SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ

PROPAGACJI ROZKŁADÓW

Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT

ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH

INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI

ul. Pożaryskiego 28, 04-703 Warszawa

tel. [phone] fax [phone]

e-mail.

[e-mail]

Streszczenie

Wyznaczanie niepewności pomiaru jest konieczną częścią każdej
procedury pomiarowej. W referacie omówiono klasyczne metody
wyznaczania niepewności pomiaru oraz przedstawiono inne podejście
bazujące na bezpośrednim zastosowaniu prawa propagacji funkcji
rozkładów gęstości prawdopodobieństwa. Metoda ta jest złożona lecz
nie wymaga wprowadzania uproszczeń na etapie obliczeniowym.
Zastosowanie metod numerycznych do wyznaczania rozkładu gęstości
prawdopodobieństwa wielkości wyjściowej przy określonych
rozkładach wielkości wejściowych i podanym modelu pomiaru
prowadzi do uniwersalnych modułów oprogramowania, które mogą
być stosowane w procedurach laboratoryjnych

Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, prawo propagacji rozkładów,
badania nieniszczące.

1. WPROWADZENIE

Wprowadzenie jednolitej kodyfikacji szacowania niepewności pomiaru zgodnie z

modelem probabilistycznych spowodowało rozwój praktycznych metod obliczania

niepewności pomiaru jako parametru rozkładu gęstości prawdopodobieństwa przypisanego

wyjściowej wielkości mierzonej. Kryterium wyboru metody obliczania niepewności pomiaru

stanowi postać modelu pomiaru. Dla liniowego modelu pomiaru stosuje się prawo propagacji

niepewności. Natomiast dla dowolnej nieliniowej funkcji pomiaru stosuje się prawo

propagacji rozkładów. W Instytucie Elektrotechniki został opracowany pakiet programów do

wspomagania pracy w laboratoriach. W ramach pakietu znajduje się program do

wyznaczania niepewności pomiaru metodą propagacji rozkładów. Program pozwala na

1

rozwiązanie wielu problemów w procesie szacowania niepewności pomiarów i metod

badawczych.

2. PROBLEMY SZACOWANIA NIEPEWNOŚCI POMIARU

Szacowanie niepewności pomiarów złożonych związane jest z problemami, które

można zaliczyć do jednej z trzech klas. Pierwszą klasę stanowią zadania pomiarowe, dla

których wymagane jest podejście ogólne. Model pomiaru wynika z analizy metrologicznej

zjawisk i procesu pomiarowego. Wielkość wyjściowa jest związana zależnością z

wielkościami wejściowymi. Zależność ta może mieć charakter funkcji analitycznej lub

surowej zależności eksperymentalnej w postaci tabeli. Drugą klasę stanowią te problemy, dla

których można zastosować aproksymację równania pomiaru pierwszym wyrazem rozwinięcia

w szereg Taylora. W trzeciej grupie znajdują się problemy, dla których nie można wcześniej

przesądzić, jakie podejście prowadzi do wystarczająco dokładnego oszacowania. Zgodnie z

powyższym skodyfikowano opisane podejścia, zalecane do oceny niepewności pomiaru.

Pierwsze podejście to zastosowanie metod analitycznych przekształcania funkcji rozkładów

gęstości prawdopodobieństwa. Metody analityczne nie wprowadzają żadnych przybliżeń na

etapie obliczeniowym. Niedokładności powstają na etapie przypisywania wejściowym

zmiennym losowym rozkładów gęstości prawdopodobieństwa. Zastosowanie metod

analitycznych prowadzi do skomplikowanych przekształceń funkcji rozkładów gęstości

prawdopodobieństwa. Metody analityczne są stosowane na etapie analizy zjawisk i syntezy

modelu. W praktyce pomiarowej mogą być stosowane jedynie w najprostszych przypadkach.

Drugie podejście polega na zastąpieniu modelu pomiaru przez aproksymację pierwszym

wyrazem rozwinięcia w szereg Taylora. Stosując to podejście uzyskuje się dobre wyniki dla

liniowego lub linearyzowanego modelu pomiaru oraz dla normalnych rozkładów gęstości

prawdopodobieństwa wielkości wejściowych. Trzecie podejście jest rozszerzeniem

poprzedniego. Model pomiaru aproksymuje się rozwinięciem w szereg Taylora z wyrazami

wyższych stopni. Prowadzi to dość skomplikowanych zależności i w praktyce stosuje się

najwyżej dwa wyrazy. Następne podejście bazujące na prawie propagacji rozkładów polega

na zastosowaniu metod numerycznych do wyznaczania rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa wielkości wyjściowej przy określonych rozkładach wielkości

wejściowych i podanym modelu pomiaru.

