8. POMIARY CZASU, CZĘSTOTLIWOŚCI

I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

Ćwiczenie nr 3

8.1. Cel ćwiczenia

Podstawowym celem ćwiczenia jest opanowanie analogowych i cyfrowych metod pomiaru przedziałów czasu, częstotliwości i kąta przesunięcia fazowego. Celem uzupełniającym jest utrwalenie umiejętności posługiwania się oscyloskopem oraz zbadanie właściwości metrologicznych cyfrowego miernika czasu i częstotliwości.

8.2. Wprowadzenie

8.2.1. Analogowe metody pomiarowe

Najczęściej stosowane są w praktyce oscyloskopowe metody pomiaru, częstotliwości i przesunięcia fazowego.

8.2.1.1. Metody graficzne

Najprostsza metoda pomiaru częstotliwości polega na graficznym zobrazowaniu na ekranie oscyloskopu fragmentu przebiegu badanego, zmierzeniu jego okresu i obliczeniu częstotliwości jako odwrotności okresu ze wzoru:

gdzie: x_τ - odstęp między odpowiednimi przejściami przez zero, D_tx współczynnik podstawy czasu.

Jest to metoda mało dokładna. Zakładając błąd pomiaru długości na ekranie oscyloskopu 0,5 mm, przy długości obrazu 10cm, dokładność pomiaru częstotliwości można oszacować na 0,5%.

W podobny sposób, ze zbliżoną dokładnością, można pomierzyć kąt przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma przebiegami okresowymi o tej samej częstotliwości. W tym przypadku potrzebny jest oscyloskop dwukanałowy. Podając przebiegi badane na wejścia obu kanałów oscyloskopu, na jego ekranie otrzymuje się obraz pokazany na rys. 8.1a.

Rys. 8.1. Obrazy na ekranie oscyloskopu wykorzystywane do graficznego pomiaru kąta przesunięcia fazowego: a) metodą bezpośrednią, b) metodą elipsy

Mierząc długość okresu x_T oraz długość odcinka między przejściami przez zero w tych samych fazach obu przebiegów x_τ , wartość przesunięcia fazowego oblicza się ze wzoru

Alternatywną metodą pomiaru przesunięcia fazowego oscyloskopem jedno-kanałowym jest metoda elipsy. Podając przebiegi badane odpowiednio na kanał Y i kanał X oscyloskopu, otrzymuje się na ekranie obraz elipsy, pokazany na rys. 8.1b.

Z kształtu elipsy można obliczyć kąt przesunięcia fazowego, posługując się wzorem:

Dokładność graficznych metod pomiaru częstotliwości i fazy nie jest duża i często są one wykorzystywane do wstępnych pomiarów o charakterze szacunkowym. Bardzo dużą dokładność pomiaru częstotliwości zapewniają metody porównania z wzorem, których błąd zależy głównie od dokładności generatora wzorcowego. Oscyloskop w takich metodach pełni rolę wskaźnika porównania.

8.2.1.2. Metody porównawcze

Najłatwiejszą w realizacji, a tym samym najczęściej stosowaną, jest metoda figur Lissajous.

Do 2 wejść Y i X oscyloskopu pracującego w trybie XY (z wyłączoną podstawą czasu) dołącza się odpowiednio przebieg badany i przebieg z generatora. Jeżeli stosunek obu częstotliwości jest równy liczbie całkowitej lub stosunkowi dwu liczb całkowitych, to na ekranie otrzymuje się nieruchomy obraz figury Lissajous. Drobna różnica częstotliwości powoduje obrót obrazu z szybkością proporcjonalną do odchyłki aktualnych częstotliwości od częstotliwości, dla których spełniony jest warunek stosunku dwu liczb całkowitych.

Rys. 8.2. Przykłady figur Lissajous: a) sposób obliczania stosunku częstotliwości metodą siecz-nych, b) , c) jak na rysunku b, lecz inna wartość faz początkowych obu sygnałów

Na rys. 8.2a. pokazany jest przykład figury Lissajous. Stosunek obu częstotliwości oblicza się metodą siecznych lub stycznych. W metodzie siecznych stosunek ten wyznacza się ze stosunku liczby przecięć prostej poziomej (siecznej poziomej) z obrazem figury do liczby takich przecięć prostej (siecznej) pionowej. Obie proste powinny być tak poprowadzone, aby nie przechodziły przez punkty węzłowe figury.

W metodzie stycznych stosunek częstotliwości oblicza się ze stosunku liczby punktów styczności z figurą Lissajous odpowiednio prostej poziomej i prostej pionowej, poprowadzonych stycznie do figury.

Do obliczania stosunku częstotliwości służy wzór :

gdzie:

n_x - liczba przecięć figury Lissajous z prostą poziomą,

n_y - liczba przecięć z prostą pionową,

m_x - liczba punktów styczności z prostą poziomą, m_y -liczba punktów styczności z prostą pionową.

Obraz figury Lissajous zależy nie tylko od stosunku częstotliwości przebiegów mierzonego i wzorcowego, lecz również od różnicy faz początkowych między obu przebiegami. Ilustruje to przykładowo rys. 8.2b i c, na którym pokazano figury Lissajous dla stosunków częstotliwości f_y / f_x = 2:5 dla dwóch różnych wartości faz początkowych.

Przy dużych stosunkach porównywanych częstotliwości trudno jest uzyskać na ekranie obraz nieruchomy. Niewielki dryft częstotliwości jednego ze źródeł powoduje, że obraz na ekranie zmienia kształt i jednocześnie się obraca, co jest wadą tej metody.

Rys. 8.3. Uproszczony układ pomiarowy, w którym uzyskuje się krzywe cykloidalne

Metoda krzywych cykloidalnych nie posiada tej wady, obrót figury nie jest w niej połączony ze zmianą kształtu. W metodzie tej przebiegi badany i wzorcowy podłącza się do oscyloskopu pracującego w trybie XY za pomocą układu pokazanego w formie uproszczonej na rys. 8.3.

