SIATKA HYDRODYNAMICZNA

I. Wstęp teoretyczny

Siatka hydrodynamiczna jest to układ linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych, umożliwia ilościową analizę przepływu wód podziemnych, jest podstawa do obliczeń natężenia przepływu.

Powyższe związki są związkami Cauchy-Riemanna i oznaczają, że rodziny krzywych:

są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień przepływu wód podziemnych nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Rodzina krzywych
przedstawia linie prądu (wektor prędkości jest styczny do linii prądu). Z kolei rodzina krzywych
przedstawia powierzchnie ekwipotencjalne.

Rozwiązanie układu równań:

lub

pozwala nam określić siatkę hydrodynamiczną i obliczyć wielkości związane z przepływem wód podziemnych jak np. współczynnik filtracji, czy współczynnik porowatości.

Rozwiązanie układu równań można dokonać metodą graficzną, korzystając z własności siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, że siatkę hydrodynamiczną wykreśla się od ręki, traktując tak otrzymany obraz za pierwsze przybliżenie rozwiązania. Następnie siatkę poprawia się tak długo, aż spełni ona następujące warunki:

linie prądu i linie ekwipotencjalne są ortogonalne,

każdy wycinek siatki będzie „kwadratowy”, tzn. średni rozstaw linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych będzie taki sam.

Dla tak skonstruowanej siatki hydrodynamicznej straty wysokości hydraulicznej w każdym kwadracie będą miały taką samą wartość.

Bardzo istotną właściwością siatki jest fakt, że przepływ, przez dowolny wycinek siatki w obrębie tego samego strumienia, ma taką samą wielkość.

Przy znanym wydatku wody Q, głębokości strumienia s, różnicy wysokości hydraulicznych ΔH i wymiarach warstwy wodonośnej, można określić współczynnik filtracji k ze wzoru:

.

W przypadku siatki kwadratowej:

więc współczynnik filtracji obliczymy ze wzoru:

.

Na podstawie tego rozwiązania, można też określić czas przepływu wody t_j w poszczególnych strumieniach. W tym celu wprowadzimy pojęcie średniej prędkości rzeczywistej (prędkości porowej) u. Jest ona związana z prędkością filtracji v zależnością:

gdzie n oznacza współczynnik porowatości. Czas przepływu wody w danym strumieniu t_j określa wzór:

gdzie l_j oznacza długość drogi filtracji wzdłuż j- tego strumienia.

W przypadku, gdy znany jest czas przepływu cząstek wody wzdłuż j- tego strumienia oraz współczynnik filtracji k, różnica ΔH, oraz geometria j- tego strumienia- można obliczyć współczynnik porowatości ze wzoru:

.

II. Opis badania

Rys. 1. Wymiary modelu do badania płaskiego przepływu wód podziemnych.

III. Przebieg badania

Celem ćwiczenia jest wykonanie obliczeń przepływu wód podziemnych na podstawie siatki hydrodynamicznej i porównanie uzyskanych w ten sposób wyników do wyników badań na modelu fizycznym. Geometrię modelu przedstawiono na rys. 1.

Konstrukcja siatki hydrodynamicznej będzie oparta na obserwacji linii prądu w modelu. W tym celu umieszcza się w nim piasek o znanym współczynniku filtracji oraz współczynniku porowatości. Następnie wywołuje się ustalony przepływ wody i wprowadza barwnik w kilku punktach na powierzchni wpływu wody do warstwy wodonośnej. Barwnik, rozpuszczając się w wodzie oraz płynąc razem z nią umożliwia zaznaczenie na ściance modelu przebieg linii prądu. Jednocześnie mierzy się czas przepływu barwnika przez grunt dla poszczególnych linii prądu. Ponadto mierzy się wydatek przepływającej wody.

Następnie linie prądu przenosi się w skali na rysunek (rys. 2) i wykreśla siatkę hydrodynamiczną. Mając siatkę hydrodynamiczną określa się wymiary poszczególnych wycinków l_j,i, oraz b_j,i (tab. 2) i oblicza się, wg wcześniej podanych wzorów, sumaryczny przepływ przez wszystkie strumienie (całkowity przepływ pod ścianką) oraz czas przepływu barwnika wzdłuż wybranego strumienia (obliczenia w tab. 1 wykonano, przy założeniu, że współczynnik filtracji k = 1,0·10^-2 cm/s i współczynniku porowatości n = 0,25). Wielkości te porównuje się z otrzymywanymi na modelu.

nr strumienia (M = 3)

linie ekwipotencjalne

nr wycinka w strumieniu (N = 9)

linie prądu naniesione na podstawie

obserwacji na modelu

Rys. 2. Siatka hydrodynamiczna - skala 1 : 5.

