2012-03-18
1
Podstawy metrologii
Wykład 3
Wynik pomiaru – wcześniej (1995r)
Wynik pomiaru x odwzorowujący wartość prawdziwą x
rz
jest
sumą wartości potencjalnie obserwowalnej x
o
i poprawki ∆x
p
.
Jest ona określona z błędem granicznym ∆x
max
.
p
o
rz
x
x
x
∆
+
=
r
rz
u
x
x
±
=
max
x
x
x
rz
∆
±
=
Wynik pomiaru - dzisiaj
Wynik pomiaru x, odwzorowujący wartość prawdziwą x
rz
jest
sumą wartości potencjalnie obserwowalnej x
o
i poprawki ∆x
p
.
Jest ona określona z niepewnością u
r
dla poziomu
prawdopodobieństwa p.
p
o
rz
x
x
x
∆
+
=
r
rz
u
x
x
±
=
u
k
x
x
rz
⋅
±
=
B
A
u
u
u
+
=
k = 1,96 (≈2) dla p=0,95
W trakcie pomiaru uzyskujemy wartości róŜniące się
od przewidywań teorii. Gdy doświadczenie staje się
doskonalsze, niepewności pomiarowe maleją. W
ogólności
rozbieŜność
między
teorią
i
eksperymentem zaleŜy od:
niedoskonałości człowieka (osoby wykonującej
pomiar)
niedoskonałości przyrządów pomiarowych
niedoskonałości obiektów mierzonych
Błąd metody i poprawka
błąd metody ∆
m
U
Błędy pomiaru
W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy
określenia:
Błąd bezwzględny:
∆x = x – x
rz
[wymiar x]
Błąd względny:
[bezwymiarowe]
[%]
gdzie
x–wartość zmierzona,
x
rz
–wartość rzeczywista
rz
x
x
x
∆
=
δ
100
rz
x
x
x
∆
=
δ
2012-03-18
2
∆x = x – x
rz
x–wartość zmierzona,
x
rz
–wartość rzeczywista
∆x = x – x
p
≈ x – x
rz
rz
x
x
x
∆
=
δ
POPRAWKA
∆x
p
= -
∆x = x
rz
- x
Podział błędów
Wyniki pomiarów podlegają pewnym prawidłowościom,
tzw. rozkładom typowym dla zmiennej losowej. Z tego
względu błędy dzielimy na:
Błędy grube (pomyłki) – naleŜy je eliminować
Błędy systematyczne – naleŜy wprowadzać poprawki
Błędy przypadkowe – podlegają rozkładowi Gaussa,
wynikają z wielu losowych przyczynków, nie dają się
wyeliminować
2012-03-18
3
RODZAJE BŁĘDÓW
Pomiar bezpośredni jest to pomiar, w którym estymatę mezurandu
(wartości prawdziwej) wyznacza się wprost ze wskazania przyrządu
pomiarowego.
Błąd pomiaru bezpośredniego ma w przypadku ogólnym trzy składowe:
• błąd instrumentalny wnoszony przez zastosowany przyrząd
pomiarowy,
• błąd odczytu popełniany przez człowieka przy odczytywaniu
wskazania przyrządu
• błąd metody powodowany nieidealnym sprzężeniem informacyjnym
między przyrządem a obiektem mierzonym.
Błąd prawidłowego odczytu wskazania przyrządu cyfrowego jest równy
zeru, błąd prawidłowego odczytu wskazania przyrządu analogowego
jest zwykle wliczany do błędu granicznego określonego w danych
przyrządu, błąd metody zależy od szczegółowych warunków danego
pomiaru.
