ZGINANIE:

2.3.3.1. Podstawowe pojęcia przy zginaniu

W rozdziale 2.2.1 dowolny układ sił można było zredukować do jednej wypadkowej i do jednej pary sił.
Weźmy pod uwagę pręt, zaś w jego dowolnym przekroju poprzecznym za punkt redukcji przyjmijmy środek tego przekroju. Jeżeli w tym przekroju układ sił sprowadza się tylko do jednej składowej momentu zginającego Mg, to mamy do czynienia z czystym zginaniem (rys. 2.14a). Jeżeli występuje również siła styczna (tnąca) (rys. 2.14b), to mamy przypadek zginania z udziałem sił poprzecznych.

rys. 2.14

Jeżeli siły czynne (obciążenia zewnętrzne) i siły bierne (reakcje) działające na pręt zginany leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną zginania.
Gdy płaszczyzna zginania pokrywa się z płaszczyzną główną zawierającą oś pręta (czyli zawierającą środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta), to przypadek taki nazywamy zginaniem prostym w odróżnieniu od zginania ukośnego (oś pręta staje się krzywą przestrzenną). Pręty pracujące głównie na zginanie nazywamy belkami.
Rozważmy przypadek belki obciążonej dowolnym obciążeniem ciągłym q (rys.2.15).

Wytnijmy w myśli z belki odcinek o długości dx (o grubości jednostkowej). Po przeanalizowaniu warunków równowagi wyciętego odcinka otrzymamy związki między siłą tnącą, momentem gnącym i obciążeniem ciągłym:

(2.19)

2.3.3.2. Wykresy sił tnących i momentów gnących

Do obliczeń wytrzymałościowych belek zginanych (przedstawionych w dalszych rozdziałach) potrzebne są wykresy sił tnących i momentów gnących.

Przykład 2.22.

Rozważmy belkę obciążoną siłą skupioną P spoczywającą na dwóch podporach (przegub przesuwany i przegub nieprzesuwny).

Wyznaczmy reakcje w podporach z warunków równowagi belki:

Rozpatrzmy przekrój poprzeczny (1-1). Oddziaływanie odrzuconej myślowo prawej części belki zastępujemy siłą tnącą T₁ i momentem gnącym M₁. Z warunków równowagi rozpatrywanej części belki otrzymamy: 0  x₁  b

W przekroju poprzecznym (2-2) otrzymamy: b  x₂  l

Wykorzystując wzory (2.19) otrzymamy również wyrażenia na T₁ i T₂ (co może być wykorzystane do sprawdzenia poprawności obliczeń.

Przykład 2.23.

Jako następny przykład rozpatrzmy belkę obciążoną siłą skupioną, momentem gnącym, obciążeniem ciągłym.

Wyznaczmy reakcje w podporach z warunków równowagi belki:

W przedziale pierwszym: 0  x  l

W przedziale drugim: l  x 3l

Wnioski praktyczne:

1)Na końcu belki (który nie jest obciążony momentem skupionym) moment zginający jest równy zeru.

2)Wartość bezwzględna siły tnącej na podporze jest liczbowo równa reakcji (składowej pionowej reakcji).

3)Wykres momentu zginającego ma skok wyłącznie w miejscu przyłożenia momentu skupionego. Wartość tego skoku jest równa wartości momentu skupionego.

4)Moment zginający w miejscu utwierdzenia równy jest, co do wartości bezwzględnej, momentowi reakcyjnemu utwierdzenia.

5)Wykres momentu zginającego ma załamania wyłącznie w miejscach działania sił skupionych, co na wykresie sił tnących uwidacznia się skokiem. Wartość tego skoku równa jest wartości siły skupionej.

6)Przy wyznaczaniu największych (bezwzględnych) wartości momentu zginającego należy wziąć pod uwagę: końcowe punkty belki (belki utwierdzone), punkty zerowania się siły tnącej, punkty przyłożenia sił skupionych.