2

Model pomiaru wielkości fizycznej określa wielkość mierzoną, wielkości wpływające oraz

wielkości zakłócające. Wielkość wyjściowa i wielkości wejściowe powiązane są analityczną

zależnością funkcyjną:

)

(X

f

Y

=

(1)

Argumentem powyższej funkcji jest wektor, którego składowe są niezależnymi zmiennymi

losowymi:

T

n

X

X

X

X

)

,...,

,

(

2

1

=

(2)

Ze zmiennymi losowymi wejściowymi związane są rozkłady gęstości prawdopodobieństwa

otrzymane na drodze eksperymentu lub przyjęte arbitralnie. W obu przypadkach rozkłady

gęstości prawdopodobieństwa opisują zjawiska losowe w sposób przybliżony. Przyjęte przez

organizacje międzynarodowe zasady wyznaczania niepewności dopuszczają stosowanie

dwóch sposobów. Pierwszy nazywany prawem propagacji niepewności posługuje się

parametrami rozkładów wielkości wejściowych do wyznaczenia niepewności rozszerzonej

wielkości wyjściowej. Drugi sposób określany jako prawo propagacji rozkładów gęstości

prawdopodobieństwa przekształca funkcje rozkładów gęstości wejściowych.

3. PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI

Niepewność złożona wyniku pomiaru wielkości fizycznej, zgodnie z ogólnymi zasadami,

szacowana jest w następujących etapach:

- określenie zasady pomiarowej, wielkości mierzonej i wielkości wpływających,

- identyfikacja

źródeł niepewności,

- przyjęcie typów rozkładów gęstości prawdopodobieństwa dla wielkości

wejściowych,

- estymacja

odchyleń standardowych,

- wyznaczenie

współczynników wrażliwości,

- zestawienie

budżetu niepewności,

- obliczenie

wartości złożonej niepewności standardowej

- obliczanie

niepewności rozszerzonej.

Wynik pomiaru składa się z wartość mierzonej wielkości fizycznej oraz niepewności

rozszerzonej pomiaru. Te dwie wartości określają przedział ufności.

3

Rys. 1. Ilustracja prawa propagacji niepewności.

Prawo przenoszenia niepewności określa związek niepewności wyjściowych z

niepewnościami wielkości wejściowych. Wielkościami wejściowymi są wielkości mierzone,

wielkości wpływające występujące w modelu pomiaru oraz wielkości zakłócające. Złożona

niepewność standardowa zgodnie z prawem propagacji niepewności:

∑

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

N

i

i

x

u

x

f

y

u

1

2

2

)

(

)

(

i

i

x

f

c

∂

∂

=

(3)

u(y) - złożona niepewność standardowa wielkości wyjściowej,

u(x

i

) - złożona niepewność standardowa wielkości wejściowej,

c

i

- wrażliwość wyjścia na wejście i.

Wrażliwość wyjścia na określone wejście przy funkcji pomiaru danej w postaci analitycznej

wyznacza się jako pochodną cząstkową. W innych przypadkach należy stosować metody

symulacyjne lub eksperymentalne. Niepewność złożona wyznaczana zgodnie z prawem

propagacji łączona jest z niepewnością metody oraz niepewnościami arbitralnie

wprowadzanymi przez badacza. Budżet niepewności jest zestawieniem tabelarycznym

podstawowych informacji, które są konieczne do wyliczenia niepewności pomiaru i

dokumentowania jej zgodnie z obowiązującymi normami. Wejściowe niepewności

standardowe są szacowane metodą A i B. Istotnym elementem budżetu jest typ rozkładu

gęstości, gdyż przyjmowanie bez analizy probabilistycznej typu rozkładu może prowadzić do

błędnego oszacowania przedziału ufności. W przypadku prostych zależności funkcyjnych

współczynniki wrażliwości można wyznaczyć analitycznie. Problemy pojawiają się w

przypadku braku postaci analitycznej lub postać funkcyjna jest trudna do analizy.

