pierwszym ani w ostatnim przedziale

W tym przypadku nie możemy obliczyć Do gdyż nie spełnia powyższych warunków.

• kwartyl pierwszy

Nr_Q1 = 1609,8 + 1 /4 = 402,7

Nie możemy obliczyć Q₁ ponieważ znajduje się w pierwszym przedziale.

• kwartyl trzeci

Nr_Q3 = 3*402,7 = 1208,1

Q₃ = 35 + 10/348,8 * (1208,1 - 937,9) = 42,7 - 75 % bezrobotnych kobiet jest w wieku 42,7 lat lub mniej, a 25% 42,7 lat lub więcej

4. dla mężczyzn

• mediana

Nr_{Me =} 1571,2+ 1/ 2 = 785,6

Me = 25 + 10/391,9 *(785,6 - 447,6) = 33,6 połowa mężczyzn bezrobotnych była w wieku 33,6 lat lub mniej a druga połowa 33,6 lat lub więcej

• dominanta

Aby móc skorzystać ze wzoru interpolacyjnego służącego do wyznaczania Do w szeregu rozdzielczym przedziałowym, szereg musi spełniać trzy warunki:

5. musi występować jedno max wśród liczebności

6. rozpiętość przedziału w którym znajdzie się dominanta i dwóch przedziałów z nią sąsiadujących musi być taka sama

7. szereg nie może być skrajnie asymetryczny co w praktyce oznacza, że wartość dominująca nie może się znajdować ani w pierwszym ani w ostatnim przedziale

W tym przypadku nie możemy obliczyć Do gdyż nie spełnia powyższych warunków.

• kwartyl pierwszy

Nr_Q1 = 1571,2 + 1 /4 = 393,05

Nie możemy obliczyć Q₁ ponieważ znajduje się w pierwszym przedziale.

• kwartyl trzeci

Nr_Q3 = 3*393,05 = 1179,15

Q₃ = 45 + 10/336,6 * (1179,15 - 1175,9) = 45,1 - 75 % bezrobotnych mężczyzn jest w wieku 45,1 lat lub mniej, a 25% 45,1 lat lub więcej

Zadanie 5.8 - dla wszystkich

Współczynnik asymetrii obliczony dla wydajności pracy osób zatrudnionych przy pakowaniu rajstop wynosi 0,2. obliczyć dominującą wydajność, jeśli odchylenie standardowe wynosi 10 szt./godz., a średnia wydajność 30 szt./godz. Następnie dokonaj analizy tendencji centralnej, zróżnicowania i asymetrii.

Ws = 0,2 - asymetria dodatnia (prawostronna) i słaba, co oznacza, że więcej osób ma wydajność mniejszą niż przeciętna.

Sx = 10 szt./godz. - średnia wydajność odchyla się plus minus 10 szt./godz.

X = 30 szt./godz. - średnia wydajność osób zatrudnionych przy pakowaniu rajstop wynosi 30 szt./godz.

Mając te dane mogę obliczyć Do oraz V_S(x)

V_S(x) = 10/30 *100 = 33,3 % współczynnik zmienność wydajność pracowników pracujących przy pakowaniu rajstop wynosi 33,3%

należy przekształcić wzór aby otrzymać Do

X - Do = Ws * Sx

- Do = Ws * Sx - X

Do = X - Ws * Sx

Do = 30 - 0,2 * 10 = 28 szt./godz. - dominującą wydajnością pracowników pracujących przy pakowaniu rajstop było 28 szt./godz.

Zadanie 5.9 - dla wszystkich

Studentka psychologii przygotowuje się do napisania pracy magisterskiej, przeprowadziła badanie wśród uczniów szkół średnich o profilu humanistycznym i matematycznym, w celu porównania długości czasu (w min.) rozwiązywania dziesięciu pierwszych zadań testu na inteligencję. Uczniowie o profilu humanistycznym uzyskali wyniki: 3, 4, 3, 2, 4, 6, 3, 4, 4, 3, 5, 6. wyniki uczniów o profilu matematycznym były następujące: 5, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 6, 3. która grupa uczniów uzyskała lepsze wyniki?

czas w min.	profil hum.	xi*ni	nisk	xi - X	(xi - X)^2	profil matm.	xi*ni	nisk	xi - X	(xi - X)^2
2 3 4 5 6	1 4 4 1 2	2 12 16 5 12	1 5 9 10 12	-1,9 -0,9 0,1 1,1 2,1	3,61 0,81 0,01 1,21 4,41	0 3 5 3 1	0 9 20 15 6	0 3 8 11 12	-2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8	4,84 1,44 0,04 0,64 3,24
∑	12	47	X	X	10,05	12	50	X	X	10,20

Jest to szereg rozdzielczy punktowy.