Można wykazać, iż odchylenia plamki w kierunku osi X i Y opisane są wzorami

Ruch plamki opisywany tymi wzorami łatwo jest zintegrować graficznie jako ruch wierzchołka jednego z dwóch wektorów, z których
jeden opisany zależnościami , zawieszony w początku układu, obraca się z prędkością kątową , a drugi wektor , zawieszony na wierzchołku pierwszego, obraca się wokół tego wierzchołka z prędkością . Jeżeli kierunki ruchu obu wektorów są ze sobą zgodne, otrzymuje się na ekranie figurę nazywaną epicykloidą. (rys. 8.4) Jeżeli zaś kierunki ruchu wektorów są przeciwne, otrzymuje się figurę zwaną hipercykloidą. Niewielki dryft częstotliwości jednego ze źródeł powoduje obrót obrazu cykloidy bez zmiany jej kształtu, co jest zaletą metody. Zaletą jest też łatwość policzenia wierzchołków krzywej, co jest potrzebne do wyznaczenia stosunku obu częstotliwości.

Dla epicykloidy stosunek częstotliwości oblicza się ze wzoru:

Rys. 8.4. Widok epicykloidy oraz hipocykloidy dla f₁/f₂ = 2 i 3

Dla hipercykloidy:

Zależnie od stosunku amplitud obu przebiegów otrzymuje się różne kształty obrazu na ekranie, mimo niezmienionego stosunku częstotliwości. Widać to na rys. 8.5a

Rys.8.5. Obrazy krzywych cykloidalnych w zależności od amplitud przebiegów składowych:
a) epicykloidy, b) hipocykloidy dla stosunku częstotliwości 6:1

Aby uzyskać regularne kształty krzywych, zbliżone do koła, częstotliwość f₁ wybiera się jako częstotliwość wzorcową (f₁ = f_w) oraz dobiera się elementy R, C tak, aby spełniona była zależność

Dla spełnienia warunku

rezystor jest regulowany.

Zmianę kierunku ruchu jednego z wektorów uzyskuje się przestawieniem pozycji elementów R i C w odpowiedniej gałęzi.

Uproszczony układ pomiarowy pokazany na rys. 8.3 wymaga zastosowania oscyloskopu bez uziemionych płytek, który w praktyce spotyka się rzadko. Aby zrealizować metodę z użyciem oscyloskopów z uziemionymi kanałami X i Y, należy zastosować układ aplikacyjny pokazany na rys. 8.6

Separacja źródeł przebiegu mierzonego i wzorcowego została osiągnięta w tym układzie przez zastosowanie transformatorów separujących. Dodatkowe rezystory 100kΩ tworzą dzielniki symetryzujące układ.

Rys.8.6. Aplikacyjny układ pomiarowy realizacji metody cykloidalnej
z użyciem oscyloskopu z uziemionymi kanałami X/Y

Ze względu na potrzebę dodatkowego układu metoda nie jest często stosowana w praktyce. Włączono ją do ćwiczenia z tego względu, iż stanowi dobry przykład użycia oscyloskopu do modelowania i obserwacji złożonych zjawisk elektrycznych.

8.2.2. Cyfrowe metody pomiarowe

Istotę cyfrowych metod pomiarowych najłatwiej jest interpretować i analizować na przykładzie cyfrowego pomiaru odstępów czasu.

8.2.2.1. Pomiary odstępów czasu

Jeżeli początkowi mierzonego przedziału czasu przyporządkuje się impuls start, a końcowi przedziału impuls stop, to zasadę pomiaru można zilustrować rys. 8.7.

Rys.8.7. Zasada cyfrowego pomiaru przedziałów czasu

Impuls start, zaznaczający początek przedziału czasu T_x, otwiera bramkę elektroniczną, przez którą impulsy z generatora wzorcowego (nazywane często impulsami zegarowymi) są podawane na licznik. Impuls stop, zaznaczający koniec przedziału, zamyka bramkę i przerywa proces zliczania impulsów zegarowych przez licznik. Jeżeli liczbę zliczonych impulsów oznaczymy n, a okres impulsów zegarowych τ, to wynik pomiaru można zapisać

(8.11)

Zależność (8.11) jest przybliżona, obarczona między innymi błędem dyskretyzacji. Względny błąd pomiaru jest sumą trzech składowych: błędu dyskretyzacji , błędu wzorca i błędu bramkowania .

(8.12)

Najbardziej charakterystyczną i istotną dla metod cyfrowych składową jest błąd dyskretyzacji. Wartość bezwzględna błędu dyskretyzacji jest sumą dwóch składowych Δt₁ i Δt₂, zaznaczonych na rys. 8.7.

. (8.13)

Rys. 8.8. Rozkłady zmiennych losowych : Δt₁, Δt₂ i Δt₃

Składowe Δt₁ i Δt₂ są zmiennymi losowymi i z pomiaru na pomiar zmieniają się zgodnie z rozkładem równomiernym, jedna w przedziale , a druga w przedziale .

Suma 2 zmiennych losowych o rozkładach równomiernych, usytuowanych względem siebie tak jak pokazuje rys. 8.8, daje rozkład trójkątny, nazywany rozkładem Simpsona. Zatem błąd dyskretyzacji, który wyczerpująco jest opisywany rozkładem Simpsona, można oszacować za pomocą jednej liczby:

odchylenia standardowego

(8.14)

lub błędu maksymalnego

(8.15)

W praktyce pomiarowej najczęściej operuje się maksymalnym względnym błędem dyskretyzacji, którego wartość jest równa

. (8.16)

Błąd dyskretyzacji można zmniejszać zachowując warunek n → N, gdzie N jest pojemnością licznika, zależną od liczby jego dekad. Wówczas

. (8.17)

Wynika stąd wniosek, iż w pomiarach cyfrowych należy tak dobierać warunki pomiaru, aby wypełnienie licznika było możliwie największe. Przy małym wypełnieniu licznika błędy dyskretyzacji mogą być bardzo duże, sięgając 100 przy n=1. Stąd też mierniki cyfrowe są zaopatrzone w dzielniki impulsów zegarowych pozwalające zwiększać lub zmniejszać ich okres τ w zależności od długości mierzonego przedziału czasu. Jest to główna przyczyna tego, iż mierniki cyfrowe są z reguły przyrządami wielozakresowymi, przy czym zmiana zakresu może być dokonywana automatycznie. Schemat typowego cyfrowego miernika czasu jest pokazany na rys. 8.9.

Wielozakresowość miernika jest realizowana za pomocą przełączanego dzielnika częstotliwości. Wejściowe układy formujące pozwalają przypisywać impulsy startowe i stopowe narastającemu lub opadającemu zboczu impulsu wejściowego. Pozwala to mierzyć zarówno odstęp impulsów, jak też szerokość impulsu. Wszystkie możliwe sytuacje pomiarowe w zależności od ustawienia P₁ i P₂ są pokazane na rys. 8.10.

