Analiza portfelowa spółek

1. Analiza ryzyka wybranych spółek

Zmieniające się realia gospodarcze, które powodują ruchy cen akcji na giełdach światowych, czyli także na GPW S.A. w Warszawie, wymuszają rewizję opłacalności inwestycji w akcje notowane na GPW. Ryzyko inwestycji w akcje wybranych spółek związane więc jest z ciągłymi zmianami cen wybranych akcji, a co za tym idzie stopy zwrotu z tych akcji (inwestycji w te akcje). Ryzyko można najogólniej zdefiniować jako możliwość nie osiągnięcia w pewnym przyjętym czasie zakładanej stopy zwrotu. Czasami pod pojęciem ryzyko kryje się również możliwość osiągnięcia stopy zwrotu większej niż wcześniej zakładano. Rzeczywistość gospodarcza spowodowała, iż powstało wiele miar liczenia ryzyka inwestycyjnego. Miary ryzyka, które będą wykorzystane w niniejszym opracowaniu, są miarami klasycznymi - głównie odchylenie standardowe i wariancja, bazującymi na oczekiwanych stopach zwrotu z akcji, lub na historycznych stopach zwrotu. Można tutaj zaliczać takie miary, jak: wariancja stopy zwrotu, semiwariancja stopy zwrotu, odchylenie standardowe stopy zwrotu, semiodchylenie standardowe, współczynnik zmienności oraz odchylenie średnie.

Miary te są bardzo do siebie zbliżone i podobne, jednak wartości semi (pół), mówią jak wielkie może być ryzyko straty, natomiast pozostałe mówią o tym jaka może być wielkość straty ale również jaka może być wielkość zysku. Można powiedzieć „ po co liczyć semiwariancję, skoro można policzyć wariancję a wynik będzie taki sam”. Przecież w przypadku wariancji ma się do czynienia z widełkami (odchyleniem) „w górę” i „w dół”, natomiast przy semiwariancji występuje tylko odchylenie „w dół” i jak sama nazwa „semi” wskazuje, że powinno to być połową wariancji. Oczywiście taki scenariusz jest jak najbardziej zgodny z rzeczywistością, ale aby tak się stało musi nastąpić sytuacja, w której rozkład prawdopodobieństwa uzyskania oczekiwanej stopy zwrotu będzie symetryczny, a w przypadku gdy bazą są historyczne stopy zwrotu to odchylenie od średniej powinno być symetryczne. Tylko wtedy można powiedzieć, że semiwariancja jest „połową” wariancji. Jednak w rzeczywistości, czy to przyjmując za bazę oczekiwaną stopę zwrotu, czy też historyczną stopę zwrotu, prawdopodobieństwo otrzymania rozkładu symetrycznego jest minimalne, a czasami wręcz nieosiągalne. Dlatego gdy tylko występuje rozkład asymetryczny, albo skrajnie asymetryczny zasadne jest stosowanie semiwariancji dla obliczenia ryzyka (możliwej straty), z inwestycji w dane walory. Takie samo założenie powinno brać się pod uwagę, gdy wybiera się jako miarę ryzyka odchylenie standardowe.

1. Wariancja stopy zwrotu jako miara ryzyka.

Przez wzgląd na sytuację, w której nie wiadomo, jak w rzeczywistości wygląda rozkład prawdopodobieństwa osiągnięcia oczekiwanej stopy zwrotu, gdyż w praktyce nigdy nie zna się rozkładu prawdopodobieństwa generującego stopy zwrotu na danych akcjach, do dalszej analizy zostaną użyte dane historyczne dla wyliczeń stóp zwrotu z danych walorów. Wariancja jest jedną z wielu miar rozproszenia (dyspersji) i jako taka mówi, jaki jest potencjał stopy zwrotu do odchylania się od swojej wartości oczekiwanej. Wariancję można przedstawić za pomocą następującego wzoru:

Wzór ten jest prawdziwy, przy założeniu, że oczekiwana stopa zwrotu jest przedstawiona za pomocą następującego wzoru:

Jak już wspomniano wcześniej, bazą dla niniejszego opracowania będą dane historyczne czyli pewna próbka. Tak więc dysponując próbką, można dokonać wyliczeń oczekiwanej stopy zwrotu. Innymi słowy, można wyliczyć średnią na podstawie próbki z pewnego okresu (t) i mając tak wyliczoną średnią można przedstawić graficznie rozkład prawdopodobieństwa i ocenić jego „symetryczność”. W celu wyznaczenia wartości średniej z próbki należy zastosować następującą formułę:

W powyższym wzorze n oznacza liczbę obserwacji wchodzących w skład próbki, a r oznacza stopę zwrotu w czasie (t).

Powyższe rozważania odnoszą się oczywiście również do wariancji. Jeżeli nie jest znany rzeczywisty rozkład prawdopodobieństwa, to nie można precyzyjnie określić, ile wynosi wariancja stopy zwrotu. Zatem ponownie trzeba uciec się do szacowania jej wartości na podstawie próbki. Wariancję stopy zwrotu z próbki wyznaczamy za pomocą następującego wzoru:

Aby obliczyć wariancję, należy zaobserwować jakie stopy zwrotu przyniosła w następujących po sobie okresach inwestycja w wybraną akcję. Ciekawostką jest, że mianownikiem wzoru na wariancję jest n-1 a nie jakby można było domniemywać n. Dzieje się tak na skutek, że do jej obliczenia wykorzystywana jest jedna ocena estymatora ( jest nią średnia stopa zwrotu z próbki). Dzieląc przez n-1 otrzymujemy nieobciążony estymator w przypadkach, gdy ma się do czynienia z relatywnie małymi próbkami¹.

1. Obliczenie ryzyka wybranych spółek z segmentu WIG20 notowanych na GPW w Warszawie za pomocą wariancji stopy zwrotu

W celu dokonania obliczeń potrzebna jest próbka. Próbka będzie się składała z cen wybranych akcji notowanych w segmencie WIG20, począwszy od 13 listopada 2002 do 11 grudnia 2002 roku. Próbka będzie się składała z 21 obserwacji będącymi odzwierciedleniem cen akcji z 21 następujących po sobie sesji giełdowych. Obserwacje tą przedstawia tabela 1.

