PODSTAWOWE POJĘCIA RACHUNKU BŁĘDÓW

W pomiarach fizycznych mogą występować dwa główne rodzaje błędów (nie licząc błędów grubych, które oznaczają wartości
znacznie odbiegające od wartości mierzonych):

1. Błędy systematyczne – Występują one ZAWSZE, niezależnie od tego czy wykonaliśmy jeden pomiar, czy serię pomiarową.

Błędem systematycznym obarczony jest KAŻDY pomiar. Źródłem błędów systematycznych jest niedokładność przyrządów
pomiarowych (związana z klasą przyrządu) oraz sam obserwator. W większości przypadków błąd systematyczny oblicza się
na podstawie znajomości klasy przyrządu.

2. Błędy przypadkowe – Występują one tylko w przypadku SERII POMIAROWEJ, to znaczy przy wykonaniu kilku

(co najmniej dwóch) pomiarów TEJ SAMEJ wielkości. Źródłem błędów przypadkowych jest natura mierzonego obiektu
(niedokładność wykonania, zmieniające się warunki pomiarowe) oraz niedoskonałość naszych zmysłów.

Ze względu na liczebność pomiarów można pomiary podzielić na:

1. Pomiar pojedynczy – jednokrotny, wykonuje się tylko JEDEN pomiar.
2. Pomiary wielokrotne (seria pomiarowa) – wielokrotny pomiar TEJ SAMEJ wielkości. Ze względu na liczebność, serie

pomiarowe można podzielić na długie (liczba pomiarów większa od około 10) i krótkie (liczba pomiarów mniejsza od 10).
W przypadku serii krótkich, w rachunku błędów należy uwzględnić ten fakt.

Ze względu na sposób określenia nieznanej wielkości, pomiary można podzielić na:

1. Pomiary bezpośrednie – mierzymy tę wielkość, której wyznaczenie jest naszym celem.
2. Pomiary pośrednie – mierzymy pewne wielkości lub wielkość, a wyznaczamy inną, od nich zależną (np. mierzymy średnicę x

i wysokość walca y, a wyznaczamy jego objętość z), co matematycznie można zapisać jako z=f(x,y).

PODSTAWOWE POJĘCIA:

Klasa przyrządu – dokładność, z jaką przyrząd pomiarowy przekształca sygnał pomiarowy na wskazanie odczytywane przez

obserwatora. W przypadku urządzeń mechanicznych (linijki, śruby mikrometryczne, suwmiarki) nie mówi się o klasie, lecz o
dokładności urządzenia, która jest równa błędowi systematycznemu pomiaru (najmniejsza działka). W przypadku elektrycznych
urządzeń pomiarowych klasa przyrządu jest podawana w procentach zakresu pomiarowego.

Zakres pomiarowy – największa wartość jaką może zmierzyć przyrząd pomiarowy przy określonym ustawieniu pokrętła (klawisza,

przycisku, ...) wyboru zakresu.

Błąd systematyczny -

100

klasa

zakres

0

×

=

δ

(wzór dotyczy tylko przyrządów pomiarowych elektrycznych)

Wartość średnia

X

- najlepsze przybliżenie wartości nieznanej wartości x w przypadku serii pomiarowej

∑

=

=

n

1

i

i

x

n

1

X

Średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru s

x

– wartość określana dla serii pomiarowej, która odgrywa rolę błędu

przypadkowego POJEDYNCZEGO POMIARU; w porównaniu z błędem systematycznym służy do określenia, czy w serii

pomiarowej przeważają błędy systematyczne, czy przypadkowe

(

)

1

n

n

1

i

2

x

i

x

x

S

−

=

−

=

∑

Średni błąd kwadratowy wartości średniej

X

s

– wartość określana dla serii pomiarowej. Określa ona błąd przypadkowy

WARTOŚCI ŚREDNIEJ w przypadku serii pomiarowej

(

)

n

x

S

n

1

i

2

x

i

x

)

1

n

(

n

1

x

S

=

=

−

−

=

∑

POPRAWNY ZAPIS WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

[

Poprawny zapis wielkości fizycznej ma postać:

]

SI

X

X

X

Δ

±

=

, gdzie

X

oznacza wartość najbardziej prawdopodobną (zmierzoną lub

wyznaczoną), a

ΔX błąd obliczony w wyniku rachunku błędów.

Wielkości fizyczne (wyniki pomiarów) zapisuje się z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Te cyfry znaczące znajdują się
w BŁĘDZIE i obliczoną wartość błędu należy zaokrąglić do dwóch cyfr (błąd zaokrąglamy zawsze w górę!). Wartość najbardziej
prawdopodobną (na przykład średnią) zapisuje się z dokładnością wyznaczoną przez poprawny zapis wartości błędu: ostatnia cyfra
znacząca wyniku musi znajdować się na tym samym miejscu dziesiętnym, co w błędzie. Wynik zaokrągla się zgodnie ze
standardowymi metodami zaokrąglania.
Jeśli zaokrąglenie BŁĘDU do jednej cyfry znaczącej zmienia wartość błędu o mniej niż 10% jego wartości (np. 68 zaokrąglamy do
70, ale 61 nie można do 70), to należy wynik pomiarów zapisać z dokładnością do jednej cyfry znaczącej. Pozostałe zasady są
identyczne z podanymi powyżej.
Przykłady:
Obliczone wartości:

X

= 123432,789 [m] ,

ΔX=315,77 [m], poprawny zapis: X = 123430 ± 320 [m] lub X = (1234,3±3,2).10

2

[m]

Obliczone wartości:

X

= 123432,789 [m] ,

ΔX=1,2277 [m], poprawny zapis: X = 123432,8 ± 1,3 [m]

Obliczone wartości:

X

= 123432,789 [m] ,

ΔX=2,91 [m], poprawny zapis: X = 123433 ± 3 [m]

Data ostatniej modyfikacji: 2005-06-09

Autor: Andrzej Kubiaczyk

JAK POPRAWNIE WYKONAĆ RACHUNEK BŁĘDÓW?