Pomiar bezpośredni
Błąd instrumentalny
Błąd instrumentalny można traktować jako błąd systematyczny, tzn.
przyjmujący wartość niezmienną przy powtarzaniu pomiaru tej samej
wartości mezurandu w identycznych warunkach. Błąd instrumentalny
∆x jest nieznany co do wartości, wiadomo o nim, że spełnia warunek:
max
x
x
∆
≤
∆
Określa wytwórca
2012-03-18
4
Dopuszczalny obszar błędu
bezwzględnego i górna
połówka dopuszczalnego
obszaru błędu względnego
miernika analogowego klasy k
Pomiar ze stałym błędem bezwzględnym
Dopuszczalny obszar błędu
bezwzględnego i górna
połówka dopuszczalnego
obszaru błędu względnego
miernika cyfrowego o
granicznym błędzie:
δδδδx
R
w % odczytu +
δδδδx
FS
w % wartości zakresu;
Pomiar ze stałym błędem względnym
Przykład charakterystyki błędu
δδδδU
max
(górna połówka) woltomierza o podzakresach 0,1-1-10-
100-1000V, odczycie czterocyfrowym (9999), błędzie od wartości wskazanej
δδδδU
m
= 0,05% i
błędzie od końca zakresu
δδδδU
FS
= 0,01%
Niepewność pomiaru
, mezurand
2012-03-18
5
Błąd a niepewność pomiaru
Błąd pomiaru jest pojedynczą realizacją zmiennej
losowej (pomiaru) i ma charakter losowy. W praktyce
nie
znamy
wartości
rzeczywistych
wielkości
mierzonych
i
szacujemy
niepewność
pomiaru
(przedział, w którym z pewnym padopodobieństwem
będzie wynik) wynikający ze statystycznych praw
rozrzutu pomiarów.
Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem.
Istotny
jest
równieŜ
problem
niepewności
przypisywanej wielkości złoŜonej (wyliczanej ze wzoru
fizycznego) y=f(x
1
,x
2
,...x
n
).
Niepewność maksymalna
To podejście zakłada, Ŝe moŜna określić przedział wielkości
mierzonej x, w którym na pewno znajdzie się wielkość
rzeczywista. W zapisie
x ±∆x
gdzie:
∆x jest niepewnością maksymalną
Nie trzeba posługiwać się rachunkiem prawdopodobieństwa.
Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
Błędy powinny kompensować się !!!
Przy skończonej ilości pomiarów, może się zdarzyć, że
wyniki nie rozłożą się równomiernie wokół wartości
rzeczywistej.
Tym samym wartość średnia X jest jedynie blisko
położona wielkości rzeczywistej X
R
, ale nie równa jej.
Zbliżenie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria
pomiarowa.
Równość X = X
R
moglibyśmy napisać tylko dla serii
nieskończenie długiej pomiarów, ale przecież wykonanie
takiej serii jest praktycznie niemożliwe.
Aby się o tym przekonać należy zakres pomiarowy podzielić na przedziały
o równej szerokości ΔX i obliczyć ile pomiarów z serii zmieściło się w
każdym z nich. Liczbą przedziałów k:
Obwiednia dzwonowa poprowadzona po środkach schodków jest
pewnym wyidealizowaniem - pokazuje jak rozkład normalny wyglądałby
gdyby był funkcją ciągłą (dla N = ∞)
k
≤
≤
2
2012-03-18
6
Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
Z jednego pomiaru nie możemy wnioskować o jego
dokładności. Do tego konieczna jest ich seria.
Otrzymujemy ją przez kilkukrotne, niezależne powtórzenie
rozpatrywanego pomiaru.
Wyniki w serii będą różnić się losowo. Oznaczmy je
X1,X2,X3, ....... XN gdzie N jest ilością powtórzeń pomiaru
w serii
Rozkład normalny Gaussa
Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub jej
błędu ∆x podlega rozkładowi Gaussa.
−
−
=
Φ
2
2
0
2
)
(
exp
2
1
)
(
σ
π
σ
x
x
x
x
0
jest wartością najbardziej prawdopodobną i moŜe być nią
wartość średnia
∑
=
=
i
i
x
x
1
0
1
σ jest odchyleniem standardowym
W przedziale x
0
-σ< x< x
0
+σ mieści się około 68% wszystkich
pomiarów
Rozkład normalny Gaussa
Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości
średniej w tzw. krzywą Gaussa – mówi się o rozkładzie
Gaussa (normalnym)
Jest to podstawowe twierdzenie teorii błędów tzw.
pierwszy postulat Gaussa.