Rys. 8.9. Schemat blokowy cyfrowego miernika czasu

Drugim składnikiem błędu cyfrowej metody pomiaru czasu jest błąd wzorca.

(8.18)

Jest on zdeterminowany stabilnością częstotliwości generatora wzorcowego. Współczesne generatory są stabilizowane za pomocą rezonatorów kwarcowych, w których łatwo jest osiągnąć

(8.19)

w zależności od rodzaju stabilizacji temperaturowej rezonatora.

Rys. 8.10. Sytuacje pomiarowe w zależności od ustawienia i

Błąd bramkowania zależy od dokładności ustalenia momentu czasu przejścia przebiegów wejściowych przez zero lub przez wybrany poziom napięcia, który można ustalić w układach formujących. Dla odstępów czasu nie mniejszych od 1ms błąd ten jest pomijalny wobec pozostałych.

8.2.2.2. Cyfrowe pomiary częstotliwości.

Są stosowane dwie metody cyfrowego pomiaru częstotliwości:

I. Metoda zliczania liczby okresów we wzorcowym odstępie czasu, stosowana do pomiaru częstotliwości dużych .

II. Metoda pomiaru okresu (jednego lub wielu) odpowiednia do częstotliwości małych.

Schemat blokowy układu pomiarowego, w którym mogą być zrealizowane obie metody, jest pokazany na rys. 8.11.

Rys.8.11. Schemat blokowy cyfrowego miernika częstotliwości

W konfiguracji widocznej na rysunku układ służy do pomiaru częstotliwości małych. Przestawienie miejscami generatora wzorcowego oraz układu formującego tworzy konfigurację, w której możliwy jest pomiar częstotliwości dużych. Warto podkreślić, iż układ cyfrowego miernika częstotliwości składa się z tych samych bloków funkcjonalnych co cyfrowy miernik czasu. W konfiguracji do pomiaru małych częstotliwości (przez pomiar okresu), jest on niemal identyczny z miernikiem czasu. Dlatego też większość współczesnych mierników cyfrowych umożliwia pomiar częstotliwości, czasu i przesunięcia fazowego, Typowym przykładem mierników tego typu jest badany w ćwiczeniu częstościomierz/czasomierz cyfrowy typ HP-53131A firmy Hewlett Packard.

Dla metody zliczania okresów we wzorcowym czasie obowiązuje zależność

(8.20)

z której otrzymuje się (8.21)

Błąd pomiaru jest sumą błędu dyskretyzacji i błędu wzorca:

(8.22)

Aby zminimalizować błąd dyskretyzacji, jak już wykazaliśmy, należy dążyć do spełnienia warunku

(8.23)

Spełnienie tego warunku, np. w przypadku licznika 7 dekadowego (N = 10⁷ − 1), wymaga następujących czasów pomiaru:

przy

Jak widać, już przy f_x = 10kHz czas pomiaru jest niedopuszczalnie duży. Zatem, dla małych częstotliwości, w zakresie pasma akustycznego, należy stosować metodę pomiaru okresu, dla której obowiązuje zależność:

(8.24)

gdzie k jest liczbą mierzonych okresów.

Z zależności (8.24) otrzymuje się następujący wzór opisujący zależność wskazań licznika i mierzonej częstotliwości:

. (8.25)

Wadą metody, utrudniającą natychmiastowe przeliczanie wyniku, jest odwrotna proporcjonalność częstotliwości mierzonej i wskazań licznika. Wada ta w przeszłości ograniczała popularność metody, a obecnie przestała być przeszkodą w jej stosowaniu, ze względu na wyposażenie mierników w mikroprocesory, przeliczające wyniki pomiarów.

Błąd metody zawiera 3 składowe:

(8.26)

Dwie pierwsze składowe to błąd dyskretyzacji i błąd wzorca (analogicznie jak w poprzedniej metodzie), natomiast δ_b jest błędem bramkowania, wynikającym z niedokładności określania momentów początku i końca mierzonego okresu lub kilku okresów.

Dla ułatwienia racjonalnego doboru metody w cyfrowych pomiarach częstotliwości na rys. 8.12 przedstawiono wykresy błędów w funkcji częstotliwości obu metod dla przypadku typowego miernika częstotliwości o parametrach: f_w = 10⁷Hz, liczba dekad błąd wzorca , przy T_w = 1s i 0,1s oraz k = 1 i 10, .

Rys. 8.12. Krzywe ilustrujące dokładność obu cyfrowych metod pomiaru częstotliwości dla różnych zakresów częstotliwości mierzonych

Jak widać z wykresu, dla f_x ≥ 10kHz zdecydowanie korzystniejsza jest metoda I, dla f_x ≥ 1kHz korzystniejsza jest metoda II. W zakresie 1÷10kHz występują największe błędy porównywalne dla obu metod.

8.2.3 Obsługa przyrządu HP 53131A

Przyrząd HP-53131A firmy Hewlett Packard służy do pomiaru czasu, okresu oraz częstotliwości sygnałów w dwóch kanałach pomiarowych. Dzięki wbudowanemu mikroprocesorowi mierzone i obliczane są również dodatkowe parametry związane z doprowadzonymi do przyrządu sygnałami. Sterowanie wyborem mierzonej wielkości zostało ułatwione przez zastosowanie wyświetlacza alfanumerycznego oraz systemu menu związanego z klawiszami funkcyjnymi. Rozwiązanie to charakteryzuje się stosunkowo niewielką ilością klawiszy na płycie czołowej (rys. 8.13), pogrupowanych funkcjonalnie.