Dokonuję wszechstronnej analizy uczniów o profilu humanistycznym oraz matematycznym. Obliczam:

1. Średnią

• profil humanistyczny

X = 47/12 = 3,9 [min.] - średni czas rozwiązania 10 pierwszych zadań testu na inteligencje przez uczniów o profilu humanistycznym wynosił 3,9 min.

• profil matematyczny

X = 50/12 = 4,2 [min.] - średni czas rozwiązania 10 pierwszych zadań testu na inteligencje przez uczniów o profilu matematycznym wynosił 4,2 min.

2. Medianę

• profil humanistyczny

Nr_Me = 12/2 = 6

Me = 4 [min.] - połowa uczniów o profilu humanistycznym rozwiązała 10 początkowych zadań testu na inteligencję w czasie 4 minuty lub mniej, a druga połowa w czasie 4 minuty lub więcej

• profil matematyczny

Nr_Me = 12/2 = 6

Me = 4 [min.] - połowa uczniów o profilu matematycznym rozwiązała 10 początkowych zadań testu na inteligencję w czasie 4 minuty lub mniej, a druga połowa w czasie 4 minuty lub więcej

3. Dominantę

• profil humanistyczny - brak dominanty

• profil matematyczny

Do = 4 [min.] - dominującym czasem rozwiązywania 10 pierwszych zadań testu na inteligencję uczniów o profilu matematycznym było 4 minuty.

4. Kwartyl pierwszy

• profil humanistyczny

Nr_Q1 = 12/4 = 3

Q₁ = 3 [min.] - 25 % uczniów o profilu humanistycznym rozwiązało 10 pierwszych zadań testu na inteligencję w czasie 3 minuty lub mniej, a 75% w czasie 3 minuty lub więcej.

• profil matematyczny

Nr_Q1 = 12/4 = 3

Q₁ = 3 [min.] - 25 % uczniów o profilu matematycznym rozwiązało 10 pierwszych zadań testu na inteligencję w czasie 3 minuty lub mniej, a 75% w czasie 3 minuty lub więcej.

5. Kwartyl trzeci

• profil humanistyczny

Nr_Q3 = 3*12/4 = 9

Q₃ = 4 [min.] - 75 % uczniów o profilu humanistycznym rozwiązało 10 pierwszych zadań testu na inteligencję w czasie 4 minuty lub mniej, a 25% w czasie 4 minuty lub więcej.

• profil matematyczny

Nr_Q3 = 3*12/4 = 9

Q₃ = 5 [min.] - 75 % uczniów o profilu matematycznym rozwiązało 10 pierwszych zadań testu na inteligencję w czasie 5 minut lub mniej, a 25% w czasie 5 minut lub więcej.

6. Odchylenie standardowe

• profil humanistyczny

Sx = √10,05/12 = 0,9 [min] - średnia czas rozwiązywania 10 pierwszych zadań przez uczniów o profilu humanistycznym odchyla się o plus - minus 0,9 minuty

• profil matematyczny

Sx = √10,2/12 = 0,9 [min] - średnia czas rozwiązywania 10 pierwszych zadań przez uczniów o profilu matematycznym odchyla się o plus - minus 0,9 minuty

7. Współczynnik skośności

• profil humanistyczny - nie możemy obliczyć ze względu na brak Do

• profil matematyczny

Ws = 4,2 - 4/0,9 = 0,22 - asymetria dodatnia (prawostronna) słaba co oznacza że więcej osób miało czas poniżej średniego przy rozwiązywaniu zadań