σ
X
x
X
−
=
Postać unormowana
Postać znormalizowana rozkładu Gaussa
σ
X
x
X
−
=
2012-03-18
7
Błąd przypadkowy i systematyczny
Klasyfikacja czynników błędu pomiaru uwzględniająca ich wpływ na
wyznaczanie wyniku pomiaru i towarzyszącej mu niepewności
Wykład 4
Obliczanie niepewności wg Przewodnika
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement
,
BIPM / IEC / IFCC / ISO / IUPAC / IUPAP / OIML, 1995.
Wydanie polskie:
Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik
, Główny
Urząd Miar, 1999
Na najprostszą (ale nie najlepiej uzasadnioną teoretycznie)
metodę wg Przewodnika składają się działania, które
rozpoczyna określenie dwóch rodzajów tzw. niepewności
standardowych:
o
niepewności standardowej obliczanej metodą typu A,
o
niepewności standardowej obliczanej metodą typu B.
Typy oceny niepewności
Typ A
Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów:
• wymaga odpowiednio duŜej liczby powtórzeń pomiaru
• ma zastosowanie do błędów przypadkowych
Typ B
Opiera
się
na
naukowym
osądzie
eksperymentatora
wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i źródłach
jego niepewności
• stosuje się niestatystyczne metody analizy
• dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru
Szacowanie błędu granicznego i
niepewności pomiaru na podstawie
serii pomiarów
2012-03-18
8
Niepewność standardowa u typu A
Jest miarą dokładności pomiaru uznawaną za podstawową.
Definicja mówi:
Niepewność standardowa u jest oszacowaniem odchylenia
standardowego.
1.Rezultat pomiaru to realizacja zmiennej losowej, której
rozrzut charakteryzuje parametr zwany odchyleniem
standardowym
2.Dokładnej wartości odchylenia standardowego nie znamy.
Niepewność standardowa jest jego oszacowaniem.
Obliczanie niepewności wg Przewodnika
Przewodnik zaleca stosowanie wartości
współczynnika rozszerzenia k, w następujący
sposób uzaleŜnionego od poziomu ufności α:
u
k
u
r
⋅
=
Niepewność u posiada wymiar, taki sam jak wielkość
mierzona.
Niepewność względna u
r
(x) to stosunek niepewności
(bezwzględnej) do wielkości mierzonej:
Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową i moŜe
być wyraŜona w %
x
x
u
x
u
r
)
(
)
(
=
Obliczanie niepewności wielkości złożonej
(dla wielkości
nieskorelowanych
)
Niepewność standardową wielkości złoŜonej y=f(x
1
,x
2
,...x
n
)
szacuje się z tzw. prawa przenoszenia niepewności, jako sumę
geometryczną różniczek cząstkowych.
Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich
Jak obliczyć niepewność wyznaczonej wartości średniej?
wynosi 1
1.
2.
2012-03-18
9
3.
Przyjęto pewne uproszczenie!
Brak związku (korelacji) pomiędzy wielkościami wejściowymi
Przykład - niepewność pomiaru
Błąd od zakłóceń ma zwykle charakter przypadkowy (losowy) i jego wartość nie
jest znana. Zakłócenia powodują losowe zmiany wartości wskazywanej. Jeśli n-
krotnie odczyta się wskazania woltomierza w pewnych odstępach czasu, to
otrzyma się wartości: U
w,1
, U
w,2
, ..., U
w,i
, ..., U
w,n
.
Niepewność pomiaru
Przykład
Woltomierz odczytano 5-krotnie (dokonano n = 5 obserwacji) i otrzymano
wartości U
w,i
Niepewność pomiaru
Czy to jest błąd pomiaru ?
2012-03-18
10
Odchylenie standardowe
σ w teorii błędów nazywa się
odchyleniem średnim kwadratowym i oblicza się go z
wyrażenia:
Odchylenie std. pojedynczego pomiaru
Najczęściej wyznaczany jest jednak jako optymalny średnie
odchylenie kwadratowe σ
X
:
Odchylenie średnie kwadratowy jest najważniejszym i
najczęściej stosowanym wskaźnikiem do oceny dokładności
pomiaru.
To jeszcze nie jest błąd pomiaru !
Odchylenie std. średniej
Odchylenie standardowe a błąd przypadkowy
W zależności od przyjętego
poziomu prawdopodobieństwa
wyznaczany jest przedział w
którym może znaleźć się błąd
przypadkowy.