Przykład 2.24.

Sporządzić wykresy momentów zginających oraz sił tnących dla belek jak na rysunku.

2.3.3.3. Wprowadzenie do teorii momentów bezwładności figur płaskich

Naprężenie możemy przedstawić jako iloraz uogólnionej siły przez uogólniony przekrój. W przypadku rozciągania, ścinania będzie to siła rozciągająca, ścinająca i przekrój poprzeczny. W przypadku skręcania i zginania będzie to moment skręcający, zginający i wskaźnik przekroju na skręcanie czy zginanie, przy obliczaniu którego potrzebna jest znajomość momentów bezwładności przekroju.

Łatwo zauważymy, że przy zginaniu np. płaskownika przy jednakowym obciążeniu odkształcenie jego będzie zależeć od tego, w której płaszczyźnie działa moment zginający (rys. 2.16).

Wynika z tego wniosek, że odkształcenie elementu (sztywność) zależy nie tyle od wielkości pola przekroju, ile od rozmieszczenia tego pola wokół osi przy zginaniu.

Momentem bezwładności J_z figury płaskiej względem osi z nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól dF tej figury i kwadratów odległości tych pól od osi z (rys. 2.17).

(2.20)

W przypadku trójkąta o podstawie b i wysokości h elementarne pole wynosi:
dF=z*dy=[b(h-y)/h]*dy
i moment bezwładności:


Przy wyznaczaniu momentu bezwładności J_z, można skorzystać ze wzoru Steinera.

(2.21)

Moment bezwładności J_z względem osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości J_zc oraz iloczynu pola figury F i kwadratu odległości między tymi osiami -a- (rys. 2.17). Ze wzoru (2.21) korzystamy przy obliczaniu momentów bezwładności figur płaskich, złożonych z prostych (składowych) figur geometrycznych. W tym wypadku moment bezwładności danej figury płaskiej jest równy sumie momentów bezwładności figur składowych.
Jeżeli moment bezwładności względem osi y oznaczymy J_y, zaś biegunowym momentem bezwładności J_o figury F będzie wyrażenie:

to ponieważ r² = z² + y² otrzymamy:

W tabeli 2.2 przedstawiono wybrane momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na zginanie i skręcanie figur płaskich.

2.3.3.4. Analiza odkształceń i naprężeń przy zginaniu, (rys.2.19)

Doświadczenia przeprowadzone ze zginanymi prętami pokazują, że:

- włókna górne uległy skróceniu (rys. 2.19a) w przekroju wzdłużnym, zaś w tej części w przekroju poprzecznym pręt poszerzy się (rys. 2.19b),

- włókna dolne uległy wydłużeniu i odpowiednio zwężeniu,

- względne odkształcenia poprzeczne pręta w każdym punkcie są proporcjonalne (poprzez liczbę Poissona  ) do odkształceń wzdłużnych a więc istnieje związek między odkształceniami podobnie jak przy rozciąganiu lub ściskaniu,

- włókna równoległe do osi pręta znajdują się w jednokierunkowym stanie naprężeń (rozciąganie lub ściskanie) i nie wywierają na siebie żadnych nacisków poprzecznych,

- w strefie środkowej (warstwa obojętna) odkształcenia i naprężenia są równe zeru.

Rozważmy odkształcenia (rys. 2.19a) odcinków CD i AB. Odcinek (włókno) CD położone w odległości y od warstwy obojętnej przed odkształceniem miał długość równą AB =  ρ , zaś po odkształceniu CD =  (ρ -y).
Odkształcenie względne włókna CD wynosi :