1. Klawisze wyboru funkcji pomiaru 9. Klawisze odtworzenia, zapisu

2. Klawisze wyboru funkcji kontroli konfiguracji, drukowania

3. Klawisze wyboru funkcji matematycznych 10. Konfiguracja sterowania bramką

4. Klawisz zmiany znaku (+/-) 11. Klawisze sterowania pomiarami

5. Klawisze wprowadzania danych 12. Klawisze ustawiania parametrów

6. Klawisz zatwierdzenia danych układu wejściowego kanału 1

7. Opcja kanału 3.0/5.0 GHz 13. Klawisze ustawiania parametrów

8. Wybór dodatkowych narzędzi układu wejściowego kanału 3

14. Wybór funkcji kalibracji

Rys. 8.13 Płyta czołowa przyrządu HP-53131A

8.2.3.1 Grupa wyboru wartości mierzonej

Pierwsza grupa wyboru mierzonej funkcji (pole „MEASURE”) liczy cztery klawisze:

- menu pomiarów częstotliwości i ich stosunku - klawisz „Freq&Ratio”

- menu pomiarów czasu i okresu - klawisz „Time&Period”

- menu pozostałych pomiarów - klawisz „Other Meas”

- menu sterowania czasem otwarcia bramki - klawisz „Gate&ExtArm”

Wyboru jednej z funkcji pomiaru częstotliwości dokonuje się naciskając klawisz „Freq&Ratio”. Na wyświetlaczu pojawiać się będą kolejno napisy określające funkcje:

- pomiar częstotliwości w kanale 1 „FREQUENCY 1”

- pomiar częstotliwości w kanale 2 „FREQUENCY 2”

- stosunek częstotliwości 1 do 2 „RATIO 1 TO 2”

- stosunek częstotliwości 2 do 1 „RATIO 2 TO 1”

Po wybraniu żądanej funkcji przyrząd automatycznie przystąpi do pomiarów. Następne dwie grupy menu są obsługiwane na takich samych zasadach.

Druga grupa funkcji związanych z klawiszem „Time&Period” obejmuje:

- pomiar odcinka czasu 1 → 2 „TIL 1 TO 2”

- pomiar okresu w kanale 1 „PERIOD 1”

- pomiar czasu narastania impulsu „RISETIME 1”

- pomiar czasu opadania impulsu „FALLTIME 1”

- pomiar czasu trwania impulsu „POS WIDTH 1”

- pomiar czasu pomiędzy impulsami „NEG WIDTH 1”

Pomiary te (oprócz pierwszej pozycji) są wykonywane dla sygnału doprowadzonego do kanału pierwszego przyrządu.

Trzecia grupa funkcji - wybór klawiszem „Other Meas”:

- pomiar ilości impulsów „TOTALIZE 1”

- pomiar przesunięcia fazowego „PHASE 1 TO 2”

- pomiar wypełnienia przebiegu w kanale 1 „DUTYCYCLE 1”

- pomiar napięcia szczytowego w kanale 1 „VOLT PEAKS 1”

- pomiar napięcia szczytowego w kanale 2 „VOLT PEAKS 2”

Czwarty klawisz grupy funkcji pomiarowych służy do wyboru trybu sterowania czasem otwarcia bramki. Sposób postępowania różni się jednak od opisanego poprzednio. Po naciśnięciu klawisza pojawi się jeden z napisów:

- ręcznie dobierany czas otwarcia bramki „GATE: TIME”

- automatyczny dobór czasu otwarcia bramki „GATE: AUTO”

- sterowanie bramki sygnałem zewnętrznym „GATE: EXTERNAL”

- czas otwarcia proporcjonalny do ilości cyfr „GATE: DIGITS”

Zmiany pomiędzy pozycjami menu dokonuje się przez naciskanie klawiszy kursorów umieszczonych z prawej strony wyświetlacza. Po wybraniu automatycznie dobieranego czasu otwarcia bramki wystarczy nacisnąć klawisz „Run” i przyrząd będzie wykonywał pomiary według tej nastawy. Natomiast dla pozostałych pozycji menu należy nacisnąć ponownie klawisz „Gate&ExtArm”, by pojawiła się możliwość ustawienia parametrów wybranego trybu pracy. W ćwiczeniu wykorzystywany jest tryb ręcznego doboru czasu otwarcia bramki i tylko on będzie omówiony. Po ponownym naciśnięciu klawisza „Gate&ExtArm” wyświetlany jest czas otwarcia bramki w postaci napisu „TIME” i jego aktualnej wartości. Prezentowaną liczbę można edytować za pomocą klawiszy kursorów. Klawisze „←” i „→” służą do zmiany pozycji kursora, a klawisze „↑” i „↓” do zmiany wartości edytowanej cyfry. Po ustaleniu nowej wartości czasu otwarcia bramki należy ją zatwierdzić naciskając klawisz „Enter”. Następnie pomiary uruchamia się przez naciśnięcie klawisza „Run”.

8.2.3.2. Grupa funkcji kontroli wartości mierzonej

Przyrząd posiada wbudowany mechanizm kontroli wartości mierzonej, polegający na wykrywaniu sytuacji przekroczenia wartości mierzonej poza wyznaczone granice. W grupie tej znalazły się tylko dwa klawisze umieszczone w polu „LIMITS”. Pierwszy z nich - „Uppr & Lower” służy do wprowadzania wartości granic: górnej i dolnej. Po naciśnięciu tego klawisza pojawia się napis „UPPR: 0.000000”. Korzystając z klawiszy „←”, „→”, „↑” i „↓” można ustawić górną granicę. Wprowadzoną wartość zatwierdza się klawiszem „Enter”. Po ponownym naciśnięciu klawisza „Upper&Lower” pojawia się napis: „LOWR: 0.000000” i można ustawić granicę dolną. Po wprowadzeniu wartości granic należy nacisnąć klawisz „Run”.

Drugi klawisz umieszczony w polu „Limits” służy do ustawienia trybu pracy funkcji kontroli wartości. Po naciśnięciu tego klawisza pojawia się jeden z napisów związanych z trybem pracy i aktualnym ustawieniem. Z każdym trybem pracy są związane dwa stany ustawienia:

- włączenie / wyłączenie funkcji kontroli „LIM: TEST: OFF”

„LIM: TEST: ON”

- zatrzymanie pomiarów po przekroczeniu wartości mierzonej jednej z granic

„ON FAIL: GO ON”

„ON FAIL: STOP”

- prezentacja wyników kontroli „SHOW: NUMBER”

„SHOW: GRAPH”

Przełączanie pomiędzy stanami trybu pracy uzyskiwane jest przez naciskanie klawiszy oznaczonych strzałkami. Po wybraniu trybu należy nacisnąć klawisz „Run”, by wznowić wykonywanie pomiarów. W trybie zatrzymania pomiarów po przekroczeniu granicy przez wartość zmierzoną, by wznowić pomiary, również należy nacisnąć klawisz „Run”.

8.2.3.3 Grupa funkcji matematycznych

Grupa funkcji matematycznych obejmuje operacje wykonywania operacji przeskalowania każdego wyniku pomiaru oraz obliczenia statystyczne. Klawisze obsługujące funkcje matematyczne znajdują się na polu „MATH”.