IV. Wyniki badań

Tab.1 Wyniki badań wydatku wody oraz czasu przepływu barwnika na modelu.

Lp.	Objętość przepływającej wody V	Vśr.	Czas pomiaru objętości przepływającej wody t	Wydatek Q	Nr linii prądu	Czas przepływu barwnika t
	cm^3	cm^3	s	cm^3/s			s
1.	219	220	60	3,7	I	548
2.	220							II	406
3.	221							III	319

Tab.2 Zestawienie danych elementów siatki hydrodynamicznej do obliczenia współczynnika filtracji.

Nr Wstęgi j	lj,i [cm] bj,i [cm] lj,i/ bj,i [-]	Nr wycinka w danej wstędze i											Suma	Współczynnik filtracji k
				i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9		i=10	i=11		cm/s
	j=1	l1,i	2,0	3,5	2,0	1,0	0,5	0,2	1,5	1,5	1,5	1,75	1,75	17,25	0,038
		b1,i	3,5	3,5	3,0	1,5	0,5	0,5	1,5	2,5	3,0	3,0	3,5
		l1,i/b1,i	0,57	1,0	0,67	0,67	1,0	0,5	1,0	0,6	0,5	0,59	0,5	7,6
	j=2	l2,i	1,5	3,0	2,0	2,0	1,5	1,5	2,5	2,0	2,0	2,0	2,5	22,5
		b2,i	1,5	2,0	1,5	1,5	1,5	1,0	2,0	2,5	2,0	2,0	2,0
		l2,i/ b2,i	1,0	1,5	1,33	1,33	1,0	1,5	1,25	0,8	1,0	1,0	1,25	12,96
	j=3	l3,i	2,0	5,0	3,0	2,5	2,5	3,0	3,0	3,0	3,5	4,0	3,5	35
		b3,1	4,0	5,0	4,5	4,0	3,0	3,5	3,5	3,5	4,0	5,0	4,5
		l3,i/ b3,1	5,0	1,0	0,67	0,63	0,83	0,86	0,86	0,86	0,88	0,8	0,78	8,67
	j=4	l4,i	3,5	6,0	4,5	5,0	4,0	4,5	4,5	4,5	5,0	4,0	3,5	49,0
		b4,i	6,5	6,0	6,0	5,5	5,0	4,5	4,5	5,0	5,0	5,0	4,5
		l4,i/ b4,i	0,54	1,0	0,75	0,9	0,8	1,0	1,0	0,9	1,0	0,8	0,78	9,47
	j=5	l5,i	5,5	7,5	7,0	7,0	6,0	6,5	6,5	5,5	7,0	4,5	4,5	67,5
		b5,i	8,0	8,5	7,5	7,5	7,5	6,5	6,0	6,0	6,5	5,5	5,0
		l5,i/ b5,i	0,69	0,88	0,94	0,94	0,8	1,0	1,08	0,92	1,07	0,82	0,9	10,04
	j=6	l6,i	8,5	8,5	9,5	9,0	8,5	9,0	8,0	8,0	9,0	6,5	6,5	91
		b6,i	9,0	8,5	9,0	9,0	8,5	8,5	8,5	8,5	8,5	7,5	7,0
		l6,i/ b6,i	0,95	1,0	1,05	1,0	1,0	1,06	0,94	0,94	1,06	0,87	0,93	10,8
	j=7	l6,i	12,5	16,5	12,0	13,5	10,0	10,5	10,0	12,0	14,0	12,5	11,5	135
		b6,i	15,0	21,5	19,0	10,5	6,5	5,5	7,5	12,0	31,0	24,0	22,5
		l6,i/ b6,i	0,84	0,77	0,63	1,29	1,54	1,9	1,34	1,0	0,45	0,52	0,51	10,79

Tab. 3 Zestawienie danych elementów strumienia do obliczenia współczynnika porowatości i czasu przepływu barwnika.