Zaś naprężenie (zgodnie z prawem Hooke'a dla rozciągania, ściskania)

czyli rozkład naprężeń normalnych jest proporcjonalny do odległości od warstwy (osi) obojętnej (rys. 2.19a).
Weźmy pod uwagę wszystkie elementarne momenty w przekroju poprzecznym pręta (rys. 2.19c), które muszą zostać zrównoważone przez przyłożony do pręta moment zginający Mg:

gdzie:
jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego pręta J_z (por. rozdz. 2.3.3.3).
Zakładając, że zginanie rozpatrujemy tylko w granicach sprężystości, otrzymamy zależność umożliwiającą określenie największych naprężeń:

(2.24)

Wprowadzając pojęcie wskaźnika wytrzymałości przekroju na zginanie W_z jako iloraz momentu bezwładności J_z względem osi obojętnej z przez odległość y_max najdalszego włóna od tej osi, otrzymamy warunek wytrzymałościowy na zginanie:

(2.25)

Dla belek zginanych wpływ naprężeń tnących od sił poprzecznych można pominąć, gdyż jest on istotny tylko przy bardzo krótkich belkach (gdy l  5h). Przypadek zginania z udziałem sił poprzecznych dla belek krótkich należy do zagadnień wytrzymałości złożonej.

2.3.3.5. Obliczenia wytrzymałościowe. Przykłady.

Przykład 2.25.

Belka dwupodporowa o długości l= 1,5m, obciążona siłą ciągłą q=5 kN / m , ma przekrój prostokątny h = 2b. Obliczyć wymiary belki, jeżeli kg = 100 MPa.

Wyznaczamy równanie momentów:

gdzie reakcje R_a i R_b wyznaczamy z warunków równowagi:

Znajdujemy max, moment gnący dla

Korzystając ze wzoru (2.25) oraz (tab. 2.2) ze wzoru na wskaźnik W_z

Otrzymamy:

Stąd wymiary belki:

h≥ 5,5 * 10^-2 m

Bardzo często zachodzi potrzeba zaprojektowania belki o równej wytrzymałości. Jest to belka, w której w każdym jej przekroju naprężenia maksymalne są równe naprężeniom dopuszczalnym.

Przykład 2.26.

Zaprojektować belkę wspornikową o równej wytrzymałości, o przekroju prostokątnym o stałej szerokości b.

Korzystając z wzoru (2.25) warunek równej wytrzymałości ma postać σ_g = kg w każdym przekroju belki.

Ponieważ belka ma stałą szerokość, więc wysokość h_x będzie zależeć od miejsca położenia przekroju x.

Wysokość belki będzie zmieniać się paraboliczne od x=O do x=l. Wykonanie belek o takim kształcie jest kłopotliwe i kosztowne, przeto przyjmuje się uproszczony kształt opisany na profilu teoretycznym. Przykładem belki stopniowanej będzie między . innymi resor, wałek ze stopniowanymi średnicami.

2.3. Wytrzymałość prosta

2.3.1. Rozciąganie i ściskanie

2.3.1.1. Zachowanie się materiałów w zakresie odkształceń sprężystych

Zachowanie się sprężyste ciała stałego w całości jest sumarycznym skutkiem indywidualnych odkształceń jego wiązań, podczas gdy siła przyłożona w jednym punkcie ciała przenosi się wzdłuż sieci wiązań, biegnących przez materiał do drugiego punktu ciała, w którym jest przyłożona druga siła równoważąca pierwszą.

Rys. 2.8 Ilustracja do prawa Hooke'a

Gdy siły przyłożone są dostatecznie małe, przemieszczenie sprężyste jest zawsze proporcjonalne do siły:

(2.3)

Przyjmując wydłużenie względne:

(2.4)

oraz naprężenie rozciągające:

(2.5)

Prawo Hooke'a przy rozciąganiu (jak i ściskaniu), ma postać:

σ =  * E

(2.6)

Współczynnik proporcjonalności E nosi nazwę modułu sprężystości wzdłużnej (modułu Younga). Dla stali (w temp. + 20^oC) moduł ten wynosi:

E = 2,1*10⁵MPa  2,1*10⁶kG/cm²

Wartości modułów Younga dla różnych materiałów podano w literaturze [1] [3] [4]
Proporcjonalność naprężenia do odkształcenia zachowana jest tylko przy niewielkich wydłużeniach względnych.