Klawisz „Scale&Offet” obejmuje ustawienia wartości związanych ze skalowaniem wyniku. Automatyczne obliczenia są wykonywane wg zależności: wynik = (pomiar x mnożnik) + przesunięcie. Nominalnie po włączeniu zasilania mnożnik jest równy jedności, a przesunięcie wynosi zero. Naciskając klawisz „Scale&Offset” uzyskuje się pozycje menu:

- ustawianie wartości mnożnika „SCAL: 1.000000”

- ustawianie wartości przesunięcia „OFFS: 0.000000”

- pobranie ostatnio pomierzonej wartości i jej wyświetlenie oraz użycie jako nowej wartości przesunięcia „SET OFFSET?”

- włączenie / wyłączenie obliczeń „MATH: OFF”

„MATH: ON”

- wzór na obliczanie wyniku „MATH HELP?”

Pierwsze dwie pozycje obejmują ustawianie wartości w podobny sposób jak przy ustawianiu granic kontroli. Ustawienie wartości przesunięcia bieżącym pomiarem następuje po naciśnięciu klawisza „Enter”. Włączanie i wyłączanie funkcji obliczeń wykonuje się klawiszami kursorów. Wybranie funkcji pomocy i naciśnięcie klawisza „Enter” spowoduje wyświetlenie napisu: „(MEAS X SCALE) + OFFS = RESULT” opisującego przeprowadzane obliczenia.

Klawisz „Stats” dotyczy menu funkcji obliczeń statystycznych. Menu to obejmuje:

- rodzaj wyświetlanej wartości na wyświetlaczu:

wartość odchyłki standardowej „SHOW: STD DEV”

wartość średnią „SHOW: MEAN”

wartość maksymalną „SHOW: MAX”

wartość minimalną „SHOW: MIN”

wartość aktualną „SHOW MEAS”

- ilość pomiarów wchodząca do obliczeń „N:”

- włączanie, wyłączanie obliczeń „STATS: ON”

„STATS: OFF”

- obliczenia z wartości mieszczących się w zadanych granicach lub z wszystkich pomiarów „USE: IN LIMIT”

„USE: ALL MEAS”

- konfigurację klawisza „Stop/Single” do wykonania pojedynczego pomiaru lub całej serii N pomiarów „ON SINGLE: 1”

„ON SINGLE: N”

Zasady ustawiania są podobne jak dla poprzednich menu. W trakcie wykonywania pomiarów i prezentacji obliczeń statystycznych klawisze „↑” i „↓” służą do szybkiej zmiany wyświetlanej wielkości.

8.2.3.4 Konfiguracja wejścia

W polach oznaczonych „CHANNEL 1” i „CHANNEL 2” znajdują się klawisze służące do ustawiania parametrów układów wejściowych. Cztery z nich są prostymi przełącznikami, natomiast z klawiszem „Trigger/Sensitivity” związane jest menu ustalające szereg parametrów układu formującego sygnał wejściowy:

- wybór automatycznie lub ręcznie ustalanego progu wyzwalania

„AUTO TRG: ON”

„AUTO TRG: OFF”.

- dla ustalanego ręcznie progu wyzwalania - ustalenie wartości napięcia progowego „LEVEL: 0.0000V”

- dla automatycznie ustalanego progu wyzwalania - ustalenie procentowej wartości progu wyzwalania „LEVEL: 50 PCT”

- rodzaj zbocza wyzwalającego: narastające „SLOPE: POS”

opadające „SLOPE: NEG”

- czułość wejścia: wysoka „SENSITIVITY: HI”

niska :SENSITIVITY: LO”

średnia „SENSITIVITY: MED”

- dla pomiaru czasu „TI 1 TO 2” przełącznik wejścia kanału pierwszego jako wspólnego dla generacji sygnału startu i stopu „COMMON 1: OFF”

„COMMON 1: ON”

Zasady wyboru i przełączania są podobne jak w poprzednich punktach. Wyjaśnienia wymaga jedynie określenie czułości wejścia. Jest to parametr określający najmniejszą wartość amplitudy sygnału wejściowego, dla której licznik jeszcze zlicza impulsy. Regulacja czułości pozwala na eliminację zakłóceń występujących w sygnale wejściowym, np. dodatkowego zafalowania o mniejszej amplitudzie w stosunku do amplitudy sygnału wejściowego.

Pozostałe cztery przełączniki to:

przełącznik wejście wysokoomowe (1MΩ) / niskoomowe (50 Ω)

przełącznik DC / AC

włącznik tłumika wejściowego 10X

włącznik filtru dolnoprzepustowego 100 kHz

8.2.4 Słownik terminologii angielskiej

attenuate - tłumienie

duty - wypełnienie

falltime - czas opadania

frequency - częstotliwość

limit - granica

period - okres

phase - faza

ratio - stosunek

risetime - czas narastania

sensitivity - czułość

slope - zbocze

8.3. Wykaz sprzętu pomiarowego

Oscyloskop OS-351 lub OS-352

Licznik uniwersalny HP 53131A

Generator PW-12

Generator KZ-1508A

Generator mocy PO-21

Laboratoryjny układ przesuwnika fazowego

Laboratoryjny układ obserwacji krzywych cykloidalnych

Laboratoryjny układ bramek

Przewody połączeniowe: 3xBNC-BNC, 2x BNC-bananki

Trójnik BNC, 2 zaciski laboratoryjne

8.4. Zadania pomiarowe

8.4.1. Oscyloskopowe pomiary częstotliwości i fazy

Oscyloskop może służyć do pomiaru częstotliwości i fazy. Należy jednak zdawać sobie sprawę z dużych błędów popełnianych podczas tych pomiarów. W zadaniach pomiarowych przedstawione zostaną dwie najczęściej wykorzystywane metody pomiaru częstotliwości oraz dwie metody pomiaru kąta przesunięcia fazowego. Dodatkowo zostanie przedstawiona metoda pomiaru częstotliwości z zastosowaniem krzywych cykloidalnych.

8.4.1.1. Pomiar częstotliwości metodą pomiaru okresu

Rys. 8.14. Pomiar częstotliwości oscyloskopem

Połączyć układ pomiarowy przedstawiony na rys. 8.14.

Ustawić częstotliwość generatora PO-21 równą 2 kHz. Ustalić optymalną wartość współczynnika podstawy czasu oscyloskopu tak, by na ekranie zmieścił się jeden okres sinusoidy uzyskanej z generatora.