Tabela 1: Ceny wybranych akcji i wartość indeksu WIG20 w okresie od 13 listopada 2002 do 11 grudnia 2002 roku

Nr sesji	Data	WIG20	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
1	02-11-13	1139,89	238,50	13,60	109,50	19,00	12,25	93,00
2	02-11-14	1144,11	234,00	13,60	110,00	19,30	12,40	93,40
3	02-11-15	1156,79	240,00	13,25	114,50	19,50	12,80	94,90
4	02-11-18	1140,33	240,00	13,20	111,00	18,70	12,55	93,20
5	02-11-19	1147,48	241,00	13,05	113,50	18,70	12,50	94,70
6	02-11-20	1159,91	252,50	13,15	119,50	18,55	12,70	94,50
7	02-11-21	1171,84	255,00	13,45	119,50	18,55	12,75	95,00
8	02-11-22	1214,11	265,00	13,85	130,00	18,85	13,60	98,00
9	02-11-25	1209,31	265,00	13,75	128,50	18,90	13,60	96,70
10	02-11-26	1231,90	266,00	14,30	133,00	19,20	14,15	98,40
11	02-11-27	1221,18	268,00	14,00	129,50	19,00	13,85	98,40
12	02-11-28	1240,24	271,00	14,30	133,00	19,30	14,35	99,50
13	02-11-29	1235,01	274,00	14,15	131,50	19,10	14,50	98,40
14	02-12-02	1219,48	274,00	14,00	127,50	18,70	14,00	97,30
15	02-12-03	1248,11	277,00	14,40	133,00	19,25	14,35	100,00
16	02-12-04	1244,48	279,00	14,35	132,50	18,95	14,35	98,80
17	02-12-05	1235,14	270,00	14,30	130,00	18,90	14,25	99,00
18	02-12-06	1238,63	270,00	14,50	130,00	18,85	14,25	99,10
19	02-12-09	1216,22	270,00	14,15	126,50	18,60	14,05	96,40
20	02-12-10	1206,53	273,00	13,65	125,50	18,45	13,90	94,90
21	02-12-11	1196,02	270,00	13,30	125,00	18,15	13,50	95,20

Źródło: Opracowanie własne na podstawie archiwum www.money.pl

Mając tak odpowiednio dobrane dane wejściowe, można obliczyć stopy zwrotu z wymienionych wyżej akcji. W literaturze przedmiotu można się spotkać z różnymi metodami wyliczania stopy zwrotu z akcji, a dwie najczęściej używane to:

• 
  zwykła stopa zwrotu, którą można wyznaczyć za pomocą następującego wzoru:

• 
  wygładzona stopa zwrotu (tzw. logarytmiczny zwrot)², wyrażona następująco:

W obydwu przypadkach oznaczenia do wzoru są takie same,

r_t - stopa zwrotu w okresie (t)

C_t - cena akcji w okresie badanym (t)

C₀ - cena akcji w okresie wyjściowym (bazowym)

Do dalszej analizy użyty zostanie wzór na wygładzoną stopę zwrotu, i tak stopy zwrotu z wybranych akcji przedstawia tabela 2.

Tabela 2: Logarytmiczne stopy zwrotu z wybranych akcji w okresie od 13 listopada 2002 do 11 grudnia 2002 roku

Okres	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
1	-	-	-	-	-	-
2	-1,90%	0,00%	0,46%	1,57%	1,22%	0,43%
3	2,53%	-2,61%	4,01%	1,03%	3,17%	1,59%
4	0,00%	-0,38%	-3,10%	-4,19%	-1,97%	-1,81%
5	0,42%	-1,14%	2,23%	0,00%	-0,40%	1,60%
6	4,66%	0,76%	5,15%	-0,81%	1,59%	-0,21%
7	0,99%	2,26%	0,00%	0,00%	0,39%	0,53%
8	3,85%	2,93%	8,42%	1,60%	6,45%	3,11%
9	0,00%	-0,72%	-1,16%	0,26%	0,00%	-1,34%
10	0,38%	3,92%	3,44%	1,57%	3,96%	1,74%
11	0,75%	-2,12%	-2,67%	-1,05%	-2,14%	0,00%
12	1,11%	2,12%	2,67%	1,57%	3,55%	1,11%
13	1,10%	-1,05%	-1,13%	-1,04%	1,04%	-1,11%
14	0,00%	-1,07%	-3,09%	-2,12%	-3,51%	-1,12%
15	1,09%	2,82%	4,22%	2,90%	2,47%	2,74%
16	0,72%	-0,35%	-0,38%	-1,57%	0,00%	-1,21%
17	-3,28%	-0,35%	-1,90%	-0,26%	-0,70%	0,20%
18	0,00%	1,39%	0,00%	-0,26%	0,00%	0,10%
19	0,00%	-2,44%	-2,73%	-1,34%	-1,41%	-2,76%
20	1,10%	-3,60%	-0,79%	-0,81%	-1,07%	-1,57%
21	-1,10%	-2,60%	-0,40%	-1,64%	-2,92%	0,32%

Źródło: Opracowanie własne

Mając wyliczone stopy zwrotu z wybranych akcji, można przystąpić do szacowania ryzyka tych akcji, za pomocą wariancji stóp zwrotu. W tym celu należy najpierw obliczyć średnie stopy zwrotu dla poszczególnych akcji. W ten sposób otrzymano:

Tabela 3: Średnie stopy zwrotu z wybranych akcji

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,62%	-0,11%	0,66%	-0,23%	0,49%	0,12%

Źródło: Opracowanie własne

Mając wszystkie potrzebne dane dla wyliczenia wariancji z próbki, można przystąpić do jej oszacowania. Podstawiając odpowiednie wartości z tabeli 2 i tabeli 3 uzyskano:

Tabela 4. Wariancja stóp zwrotu z wybranych akcji

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,0003056	0,0004483	0,0009878	0,0002686	0,0006303	0,0002421

Źródło: Opracowanie własne

Tabela 4 prezentuje wyniki wariancji, dla wybranych spółek indeksu WIG20. Z danych zawartych w tabeli 4 odczytać można, że największym ryzykiem cechują się akcje PROKOM-u, których stopa zwrotu odchyla się o 0,0009878 od średniej, czyli może oscylować w przedziale <0,56%-0,76%>. Akcje Banku Przemysłowo-Handlowego (BPH PBK) odchylają się od średniej stopy zwrotu o 0,0003056 i zamykają się w widełkach <0,59%-65%>. W przypadku Telekomunikacji Polskiej S.A. widełki wynoszą odpowiednio <(-0,15%)-(-0,066%)>, a akcje Polskiego Koncernu Naftowego mogą oscylować w przedziale <(-0,257%)-(-0,203%)>. W przypadku akcji KGHM mamy <0,427%-0,553%> i już ostatnia spółka przedstawia się następująco <0,096%-0,144%>. Z powyższych danych wynika, że akcje PROKOM-u cieszą się najwyższą stopą zwrotu, to ryzyko nie wystąpienia tej stopy zwrotu jest największe, natomiast akcje BPH PBK przy stosunkowo wysokiej stopie zwrotu wyróżnia niewielkie ryzyko. Jednak jak już wspomniano, stopy zwrotu dotyczą najkrótszych możliwych okresów , czyli jednej sesji. Dlatego ryzyko wyliczone w ten sposób może być interpretowane tylko w takim samym okresie, chyba że zostałoby założone uprzednio, iż uzyskany rozkład stóp zwrotu będzie stały w czasie.

