2012-03-18

1

Podstawy metrologii

Wykład 3

Wynik pomiaru – wcześniej (1995r)

Wynik pomiaru x odwzorowujący wartość prawdziwą x

rz

jest

sumą wartości potencjalnie obserwowalnej x

o

i poprawki ∆x

p

.

Jest ona określona z błędem granicznym ∆x

max

.

p

o

rz

x

x

x

∆

+

=

r

rz

u

x

x

±

=

max

x

x

x

rz

∆

±

=

Wynik pomiaru - dzisiaj

Wynik pomiaru x, odwzorowujący wartość prawdziwą x

rz

jest

sumą wartości potencjalnie obserwowalnej x

o

i poprawki ∆x

p

.

Jest ona określona z niepewnością u

r

dla poziomu

prawdopodobieństwa p.

p

o

rz

x

x

x

∆

+

=

r

rz

u

x

x

±

=

u

k

x

x

rz

⋅

±

=

B

A

u

u

u

+

=

k = 1,96 (≈2) dla p=0,95

W trakcie pomiaru uzyskujemy wartości różniące się
od przewidywań teorii. Gdy doświadczenie staje się
doskonalsze, niepewności pomiarowe maleją. W
ogólności

rozbieżność

między

teorią

i

eksperymentem zależy od:

niedoskonałości człowieka (osoby wykonującej

pomiar)

niedoskonałości przyrządów pomiarowych

niedoskonałości obiektów mierzonych

Błąd metody i poprawka

błąd metody ∆

m

U

Błędy pomiaru

W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy
określenia:
Błąd bezwzględny:

∆x = x – x

rz

[wymiar x]

Błąd względny:

[bezwymiarowe]

[%]

gdzie
x–wartość zmierzona,
x

rz

–wartość rzeczywista

rz

x

x

x

∆

=

δ

100

rz

x

x

x

∆

=

δ

2012-03-18

2

∆x = x – x

rz

x–wartość zmierzona,
x

rz

–wartość rzeczywista

∆x = x – x

p

≈ x – x

rz

rz

x

x

x

∆

=

δ

POPRAWKA

∆x

p

= -

∆x = x

rz

- x

Podział błędów

Wyniki pomiarów podlegają pewnym prawidłowościom,
tzw. rozkładom typowym dla zmiennej losowej. Z tego
względu błędy dzielimy na:

Błędy grube (pomyłki) – należy je eliminować

Błędy systematyczne – należy wprowadzać poprawki

Błędy przypadkowe – podlegają rozkładowi Gaussa,

wynikają z wielu losowych przyczynków, nie dają się
wyeliminować

2012-03-18

3

RODZAJE BŁĘDÓW

Pomiar bezpośredni jest to pomiar, w którym estymatę mezurandu
(wartości prawdziwej) wyznacza się wprost ze wskazania przyrządu
pomiarowego.
Błąd pomiaru bezpośredniego ma w przypadku ogólnym trzy składowe:
• błąd instrumentalny wnoszony przez zastosowany przyrząd

pomiarowy,

• błąd odczytu popełniany przez człowieka przy odczytywaniu

wskazania przyrządu

• błąd metody powodowany nieidealnym sprzężeniem informacyjnym

między przyrządem a obiektem mierzonym.

Błąd prawidłowego odczytu wskazania przyrządu cyfrowego jest równy
zeru, błąd prawidłowego odczytu wskazania przyrządu analogowego
jest zwykle wliczany do błędu granicznego określonego w danych
przyrządu, błąd metody zależy od szczegółowych warunków danego
pomiaru.