Zmierzyć okres obserwowanego przebiegu, zapisując w tablicy 8.1 wynik pomiaru XT w centymetrach oraz wartość wybranego współczynnika podstawy czasu Dtx.

Tablica 8.1

XT	cm
Dtx	ms/cm
fx	Hz
fx	%

8.4.1.2 Pomiar częstotliwości metodą figur Lissajous

Zmontować układ pomiarowy pokazany na rys. 8.15. Ustawić na generatorze PW-12

Rys. 8.15. Pomiar częstotliwości metodą krzywych Lissajous

częstotliwość 400Hz, a na generatorze mocy PO-21 - 200Hz. Przed wykonaniem obserwacji ustawić

1 przełącznik TRIG SOURCE w położeniu X (tryb pracy XY oscyloskopu),

2 przedział zmian odchylania w kierunku osi X około 8cm, regulując napięcie wyjściowe generatora mocy,

3 przedział zmian odchylania w kierunku osi Y około 8cm, regulując wzmocnienie kanału Y.

Zaobserwować krzywe Lissajous dla częstotliwości generatora mocy: 200Hz, 266Hz, 300Hz, 400Hz, 533Hz, 600Hz, 700Hz, 800Hz. Zwrócić uwagę na możliwość wystąpienia przesunięcia mechanicznego skali generatora PO-21. W celu uzyskania nieruchomego obrazu zmieniać w małych granicach częstotliwość generatora PW-12 za pomocą czerwonego pokrętła płynnej regulacji częstotliwości.

Odrysować 2 wybrane figury dla częstotliwości różnych od 400Hz.

8.4.1.3 Obserwacja przebiegów cykloidalnych

Połączyć układ jak na rysunku 8.16. Ustawić na generatorze PW-12 częstotliwość 600Hz, a na PO-21 - 1200Hz. Napięcie wyjściowe około 1V. Przełącznik w układzie laboratoryjnym ustawić na obserwację epicykloid. Nastawy oscyloskopu pozostają takie same jak w punkcie 8.4.1.2

Rys 8.16. Schemat podłączenia układu do wizualizacji krzywych cykloidalnych

Zaobserwować oscylogramy epicykloid dla częstotliwości generatora PO-21 od 600Hz do 3000Hz. Zwrócić uwagę na figury o małej ilości pętli. Sprawdzić wpływ napięcia wyjściowego na kształt figur. Odrysować jedną dowolnie wybraną figurę, zanotować wartości częstotliwości wskazywane przez oba generatory. Następnie przełączyć układ na obserwację hipocykloid. Powtórzyć obserwacje dla tego samego zakresu częstotliwości. Również odrysować jedną figurę i zanotować częstotliwości obu generatorów.

8.4.1.4. Pomiar przesunięcia fazowego oscyloskopem dwukanałowym

Rys. 8.17. Pomiar kąta przesunięcia fazowego oscyloskopem dwukanałowym

Pomiaru dokonać w układzie pomiarowym pokazanym na rys. 8.17. Przed rozpoczęciem pomiarów należy:

1 ustawić częstotliwość generatora PO-21 na 1kHz,

2 przełącznik VERT MODE ustawić w położeniu CHOP ("siekany" tryb pracy dwukanałowej),

3 przełącznik wyboru źródła sygnału synchronizującego TRIG SOURCE ustawić w położeniu CHA,

4 współczynnik podstawy czasu ustawić równy 0.1 ms/cm,

5 regulując współczynnik wzmocnienia kanału YA lub YB doprowadzić do jednakowej amplitudy przebiegów z obu kanałów.

W tablicy 8.2 zanotować: XT - okres sinusoidy kreślonej na ekranie i X - odcinek proporcjonalny do kąta przesunięcia fazowego.

Tablica 8.2

XT	cm
X	cm
	%

8.4.1.5. Pomiar przesunięcia fazowego metodą figur Lissajous

Zmienić układ pomiarowy z rys. 8.17, podając sygnał wyjściowy z układu całkującego na wejście X oscyloskopu. Przed wykonaniem pomiarów należy:

1 przełącznik TRIG SOURCE ustawić w położeniu X (tryb pracy XY oscyloskopu),

2 regulując napięcie wyjściowe generatora mocy, ustalić przedział zmian odchylania w kierunku osi X na około 8cm,

3 regulując wzmocnienie kanału Y w sposób płynny, ustalić przedział zmian odchylania w kierunku osi Y na około 8cm.

Zmierzyć kąt przesunięcia fazowego notując wartości 2Xm i 2X0 w tablicy 8.3.

Tablica 8.3

2Xm	cm
2X0	cm
	%

8.4.1.6. Obliczenie teoretycznego przesunięcia fazowego

Zanotować wartości R=........... i C=........... zastosowanego układu całkującego w poprzednich punktach pomiarowych. Dla częstotliwości generatora f = 1kHz obliczyć wartość teoretyczną kąta przesunięcia fazowego , wiedząc że:

,
. (8.27)

8.4.2. Cyfrowe metody pomiaru czasu, częstotliwości i fazy

Zadania pomiarowe mają na celu poznanie właściwości nowoczesnego uniwersalnego przyrządu HP-53131A oraz zaprezentowanie wybranych metod cyfrowego pomiaru czasu, częstotliwości i fazy. Przyrząd ten posiada wewnątrz mikroprocesor, stąd szereg wyników pomiarów jest uzyskiwanych na podstawie obliczeń z prostych pomiarów sygnału wejściowego.

8.4.2.1. Pomiary czasu trwania i okresu powtarzania impulsów

Rys 8.18. Układ pomiaru parametrów czasowych impulsów prostokątnych

Przyrząd HP-53131A posiada kilka funkcji służących do pomiaru typowych parametrów przebiegu złożonego z prostokątnych impulsów. Połączyć układ jak na rysunku 8.18.

Na generatorze impulsów należy ustawić parametry:

- INT - generacja przebiegu o programowanym okresie i czasie trwania impulsów,

- okres 5000μs (nastawa 5,0,0,2),

- szerokość impulsu 1000μs (nastawa 1,0,0,2),

- napięcie wyjściowe na przełączniku napięcia wyjściowego 4.0V.

