Ćwiczenie 0

Temat: Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z metodami obliczania niepewności wielkości mierzonych i wyliczanych w laboratoriach fizycznych.

Wstęp teoretyczny

Niepewność pomiaru jest to parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można przypisać mierzonemu pomiarowi. Charakteryzuje ona rozrzut wartości (szerokość przedziału), wewnątrz którego można z zadowalającym prawdopodobieństwem usytuować wartość wielkości mierzonej. Z definicji niepewności pomiarowej wynika, że nie może być ona wyznaczona doskonale dokładnie. Żaden pomiar nie jest idealnie dokładny, czyli wszystkie pomiary są zawsze obarczone jakąś niepewnością. Fakt ten nie wynika z niedoskonałości aparatury i zmysłów obserwatora, ale jest nieodłączną cechą każdego pomiaru.
Rozróżniamy dwie metody obliczeń niepewności pomiaru: metodę typu A (stosowana dla serii pomiarów) lub metodę typu B (np. dla pojedynczego pomiaru niepewność szacowana jest z niepewności wzorcowania przyrządu lub w oparciu o tzw. działkę elementarna stosowanego miernika). Najczęściej stosuje się pojęcie niepewności standardowej. Przyjęto umowę, ze wynikiem pomiaru jest uzyskany liczbowy rezultat pomiaru wraz z wartością liczbowa oszacowanej niepewności standardowej –obie liczby reprezentują pewne wielkości, wyrażone przy użyciu tej samej jednostki. Niepewność standardowa zaokrągla sie do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru zaokrągla sie i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi co do pozycji z niepewnością.

Wzory użyte do obliczeń

1. Wzór pozwalający policzyć średnią arytmetyczną z wyników pomiarów wielokrotnych oczekiwanej wartości, tzw. estymator

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}d_{i}$$

2. Wzór pozwalający policzyć estymator odchylenia standardowego, charakteryzujący rozrzut wyników wokół wartości średniej

$$S\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n - 1}}$$

3. Wzór pozwalający policzyć odchylenie standardowe A - u_a

$$u_{a}\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = \frac{S(\overset{\overline{}}{x})}{\sqrt{n}}$$

3. Wzór pozwalający obliczyć niepewność standardową B - u_b, gdzie przez określamy dokładność pomiaru, najczęściej odczytywanej z przyrządu mierniczego

$$u_{b}\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = \frac{}{\sqrt{3}}$$

3. Wzór pozwalający policzyć całkowitą (złożoną) niepewność pomiaru, przy założeniu tych samych rzędów wartości u_a i u_b

$$u_{c}\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = \sqrt{{u_{a}}^{2} + {u_{b}}^{2}}$$

3. Wzór pozwalający obliczyć niepewność standardową dla wyliczonego czasu reakcji

$$u_{t_{r}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{g*\overset{\overline{}}{x}}}*S(\overset{\overline{}}{x})$$

Niepewność standardową wielkości złożonej obliczamy z tzw. prawa przenoszenia niepewności, czyli sumę geometryczną różniczek cząstkowych, najczęściej gdy wartości niepewności branych pod uwagę nie są tego samego rzędu. Wzór ten można stosować, gdy wielkości mierzone x₁, x₂, …, x_n są wielkościami niezależnymi, a niepewności względne u(x_n)/n są małe (rzędu kilku procent lub mniejsze)

Wzór ogólny:

$$u_{c}\left( t \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial t}{\partial x_{1}}*\partial(x_{1}) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial t}{\partial x_{2}}*\partial(x_{2}) \right\rbrack^{2} + \ldots + \left\lbrack \frac{\partial t}{\partial x_{n}}*\partial(x_{n}) \right\rbrack^{2}}$$

Wartości mierzone jednokrotnie

Nr	Przedmiot mierzony	Przyrząd pomiarowy, jakość przyrządu	Wynik	Niepewność standardowa ub	Uwagi
1	Długość sznurka	Liniał; Δ=1 mm	(137± 1) mm	0,6 mm	1* ub≈1 mm
2	Czas opadania z 1m kartki papieru A5	Stoper; Δ=0,01 s	(1,35±0,01) s	0,006 s	2* ub≈0,01 s
3	Długość kroku na podstawie kafelki podłogowej	Taśma miernicza; Δ=1 cm	(79±1) cm	0,6 cm	3* ub≈1 cm

1*- Znaczącym źródłem niepewności pomiaru było ewentualne nierówne przyłożenie sznurka względem liniału dla każdej próby oraz nierównomierne naciągnięcia sznurka dla każdej próby. Na podstawie kilku prób szacujemy niepewność u_bna około 1mm

2* - Znaczącym źródłem niepewności pomiaru było ewentualne spóźnienie wciśnięcia przycisku STOP na stoperze, zależne od refleksu osoby mierzącej. Na podstawie kilku prób szacujemy niepewność u_bna około 0,01s.

3* - Znaczącym źródłem niepewności pomiaru było ewentualne nie dokładne przyłożenie taśmy mierniczej do początku jednej stopy i końca drugiej stopy, oraz nierówne zrobienie kroku od początku do końca kafelki. Na podstawie kilku prób szacujemy u_b na około 1 cm

Wartości mierzone wielokrotnie

Nr	Długość ołówka[mm]	Czas 10 oddechów[s]	Czas spadania kulki z 1m[s]
1.	156	20,89	0,45
2.	157	20,09	0,44
3.	157	20,93	0,45
4.	156	20,69	0,46
5.	156	20,23	0,49
6.	156	20,87	0,45
7.	157	20,76	0,43
8.	157	20,15	0,45
9.	157	20,78	0,44
10.	156	20,02	0,48
OBLICZENIA
$$\overset{\overline{}}{x}$$	156,5	20,541	0,454
S($\overset{\overline{}}{x}$)	0,5	0,371	0,018
ua	0,2	0,117	0,006
ub	0,6	0,006	0,006
uc	0,6	0,12	0,008
$$\overset{\overline{}}{x}$$ ua	156,5 0,2	20,54 0,12	0,454 0,006
$$\overset{\overline{}}{x}$$ uc	156,5 0,6	20,54 0,12	0,454 0,008

Do zestawienia końcowego wybrana zostało niepewność u_a, ponieważ jest ona wyliczona ze wszystkich pomiarów i w przeciwieństwie do u_b nie jest wielkością szacowaną, więc jest też wielkością dokładniejszą. Niepewność u_b jest szacowana przez wykonujących pomiarów wykonanych i powtórzonych prób tego pomiaru, więc może być zależna od wielu czynników i może w niedokładny sposób przedstawiać niepewność tych pomiarów

Pomiary wielkości pośrednich

	Czas reakcji z wykorzystaniem swobodnego spadku ciał
Nr	x [mm]
1.	153
2.	134
3.	141
4.	158
5.	124
6.	135
7.	171
8.	168
9.	179
10.	125
Obliczenia
$$\overset{\overline{}}{x}$$	148,8
S($\overset{\overline{}}{x}$)	19,8
ua	6,3
ub	5
uc	8
$$\overset{\overline{}}{x}$$ ua	148,8 6,3
$$\overset{\overline{}}{x}$$ uc	149 8

Czas reakcji wyliczono i wynosi ona 0,174 s, następnie wyliczono niepewność dla tego czasu reakcji, która wynosi: U(t_r) = 0,006281793 s ≈ 0,006 s