Pomiar bezpośredni

Błąd instrumentalny

Błąd instrumentalny można traktować jako błąd systematyczny, tzn.
przyjmujący wartość niezmienną przy powtarzaniu pomiaru tej samej
wartości mezurandu w identycznych warunkach. Błąd instrumentalny
∆x jest nieznany co do wartości, wiadomo o nim, że spełnia warunek:

max

x

x

∆

≤

∆

Określa wytwórca

2012-03-18

4

Dopuszczalny obszar błędu
bezwzględnego i górna
połówka dopuszczalnego
obszaru błędu względnego
miernika analogowego klasy k

Pomiar ze stałym błędem bezwzględnym

Dopuszczalny obszar błędu
bezwzględnego i górna
połówka dopuszczalnego
obszaru błędu względnego
miernika cyfrowego o
granicznym błędzie:

δδδδx

R

w % odczytu +

δδδδx

FS

w % wartości zakresu;

Pomiar ze stałym błędem względnym

Przykład charakterystyki błędu

δδδδU

max

(górna połówka) woltomierza o podzakresach 0,1-1-10-

100-1000V, odczycie czterocyfrowym (9999), błędzie od wartości wskazanej

δδδδU

m

= 0,05% i

błędzie od końca zakresu

δδδδU

FS

= 0,01%

Niepewność pomiaru

, mezurand

2012-03-18

5

Błąd a niepewność pomiaru

Błąd pomiaru jest pojedynczą realizacją zmiennej
losowej (pomiaru) i ma charakter losowy. W praktyce
nie

znamy

wartości

rzeczywistych

wielkości

mierzonych

i

szacujemy

niepewność

pomiaru

(przedział, w którym z pewnym padopodobieństwem
będzie wynik) wynikający ze statystycznych praw
rozrzutu pomiarów.

Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem.

Istotny

jest

również

problem

niepewności

przypisywanej wielkości złożonej (wyliczanej ze wzoru
fizycznego) y=f(x

1

,x

2

,...x

n

).

Niepewność maksymalna

To podejście zakłada, że można określić przedział wielkości
mierzonej x, w którym na pewno znajdzie się wielkość
rzeczywista. W zapisie

x ±∆x

gdzie:

∆x jest niepewnością maksymalną

Nie trzeba posługiwać się rachunkiem prawdopodobieństwa.

Probabilistyczna teoria błędów Gaussa

Błędy powinny kompensować się !!!
Przy skończonej ilości pomiarów, może się zdarzyć, że
wyniki nie rozłożą się równomiernie wokół wartości
rzeczywistej.
Tym samym wartość średnia X jest jedynie blisko
położona wielkości rzeczywistej X

R

, ale nie równa jej.

Zbliżenie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria
pomiarowa.
Równość X = X

R

moglibyśmy napisać tylko dla serii

nieskończenie długiej pomiarów, ale przecież wykonanie
takiej serii jest praktycznie niemożliwe.

Aby się o tym przekonać należy zakres pomiarowy podzielić na przedziały
o równej szerokości ΔX i obliczyć ile pomiarów z serii zmieściło się w
każdym z nich. Liczbą przedziałów k:

Obwiednia dzwonowa poprowadzona po środkach schodków jest
pewnym wyidealizowaniem - pokazuje jak rozkład normalny wyglądałby
gdyby był funkcją ciągłą (dla N = ∞)

k

≤

≤

2

2012-03-18

6

Probabilistyczna teoria błędów Gaussa

Z jednego pomiaru nie możemy wnioskować o jego
dokładności. Do tego konieczna jest ich seria.
Otrzymujemy ją przez kilkukrotne, niezależne powtórzenie
rozpatrywanego pomiaru.
Wyniki w serii będą różnić się losowo. Oznaczmy je
X1,X2,X3, ....... XN gdzie N jest ilością powtórzeń pomiaru
w serii

Rozkład normalny Gaussa

Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub jej
błędu ∆x podlega rozkładowi Gaussa.















−

−

=

Φ

2

2

0

2

)

(

exp

2

1

)

(

σ

π

σ

x

x

x

x

0

jest wartością najbardziej prawdopodobną i może być nią

wartość średnia

∑

=

=

i

i

x

x

1

0

1

σ jest odchyleniem standardowym

W przedziale x

0

-σ< x< x

0

+σ mieści się około 68% wszystkich

pomiarów

Rozkład normalny Gaussa

Probabilistyczna teoria błędów Gaussa

Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości
średniej w tzw. krzywą Gaussa – mówi się o rozkładzie
Gaussa (normalnym)

Jest to podstawowe twierdzenie teorii błędów tzw.
pierwszy postulat Gaussa.