Dla p=0,95
k = 1,96 (
≈2)
Dla p=0,99
k=3
x
x
k
X
k
X
x
σ
σ
+
−
∈
∆
;
u
k
k
u
x
A
⋅
=
⋅
=
σ
Czy to jest dobry estymator ?
Mała ilość pomiarów
Gdy liczba pomiarów jest skończona, do szacowania odchylenia
standardowego zamiast rozkładu Gaussa stosuje się rozkład
uwzględniający skończoną (często niewielką) liczbę pomiarów w
postaci rozkładu t-Sudenta.
Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-Studenta ma kształt
podobny do gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa.
Wyznaczanie przedziału niepewności
u
A
= t
σ
x
= t u
)
,
(
)
,
(
p
k
f
p
f
t
=
=
k= N-1
Liczba stopni swobody
p
p
p
p
k
Przykład – przyjęcie a priori rozkładu Gaussa
Zależnie od przyjętego poziomu prawdopodobieństwa
ocenia się granice przypadkowego błędu pomiaru.
= 0,0136
X
σ
u
X
=
σ
= 0,0039
Odchylenie pojedynczego pomiaru w serii
Odchylenie średnie serii pomiarów
u
A
= 2*0,0039 = 0,0078
u
A
= 0,008
Dla p=0.95
Jedno miejsce znaczące !
2012-03-18
11
Przykład – przyjęcie rozkładu t-Studenta do obliczeń
= 0,0136
X
σ
u
X
=
σ
= 0,0039
Odchylenie pojedynczego pomiaru w serii
Odchylenie średnie serii pomiarów
u
A
= 2,21*0,0039 = 0,0086
u
A
= 0,009
Dla p=0.95
Jedno miejsce znaczące !
Dla N=12 czyli k=11
t= 2.21
Wniosek: Dla małej liczby pomiarów przyjmujemy
współczynnik rozszerzenia z tablic t-Studenta
Szacowanie błędu granicznego i
niepewności pomiaru
bezpośredniego - model
zdeterminowany
Przewodnik dopuszcza „randomizację” błędu systematycznego i
wprowadza do obliczeń założenie o hipotetycznym rozrzucie,
wynikającym z faktu, że ten sam błąd graniczny można
przyporządkować dużej populacji przyrządów wytwarzanych przez
tego samego, bądź różnych producentów.
Można w takiej sytuacji, według Przewodnika, niepewność
pomiaru obliczyć tzw. metodą typu B, zakładającą, że
hipotetyczny rozkład prawdopodobieństwa jest dobrze znany
wykonującemu pomiar na podstawie:
• wyników wcześniejszych pomiarów,
• doświadczenia dotyczącego zachowania używanego przyrządu,
• danych z wzorcowania używanego przyrządu,
• danych producenta,
• danych uzyskanych z literatury,
• modelu badanych zjawisk.
Znajomość błędu granicznego może w takiej sytuacji stanowić
dobrą podstawę dla skorzystania z metody typu B .
Typowy przykład pomiaru, w którym występuje pewien mezurand
xi,
o którego wartości wiadomo na pewno, że zawiera się w
przedziale (a-,a+), i że z jednakowym prawdopodobieństwem
może przyjmować każdą wartość z tego przedziału
.
Taka sytuacja ma miejsce przy pomiarach za pomocą większości
przyrządów pomiarowych stosowanych w pomiarach
technicznych. Dotyczy to przede wszystkim przyrządów z
odczytem cyfrowym!
Znana ze statystyki funkcja gęstości prawdopodobieństwa
rozkładu prostokątnego ma tu postać:
Można potraktować x
i
jako zmienną losową, której prawdopodobień-
stwo, że przybiera wartości spoza tego przedziału jest równe zeru, zaś
prawdopodobieństwo, że należy do tego przedziału jest równe 1.
Mamy tu zatem do czynienia z rozkładem prostokątnym, w którym
wartość oczekiwana xi jest środkiem przedziału o granicach x
i
± a, zaś
pole powierzchni tego rozkładu równa się 1 (prawdopodobieństwo p
= 1, czyli 100%)
Wartość średnia
Odchylenie standardowe
2012-03-18
12
Przeliczenie błędu instrumentalnego granicznego
na niepewność standardową
To nie wszystko !