1.2. Semiwariancja jako miara ryzyka

Jak już wcześniej wspomniano semiwariancja jest to „połowa” wariancji. Połowa, ale tylko z semantycznego punktu widzenia. W rzeczywistości decyduje o tym rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu lub w przypadku historycznych stóp zwrotu wystąpienie dominanty w innym punkcie niż mediana³. Stosowanie semiwariancji jest czasami konieczne, gdyż idea wariancji może być zakwestionowana w każdej chwili, gdy w grę wchodzi ryzyko. W końcu wariancja określa ryzyko jako odchylenie uzyskanych stóp zwrotu od stopy średniej⁴. Wiadomo jest, że im większe to odchylenie, tym większe jest ryzyko danej akcji. W przypadku, gdy mediana jest mniejsza od dominanty jest więcej dodatnich stóp zwrotu niż ujemnych. Wpływa to w sposób istotny na w ten sposób obliczone ryzyko. W tej sytuacji zasadne jest wyliczenie semiwariancji, a uzyskane wyniki potraktować jako ryzyko nie osiągnięcia zakładanej stopy zwrotu. Wynika to jednoznacznie z tego, iż ryzyko wiąże się z efektami niepożądanymi dla inwestora, przy jego mierzeniu uwzględnia się jedynie ujemne odchylenia od oczekiwanej (średniej) stopy zwrotu. Semiwariancja jest określona następującym wzorem⁵:

gdzie: SV - semiwariancja papieru wartościowego, p_i - prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej stopy zwrotu, di - część ujemna odchylenia, określona następująco:

d_i = 0, gdy R_i>R, lub R_i=R

d_i = R_i-R, gdy R_i<R

R_i = i-ta możliwa wartość stopy zwrotu, dla danych historycznych stopa jaka wystąpiła.

1.2.1. Obliczenie ryzyka wybranych spółek z segmentu WIG20 notowanych na GPW w Warszawie za pomocą semiwariancji stopy zwrotu

Wiedząc już na czym polega idea semiwariancji, można przystąpić do jej oszacowania. Do jej wyliczenia będą użyte dane zawarte w tabeli 2 i tabeli 3. Semiwariancja wyliczona na podstawie tych danych oraz przy użyciu wzoru na semiwariancję, zawarta jest w tabeli 5.

Tabela 5: Semiwariancja wybranych spółek segmentu WIG20

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,00014	0,000197	0,000364	0,00013823	0,00026	0,000115

Źródło: Opracowanie własne

Wartości uzyskane są mniejsze od uzyskanych wcześniej dla wariancji ponieważ zostały użyte jedynie stopy zwrotu mniejsze od średniej stopy. Tylko w przypadku akcji BPH PBK oraz PKN ORLEN mamy do czynienia z rozkładem symetrycznym, co wynika z tego, iż semiwariancja jest równa połowie wariancji. W pozostałych przypadkach liczenie semiwariancji była jak najbardziej uzasadnione. W przypadku akcji PROKOM-u ryzyko obliczone semiwariancją stanowi zaledwie 37% wariancji, czyli wynika z tego jednoznacznie, że ceny akcji PROKOM-u wzrastały częściej niż spadały w badanym okresie. W przypadku liczenia ryzyka wariancją, akcje PROKOM-u nie były interesującą inwestycją dla drobnych inwestorów, natomiast weryfikacja tego ryzyka za pomocą semiwariancji spowodowała, że przy stosunkowo wysokiej stopie zwrotu wystąpiło małe ryzyko.

1.3. Odchylenie średnie jako miara ryzyka akcji

Czasami w literaturze przedmiotu spotykana jest miara ryzyka wykorzystująca, idee odchylenia średniego⁶. Takie miary jak odchylenie standardowe lub wariancja są troszeczkę miarami `ułomnymi', gdyż różnica stóp zwrotu jest podnoszona do kwadratu. Natomiast odchylenie średnie nie ma w swej właściwości takiego działania i wyniki jakie są uzyskiwane są rzeczywistym odchyleniem od średniej. Jednak ta miara nie jest tak popularna jak poprzednie, chociaż ryzyko wyliczone za pomocą niej jest bardziej czytelne. Wzór na odchylenie średnie przedstawia się następująco:

Mówiąc inaczej odchylenie średnie jest miarą zmienności zbioru danych i podaje wartość średnią odchyleń bezwzględnych punktów danych od ich wielkości średniej. Wiedząc na czym polega zasada odchylenia średniego można oszacować ryzyko za pomocą tej miary. Korzystając z danych zawartych w tabeli 2 i tabeli 3 oraz wykorzystując wzór na odchylenie średnie otrzymano tabele 6.

Tabela 6. Ryzyko wybranych spółek segmentu WIG20 liczone za pomocą odchylenia średniego

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,0123	0,0102	0,0130	0,0068	0,0112	0,0065

Źródło: Opracowanie własne

Jak już zauważono ryzyko liczone tą metodą jest bardzo duże w stosunku co do danych wejściowych. Pokazuje jak w rzeczywistości odchyla się średnia stopa zwrotu od stopy zwrotu zrealizowanej. Ta miara pokazuje jak duże dysproporcje są pomiędzy poszczególnymi walorami (wiadomo, że bazą są dzienne stopy zwrotu). Jednak wykorzystując do jej obliczenia zrealizowane stopy zwrotu, stosunkowo trudno jest zinterpretować otrzymane wyniki. W tym konkretnym przypadku lepszym rozwiązaniem byłoby zastosowanie jako danych wejściowych nie zrealizowanych stóp zwrotu lecz cen akcji w danych dniach.

1.4. Współczynnik zmienności stopy zwrotu jako miara ryzyka akcji

Współczynnik zmienności jest względną miarą ryzyka inwestycyjnego⁷. Wykorzystuje on odchylenie standardowe oraz zrealizowaną średnią stopę zwrotu. Współczynnik dany jest następującym wzorem:

gdzie: CV - współczynnik zmienności, s - odchylenie standardowe, średnia stopa zwrotu.