σ

X

x

X

−

=

Postać unormowana

Postać znormalizowana rozkładu Gaussa

σ

X

x

X

−

=

2012-03-18

7

Błąd przypadkowy i systematyczny

Klasyfikacja czynników błędu pomiaru uwzględniająca ich wpływ na
wyznaczanie wyniku pomiaru i towarzyszącej mu niepewności

Wykład 4

Obliczanie niepewności wg Przewodnika

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

,

BIPM / IEC / IFCC / ISO / IUPAC / IUPAP / OIML, 1995.

Wydanie polskie:

Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik

, Główny

Urząd Miar, 1999

Na najprostszą (ale nie najlepiej uzasadnioną teoretycznie)
metodę wg Przewodnika składają się działania, które
rozpoczyna określenie dwóch rodzajów tzw. niepewności
standardowych:

o

niepewności standardowej obliczanej metodą typu A,

o

niepewności standardowej obliczanej metodą typu B.

Typy oceny niepewności

Typ A

Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów:
• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru
• ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera

się

na

naukowym

osądzie

eksperymentatora

wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i źródłach
jego niepewności
• stosuje się niestatystyczne metody analizy
• dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru

Szacowanie błędu granicznego i

niepewności pomiaru na podstawie

serii pomiarów

2012-03-18

8

Niepewność standardowa u typu A

Jest miarą dokładności pomiaru uznawaną za podstawową.

Definicja mówi:
Niepewność standardowa u jest oszacowaniem odchylenia
standardowego.

1.Rezultat pomiaru to realizacja zmiennej losowej, której

rozrzut charakteryzuje parametr zwany odchyleniem
standardowym

2.Dokładnej wartości odchylenia standardowego nie znamy.

Niepewność standardowa jest jego oszacowaniem.

Obliczanie niepewności wg Przewodnika

Przewodnik zaleca stosowanie wartości
współczynnika rozszerzenia k, w następujący
sposób uzależnionego od poziomu ufności α:

u

k

u

r

⋅

=

Niepewność u posiada wymiar, taki sam jak wielkość
mierzona.

Niepewność względna u

r

(x) to stosunek niepewności

(bezwzględnej) do wielkości mierzonej:

Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową i może
być wyrażona w %

x

x

u

x

u

r

)

(

)

(

=

Obliczanie niepewności wielkości złożonej

(dla wielkości

nieskorelowanych

)

Niepewność standardową wielkości złożonej y=f(x

1

,x

2

,...x

n

)

szacuje się z tzw. prawa przenoszenia niepewności, jako sumę
geometryczną różniczek cząstkowych.

Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich

Jak obliczyć niepewność wyznaczonej wartości średniej?

wynosi 1

1.

2.

2012-03-18

9

3.

Przyjęto pewne uproszczenie!
Brak związku (korelacji) pomiędzy wielkościami wejściowymi

Przykład - niepewność pomiaru

Błąd od zakłóceń ma zwykle charakter przypadkowy (losowy) i jego wartość nie
jest znana. Zakłócenia powodują losowe zmiany wartości wskazywanej. Jeśli n-
krotnie odczyta się wskazania woltomierza w pewnych odstępach czasu, to
otrzyma się wartości: U

w,1

, U

w,2

, ..., U

w,i

, ..., U

w,n

.

Niepewność pomiaru

Przykład

Woltomierz odczytano 5-krotnie (dokonano n = 5 obserwacji) i otrzymano
wartości U

w,i

Niepewność pomiaru

Czy to jest błąd pomiaru ?

2012-03-18

10

Odchylenie standardowe

σ w teorii błędów nazywa się

odchyleniem średnim kwadratowym i oblicza się go z
wyrażenia:

Odchylenie std. pojedynczego pomiaru

Najczęściej wyznaczany jest jednak jako optymalny średnie
odchylenie kwadratowe σ

X

:

Odchylenie średnie kwadratowy jest najważniejszym i
najczęściej stosowanym wskaźnikiem do oceny dokładności
pomiaru.

To jeszcze nie jest błąd pomiaru !

Odchylenie std. średniej

Odchylenie standardowe a błąd przypadkowy

W zależności od przyjętego
poziomu prawdopodobieństwa
wyznaczany jest przedział w
którym może znaleźć się błąd
przypadkowy.