Oscyloskop w układzie pełni rolę kontrolną do obserwacji generowanego przebiegu. Należy dobrać parametry wzmocnienia w kanale Y oraz szybkość podstawy czasu, tak by na ekranie mieścił się jeden okres przebiegu. Naciskając klawisz "Time&Period" wybrać pomiar okresu "PERIOD 1". Zanotować zmierzoną wartość okresu powtarzania impulsów w tablicy 8.4. Następnie ustawić pomiar czasu trwania impulsu "POS WIDTH 1" i zanotować zmierzoną wartość. Funkcja "NEG WIDTH 1" służy do pomiaru czasu pomiędzy impulsami. Na podstawie czasu trwania impulsu i okresu należy obliczyć współczynnik wypełnienia przebiegu prostokątnego i wpisać go do tablicy 8.4.

Tablica 8.4

Okres powtarzania impulsów
Czas trwania impulsu
Czas trwania odstępu między impulsami
Współczynnik wypełnienia obliczony
Współczynnik wypełnienia zmierzony

Przyrząd HP-53131A posiada funkcję pomiaru współczynnika wypełnienia wybieraną z menu "Other Meas". Wybrać należy "DUTYCYCLE 1". Pomierzoną wartość współczynnika wypełnienia wpisać do tablicy 8.4.

8.4.2.2. Pomiar czasu

Rys. 8.19. Układ pomiaru czasu

Przyrząd HP 53131A posiada funkcję pomiaru czasu pomiędzy wystąpieniem sygnału START w kanale 1 a sygnałem STOP w kanale 2.

Połączyć układ pomiarowy jak na rys. 8.19.

Przed włączeniem generatora KZ-1508 ustawić:

- napięcie wyjściowe na

przełączniku 4.0V,

- dodatnią polaryzację

przebiegu wyjściowego

(POLARITY +).

Układ laboratoryjny zbudowany jest na bazie układu scalonego 74123, zawierającego dwa monostabilne przerzutniki o programowanym czasie trwania impulsu. Pierwszy przerzutnik jest wyzwalany narastającym zboczem przebiegu prostokątnego podanego na wejście układu, a drugi opadającym zboczem impulsu generowanego przez pierwszy przerzutnik. Drugi przerzutnik generuje krótki impuls na wyjściu układu.

Klawiszem "Time&Period" wybrać funkcję pomiaru czasu "TI 1 TO 2". Zapisać czas trwania impulsu pierwszego przerzutnika 74123: T1 = ......... . Zmienić w układzie rodzaj zbocza zatrzymującego pomiar czasu. W tym celu należy nacisnąć klawisz "Trigger/Sensitivity" w polu ustawień dla kanału 2, aż pojawi się napis "SLOPE: POS". Klawiszem kursora zmienić na "SLOPE: NEG", co oznacza aktywne opadające zbocze sygnału wejściowego. Nacisnąć klawisze "Enter" i "Run". Przy takim ustawieniu pomierzony zostaje łączny czas trwania impulsów obu przerzutników: T1+2 = .......... .

Obliczyć i zapisać czas trwania impulsu drugiego przerzutnika monostabilnego: T2 = ........... . Na zakończenie ponownie ustawić wyzwalanie narastającym zboczem sygnału w kanale 2.

8.4.2.3. Badanie metody cyfrowego pomiaru częstotliwości

Rys. 8.20. Układ pomiaru częstotliwości

Do wejścia przyrządu HP-53131A doprowadzić sygnał z generatora PW-12 jak na rys. 8.20. Na generatorze ustawić częstotliwość 5000Hz oraz napięcie wyjściowe 1V. Naciskając klawisz "Other Meas" przełączyć rodzaj pracy na "TOTALIZE 1". W tym trybie pracy przyrząd HP-53131A pokazuje ilość impulsów zliczonych przez licznik częstościomierza N przy zadanym czasie otwarcia bramki Tp. Ponieważ czas otwarcia bramki w tym przyrządzie można zmieniać, zatem daje się doświadczalnie sprawdzić zależność (8.21). Czas otwarcia bramki ustawia się w następujący sposób: Nacisnąć klawisz "Gate&ExtArm". Klawiszami kursorów zmienić menu aż do pojawienia się napisu "GATE: TIME". Nacisnąć ponownie klawisz "Gate&ExtArm". Pojawi się napis: "TIME: 0.100". Za pomocą klawiszy kursorowych zmienić wartość prezentowanej wartości czasu otwarcia bramki. Po ustaleniu nowej wartości nacisnąć klawisze "Enter" i "Run". Pomiary należy wykonać dla czasów otwarcia bramki podanych w tablicy 8.5 W ostatniej rubryce wpisać wyniki pomiaru z ustaloną dowolną wartością czasu otwarcia bramki z zakresu 1-10s.

Tablica 8.5

Tp	s	0,001	0,01	0,1	1	10	100
N
fx	Hz
ddyskr.	%

Po zakończeniu pomiarów ustawić czas otwarcia bramki na 0.1s

8.4.2.4. Pomiary stosunku dwóch częstotliwości

Zmienić układ pomiarowy z rys. 8.20 przez dołączenie generatora KZ-1508 do drugiego wejścia HP-53131A (CHANNEL 2).

Tablica 8.6

f1	Hz
f2	Hz
f1/f2 obliczone
f1/f2 pomierzone
f2/f1 pomierzone

Ustawienia generatora KZ-1508 mają pozostać takie same jak w punkcie 8.4.2.1.

Wykonać pomiar częstotliwości z wejścia 1 ("FREQUENCY 1") i zapisać wynik pomiaru w tablicy 8.6. Następnie przejść do pomiaru częstotliwości na wejściu 2: przycisk "Freq&Ratio" i napis "FREQUENCY 2". Zanotować wynik w tablicy. Obliczyć stosunek obu częstotliwości f1/f2 i zapisać w tablicy. Przyrząd wykonuje również obliczenia tego typu. Wybrać z menu "Freq&Ratio" - "RATIO 1 TO 2", wykonać pomiar i wynik zanotować w tablicy. Następnie wybrać pomiar "RATIO 2 TO 1". Wynik pomiaru zanotować w tablicy 8.6.

8.4.2.5 Kontrola częstotliwości

Przyrząd HP-53131A posiada możliwość kontroli częstotliwości, podczas której wartość mierzoną porównuje z zadanymi granicami i sygnalizuje ich przekroczenie.