Interpretacja współczynnika zmienności jest prosta. Określa on, ile ryzyka przypada na jednostkę stopy zwrotu papieru wartościowego. Oczywiste jest, że wielkość ryzyka przypadająca na jednostkę zysku powinna być jak najmniejsza. Inwestor w tym przypadku kieruje się zasadą minimalnego ryzyka względem zysku. Wynika z tego, że racjonalne inwestowanie to takie, które prowadzi do minimalizacji współczynnika zmienności

Dla obliczenia tego współczynnika potrzebna jest tabela zawierająca dane na temat odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe jest to nic innego jak pierwiastek z wariancji. Dane te przedstawia tabela 7.

Tabela 7: Odchylenie standardowe stóp zwrotu z wybranych akcji

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,0174814	0,021172	0,0314285	0,0163903	0,0251062	0,01556

Źródło: Opracowanie własne

Korzystając z danych zawartych w tabeli 3 i tabeli 7 oraz wykorzystując wzór na współczynnik zmienności, można oszacować ryzyko. Ryzyko oszacowane w ten sposób przedstawia tabela 8.

Tabela 8: Współczynnik zmienności stopy zwrotu

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,00010843	-0,00002361	0,00020804	-0,00003751	0,00012197	0,00001819

Źródło: Opracowanie własne

Zauważmy, że współczynnik zmienności może być stosowany jedynie w przypadku, gdy średnia stopa zwrotu jest dodatnia. Gdyby bowiem była ujemna, to i współczynnik byłby ujemny, a zatem sugerowałby preferowanie tego papieru w stosunku do papieru o dodatniej stopie zwrotu, jest to oczywiście błędem. Jednak można „obejść” to założenie wprowadzając wartości bezwzględne. Wynikiem tego będzie sytuacja iż ten współczynnik będzie przyjmował wartości z przedziału <0;n>, a atrakcyjnym papierem będzie wartość tego wskaźnika <0>. Do dalszej analizy będzie wykorzystana wartość bezwzględna ze współczynnika zmienności, która jest zawarta w tabeli 9.

Tabela 9: Wartość bezwzględna współczynnika zmienności

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,0001084	0,0000236	0,0002080	0,0000375	0,0001220	0,0000182

Źródło: Opracowanie własne

Mając obliczone wszystkie miary ryzyka (zakładane na początku), można przejść do ich dalszej analizy.

1.5. Zależności pomiędzy poszczególnymi miarami ryzyka

Teraz, wyliczone miary ryzyka zostaną przeanalizowane pod kątem ich zgodności. Badanie to będzie polegało na zastosowaniu współczynnika zgodności dopasowań, czasami również nazywanego współczynnika korelacji rang Spearmana. W tym celu najlepszym rozwiązaniem będzie stworzenie odpowiedniego rankingu. Współczynnik zostanie zastosowany tylko dla miar które różnią się między sobą. Celem tego badania jest nie tyle eliminacja złych miar ryzyka, co porównanie ich między sobą. W tym celu należy dokonać obliczeń na podstawie poniższego wzoru:

gdzie: n - liczba rang, V_x - miejsce w rankingu pierwszej miary, V_y - miejsce w rankingu drugiej miary.

Współczynnik ten przyjmuje wartości z przedziału <0;1>. Interpretacja tego wskaźnika jest dość prosta, a mianowicie: im wartość wskaźnika jest bliższa jedności, tym dwa rankingi są bardziej podobne do siebie. W przypadku tego opracowania pożądanym wynikiem wskaźnika byłoby <1> , ponieważ świadczyłoby to o tym, iż każda przyjęta metoda obliczania ryzyka byłaby odpowiednia, i wszystkie byłyby adekwatne względem siebie.

Ważnym działaniem jest sposób jego skonstruowania rankingu. Można by skonstruować najprostszy ranking, gdzie dla każdej pozycji przyporządkowuje się rangę. Jednak w tym przypadku byłoby to nie na miejscu, gdyż takie wielkości jak odchylenie średnie, wariancja lub współczynnik zmienności są z natury swej wielkościami trudno porównywalnymi. Dlatego ranking zostanie sporządzony, na bazie zmiennej zunitaryzowanej. Unitaryzacja polega na doprowadzeniu wszystkich zmiennych wejściowych do takiego samego poziomu, w tym przypadku będzie to przedział <0;1>.

Przed dokonaniem jakiegokolwiek rankingu trzeba rozróżnić stymulante od destymulanty. Stymulanta jest to taka cecha diagnostyczna, której wysokie wartości świadczą korzystnie o ocenianej zmiennej. Destymulanta to taka cecha diagnostyczna, której niskie wartości świadczą korzystnie o ocenianej zmiennej. Zmienna zunitaryzowana jest zadana następującymi wzorami:

• 
  dla stymulanty

• 
  dla destymulanty

gdzie: X_max - maksymalna wartość unitaryzowanej próbki, X_min - minimalna wartość unitaryzowanej próbki, X_ij - wartość unitaryzowana w danej próbce.

Mając przedstawione dane na temat unitaryzacji, można wykonać ranking za pomocą unitaryzacji. Z definicji wynika, iż dane wejściowe to destymulanty, gdyż im wartość wyższa tym gorzej, tym ryzyko większe. Dlatego zostanie użyty wzór dla destymulanty. Wartości wejściowe przedstawia tabela 10.

Tabela 10: Ryzyko wybranych spółek segmentu WIG20 według różnych miar

	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
Wariancja	0,0003056	0,00044827	0,00098775	0,00026864	0,0006303	0,0002421
Semiwariancja	0,000139902	0,00019714	0,00036429	0,00013823	0,0002603	0,0001151
Odchylenie średnie	0,0123	0,0102	0,013	0,0068	0,0112	0,0065
Wsp. Zmienności	0,0001084	0,0000236	0,0002080	0,0000375	0,0001220	0,0000182
Max	0,0123000	0,0102000	0,0130000	0,0068000	0,0112000	0,0065000
Xmin	0,0001084	0,0000236	0,0002080	0,0000375	0,0001220	0,0000182
Xmax - Xmin	0,0121916	0,0101764	0,0127920	0,0067625	0,0110780	0,0064818

Źródło: Opracowanie własne

Zgodnie z danymi zawartymi w tabeli 10, oraz przy wykorzystaniu wzoru na unitaryzację dla destymulanty powstała tabela 11.