Dla p=0,95
k = 1,96 (

≈2)

Dla p=0,99
k=3

x

x

k

X

k

X

x

σ

σ

+

−

∈

∆

;

u

k

k

u

x

A

⋅

=

⋅

=

σ

Czy to jest dobry estymator ?

Mała ilość pomiarów

Gdy liczba pomiarów jest skończona, do szacowania odchylenia
standardowego zamiast rozkładu Gaussa stosuje się rozkład
uwzględniający skończoną (często niewielką) liczbę pomiarów w
postaci rozkładu t-Sudenta.
Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-Studenta ma kształt
podobny do gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa.

Wyznaczanie przedziału niepewności

u

A

= t

σ

x

= t u

)

,

(

)

,

(

p

k

f

p

f

t

=

=

k= N-1

Liczba stopni swobody

p

p

p

p

k

Przykład – przyjęcie a priori rozkładu Gaussa

Zależnie od przyjętego poziomu prawdopodobieństwa
ocenia się granice przypadkowego błędu pomiaru.

= 0,0136

X

σ

u

X

=

σ

= 0,0039

Odchylenie pojedynczego pomiaru w serii

Odchylenie średnie serii pomiarów

u

A

= 2*0,0039 = 0,0078

u

A

= 0,008

Dla p=0.95

Jedno miejsce znaczące !

2012-03-18

11

Przykład – przyjęcie rozkładu t-Studenta do obliczeń

= 0,0136

X

σ

u

X

=

σ

= 0,0039

Odchylenie pojedynczego pomiaru w serii

Odchylenie średnie serii pomiarów

u

A

= 2,21*0,0039 = 0,0086

u

A

= 0,009

Dla p=0.95

Jedno miejsce znaczące !

Dla N=12 czyli k=11
t= 2.21

Wniosek: Dla małej liczby pomiarów przyjmujemy
współczynnik rozszerzenia z tablic t-Studenta

Szacowanie błędu granicznego i

niepewności pomiaru

bezpośredniego - model

zdeterminowany

Przewodnik dopuszcza „randomizację” błędu systematycznego i
wprowadza do obliczeń założenie o hipotetycznym rozrzucie,
wynikającym z faktu, że ten sam błąd graniczny można
przyporządkować dużej populacji przyrządów wytwarzanych przez
tego samego, bądź różnych producentów.
Można w takiej sytuacji, według Przewodnika, niepewność
pomiaru obliczyć tzw. metodą typu B, zakładającą, że
hipotetyczny rozkład prawdopodobieństwa jest dobrze znany
wykonującemu pomiar na podstawie:
• wyników wcześniejszych pomiarów,
• doświadczenia dotyczącego zachowania używanego przyrządu,
• danych z wzorcowania używanego przyrządu,
• danych producenta,
• danych uzyskanych z literatury,
• modelu badanych zjawisk.

Znajomość błędu granicznego może w takiej sytuacji stanowić
dobrą podstawę dla skorzystania z metody typu B .

Typowy przykład pomiaru, w którym występuje pewien mezurand
xi,

o którego wartości wiadomo na pewno, że zawiera się w

przedziale (a-,a+), i że z jednakowym prawdopodobieństwem
może przyjmować każdą wartość z tego przedziału

.

Taka sytuacja ma miejsce przy pomiarach za pomocą większości
przyrządów pomiarowych stosowanych w pomiarach
technicznych. Dotyczy to przede wszystkim przyrządów z
odczytem cyfrowym!

Znana ze statystyki funkcja gęstości prawdopodobieństwa
rozkładu prostokątnego ma tu postać:

Można potraktować x

i

jako zmienną losową, której prawdopodobień-

stwo, że przybiera wartości spoza tego przedziału jest równe zeru, zaś
prawdopodobieństwo, że należy do tego przedziału jest równe 1.
Mamy tu zatem do czynienia z rozkładem prostokątnym, w którym
wartość oczekiwana xi jest środkiem przedziału o granicach x

i

± a, zaś

pole powierzchni tego rozkładu równa się 1 (prawdopodobieństwo p
= 1, czyli 100%)

Wartość średnia

Odchylenie standardowe

2012-03-18

12

Przeliczenie błędu instrumentalnego granicznego

na niepewność standardową

To nie wszystko !