Jeśli materiał ciągliwy, będziemy rozciągać ponad określone naprężenie (np. granicę sprężystości czy też granicę plastyczności) to zacznie się on odkształcać plastycznie. Odkształcenia sprężyste są zwykle nieznaczne (i nadal podlegają prawu Hooke'a) zaś odkształcenia plastyczne znacznie je przewyższają.

Rys. 2.9 Krzywa rozciągania: a - odkształcenie trwałe, b - odkształcenie sprężyste

Jeżeli próbkę odciążymy, to odkształcenie sprężyste znika z takim samym współczynnikiem proporcjonalności E, zaś odkształcenie plastyczne pozostaje jako odkształcenie trwałe.

2.3.1.2. Naprężenia dopuszczalne. Zasada superpozycji.

Obciążenia mechaniczne, termiczne danego elementu maszynowego mogą doprowadzić do zmiany stanu naprężeń uniemożliwiającej dalsze jego eksploatowanie. Jak widać z rys. 2.9, naprężenia mogą osiągać wartość graniczną (Rm) i próbka ulegnie zerwaniu. Równie niekorzystnym może być powstanie odkształceń plastycznych (R_e, R_0,2) trwałych.
W celu zabezpieczenia się przed taką sytuacją należy określić graniczną wartość naprężenia nieprzekraczalną w danych warunkach pracy elementu. Tę wartość naprężenia nazywamy naprężeniem dopuszczalnym na rozciąganie (k_r).
W obliczeniach wytrzymałościowych musi więc być spełniony warunek:

σ  k_r gdzie:

;

(2.7)

Współczynniki (X_m, X_e) nazywamy współczynnikami bezpieczeństwa w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie (R_m) oraz w odniesieniu do granicy plastyczności (R_e, R_o,2).
Przy ustalaniu wartości współczynnika bezpieczeństwa należy uwzględnić warunki pracy, rodzaj materiału, ,rodzaj obciążeń, niedokładność obliczeń wytrzymałościowych, wielkość elementu.
W tabeli 2.1. przedstawiono przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa, którymi można, się posługiwać przy obliczeniach wytrzymałościowych.
Tab. 2.1 Przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa wg [2]

W wielu dziedzinach budowy maszyn (zbiorniki ciśnieniowe, konstrukcje stalowe) obowiązują odrębne przepisy państwowe zobowiązujące do przestrzegania odpowiednich współczynników bezpieczeństwa.
Przy rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałościowych często można skorzystać z zasady superpozycji, która pozwala znacznie uprościć obliczenia.
Załóżmy, że ciało sprężyste ulega wydłużeniu l₁ pod działaniem siły P₁ oraz wydłużenia l₂ pod wpływem siły P₂. Jeżeli wydłużenia l₁ i l₂ są małe (naprężenia nie przekraczają granicy proporcjonalności σ_prop ) oraz liniowe (podlegają prawu Hooke'a), to równoczesny wpływ P₁ i P₂ na ciało powoduje jego wydłużenie o l₁+l₂ . Zasady superpozycji nie wolno stosować w tych przypadkach, gdy działanie jednych sił zmienia charakter działania innych sił .

2.3.1.3. Układy statycznie wyznaczalne. Przykłady.

Przykład 2.7.

Obliczyć wydłużenie l pręta obciążonego siłami P₁,P₂,P₃.

Rys. do przykł. 2.7

Posługując się metodą superpozycji wyznaczymy wydłużenie
l pręta obciążonego siłami P₁,P₂,P₃.Stan wyjściowy będzie sumą trzech stanów prostych.
Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P₁:

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P₂:

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P₃:

Całkowite wydłużenie jest sumą wydłużeń obliczonych dla poszczególnych stanów prostych:

Przykład 2.8.