Tabela 11: Zmienne zunitaryzowane

	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
Wariancja	0,984	0,958	0,939	0,966	0,954	0,965
Semiwariancja	0,997	0,983	0,988	0,985	0,988	0,985
Odchylenie średnie	0	0	0	0	0	0
Wsp. Zmienności	1	1	1	1	1	1

Źródło: Opracowanie własne

Z danych zawartych w tabeli 11 wynika jednoznacznie, iż odchylenie średnie jako miara ryzyka jest nieporównywalna z wariancją, semiwariancją i współczynnikiem zmienności. Gołym okiem widać, że współczynnik korelacji rang przyjmowałby wartości zbliżone do zera, gdyby skorelować odchylenie średnie z innymi miarami ryzyka. Natomiast inaczej jest z pozostałymi miarami, dla których została przeprowadzona korelacja rang. Wyniki otrzymane prezentują się następująco:

• wartość wskaźnika korelacji rang R=0,999856 pomiędzy wariancją i semiwariancją świadczy o całkowitej zależności korelacyjnej pomiędzy tymi miarami,

• zależność korelacyjna pomiędzy wariancją a współczynnikiem zmienności jest jeszcze większa o czym mówi wskaźnik R=0,9999515,

• korelacja pomiędzy semiwariancją a współczynnikiem zmienności jest najsilniejsza, co pokazuje wskaźnik R=0,999995.

Wszystkie te wartości mówią o tym, iż miar tych można używać zamiennie, gdyż otrzymane wyniki niczym się nie będą różniły. Dobrze by było dokonując analizy ryzyka akcji stosować, którąś z tych metod w parze z odchyleniem średnim. Otrzymane w ten sposób wartości ryzyka będą się nawzajem uzupełniały. W analizie nie wykorzystano miary ryzyka jaką jest odchylenie standardowe oraz semiodchylenie standardowe, gdyż wartości te bazują na tych samych danych wejściowych co wariancja i powiązania korelacyjne pomiędzy nimi byłyby idealne, tzn. wynosiłyby <1> . Analiza nie wykazała w sposób jednoznaczny, która z miar ryzyka jest najlepsza. Wykazała natomiast, iż trzy miary są alternatywne. Jednak trzeba jeszcze zauważyć, iż jest to analiza wstępna, która nie uwzględnia wszystkich miar ryzyka, a uwzględnia tylko te najczęściej stosowane. W tym rozdziale nie zastosowano miary ryzyka, jaką jest współczynnik beta, gdyż problem ten zostanie omówiony w następnym punkcie, przy analizie jednowskaźnikowej.

2. Zastosowanie modelu Sharpe'a do wyznaczania portfeli optymalnych

Portfel papierów wartościowych, jest to zestaw papierów wartościowych, które posiada inwestor. Portfel zawiera pewną liczbę składników. Jest ich dokładnie tyle, ile różnych rodzajów papierów wartościowych występuje w portfelu. W niniejszym opracowaniu analizowane będą portfele złożone tylko z akcji.

Klasyczną teorię wyboru portfela akcji zaproponował Harry Markowitz. W tej teorii, do wyznaczenia efektywnych portfeli akcji niezbędna jest znajomość stóp zwrotu i ryzyka tych portfeli. Klasyczna metoda jest metodą dogodną, ale tylko dla portfeli o stosunkowo małej liczbie składników. W przypadku portfeli n - składnikowych, gdzie np. n>100 pojawia się problem, ponieważ jest potrzebnych n -stóp zwrotu, n - odchyleń standardowych ( miara ryzyka), n(n-1)/2 - współczynników korelacji. To utrudnienie spowodowało, iż zaczęto poszukiwać pewnych modeli upraszczających klasyczną metodę wyboru portfela akcji. Cześć z pośród tych modeli polega na zmniejszeniu liczby informacji niezbędnych do zastosowania metody klasycznej.

Jednym z najlepszych i najczęściej stosowanych modeli jest zaproponowany przez Williama Sharpe'a tzw. model jednowskaźnikowy. Ideą tego modelu jest fakt, iż stopy zwrotu z większości akcji zależą od działania pewnego czynnika, który można nazwać czynnikiem rynku (giełdy). Zostało zaobserwowane, że zwyżce na giełdzie ( mierzonej np. wzrostem indeksu giełdy) towarzyszy wzrost cen większości akcji, natomiast spadkowi indeksu towarzyszy spadek cen większości akcji.

Obserwacje te doprowadziły do sformułowania tezy, że stopy zwrotu z akcji pozostają w ścisłej zależności ze stopą zwrotu z indeksu giełdowego. Z tego też faktu wynika teza, że indeks giełdowy można traktować jako swoistego rodzaju akcję, która jest notowana na każdej sesji. Dlatego można wyznaczyć stopę zwrotu z tego indeksu. Można jeszcze zauważyć, iż indeks giełdowy jest pewnym substytutem portfela rynkowego. Zależność stopy zwrotu z akcji od stopy zwrotu z indeksu giełdowego można zapisać następującym wzorem:

gdzie: R_i - stopa zwrotu i-tej akcji, R_M - stopa zwrotu indeksu giełdowego (rynku), a_i, beta_i - parametry równania, e_i - tzw. składnik losowy równania.

Powyższy wzór to nic innego, jak funkcja regresji, która jest nazywana linią charakterystyczną papieru wartościowego, a w tym konkretnym przypadku jest to linia akcji. Jednak należy zauważyć, że na stopę zwrotu wpływają różne czynniki, nie tylko bieżąca sytuacja giełdowa. Działanie tych innych czynników jest odzwierciedlone za pomocą składnika losowego e_i. Bardzo ważną rolę odgrywa w tym równaniu współczynnik _i, który w finansach jest nazywany po prostu współczynnikiem beta. Interpretacja wskaźnika beta jest bardzo prosta, to znaczy beta mówi o tym o ile procent zmieni się stopa zwrotu z akcji (w przybliżeniu), jeżeli stopa zwrotu ze wskaźnika rynku (indeksu giełdowego) zmieni się o 1%. Oznacza to, że współczynnik beta akcji wskazuje, w jakim stopniu stopa zwrotu akcji reaguje na zmianę stopy zwrotu z indeksu. Współczynnik beta może być traktowany również jako miara ryzyka danej akcji.

Podstawowym problemem jest oszacowania linii charakterystycznej akcji. Istnieje kilka sposobów rozwiązania tego problemu. Najczęściej stosowanym sposobem jest tzw. klasyczna metoda najmniejszych kwadratów, która pozwala oszacować parametry równania (czyli odpowie, ile wynosi beta). Metoda ta polega na odnalezieniu prostej, w przypadku której suma kwadratów odchyleń punktów od tej prostej jest najmniejsza. Parametry równania szacujemy przy wykorzystaniu danych historycznych, oraz korzystając z poniższych wzorów:

gdzie: R_Mt - dane dotyczące stóp zwrotu z indeksu giełdowego, R_it - dane dotyczące stóp zwrotu z danej akcji, natomiast parametr a_i szacujemy następująco:

Metoda najmniejszych kwadratów pozwala oszacować jeszcze dwie wielkości, tzw. wariancja wskaźnika rynku oraz wariancja składnika losowego. Jak dalej zobaczymy mają te wielkości również duże znaczenie praktyczne. Określone są według wzorów:

gdzie: s²_M - wariancja wskaźnika rynku, se_i² - wariancja wskaźnika losowego odpowiadająca i-tej akcji. Jak widać do obliczenia wariancji wskaźnika losowego niezbędne jest uprzednie wyliczenie parametrów równania regresji⁸.