Trzeba uwzględnić współczynnik rozszerzenia.
Dla rozkładu prostokątnego,
dla p=0,95
współczynnik k=1.65

Zatem:

max

max

95

,

0

3

65

,

1

)

(

x

x

x

u

B

∆

⋅

≈

∆

⋅

=

Jak już oszacowaliśmy niepewności typu A i B ?

Przykład

Z pomiaru mierzonej wielkości grubościomierzem ultradźwiękowym uzyskano
wynik pomiaru, odczytany z wyświetlacza cyfrowego:

g = 12,3 mm

Podana przez producenta informacja w DTR, wskazuje że dodatkowe błędy
pomiaru są mniejsze od 0,05% grubości mierzonej.

Błąd dyskretyzacji odczytu wynosi 0,1 mm. Podlega rozkładowi prostokątnemu.
Obliczony błąd dodatkowy wynosi 0,006 mm, co pozwala ją pominąć (ponad 10
razy mniejsza od błędu dyskretyzacji).

1

,

0

09526

,

0

3

1

,

0

65

,

1

≈

=

=

B

u

Po zaokrągleniu niepewność rozszerzona typu B odpowiada wartości błędu
dyskretyzacji.

Obliczanie niepewności wg Przewodnika

(

)

(

)

1

2

−

−

=

x

x

u

sr

A

B

A

u

u

u

+

=

k = 1,96 (≈2) dla p=0,95

3

max

u

u

B

=

(np. dla pomiaru z odczytem cyfrowym)

Niepewność std. typu A

Niepewność std. typu B

Niepewność std. łączna

Niepewność rozszerzona

u

k

u

r

⋅

=

(przykład dla pomiaru jednoparametrycznego)

Czy zawsze?

Komentarz

Gdy niepewności składowe podlegają rozkładowi normalnemu, albo gdy
występuje większa liczba składowych rozkład sumy rozkładów jest rozkładem
normalnym.

Ale suma dwóch rozkładów prostokątnych daje rozkład trójkątny.

Natomiast suma rozkładu normalnego i prostokątnego daje w wyniku rozkład
normalny.

W związku z tym, że niepewność typu A, szacuje się metodą statystyczną i
opisuje parametrami rozkładu normalnego (przy małej licznie próbek t-Studenta),
można przyjmować że suma rozkładów też będzie podlegać rozkładowi
normalnemu.

p

1

(x)

p

2

(x)

p(x)

Zaokrąglenie

wyników pomiarów

2012-03-18

13

Wartość liczbową niepewności pomiaru należy podawać najwyżej z
dwiema cyframi znaczącymi.
Wartość liczbową wyniku pomiaru należy w końcowej postaci zaokrąglić,
tak aby ostatnia znacząca cyfra wyniku pomiaru była na takim samym
miejscu, jak ostatnia znacząca cyfra niepewności rozszerzonej związanej
z wartością wyniku pomiaru.
Zaokrąglać należy zgodnie ze znanymi metodami zaokrąglania liczb
(bliższe dane dotyczące zaokrąglania znajdują się w ISO 31-0:1992,
załącznik B).
Jeżeli na skutek zaokrąglenia wartość liczbowa niepewności pomiaru
zwiększy się nie więcej niż o 10 %, należy podać wartość

zaokrągloną w

górę

.

Zaokrąglanie

Przy wyznaczaniu wartości liczbowej niepewności pomiarowej oraz jej
cyfr znaczących
posługujemy sie następującymi regułami zaokrąglania:

1. Wartość niepewności zawsze zaokrąglamy w górę.

2. Wstępnie niepewność zaokrąglamy do jednej cyfry (zwanej

znacząca).

3. Jeśli wstępne zaokrąglenie wartości niepewności powoduje wzrost

jej wartości o więcej niż 10%, to niepewność zaokrąglamy z
dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Zaokrąglanie

u = 0,1234236

Zaokrąglenie w górę (reguła 1) do jednej cyfry znaczącej daje u =0,2 m.
Względna zmiana wartości (0,2 − 0,1234236)/0,1234236 = 62%.