Sporządzić wykres sił i naprężeń normalnych dla pręta pokazanego na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta.

Rys. do przykładu 2.8.a

a) metoda przecięć:

Rozważmy przekrój I-I

N₁-2P=0 N₁=2P

Rozważmy przekrój II-II

N₂-2P=0 ; N₂=2P

Rozważmy przekrój III-III

N₃-2P-P=0 N₃=3P

Wydłużenie całkowite pręta:

b) metoda superpozycji:

Rys. do przykł. 2.8.b

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą 2P:

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P:

Wydłużenie całkowite pręta:

Przykład 2.9.

Układ prętowy przedstawiony na rysunku obciążony jest siłą P = 400 N.
Długość pręta wynosi l = 800 mm a średnica d = 3 mm. Moduł Younga materiału pręta E = 100 kN/mm² . Obliczyć naprężenia w prętach oraz przemieszczenie pionowe punktu C.

Rys. do przykł. 2.9.

Z warunku równowagi węzła C znajdujemy:

2S cos 30^o - P = 0 ; S = 231 N

Naprężenia w prętach wynoszą:

Oba pręty wydłużą się o
l oraz obrócą wokół punktów zamocowania (A i B).
Dla niewielkich odkształceń łuk okręgu można zastąpić styczną.

Przykład 2.10

Sporządzić wykres sił i naprężeń normalnych dla pręta pokazanego na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta.

Rys. do przykł. 2.10.

Odp.

Przykład 2.11.

Obliczyć i wykonać wykres naprężeń normalnych we wszystkich częściach pręta stalowego, pokazanego na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta.

Rys. do przykł. 2.11.

Odp.

Przykład 2.12.

Na wysięgniku złożonym ze stalowej podpory AC i stalowego pręta BC powieszono ciężar Q=50 kN . Obliczyć średnicę podpory AC i pręta BC .

Rys. do przykł. 2.12

Odp. Średnica podpory AC wynosi
24 , a średnica pręta BC
20 .

2.3.1.4. Układy stycznie niewyznaczalne. Przykłady.

Układy takie są nierozwiązywalne na gruncie statyki ciał doskonale sztywnych (por. Rozdz. 2.2.). Rozwiązanie takich układów można uzyskać dopiero, gdy uwzględni się odkształcenia ciał wchodzących w skład danego układu.

Przykład 2.13.

Obliczyć reakcje utwierdzenia pręta między sztywnymi i nieprzesuwnymi ścianami.

Rys. do przykł. 2.13.

Oznaczamy reakcje utwierdzenia R₁,R_{2 ,} z warunku równowagi mamy :

R₂-P+R₁=0

Brakujące równanie otrzymamy z porównania odkształceń:
l₁-
l₂=0
Posługując się metodą superpozycji wyznaczymy wydłużenia
l₁,
l₂.

;

otrzymamy:

;

Istotne znaczenie w układach statycznie niewyznaczalnych mają naprężenia własne (wstępne) powstające w nie obciążonym jeszcze układzie.
Powstają one na skutek niewłaściwego wykonania i montażu niektórych elementów układu. Jeżeli układ obciążymy siłami zewnętrznymi, to naprężenia wywołane tymi siłami współdziałają z naprężeniami własnymi, powodując zmianę stanu naprężeń w tym układzie.

Przykład 2.14.

Nieodkształcalna belka ma być zawieszona na czterech jednakowych prętach o sztywności EF. W czasie montażu stwierdzono, że dwa pręty środkowe są krótsze od prętów skrajnych o wielkość e.
Jakie siły wystąpią we wszystkich prętach z chwilą likwidacji szczeliny e?

Rys. do przykł. 2.14.

Przy montażu pręty skrajne A i D uległy skróceniu o
l₁, zaś pręty środkowe B i C wydłużeniu o
l₂.