Nr Wstęgi j	lj,i [cm] bj,i [cm] lj,i/ bj,i [-] lj,i *bj,i [cm^2]	Nr wycinka w danej wstędze i											Suma	Współczynnik porowatości n	Czas przepływu tj w j- tym strumieniu
				i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9		i=10	i=11		[-]	[s]
	j=I	l1,i	2,0	3,5	2,0	1,0	0,5	0,2	1,5	1,5	1,5	1,75	1,75	17,25	0,51	555
		b1,i	3,5	3,5	3,0	1,5	0,5	0,5	1,5	2,5	3,0	3,0	3,5
		l1,i/b1,i	0,57	1,0	0,67	0,67	1,0	0,5	1,0	0,6	0,5	0,59	0,5	7,6
		l1,i* b1,i	7	12,25	6	1,5	0,25	0,1	2,25	3,75	4,5	5,25	6,125	48,975
	j=II	l2,i	1,5	3,0	2,0	2,0	1,5	1,5	2,5	2,0	2,0	2,0	2,5	22,5			0,26	404
		b2,i	1,5	2,0	1,5	1,5	1,5	1,0	2,0	2,5	2,0	2,0	2,0
		l2,i/ b2,i	1,0	1,5	1,33	1,33	1,0	1,5	1,25	0,8	1,0	1,0	1,25	12,96
		l2,i* b2,i	2,25	6,0	3,0	3,0	2,25	1,5	5,0	5,0	4,0	4,0	5,0	41
	j=III	l3,i	2,0	5,0	3,0	2,5	2,5	3,0	3,0	3,0	3,5	4,0	3,5	35			0,09	330
		b3,1	4,0	5,0	4,5	4,0	3,0	3,5	3,5	3,5	4,0	5,0	4,5
		l3,i/ b3,1	5,0	1,0	0,67	0,63	0,83	0,86	0,86	0,86	0,88	0,8	0,78	8,67
		l3,i* b3,i	8	25	13,5	10	7,5	10,5	10,5	10,5	13,6	20	15,75	144,85

Badania na modelu fizycznym wykonano używając drobnoziarnistego, jednorodnego piasku. Wyniki pomiarów zamieszczono w tabeli nr 1. Na dołączonym rysunku wykreślono kwadratową siatkę hydrodynamiczną. Przeniesione linie prądu, określone przez przepływający barwnik, wykorzystano przy wykreślaniu siatki. Mając siatkę hydrodynamiczną, pomierzono długości i szerokości poszczególnych wycinków l_j,i oraz b_j,i i zestawiono w tabeli nr 2. Następnie korzystając z następującego wzoru:

obliczono współczynnik filtracji gruntu k znajdującego się w modelu.

Mając określony współczynnik filtracji oraz czas przepływu barwnika wzdłuż trzech linii prądu, określono poszczególne współczynniki porowatości n. Do ich obliczenia korzystano ze wzoru:

.

Mając współczynniki filtracji oraz współczynnik porowatości, obliczono czas przepływu barwnika wzdłuż poszczególnych linii prądu. Czas ten wyliczono korzystając ze wzoru:

.

Porównując obliczone w ten sposób czasy z uzyskanymi na modelu, widać dobrą zgodność.

V. Wnioski

W ramach ćwiczenia przeprowadzono badania przepływu wód podziemnych na płaskim modelu fizycznym. W warunkach przepływu ustalonego wprowadzono barwnik do strumienia wód podziemnych i obserwowano drogi przepływu barwnika. Przepływ w modelu rozwiązano teoretycznie, wykreślając siatkę hydrodynamiczną. Na podstawie znajomości geometrii gruntu umieszczonego w modelu, warunków brzegowych i pomiaru wydatku przepływającej wody podziemnej i czasu przepływu barwnika, określono współczynnik filtracji gruntu k=0,038 [cm/s] oraz współczynniki porowatości dla poszczególnych linii prądu: n_I=0,51, n_II=0,26, n_III=0,09. Przyjmując te wartości określono czas przepływu barwnika dla poszczególnych linii prądu. Obliczone wartości czasu przepływu barwnika i czasy uzyskane w modelu wykazały dobrą zgodność.

Czas przepływu barwnika	Czasy uzyskane w modelu
548	555
406	404
319	330

---