Warunkiem prawidłowego przeprowadzenia rachunku błędów jest w pierwszej kolejności uzyskania prawidłowych odpowiedzi na
następujące pytania:

1. Czy

nieznaną wartość wyznaczamy bezpośrednio, czy pośrednio?

2. Jaka jest liczebność pomiarów? Czy wykonujemy tylko jeden pomiar, czy może serię pomiarową? Jeśli wykonujemy serię

pomiarową, to czy jest to seria długa, czy krótka?

3. Jeśli wykonujemy pomiary pośrednio, to czy szukana wielkość jest funkcją jednego czy może kilku mierzonych wielkości?

Uzyskanie odpowiedzi na powyższe pytania umożliwia wybór właściwej metody rachunkowej. Poniżej przedstawiono podstawowe
zależności umożliwiające wykonanie rachunku błędów w najczęściej spotykanych przypadkach:

1. Jeden pomiar, wielkość mierzona bezpośrednio (występuje tylko błąd systematyczny!)

x

x

x

δ

±

=

gdzie

δx oznacza błąd systematyczny wyznaczany z klasy przyrządu

2. Pomiary pojedyncze, wielkość mierzona pośrednio z=f(x,y)

z

z

z

Δ

±

=

gdzie:

z

oznacza wartość funkcji f obliczoną dla wartości zmierzonych x i y, a

y

y

)

y

,

x

(

f

x

x

)

y

,

x

(

f

z

δ

∂

∂

+

δ

∂

∂

=

Δ

(metoda różniczki

zupełnej),

δx i δy oznaczają błędy systematyczne pomiaru zmiennej x i y.

3. Seria pomiarowa długa, wielkość mierzona bezpośrednio
W takim przypadku, w pierwszej kolejności należy określić wielkość błędu przypadkowego (czyli obliczyć błąd średni kwadratowy
pojedynczego pomiaru s

x

) i porównać ją z błędem systematycznym

δx. Możliwe są trzy odpowiedzi, którym odpowiadają trzy

metody określania wartości błędu:

a. s

x

>

δx; wówczas

x

s

x

x

±

=

. Oznacza to przypadek, gdy rozrzut wyników jest większy niż dokładność przyrządu

pomiarowego – nie ma konieczności uwzględniania błędu systematycznego.
b. s

x

<

δx; wówczas

x

x

x

δ

±

=

. Oznacza to przypadek, gdy dokładnie wykonujemy pomiary przyrządem o małej dokładności -

nie ma konieczności uwzględniania błędu przypadkowego.
c. s

x

=

δx (wartości porównywalne, tego samego rzędu). Oznacza to konieczność uwzględnienia obu typu błędów. Do tego

wykorzystuje się prawo przenoszenia błędów:

3

x

2

x

s

x

2

δ

+

=

Δ

. Wówczas

x

x

x

Δ

±

=

.

4. Seria pomiarowa długa, wielkość mierzona pośrednio
W takim przypadku, w pierwszej kolejności należy określić wielkość błędów przypadkowych (obliczyć błędy średnie kwadratowe
pojedynczych pomiarów s

x

i s

y

) i porównać je z błędami systematycznymi

δx i δy.

a. Jeśli OBA błędy systematyczne są większe od błędów przypadkowych, to błąd wielkości mierzonej pośrednio

wyznaczamy metodą różniczki zupełnej

y

y

)

y

,

x

(

f

x

x

)

y

,

x

(

f

z

δ

∂

∂

+

δ

∂

∂

=

Δ

, gdzie

δx i δy oznaczają błędy systematyczne pomiaru

zmiennej x i y.

b. W KAŻDYM INNYM PRZYPADKU błąd wielkości mierzonej wyznaczamy ze wzoru

2

y

2

y

)

y

,

x

(

f

2

x

2

x

)

y

,

x

(

f

z

Δ

∂

∂

+

Δ

∂

∂

=

Δ

,

gdzie

Δx i Δy oznaczają, albo błędy tylko przypadkowe

x

s

, albo błędy przypadkowe i systematyczne obliczone z prawa

przenoszenia błędów

3

2

x

2

x

s

x

δ

+

=

Δ

(analogiczne wzory dla zmiennej y).

5. Seria pomiarowa krótka (liczba pomiarów mniejsza od 10)
W takim przypadku stosuje się wszystkie wzory dotyczące serii długich (z pomiarami bezpośrednimi i pośrednimi – przypadki 3 i 4),
w których należy zmodyfikować wartość obliczonego błędu wielkości mierzonych. Ze względu na małą liczebność serii pomiarowej
należy uwzględnić współczynniki t-Studenta. Wartości tych współczynników (zależnych od przyjętego poziomu ufności i liczby
stopni swobody) są stablicowane.

METODA NAJMNIEJSZEJ SUMY KWADRATÓW
Z punktu widzenia matematyka, metoda najmniejszej sumy kwadratów stanowi wyznaczenie współczynnika proporcjonalności
liniowej oraz jego odchylenia standardowego między dwoma zmiennymi, zależnymi od siebie liniowo.
Z punktu widzenia eksperymentatora, metoda najmniejszej sumy kwadratów ma na celu wyznaczenie nieznanej wielkości fizycznej i
jej błędu, łączącej dwie mierzone wielkości, przy założeniu, że wielkości te zależą od siebie w sposób proporcjonalny.

Data ostatniej modyfikacji: 2005-06-09

Autor: Andrzej Kubiaczyk