1. Ze względu na symetrię układu:

S_A = S_D = S₁
S_B = S_C = S₂

2. Z warunku równowagi układu:

-S_A + S_B + S_C - S_D = 0
Z (1) i (2) otrzymamy S₁ = S₂

3. Z warunku odkształceń (przy założeniu, że e << l):

Z powyższych równań otrzymamy:

W układach statycznie niewyznaczalnych zmiany temperatury wywołują dodatkowe naprężenia zwane termicznymi (np. szyny tramwajowe) .

Przykład 2.15.

Obliczyć, jakie naprężenia powstaną w pręcie zamocowanym między dwiema sztywnymi nieprzesuwnymi ścianami po ogrzaniu go o
t.

Rys. do przykł. 2.15.

1. Luz δ ≠ 0 zniknie przy wzroście temperatury o ∆t

₀:

∆l₀ = δ =  2l ∆t₀

Dla ∆t>∆t₀ w ścianach wystąpią reakcje R. Pręty wydłużyły się pod wpływem przyrostu ∆t temperatury o ∆l_t oraz ulegnie skróceniu pod wpływem reakcji R o ∆l_m.
Z warunku odkształceń przy założeniu δ << l otrzymamy:

∆l_t = ∆l_m + δ
∆l_t =  2l ∆t

Po obliczeniach otrzymamy:

Naprężenia w części (2EF):

Naprężenia w części (EF):

2. Gdy luz δ = 0

, z warunku odkształceń otrzymamy:

∆l_t = ∆l_m i

Największe naprężenia wystąpią w części (EF):

Przykład 2.16.

Wyznaczyć siły w prętach układu obciążonego siłą W przedstawionego na rysunku. Sztywność prętów wynosi EF.

Rys. do przykł. 2.16.

Odp.

, napięcie w skrajnych prętach

, napięcie w środkowym pręcie

Przykład 2.17.

Wyznaczyć siły w prętach, na których zawieszono sztywną belkę (ciężar jej pomijamy), przegubowo w punkcie A. Belkę obciążono siłą P.

Odp.
,

Przykład 2.18.

Obliczyć reakcje ścian (utwierdzenia) po podgrzaniu stalowego pręta o ∆t.

Odp.
,

2.3.1.5 Związki między naprężeniami a odkształceniami w stanie sprężystym

A. Naprężenia w jednokierunkowym stanie napięcia

Weźmy pod uwagę pręt o przekroju F = const. I zbadajmy stan napięcia w dowolnym punkcie A (rys 2.10).
Rozłóżmy naprężenie p_na dwa wzajemnie prostopadłe kierunki (n ,
).

otrzymamy:

(2.8)

Wytnijmy z rozpatrywanego pręta element prostopadłościenny zawierający punkt A. Wyznaczmy teraz naprężenia normalne σ i styczne  na kolejnych ściankach (90°+  , 180°+  , 270°+  ), a otrzymamy:

(2.9)

Z otrzymanych wzorów wynikają wnioski:

1. Naprężenia σ i  występujące na dwóch równoległych do siebie przekrojach są odpowiednio równe:

2. Na dwóch wzajemnie prostopadłych ścianach naprężenia  są równe co do bezwzględnej wartości:

B. Naprężenia w dwukierunkowym stanie napięcia:

Weźmy pod uwagę płaską blachę o przekroju F = const i zbadajmy stan napięcia w dowolnym punkcie A (rys. 2.11).

Podobnie jak w pkt. a otrzymamy:

(2.10)

Ze wzoru (2.10) widać, że istnieją przekroje ( = 0,  =  /2), w których naprężenia styczne wynoszą zero.
Takie przekroje, w których  _ = 0, a działają jedynie naprężenia normalne σ _ , nazywamy przekrojami głównymi, naprężenia normalne w tych przekrojach - naprężeniami głównymi, a kierunki działania tych naprężeń - kierunkami głównymi.
Wytnijmy z rozpatrywanej blachy element prostopadłościenny zawierający punkt A. Oznaczmy współrzędne x, y, otrzymamy podobne wzory i wnioski jak w pkt. a.