Pozostawić układ pomiarowy z poprzedniego punktu. Przełączyć przyrząd HP-53131A na pomiar częstotliwości w kanale 1. Ustawić górną granicę częstotliwości na 5500Hz. Aby to wykonać, należy nacisnąć klawisz "Uppr&Lower", aż pojawi się napis "UPPR: 0.00000". Wartość ustawia się za pomocą kursorów, zatwierdza klawiszem "Enter". Następnie ustawić dolną granicę na 4500Hz - pozycja "LOWR: 0.000000". Po wprowadzeniu obu wartości należy zaprogramować tryb pracy. Nacisnąć klawisz 'Run". Wybrać tryb graficzny prezentacji wyników kontroli. Klawiszem "Limit Modes" ustawić "SHOW: NUMBER", klawiszami kursorów zmienić na "SHOW: GRAPH" i zatwierdzić klawiszem "Run". Ustawić częstotliwości na generatorze PW-12 z tablicy 8.7. W drugiej kolumnie narysować sposób sygnalizowania na wyświetlaczu przyrządu określonej sytuacji.

Tablica 8.7

Częstotliwość	Sytuacja	Sygnalizacja
3000 Hz	f << flow
4300 Hz	f < flow
5000 Hz
5700 Hz	f > fhigh
7000 Hz	f >> fhigh

Po zakończeniu ćwiczenia wyłączyć tryb kontroli częstotliwości: naciskając klawisz "Limits Mode" wybrać napis "LIM: TEST: ON" i klawiszami kursorów zmienić na "LIM TEST: OFF", nacisnąć klawisz "Run".

8.4.2.6. Cyfrowy pomiar stabilności częstotliwości drgań generatorów

Przyrząd HP-53131A posiada umiejętność wykonywania serii pomiarów i dokonywania obliczeń statystycznych. Ta właściwość zostanie wykorzystana do porównania stabilności generatora RC PW-12 i generatora impulsów KZ-1508A posiadającego kwarcowy wzorzec częstotliwości. Pozostawić należy poprzedni układ pomiarowy. Przed wykonaniem pomiarów należy ustawić równe częstotliwości pracy 5000Hz na obu generatorach (dla KZ-1508 nastawa 2,0,0,1).

Obsługa obliczeń matematycznych realizowana jest przez klawisze "Stats" w polu "MATH" na płycie czołowej przyrządu. Nacisnąć przycisk "Stats". Pojawi się napis "SHOW: MEAS". Klawiszami kursorów zmienić na napis "SHOW: STD DEV", wybór pomiaru odchyłki standardowej. Ponownie nacisnąć przycisk "Stats". Pojawi się liczba próbek N "N:100". Używając kursorów zmienić wartość N na 30. Liczbę zatwierdzić naciskając klawisz "Enter" i wystartować pomiar klawiszem "Run". Po pojawieniu się liczbowego wyniku pomiaru nacisnąć klawisz "Stop/Single". Wynik pomiaru odchyłki standardowej wpisać do tablicy 8.8.

Tablica 8.8

		PW-12	KZ-1508
fśr	Hz
std dev	Hz
fmax	Hz
fmin	Hz

Korzystając z klawiszy kursorów: i , można łatwo zmienić wyświetlaną wartość na inną z menu "SHOW:" Korzystając z tego mechanizmu uzupełnij tablicę. Po zmierzeniu parametrów sygnału generatora PW-12 za pomocą klawisza "Freq&Ratio" zmienić wykonywanie pomiarów na tryb "FREQUENCY 2" i wykonać pomiary sygnału z generatora KZ-1508.

Na koniec należy wyłączyć tryb pomiaru parametrów statystycznych. Naciskając klawisz "Stats" wyświetlić napis "STATS: ON", kursorami zmienić na "STATS: OFF" i nacisnąć klawisz "Run".

8.4.2.7. Cyfrowy pomiar kąta przesunięcia fazowego

Połączyć układ pomiarowy jak na rys. 8.21. Na skali generatora PO-21 ustawić częstotliwość 1000Hz, napięcie wyjściowe 2V.

Rys 8.21. Cyfrowy pomiar przesunięcia fazowego

Zmierzyć częstotliwość generowanego przebiegu oraz jego okres. Wartości wpisać do tablicy 8.9. Zmierzyć również czas opóźnienia wprowadzany przez badany układ całkujący. Do tego celu użyć funkcji "TI 1 TO 2". Obliczyć kąt przesunięcia fazowego z uzyskanych wyników. Obliczoną wartość wpisać do tablicy. Wykonać pomiar kąta przesunięcia fazowego korzystając z funkcji "PHASE 1 TO 2" z menu "Other Meas".

Tablica 8.9

f	Hz
T	ms
to	ms
obl.
pom.
obl. z RC

8.5. Opracowanie

Uzupełnić tablicę 8.1. Obliczyć błąd metody pomiaru częstotliwości, wiedząc że błąd generatora podstawy czasu oscyloskopu
wynosi 3%.

Załączyć rysunki figur Lissajous wykonane w p. 8.4.1.2. uzupełnione graficznym opisem sposobu wyznaczenia częstotliwości generatora mocy (dla obu figur).

Uzupełnić tablice. 8.2. i 8.3. Obliczyć błędy Dj pomiarów kąta fazowego stosowanymi w ćwiczeniu metodami. Skorzystać ze wzoru na różniczkę zupełną. Błąd względny dj pomiaru przesunięcia fazowego wyznaczyć jako stosunek obliczonej wartości Dj do zmierzonej wartości j. Sprawdzić, czy zmierzona wartość kąta przesunięcia fazowego mieści się w granicach wyznaczonego błędu, względem obliczonej teoretycznej wartości kąta przesunięcia fazowego.

Obliczyć błąd dyskretyzacji w tablicy 8.6.

Porównać niestabilność obu generatorów. Policzyć niestabilność względną
dla generatorów ze wzoru:
,

5. gdzie:

5. 
   - odpowiednio maksymalna i minimalna wartość częstotliwości w serii

5. pomiarów,

5. 
   - nominalna wartość częstotliwości generatora.

Uzupełnić tablicę 8.9. Obliczyć wartość teoretyczną przesunięcia fazowego ze znanych wartości RC i zmierzonej częstotliwości generatora.

Na podstawie wzorów podanych w części teoretycznej wyznaczyć częstotliwość generatora PO-21 z rysunku krzywej epicykloidalnej i hipocykloidalnej. Wzorcem częstotliwości jest generator PW-12 (zadanie dodatkowe).

---