Głównym celem stosowania modelu jednowskaźnikowego, jest alternatywne co do formy modelu Markowitza, obliczenie wariancji portfela (czyli ryzyka). Do dalszej analizy potrzebna będzie linia regresji, która jest przedstawiona na wykresie 1.

Wykres 1: Przykład linii regresji o nachyleniu równym beta.

Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych umownych

Nietrudno zauważyć, że po wyznaczeniu linii regresji można zawsze wyznaczyć dwa składniki wariancji stopy zwrotu z indeksu, czyli wariancję można podzielić na dwie składowe:

Całkowita wariancja = ryzyko systematyczne + wariancja resztowa

Pierwszy składnik sumy znajdujący się po prawej stronie równania nazywany jest ryzykiem systematycznym lub też ryzykiem rynkowym. W ramach tego modelu reprezentuje ono tę część ryzyka danego papieru wartościowego, którego nie można wyeliminować przez dywersyfikację portfela akcji. Drugi składnik sumy to tak zwana wariancja resztowa, która reprezentuje ryzyko niesystematyczne (zwane inaczej ryzykiem specyficznym). Z tego wynika, że jeżeli jest mowa o całkowitej wariancji jakiejś akcji, wówczas można twierdzić, że jej część jest następstwem „przemieszczania się” stopy zwrotu z akcji po jej linii charakterystycznej, część zaś wynika z odchylania się faktycznie zrealizowanych stóp zwrotu od tej linii. Wyznaczając współczynniki beta poszczególnych akcji wchodzących w skład portfela, można wyznaczyć współczynnik beta portfela, który jest średnią ważoną współczynników poszczególnych składników portfela, gdzie wagi są ustalone z góry i mówią o udziale poszczególnego składnika w portfelu.

Teraz trzeba zastanowić się nad wariancją resztową portfela. Jej wartość można by wyznaczyć na podstawie macierzy wariancji - kowariancji jednak jest to działanie, które z założenia modelu jednowskaźnikowego powinno być wyeliminowane. Aby się tak stało musi zadziałać główne założenie tego modelu, a mianowicie składniki resztowe poszczególnych akcji nie powinny być ze sobą skorelowane. Gdy założenie to jest spełnione to wówczas w macierzy wariancji - kowariancji wszystkie kowariancje są równe zero. A więc ma się do czynienia tylko z wariancjami, które leżą na głównej przekątnej tej macierzy.

Istnieje pewna specyficzne zależność, to znaczy wraz ze wzrostem liczby walorów w portfelu maleje ryzyko, gdyż maleje wariancja resztowa portfela. Przyjęte powyższe zależności uwarunkowane są od tego, czy przyjęte założenie o braku korelacji składników resztowych będzie zgodne ze stanem faktycznym. Gdyby jednak nastąpiła sytuacja w której istnieje jakaś zależność korelacyjna pomiędzy składnikami resztowymi, to siłą rzeczy kowariancje w macierzy wariancji - kowariancji nie były by równe zero. To z kolei rodzi wniosek, że ryzyko obliczone metodą jednowskaźnikową nie będzie takie dokładne jak by było, gdyby do wyliczeń zastosować model Markowitza. W rzeczywistości jest tak, iż model jednowskaźnikowy zawyża wariancję resztową portfela⁹.

Powyższe sformułowania pozwalają uświadomić sobie fakt, iż aby dokonać wyboru portfela optymalnego, należy dążyć do takiej dywersyfikacji portfela, aby ryzyko specyficzne było jak najmniejsze.

1. Wybór portfela optymalnego, za pomocą modelu Sharpe'a

Teraz, korzystając z wcześniej opisanych teorii i zależności, zostanie wybrany jeden portfel, który będzie portfelem optymalnym dla badanej próbki. Portfelem optymalnym będzie taki portfel, który przy danej zrealizowanej stopie zwrotu będzie miał najmniejsze ryzyko, czyli wariancja portfela będzie minimalna. Aby wyznaczyć taki portfel należy tak dobrać wagi dla poszczególnych akcji, aby wartość końcowa wariancji była minimalna. Wychodząc z założenia, że dywersyfikacja portfela nie wpływa bezpośrednio na ryzyko systematyczne portfela, to też minimalizacja będzie upatrywana w ryzyku specyficznym. Do dalszej analizy, do obliczenia wariancji resztowej portfela oraz do obliczenia ryzyka systematycznego będą potrzebna dane na temat parametrów równań regresji. Do obliczenia wariancji ryzyka rynku wystarczy parametr beta, lecz do obliczenia wariancji resztowej potrzebne już będą dwa parametry. Tabela 12 przedstawia zrealizowane stopy zwrotu z pewnego badanego okresu. Na podstawie tych danych zostały obliczone parametry równania regresji dla poszczególnych akcji i indeksu. Wyliczenia te przestawia tabela 13.

Tabela 12: Dzienne stopy zwrotu z wybranych spółek, oraz z indeksu WIG20

Okres	WIG20	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
1	-	-	-	-	-	-	-
2	0,37%	-1,90%	0,00%	0,46%	1,57%	1,22%	0,43%
3	1,10%	2,53%	-2,61%	4,01%	1,03%	3,17%	1,59%
4	-1,43%	0,00%	-0,38%	-3,10%	-4,19%	-1,97%	-1,81%
5	0,63%	0,42%	-1,14%	2,23%	0,00%	-0,40%	1,60%
6	1,08%	4,66%	0,76%	5,15%	-0,81%	1,59%	-0,21%
7	1,02%	0,99%	2,26%	0,00%	0,00%	0,39%	0,53%
8	3,54%	3,85%	2,93%	8,42%	1,60%	6,45%	3,11%
9	-0,40%	0,00%	-0,72%	-1,16%	0,26%	0,00%	-1,34%
10	1,85%	0,38%	3,92%	3,44%	1,57%	3,96%	1,74%
11	-0,87%	0,75%	-2,12%	-2,67%	-1,05%	-2,14%	0,00%
12	1,55%	1,11%	2,12%	2,67%	1,57%	3,55%	1,11%
13	-0,42%	1,10%	-1,05%	-1,13%	-1,04%	1,04%	-1,11%
14	-1,27%	0,00%	-1,07%	-3,09%	-2,12%	-3,51%	-1,12%
15	2,32%	1,09%	2,82%	4,22%	2,90%	2,47%	2,74%
16	-0,29%	0,72%	-0,35%	-0,38%	-1,57%	0,00%	-1,21%
17	-0,75%	-3,28%	-0,35%	-1,90%	-0,26%	-0,70%	0,20%
18	0,28%	0,00%	1,39%	0,00%	-0,26%	0,00%	0,10%
19	-1,83%	0,00%	-2,44%	-2,73%	-1,34%	-1,41%	-2,76%
20	-0,80%	1,10%	-3,60%	-0,79%	-0,81%	-1,07%	-1,57%
21	-0,87%	-1,10%	-2,60%	-0,40%	-1,64%	-2,92%	0,32%