Trzeba uwzględnić współczynnik rozszerzenia.
Dla rozkładu prostokątnego,
dla p=0,95
współczynnik k=1.65
Zatem:
max
max
95
,
0
3
65
,
1
)
(
x
x
x
u
B
∆
⋅
≈
∆
⋅
=
Jak już oszacowaliśmy niepewności typu A i B ?
Przykład
Z pomiaru mierzonej wielkości grubościomierzem ultradźwiękowym uzyskano
wynik pomiaru, odczytany z wyświetlacza cyfrowego:
g = 12,3 mm
Podana przez producenta informacja w DTR, wskazuje Ŝe dodatkowe błędy
pomiaru są mniejsze od 0,05% grubości mierzonej.
Błąd dyskretyzacji odczytu wynosi 0,1 mm. Podlega rozkładowi prostokątnemu.
Obliczony błąd dodatkowy wynosi 0,006 mm, co pozwala ją pominąć (ponad 10
razy mniejsza od błędu dyskretyzacji).
1
,
0
09526
,
0
3
1
,
0
65
,
1
≈
=
=
B
u
Po zaokrągleniu niepewność rozszerzona typu B odpowiada wartości błędu
dyskretyzacji.
Obliczanie niepewności wg Przewodnika
(
)
(
)
1
2
−
−
=
x
x
u
sr
A
B
A
u
u
u
+
=
k = 1,96 (≈2) dla p=0,95
3
max
u
u
B
=
(np. dla pomiaru z odczytem cyfrowym)
Niepewność std. typu A
Niepewność std. typu B
Niepewność std. łączna
Niepewność rozszerzona
u
k
u
r
⋅
=
(przykład dla pomiaru jednoparametrycznego)
Czy zawsze?
Komentarz
Gdy niepewności składowe podlegają rozkładowi normalnemu, albo gdy
występuje większa liczba składowych rozkład sumy rozkładów jest rozkładem
normalnym.
Ale suma dwóch rozkładów prostokątnych daje rozkład trójkątny.
Natomiast suma rozkładu normalnego i prostokątnego daje w wyniku rozkład
normalny.
W związku z tym, Ŝe niepewność typu A, szacuje się metodą statystyczną i
opisuje parametrami rozkładu normalnego (przy małej licznie próbek t-Studenta),
moŜna przyjmować Ŝe suma rozkładów teŜ będzie podlegać rozkładowi
normalnemu.
p
1
(x)
p
2
(x)
p(x)
Zaokrąglenie
wyników pomiarów
2012-03-18
13
Wartość liczbową niepewności pomiaru należy podawać najwyżej z
dwiema cyframi znaczącymi.
Wartość liczbową wyniku pomiaru należy w końcowej postaci zaokrąglić,
tak aby ostatnia znacząca cyfra wyniku pomiaru była na takim samym
miejscu, jak ostatnia znacząca cyfra niepewności rozszerzonej związanej
z wartością wyniku pomiaru.
Zaokrąglać należy zgodnie ze znanymi metodami zaokrąglania liczb
(bliższe dane dotyczące zaokrąglania znajdują się w ISO 31-0:1992,
załącznik B).
Jeżeli na skutek zaokrąglenia wartość liczbowa niepewności pomiaru
zwiększy się nie więcej niż o 10 %, należy podać wartość
zaokrągloną w
górę
.
Zaokrąglanie
Przy wyznaczaniu wartości liczbowej niepewności pomiarowej oraz jej
cyfr znaczących
posługujemy sie następującymi regułami zaokrąglania:
1. Wartość niepewności zawsze zaokrąglamy w górę.
2. Wstępnie niepewność zaokrąglamy do jednej cyfry (zwanej
znacząca).
3. Jeśli wstępne zaokrąglenie wartości niepewności powoduje wzrost
jej wartości o więcej niż 10%, to niepewność zaokrąglamy z
dokładnością do dwóch cyfr znaczących.
