METODA PRZEWIDYWANIA

stała kontrolna:
.

(LS)

1. jeżeli σ nie jest pierwiastkiem W()

2. jeżeli σ jest s-krotnym pierwiastkiem W()

a) wyznaczyć stałą kontrolną σ

b) wyznaczyć wielomian charakterystyczny W()

c) znaleźć jego pierwiastki 

d) znaleźć y_S z powyższych wzorów (wyzn. A, B,...)

e) znaleźć y₁, y₂ jako pierwiastki (LS)

f) rozwiązanie: y(t) = c₁y₁ + c₂y₂ + y_S

TW. O SUPERPOZYCJI

Niech funkcje ψ(t) i ϕ(t) będą rozw. odpow. równań

.

Wtedy ich suma ψ(t) + ϕ(t) jest rozw. równania

Np. y” - y' = t + sint

Rozwiązać y” - y' = 0 => y₀(t) = ... (LS) stałe c₁, c₂,

Rozwiązać y” - y' = t => ϕ(t) = ... (met.przew.)

Rozwiązać y” - y' = sint => η(t) =... (met.przew.)

Odpowiedź : y(t) = y₀(t) + ϕ(t) + η(t)

UKŁADY RÓWNAŃ

(UL)
- ukł.równ.liniowych

(można określić przedział rozw. zag. pocz.)

METODA ELIMINACJI, np.

Zróżniczkować pierwsze równanie

Podstawić za y' z drugiego

Wyliczyć y z pierwszego i podstawić do drugiego

Otrzymujemy (LS2) - W(), x(t) = c₁x₁ + c₂x₂

Wyliczany y z wcześniejszej zależności

(UJ)
- układ liniowy jednorodny

Jeżeli
,
są rozwiązaniami (UJ)., to
jest rozwiązaniem (UJ).

UKŁAD FUNDAMENTALNY (UJ)

(US)
- ukł.lin. o stałych współcz.

WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY (znaleźć  mając daną macierz A)

gdzie λ wartość własna
, Wektor własny spełnia
. Ostatnią równość można zapisać w postaci układu równań:

.

Podstawić wyliczone  i wyznaczyć zależność między v₁ i v₂, podstawić coś za v₁, wyznaczyć v₂ i zapisać rozwiązanie z poniższej metody Eulera. Pamiętać, że
.

UKŁ. FUND (US) - metoda Eulera I

Jeżeli macierz A układu (US) ma n różnych rzeczywistych wartości własnych λ₁, λ₂, ..., λ_n, to jego układ fund. składa się z funkcji wektorowych:

,
, ...,
.

UKŁ. FUND (US) - metoda Eulera II

Jeżeli macierz A układu (US) ma 2k=n parami różnych zespolonych wartości własnych
,
, …,
,
, gdzie β_j≠0 dla 1 ≤ j ≤ k, to jego układ fundamentalny składa się z funkcji wektorowych:

,
,
,
, ...,
,
.

UKŁ. FUND (US) - metoda Eulera III

Jeżeli macierz A układu (US) ma s parami różnych zespolonych wartości własnych λ₁, λ₂, ..., λ_s oraz 2k parami różnych zespolonych wartości własnych
,
,
,
..
,
, gdzie s + 2k = n, β_j ≠ 0 dla 1 ≤ j ≤ k, to jego układ fundamentalny składa się z funkcji wektorowych:

,
, …,
,...,
,
, …,
,
,

gdzie
oznaczają wektory własne odpowiadające rzeczywistym wartościom własnym λ₁, λ₂, ..., λ_s, a
oznaczają wektory własne odpowiadające zespolonym wartościom własnym λ_s+1, λ_s+2, ..., λ_s+k.

(UN)
- ukł.niejedn.równ.różn.lin.

Rozwiązywanie: metoda eliminacji

metoda uzmienniania stałych

Niech dany będzie układ fundamentalny układu jednorodnego (UJ). Wtedy funkcja wektorowa

,

gdzie c₁(t), c₂(t), ..., c_n(t) są dowolnymi rozwiązaniami układu równań

,

jest rozwiązaniem szczególnym układu (UN).

METODA OPERATOROWA

Transformata n-tej pochodnej

L{f⁽ⁿ⁾(t)}= sⁿL{f(t)}-s^n-1f(0⁺)-s^n-2f'(0⁺)-...- sf^(n-2)(0⁺)--f^(n-1)(0⁺)

Funkcja	Transformata
1
shαt
chαt
t^ne^α^t
e^α^tsinβt
e^α^tcosβt
te^α^t

Transformata n-tej pochodnej

---