4

4. PRAWO PROPAGACJI ROZKŁADÓW

Prawo propagacji rozkładów gęstości prawdopodobieństwa jest uogólnieniem prawa

propagacji niepewności i określa zasadę przekształcania rozkładów wejściowych w rozkład

wyjściowy. Wielkości wejściowe opisane są funkcjami gęstości prawdopodobieństwa:

T

n

n

g

g

g

g

)

(

),...,

(

),

(

(

)

(

2

2

1

1

ξ

ξ

ξ

ξ

=

(4)

Rozkłady wielkości wejściowych są częścią modelu pomiaru. Przyjęcie wybranego typu

rozkładu powinno być uzasadnione badaniami statystycznymi lub analizą zjawisk. Zaleca się

przyjmowanie rozkładu normalnego, gdy występuje kilka wielkości wejściowych o

zbliżonych wartościach rozrzutu. Rozkład równomierny jest dobrym modelem wielkości

fizycznej, która zmienia się w znanych granicach.

Rys. 2. Ilustracja prawa propagacji rozkładów.

Wielkość wyjściowa opisana jest wynikową funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Jeśli

funkcja modelująca pomiar jest nieliniowa to wyjściowa funkcja rozkładu może wykazywać

asymetrię. W ogólnym przypadku wykorzystanie prawa propagacji rozkładów do

przekształcenia funkcji rozkładów gęstości prawdopodobieństwa wielkości wejściowych

prowadzi do trudności analitycznych. Dobrym rozwiązaniem okazało się zastosowanie

numerycznych metod symulacyjnych i metod Monte Carlo. Metoda symulacyjna korzysta

bezpośrednio z prawa propagacji rozkładów gęstości prawdopodobieństwa. Algorytm

numerycznego wyznaczania niepewności działa w następujących krokach:

- wprowadzenie funkcji modelującej pomiar,

- określenie typów rozkładów dla każdego z wejść,

- podanie

wartości parametrów rozkładów,

- wybór parametrów symulacji,

- wyznaczenie

wyjściowego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa,

5

- określenie wartości wielkości wyjściowej,

- określenie niepewności rozszerzonej pomiaru złożonego,

Proces obliczeniowy przebiega zgodnie z ustawionymi przez obsługę parametrami

pomocniczymi. W wyniku działania algorytmu otrzymuje się rozkład gęstości

prawdopodobieństwa, przedział ufności dla podanego poziomu ufności oraz pełną

dokumentację graficzną w postaci raportu. Proces można powtarzać przy dobieranych

parametrach.

5. UWAGI KOŃCOWE

Bezpośrednie zastosowanie prawa propagacji funkcji gęstości rozkładów

prawdopodobieństwa prowadzi do algorytmów symulacyjnych, które w formie programów

mogą być wykorzystane w praktyce laboratoryjnej. Oprogramowanie pozwala na

wyznaczenie rozkładów z dowolną wymaganą dokładnością. Algorytmy wyznaczania

niepewności mogą być zintegrowane z oprogramowaniem pomiarowym i raportującym. Czas

obliczeń automatycznych jest krótki, wyniki mogą być archiwizowane. Program można

wykorzystywać także do eksperymentów związanych z walidacją metod pomiarowych

metodami statystycznymi. W postaci uproszczonej otrzymuje się rozkład eksperymentalny

bez przybliżonej postaci analitycznej. W wersji rozszerzonej możliwe jest przybliżanie

danych wyjściowych funkcjami analitycznymi. Opracowane oprogramowanie pozwala na

skuteczne obliczanie niepewności zgodnie z modelem probabilistycznym bez konieczności

analizy funkcji pomiaru i bez wyznaczania współczynników wrażliwości. Algorytmy

implementowane w rozszerzonej wersji pozwalają na wspomaganie walidacji metod

badawczych. W badaniach nieniszczących występuje problem konfrontowania wyników

pomiarów tej samej cechy różnymi metodami. Każda z metod dostarcza wyniku opisanego

innym rozkładem. Opisana powyżej metoda postępowania może być zastosowana w takim

przypadku.

LITERATURA

1. Biernat K, Wójtowicz S.: Wyznaczanie niepewności pomiarów złożonych metodą

symulacyjną. 34 KKBN, Zakopane 2005.

2. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, Supplement 1, Numerical

Methods for the Propagation of Distributions, 2004.

3. Wójtowicz S., Biernat K., Cichecki A.: Szacowanie niepewności pomiaru metodą

symulacyjną. 33 KKBN, Poznań-Licheń 2004.

4. Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar, Warszawa 1995.

6