Zatem należy niepewność należy zaokrąglić do dwóch cyfr znaczących,
u= 0,13.
Tym razem względna zmiana wartości jest równa
(0,13− 0,1234236)/0,1234236 = 5%,

co oznacza, ze poprawna postacią niepewności jest u = 0,13 z dwiema
cyframi znaczącymi.

Zaokrąglanie - Przykład

DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI

KOŃCOWE:

PRZYKŁAD:

PRZYKŁAD:

Pewien

Pewien eksperymentator

eksperymentator wykonał

wykonał kilkaset

kilkaset

pomiarów

pomiarów grubości

grubości włosa

włosa ii uzyskał

uzyskał wynik

wynik::

100,543

100,543

6

6

787

787

2

2

341

341

1

1

±

±

±

±

±

±

±

± 5,800

5,800

2

2

341

341

7

7

894

894

4

4

3

3

µ

µµ

µµ

µµ

µm

m

rozmiar

rozmiar atomu

atomu

rozmiar jądra

rozmiar jądra

rozmiar kwarka

rozmiar kwarka

Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc z
lewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.

ZAPAMIĘTAJ POJĘCIE: CYFRA Z-ACZĄCA!

0,

12501

- 5 cyfr znaczących

0,0

12501

- 5 cyfr znaczących

0,0

125010

- 6 cyfr znaczących

PRZEPIS -A ZAOKRĄGLA-IE :

1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności

• ZAWSZE W GÓRĘ DO JED-EGO LUB

DWÓCH MIEJSC Z-ACZĄCYCH

Do jednego miejsca znaczącego, gdy

na skutek zaokrąglenia błąd ten nie

zwiększy się nie więcej niż o 10%

2012-03-18

14

1.

Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka
miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np.

123,37

6

02

0,13

2. Patrzymy na cyfrę:

3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy

według następujących zasad:

•

Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
tzn. gdyby wynik był 123,37489 to dostaniemy

123,37 ±

±±

± 0,13

Zaokrąglanie wyniku pomiaru

•

Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w
górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:

123,38

±

±±

±0,13

• Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a

po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od
zera

W sytuacji np. wyniku 123,3750000001

lub 123,3753210023

zaokrąglamy do

123,38

±

±±

± 0,13

-IE !!!

R = 123, 35602 Ω

Ω

Ω

Ω ±±±± 0,12501 Ω

Ω

Ω

Ω

TAK !!!!

R = 123,36 Ω

Ω

Ω

Ω ±±±± 0,13 Ω

Ω

Ω

Ω

PRAWIDŁOWO: 36,35

±±±± 0,04

0

C

2,5

±±±± 0,4 kg

3,71

⋅⋅⋅⋅10

-2

±±±± 0,02 ⋅⋅⋅⋅10

-2

m

NIEPRAWIDŁOWO: 36,35

±±±± 0,04

2,51

±±±± 0,4 kg

3,71

⋅⋅⋅⋅10

-2

±±±± 0,023 ⋅⋅⋅⋅10

-2

m

Parę słów o wykresach

Lepiej, ale czy dobrze ?

2012-03-18

15

Prawie dobrze !

Prawie, prawie !

Jeszcze się czepia !

No, nie !

OK !

Może jeszcze siatka ?

Pomiar grubości pręta suwmiarką elektroniczną

Test Chi kwadrat – jako test normalności rozkładu
Wartość graniczna 7,8 dla p=095
Wartość obliczona 36,8
Wniosek: nie spełnia hipotezy o normalności rozkładu

2012-03-18

16

x

i

– wyniki pomiarów

x

0

– wartość prawdziwa

wartość średnia

Komentarz

σ

x

= 0,147 mm

mm

n

u

x

A

01911

,

0

=

=

σ

mm

u

B

0057

,

0

3

01

,

0

3

=

=

δ

mm

u

u

u

B

A

0399

,

0

2

2

2

=

+

=

d = 15,41

±

±±

±0,04 mm

d

śr

= 15,414 mm