Źródło: Opracowanie własne

Tabela 13: Równania regresji liniowej i oszacowane parametry

	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
Równanie regresji	Ri=0,685RM+0,0046	Ri=1,152RM0,0039	Ri=2,111RM+0,0015	Ri=0,945RM-0,0046	Ri=1,635RM+0,0009	Ri=0,985RM-0,0012
Współczynnik beta	0,685	1,152	2,111	0,945	1,635	0,985
Wyraz wolny (a)	0,0046	-0,0039	0,0015	-0,0046	0,0009	-0,0012

Źródło: Opracowanie własne

Wariancja resztowa to inaczej wariancja składników resztowych stopy zwrotu z akcji. Składniki resztowe - zwane też składnikami losowymi - reprezentowane są graficznie przez odległości pomiędzy punktami wyznaczonymi przez empirycznie uzyskane pary stóp zwrotu, i ich teoretycznymi odpowiednikami leżącymi na linii regresji. Tabela 14 przedstawia obliczone kwadraty składników resztowych dla powyższych stóp zwrotu. Teraz, wystarczy jedynie zsumować poszczególne kwadraty składników losowych i podstawić do wzoru.

Tabela 14: Kwadraty składnika losowego poszczególnych akcji, oraz wariancja

Okres	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
1	-	-	-	-	-	-
2	0,000685	0,000000	0,000023	0,000281	0,000027	0,000003
3	0,000173	0,001216	0,000235	0,000020	0,000165	0,000039
4	0,000027	0,000277	0,000005	0,000564	0,000008	0,000008
5	0,000022	0,000217	0,000057	0,000002	0,000228	0,000121
6	0,001200	0,000001	0,000744	0,000186	0,000007	0,000133
7	0,000003	0,000215	0,000534	0,000026	0,000188	0,000013
8	0,000092	0,000058	0,000063	0,000165	0,000032	0,000007
9	0,000004	0,000001	0,000022	0,000121	0,000031	0,000068
10	0,000183	0,000475	0,000038	0,000008	0,000072	0,000000
11	0,000079	0,000052	0,000094	0,000006	0,000065	0,000096
12	0,000017	0,000053	0,000057	0,000032	0,000085	0,000009
13	0,000087	0,000003	0,000015	0,000003	0,000269	0,000033
14	0,000017	0,000061	0,000032	0,000021	0,000234	0,000006
15	0,000092	0,000028	0,000068	0,000136	0,000200	0,000033
16	0,000021	0,000014	0,000001	0,000070	0,000015	0,000064
17	0,001039	0,000083	0,000022	0,000082	0,000020	0,000113
18	0,000043	0,000211	0,000056	0,000001	0,000030	0,000000
19	0,000063	0,000000	0,000095	0,000072	0,000220	0,000071
20	0,000142	0,000523	0,000055	0,000017	0,000002	0,000044
21	0,000093	0,000144	0,000168	0,000012	0,000249	0,000168
SUMA	0,004080	0,003633	0,002384	0,001825	0,002148	0,001030
Wariancja	0,000227	0,000202	0,000132	0,000101	0,000119	0,000057

Źródło: Opracowanie własne

Mając tak odpowiednio dobrane dane, można przejść do oszacowania minimalnej wariancji całkowitej portfela. Funkcja celu przedstawia się następująco:

Wariancja indeksu giełdowego została obliczona wcześniej i wynosi 0,000194. Teraz, pozostało jeszcze ustalić wagi dla poszczególnych walorów, aby warunek minimalizacji był spełniony. Po rozwiązaniu zadania, przy użyciu programowania matematycznego, wariancja całkowita portfela licząc za pomocą modelu jednowskaźnikowego wynosi 0,000064. Jest to wartość minimalna dla uprzednio wyliczonej zrealizowanej stopy zwrotu. Wagi poszczególnych akcji w portfelu są następujące:

Tabela 15: Wagi reprezentujące udział poszczególnych walorów w portfelu akcji

BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
0,15429	0,12984	0,07893	0,22992	0,11675	0,29028

Źródło: Opracowanie własne przy wykorzystaniu solver'a

Analiza polegała na wyznaczeniu portfela optymalnego. W celu wyznaczenia takiego portfela należało przyjąć jakiś warunek optymalizacji. Warunkiem przyjętym była minimalizacja ryzyka, przy danej stopie zwrotu. Funkcja celu zawierała formułę, przedstawiającą wariancję całkowitą portfela dążącą do minimum. Warunkami ograniczającymi były:

• portfel nie zawierał akcji, będących obrotem tzw. „krótkiej sprzedaży”. Wynika z tego, iż wszystkie wagi musiały przyjąć wartości większe bądź równe zeru;

• suma wag w portfelu musiała być równa jedności (luz = 0)

Programowanie matematyczne doprowadziło do wyliczenia minimalnej wariancji, która wyniosła 0,0000313 oraz wag jakie należało zastosować aby osiągnąć ten minimalny poziom ryzyka. Wagi te przedstawia tabela 15.

3. Zastosowanie teorii użyteczności do wyznaczania portfeli optymalnych

Przedmiotem badań ekonomistów stała się zależność pomiędzy osiąganymi dochodami, a kapitałem przeznaczonym na inwestycje. Wielu ekonomistów badało wielkości krańcowe. Jednym z efektów tych badań, było opracowanie teorii użyteczności, która mówi o ile wzrośnie użyteczność portfela złożonego z instrumentów finansowych, gdy nastąpi wzrost dochodów. Działanie to nazywane jest potocznie skłonnością (awersją ) inwestora do ryzyka.