Zaokrąglanie
u = 0,1234236
Zaokrąglenie w górę (reguła 1) do jednej cyfry znaczącej daje u =0,2 m.
Względna zmiana wartości (0,2 − 0,1234236)/0,1234236 = 62%.
Zatem należy niepewność należy zaokrąglić do dwóch cyfr znaczących,
u= 0,13.
Tym razem względna zmiana wartości jest równa
(0,13− 0,1234236)/0,1234236 = 5%,
co oznacza, ze poprawna postacią niepewności jest u = 0,13 z dwiema
cyframi znaczącymi.
Zaokrąglanie - Przykład
DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI
KOŃCOWE:
PRZYKŁAD:
PRZYKŁAD:
Pewien
Pewien eksperymentator
eksperymentator wykonał
wykonał kilkaset
kilkaset
pomiarów
pomiarów grubości
grubości włosa
włosa ii uzyskał
uzyskał wynik
wynik::
100,543
100,543
6
6
787
787
2
2
341
341
1
1
±
±
±
±
±
±
±
± 5,800
5,800
2
2
341
341
7
7
894
894
4
4
3
3
µ
µµ
µµ
µµ
µm
m
rozmiar
rozmiar atomu
atomu
rozmiar jądra
rozmiar jądra
rozmiar kwarka
rozmiar kwarka
Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc z
lewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.
ZAPAMIĘTAJ POJĘCIE: CYFRA Z-ACZĄCA!
0,
12501
- 5 cyfr znaczących
0,0
12501
- 5 cyfr znaczących
0,0
125010
- 6 cyfr znaczących
PRZEPIS -A ZAOKRĄGLA-IE :
1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności
• ZAWSZE W GÓRĘ DO JED-EGO LUB
DWÓCH MIEJSC Z-ACZĄCYCH
Do jednego miejsca znaczącego, gdy
na skutek zaokrąglenia błąd ten nie
zwiększy się nie więcej niż o 10%
2012-03-18
14
1.
Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka
miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np.
123,37
6
02
0,13
2. Patrzymy na cyfrę:
3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy
według następujących zasad:
•
Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
tzn. gdyby wynik był 123,37489 to dostaniemy
123,37 ±
±±
± 0,13
Zaokrąglanie wyniku pomiaru
•
Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w
górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:
123,38
±
±±
±0,13
• Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a
po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od
zera
W sytuacji np. wyniku 123,3750000001
lub 123,3753210023
zaokrąglamy do
123,38
±
±±
± 0,13
-IE !!!
R = 123, 35602 Ω
Ω
Ω
Ω ±±±± 0,12501 Ω
Ω
Ω
Ω
TAK !!!!
R = 123,36 Ω
Ω
Ω
Ω ±±±± 0,13 Ω
Ω
Ω
Ω
PRAWIDŁOWO: 36,35
±±±± 0,04
0
C
2,5
±±±± 0,4 kg
3,71
⋅⋅⋅⋅10
-2
±±±± 0,02 ⋅⋅⋅⋅10
-2
m
NIEPRAWIDŁOWO: 36,35
±±±± 0,04
2,51
±±±± 0,4 kg
3,71
⋅⋅⋅⋅10
-2
±±±± 0,023 ⋅⋅⋅⋅10
-2
m
Parę słów o wykresach
Lepiej, ale czy dobrze ?
2012-03-18
15
Prawie dobrze !
Prawie, prawie !
Jeszcze się czepia !
No, nie !
OK !
Może jeszcze siatka ?
Pomiar grubości pręta suwmiarką elektroniczną
Test Chi kwadrat – jako test normalności rozkładu
Wartość graniczna 7,8 dla p=095
Wartość obliczona 36,8
Wniosek: nie spełnia hipotezy o normalności rozkładu
2012-03-18
16
x
i
– wyniki pomiarów
x
0
– wartość prawdziwa
wartość średnia
Komentarz
σ
x
= 0,147 mm
mm
n
u
x
A
01911
,
0
=
=
σ
mm
u
B
0057
,
0
3
01
,
0
3
=
=
δ
mm
u
u
u
B
A
0399
,
0
2
2
2
=
+
=
d = 15,41
±
±±
±0,04 mm
d
śr
= 15,414 mm