Zadania ze statystyki

Lista 5.

Estymatory parametrów badanej populacji i ich własności.

Zad. 1. Populacja generalna X ma rozkład określony funkcją gęstości postaci

f(x) =
, 0 < x < 1, a>0.

Z populacji tej losujemy n-elementową próbę prostą i jako estymator parametru a przyjmujemy średnią z próby
. Czy jest to estymator nieobciążony parametru a?

Zad. 2. Pewien proces produkcyjny zachodzi zgodnie z następującą funkcją gęstości

f(x) = k² x e^-kx dla x > 0.

Losujemy n-elementową próbę prostą i jako estymator parametru k przyjmujemy średnią z próby
. Czy jest to estymator przynajmniej asymptotycznie nieobciążony parametru k?

Zad. 3. Populacja ma rozkład skokowy, określony funkcją prawdopodobieństwa postaci

P (X = 2) = P ( X = 3) = P ( X = 4) =
.

Z populacji tej losujemy dwuelementową próbę prostą. Obliczyć wartość liczbową obciążenia estymatora
parametru s= D(X) tej populacji.

Zad. 4. W pewnym systemie masowej obsługi czas obsługi obiektu jest zmienną losową o rozkładzie określonym funkcją gęstości

f(x) =
, x ≥ 0, A > 0.

Celem oszacowania parametru A zbadano czasy obsługi dla czterech niezależnych i losowo wybranych obiektów, otrzymując następujące wyniki (w min.):

15,4; 13,8; 14,1; 16,7.

Jaką można podać w oparciu o te wyniki nieobciążoną ocenę parametru A (wraz z błędem standardowym szacunku)?

Zad. 5. Populacja generalna X ma rozkład normalny N (m, s). Zbadać, czy
obliczana z n-elementowej próby prostej jest estymatorem nieobciążonym parametru m.

Zad. 6. Wykazać, że średnia z próby
jest estymatorem nieobciążonym parametru λ w rozkładzie Poissona.

Zad. 7. Wiemy, że dla dowolnego rozkładu wartość oczekiwana wariancji z próby E (S²) =
. Obliczyć obciążenie estymatora S² parametru s² badanej populacji (n-liczebność próby prostej).

Zad. 8. Populacja generalna ma rozkład normalny N (m, s). Z populacji tej wylosowano n-elementową próbę prostą. Pokazać, że średnia arytmetyczna
z tej próby jest estymatorem najefektywniejszym parametru m, tj. średniej populacji tego rozkładu.

Zad. 9. Wiemy, że mediana Me z dużej próby prostej wylosowanej z populacji normalnej N (m, s) ma rozkład asymptotycznie normalny N (m,
). Zbadać, czy mediana z próby jest estymatorem najefektywniejszym średniej m populacji rozkładu normalnego.

Zad. 10. Znaleźć najmniejszą możliwą wariancję estymatora nieobciążonego wariancji s² populacji normalnej N (m, s) oraz zbadać, jak zwiększa się efektywność estymatora nieobciążonego
wariancji s² w tym rozkładzie, dla n = 4, 10, 100.

Zad. 11. Populacja generalna X ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem λ. Za estymator parametru λ przyjmujemy średnią arytmetyczną
z n-elementowej próby prostej. Zbadać efektywność tego estymatora.