8. Pozycyjny współczynnik skośności

• profil humanistyczny

A_Q = 4 + 3 - 2 *4/ 4 - 3 = -1

• profil matematyczny

A_Q = 5 + 3 - 2 *4/ 5 - 3 = 0

9. Odchylenie ćwiartkowe

• profil humanistyczny

Q = 4 - 3 / 2 = 0,5

• profil matematyczny

Q = 5 - 3 / 2 = 1

10. Współczynnik zmienności oparty o odchylenie standardowe

• profil humanistyczny

V_S(x) = 0,9 /3,9 * 100 = 23 %

• profil matematyczny

V_S(x) = 0,9 /4,2 * 100 = 21,4 %

11. Współczynnik zmienności oparty o odchylenie ćwiartkowe.

• profil humanistyczny

V_Q = 0,5 / 4 * 100 = 12,5 %

• profil matematyczny

V_Q = 1 / 4 * 100 = 25 %

Tabelka wynikowa

miary	profil humanistyczny	profil matematyczny
X Me Do Q1 Q3 Sx Ws AQ Q VS(x) VQ	3,9 min. 4 min. brak 3 min. 4 min. 0,9 min. brak -1 0,5 min. 23% 12,5%	4,2 min. 4 min. 4 min. 3 min. 5 min. 0,9 min. 0,22 min. 0 1 min. 21,4 % 25%

Zadanie 5.10 - dla wszystkich

W poniższej tablicy przedstawiono strukturę posłów IV Kadencji Sejmu Rzeczpospolitej Polskiej.

a. wyznaczyć przeciętny wiek posłów

b. obliczyć, jaki jest udział posłów w wieku poniżej 30 lat,

c. ocenić zróżnicowanie wieku posłów.

wiek (w latach)	liczba posłów	nisk
poniżej 30 30 - 39 40 - 59 60 i więcej ∑	13 92 327 28 460	13 105 432 460 X

Ad. A)

Jest to szereg rozdzielczy przedziałowy o otwartych przedziałach klasowych w związku z tym nie możemy zastosować tu średnie arytmetycznej aby obliczyć przeciętny wiek posłów. Korzystamy więc z Me.

Nr_Me = 460/2 = 230

Me = 40 + 9/327 *(230 - 105) = 43,4 [lat] - przeciętny wiek posłów to 43,4 lat.

Ad. B)

w_i = 13/460 * 100 = 2,8 % - posłowie w wieku poniżej 30 lat stanowią 2,8 % całej liczby posłów.

Ad. C)

Nie możemy tu skorzystać ze współczynnika zmienności opartego o odchylenie standardowe ponieważ nie mamy średniej arytmetycznej. Korzystamy więc ze współczynnika zmienności opartego odchylenie ćwiartkowe.

Obliczam najpierw oba kwartyle:

Nr_Q1 = 460/4 = 115

Q₁ = 40 + 9/327 *(115 - 105) = 40,27 [lat] - 25 % posłów ma 40,27 lat lub mniej, a 75 % 40,27 lat lub więcej

Nr_Q3 = 3 * 460 / 4 = 345

Q₃ = 40 + 9/327 *(345 - 105) = 46,48 [lat] - 75 % posłów ma 46,48 lat lub mniej, a 25 % 46,48 lat lub więcej

Obliczam odchylenie ćwiartkowe:

Q = 46,48 - 40,27 /2 = 3,10 - średni wiek posłów odchyla się o plus - minus 3,10 lat

Obliczam V_Q

V_Q = 3,1/43,4 *100 = 7,1 %

Zadanie 4.12 - na 5

Uzupełnij poniższy szereg wiedząc że średnia arytmetyczna poprawnych odpowiedzi na teście ze statystyki wynosiła 9,88

Liczba poprawnych odpowiedzi	Liczba osób
5 9 11 13 17	15 n1 18 n2 6
Razem	50

Zadanie 4.14 - na 5

Badając wydajność pracy przy produkcji ozdób choinkowych, stwierdzono, że największą liczbę pracowników ma wydajność pracy wynosząca 11 szt./godz. Oblicz, jaki odsetek pracowników zatrudnionych przy produkcji ozdób choinkowych uzyskał wydajność w granicach 8 - 10 szt./godz., jeśli wiadomo, że największy odsetek pracowników (45%) uzyskał wydajność w granicach 10 - 12 szt./godz., a wydajność 12 - 14 szt./godz., osiągnęło 15 % pracowników.

Zadanie 4.15 - na 5

Mediana zarobków 200 - osobowej grupy pracowników produkcyjnych w firmie A&B znajdowała się w przedziale 900 - 1200 zł, do którego to przedziału należało 40 pracowników i wynosiła 1050 zł. Oblicz ilu pracowników zarabiało mniej niż 900 zł?

*n_i

---