Teoria użyteczności zakłada, że dla każdego człowieka pieniądze stanowią jakąś wartość użytkową. Innymi słowy, każda dodatkowa jednostka przynosi wzrost wartości użytkowej jej posiadaczowi. Formalnie można przedstawić to za pomocą funkcji użyteczności. Jest to funkcja, która określonej wartości pieniężnej przyporządkowuje pewną wartość użyteczności. Funkcja użyteczności jest zawsze rosnąca, to znaczy każdy przyrost wartości pieniężnej (dochodu), powoduje przyrost użyteczności. Jednak ważną własnością tej funkcji jest jej kształt. Dzięki tej własności można dokonać interpretacji trzech sytuacji, to jest:

• funkcja wklęsła; jest charakterystyczna dla inwestorów lubiących ryzyko,

• funkcja liniowa; cechuje inwestorów neutralnych względem ryzyka

• funkcja wypukła, jest charakterystyczna dla inwestorów mających awersję do ryzyka.

Określenie bogactwa lub też dochodu potrzebnego przy analizie użyteczności z portfela jest stosunkowo proste, gdyż bierzemy pod uwagę stopy zwrotu z danego portfela i na tej podstawie można określić użyteczność portfela.

1. Wyznaczenie użyteczności dla portfeli złożonych z akcji

Istotą tego opracowania jest analiza pięciu portfeli ze względu na ich awersję neutralność oraz skłonność do ryzyka. Każda z tych sytuacji cechuje się inną funkcją użyteczności, i tak dla inwestora lubiącego ryzyko zostanie zastosowana funkcja kwadratowa. Dla neutralnego względem ryzyka funkcja liniowa, a dla nie lubiącego ryzyka funkcja logarytmiczna. Portfele zostaną wyznaczone w sposób arbitralny, a więc nie koniecznie muszą to być portfele z linii efektywnej.

Funkcje jakie zostały przyjęte prezentują się następująco:

1. 
   funkcja dla inwestora lubiącego ryzyko:

2. 
   dla inwestora neutralnego:

3. 
   dla inwestora nie lubiącego ryzyka:

Poniższe tabelki przestawiają portfele, zbudowane na bazie spółek z poprzednich rozdziałów pracy, oraz ich użyteczność, dla wyżej wymienionych inwestorów.

Tabelka 16: Udział poszczególnych akcji w portfelu

	BPH PBK	TP S.A.	PROKOM	PKN ORLEN	KGHM	PEKAO
Portfel I	0,1	0,2	0,2	0,5	0	0
Portfel II	0,5	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
Portfel III	0,2	0,3	0,4	0	0	0,1
Portfel IV	0	0	0	0,5	0,3	0,2
Portfel V	0	0,3	0,3	0	0,1	0,3

Źródło: Opracowanie własne

Tabela 17: Średnie dzienne stopy zwrotu z poszczególnych portfeli

i-ty portfel	St. zwrotu
Portfel I	0,06%
Portfel II	0,40%
Portfel III	0,37%
Portfel IV	0,06%
Portfel V	0,25%

Źródło: Opracowanie własne

Tabela 18: Użyteczność poszczególnych portfeli

	Typ inwestora
i-ty portfel	Skłonny	Neutralny	Nie lubiący
Portfel I	1,00000	1,00114	1,04775
Portfel II	1,00003	1,00806	1,12696
Portfel III	1,00003	1,00734	1,12116
Portfel IV	1,00000	1,00112	1,04733
Portfel V	1,00001	1,00500	1,10000

Źródło: Opracowanie własne

Interpretacja tak uzyskanych danych jest bardzo trudna. Chociaż do analizy zostały użyte funkcje, które mają odpowiedni kształt (wklęsłość, wypukłość, liniowość) to wyniki mogą być mylące, gdyż z otrzymanych danych wynika jednoznacznie, iż portfel II jest najbardziej atrakcyjny zarówno dla inwestora stroniącego od ryzyka, będącego neutralnym w stosunku do ryzyka, oraz lubiącego ryzyko. Dzieje się tak z powodu zbyt małych różnic stóp zwrotu z poszczególnych portfeli. Ta wada może być wyeliminowana przez użycie do analizy miesięcznych albo kwartalnych stóp zwrotu, wówczas zostaną zarysowane różnice w poszczególnych portfelach co pozwoli w pełni dokonać analizy.

Można jednak opisać idee tej metody. Dla każdego inwestora wszystkie portfele mają pewien szczególny poziom użyteczności. Inwestor - bez względu na jego nastawienie - odnośnie ryzyka zawsze będzie chciał wybrać ten portfel, który jest reprezentowany przez najwyższy stopień użyteczności, i chociaż ze względu na bardzo małe różnice w danych empirycznych portfele te się różnią użytecznością dla poszczególnych typów inwestorów. Wydawać by się mogło, iż portfel, który dla inwestora skłonnego do ryzyka jest najlepszy (reprezentowany najwyższą użytecznością), to dla inwestora mającego awersję do ryzyka powinien być najgorszy i inwestor taki powinien wybrać portfel o najmniejszej użyteczności. Jednak w każdym z tych przypadków inwestor wybiera, ten portfel, który daje mu największą użyteczność. Dzieje się tak na skutek zastosowania w każdym z tych przypadków „odwrotnych”, co do rodzaju funkcji.

¹ R. A. Haugen: Teoria nowoczesnego inwestowania. Obszerny podręcznik analizy portfelowej. WIG PRESS, Warszawa 1996, s. 45-48.

² T. Pisula, J. Pisula: Możliwości efektywnego przewidywania ryzyka zmian kursów akcji spółek notowanych na GPW. „Rynek terminowy” nr 17 z III kwartału 2002 roku, s. 114.

³ Jest to tylko jedna z metod obliczania asymetrii, lecz nie ma zastosowania gdy brak jest wartości dominującej w próbce

⁴ Zdanie to jest prawdziwe dla historycznych stóp zwrotu

⁵ K. Jajuga, T. Jajuga: Jak inwestować w papiery wartościowe. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994, s. 94-95.

⁶ Zostało udowodnione przez specjalistów giełdy New York Stock Exchange (NYSE), że odchylenie średnie zwane również przeciętnym jest lepszą miarą ryzyka niż wariancja. Jednak nie można zastosować w tym przypadku metod optymalizacyjnych, ponieważ f(d) nie jest funkcją różniczkowalną czyli nie występuje pochodna tej funkcji.

⁷ K. Kuczowic, J. Kuczowic, M. Michalewski: Decyzje inwestycyjne. Zbiór zadań z rozwiązaniami. Akademia Ekonomiczna im. Karola Adamieckiego, Katowice 2001, s. 35.

⁸ K. Jajuga, T. Jajuga: op. cit., s.140-145.

⁹ Taki stan wykazały badania prowadzone przez Fishera Black'a, Michaela Jensen'a oraz Myrona Schols'a

---