(2.11)

Aby określić naprężenia w płaskim stanie napięcia wystarczy znać wartości naprężeń normalnych występujących na dwóch wzajemnie prostopadłych przekrojach oraz naprężenie styczne w jednym z tych przekrojów.
Z kolei znając σ _x, σ _y oraz  możemy określić naprężenia główne ze wzorów:

(2.12)

oraz kierunek główny, jaki tworzy σ ₁ z σ _x:

(2.13)

Ze wzoru (2.10) wynika, że największe naprężenie (tnące)  _max występuje w przekrojach tworzących kąty 45° z kierunkami głównymi.

C. Zmiana wymiarów poprzecznych rozciąganego pręta

Podczas próby rozciągnięcia pręt wydłuży się o  l zgodnie ze wzorem (2.3). Jednocześnie, w miarę jak pręt się wydłuża, jego wymiary poprzeczne zmniejszają się. Pod działaniem naprężeń rozciągających σ pręt wydłuży się o wartość  = σ /E wg wzoru (2.6). Jeżeli σ nie przekroczy σ _prop, to wymiary poprzeczne pręta ulegną zmniejszeniu o wartość  *  . Występujący tutaj współczynnik proporcjonalności  nazywany jest liczbą Poissona. Można udowodnić, że współczynnik ten jest nie większy niż:   1/2. Wartość liczby Poissona  dla niektórych materiałów podano [3],[4].

D. Prawo Hooke'a w płaskim i przestrzennym stanie napięcia

Jeżeli elementarną kostkę sześcienną poddamy działaniu naprężeń σ₁, σ₂, σ₃ i wyznaczymy odpowiadające im odkształcenia względne ₁, ₂, ₃, to stosując zasadę superpozycji otrzymamy wzory na związki naprężeń z odkształceniami w przestrzennym stanie sprężystym:

(2.14)

Wzory na związki w płaskim stanie napięcia otrzymamy z wzorów (2.14) po opuszczeniu w każdym wierszu naprężenia σ ₃. Wzory powyższe są słuszne, gdy żadne z naprężeń nie przekracza granicy proporcjo

2.3.4. Skręcanie prętów o przekroju kołowym

2.3.4.1. Podstawowe pojęcia przy skręcaniu

Skręcanie pręta (por. rys. 2.3) występuje wtedy, gdy dwie pary sił działają w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta.
Rozważmy pręt o przekroju kołowym i długości l (rys.2.20a) skręcany dwoma parami sił (momentami skręcającymi M_s)

Prosta AB₁ równoległa do osi pręta na skutek skręcania przyjmie kształt linii śrubowej AB₂ o kącie γ nachylenia jednakowym na całej długości pręta. Przekroje końcowe pręta pozostają nadal płaskie, zaś długość l i promień r nie ulega zmianie, czyli objętość pręta nie zmienia się. Jeżeli wyobrazimy sobie rozwinięty cylinder o szerokości dx, to widzimy (rys. 2.20b), że kąty proste odkształcą się o kąt γ.
Ponieważ w pręcie nie zachodzą zmiany objętości, a jedynie zmiany postaci, można przyjąć, że stan naprężeń w pręcie skręcanym jest podobny do stanu czystego ścinania. W przekrojach poprzecznych pręta występują naprężenia styczne.

2.3.4.2. Analiza odkształceń i naprężeń w pręcie skręcanym

Naprężenia styczne w przekrojach poprzecznych, pręta są prostopadłe do pomyślanych promieni (rys. 2.21) i zmieniają się proporcjonalnie do zmian promienia (2.26) (potwierdzone wynikami badań).

(2.26)

Z warunku równowagi rozpatrywanego pręta wynika, że suma elementarnych momentów ( dM=_ρ*dF*ρ ) w przekroju poprzecznym pręta równa się momentowi skręcającemu (zewnętrznemu) dany pręt :

Otrzymamy w rezultacie:

Występującą, tutaj całkę nazywamy J_o biegunowym momentem bezwładności przekroju (por. rozdz. 2.3.3.3)stąd wartość maksymalnych naprężeń statycznych  _max dla punktów położonych przy zewnętrznej powierzchni skręcanego pręta

(2.27)

Kąt  ,o jaki obrócą się względem siebie końcowe przekroje poprzeczne pręta o średnicy d i długości l, wyraża się wzorem:

(2.28)

2.3.4.3. Obliczenia wytrzymałościowe. Przykłady.

Podobnie jak i przy zginaniu, wprowadzimy pojęcie wskaźnika wytrzymałości na skręcanie W_o
Jest to iloraz biegunowego momentu bezwładności J_o przez maksymalną odległość (skrajne włókna) od osi pręta:

Niektóre wzory na J_o oraz W₀ podano w tab. 2.2. Tak więc otrzymamy warunek wytrzymałościowy na skręcanie:

(2.29)

Przykład 2.30.

Obliczyć nośność wału przedstawionego na rysunku. Obliczyć także całkowity kat skręcenia wału.

G=8,5 10⁴MPa

ks=80 MPa

1. Wyznaczamy momenty w poszczególnych przedziałach: Ms₁ = M_BD = 2M ,Ms₂ = M_AB= 2M - M =M

2. Największe naprężenia wystąpią w części (CD)

Stad wyznaczymy nośność (czyli maksymalny moment jakim można obciążyć wał) wału:

3. Całkowity kąt skręcenia wynosi:

Przykład 2.31.

Dla wału obciążonego jak na rysunku zrobić wykres, momentów skręcających oraz wyznaczyć kąt obrotu swobodnego końca wału. Moduł odkształcenia postaciowego wynosi G.

Odp. Kąt obrotu swobodnego końca wału:  = O.

Przykład 2.32.

DIa wału wydrążonego, obciążonego jak na rysunku wyznaczyć największe naprężenia tnące oraz obliczyć kąt, o jaki obróci się przekrój w punkcie A. Moduł odkształcenia postaciowego wynosi G=8,5*10⁴
MPa .

Odp. Największe naprężenia tnące wynoszą  _s=61,2 MPa , zaś kąt skręcenia  _A=22,5 10^-4 rd .

2.3.4.4 Skręcanie wałów statycznie niewyznaczalnych. Przykłady.

Jest to problem, podobnie jak w rozdziale 2.3.1.4 nierozwiązywalny na gruncie statyki ciała doskonale sztywnego. Dodatkowe równania możemy otrzymać wykorzystując odkształcalność (kąt skręcenia) skręcanych prętów:

Przykład 2.33.

Dla belki o średnicy d, utwierdzonej obustronnie w nieodkształcalnych ścianach wyznaczyć reakcje utwierdzenia oraz wykonać wykres momentów skręcających.

Oznaczmy reakcje utwierdzenia belki , momentami M₁,M₂,.Z warunku równowagi statycznej otrzymamy:

M₁-M+M₂=0

Z warunku sztywności (ciągłości albo zszycia) otrzymamy brakujące równanie. Kąt o jaki obróci się przekrój w miejscu obciążenia momentem M względem utwierdzonych końców jest jednakowy dla obu części belki.

Stąd otrzymamy momenty utwierdzenia:

Wyznaczamy momenty skręcające w poszczególnych przedziałach:

Przykład 2.34

Dla wału jak na rysunku wyznaczy momenty utwierdzenia.

Z warunku równowagi otrzymamy:

M₁ - M + M - M₂ = O stąd M₁ = M₂

Z warunku odkształceń wykorzystując zasadę superpozycji otrzymamy dodatkowe równanie.
W miejscu utwierdzenia M₂ suma odkształceń (kątów skręcenia) wynosi zero

Momenty utwierdzenia wynoszą odpowiednio:

---