zdania nierozstrzygalne

Największą zdobyczą szkoły formalistycznej była praca wiedeńczyka Kurta Godla z 1931 r. o nierozstrzygalnych zdaniach w matematyce. Godel dowiódł, że każdy system dedukcyjny, zawierający w sobie arytmetykę, prowadzi do takich zdań. Rozumowania, które przy niepoprawnym języku prowadziły do zdań antynominalnych, przy języku poprawnym prowadzą do nierozstrzygalnych. Nierozstrzygalność ta jest względna w tym sensie, że przy pewnych zmianach w systemie zdania nerozstrzygalne mogą się stać rozstrzygalne, ale wtedy inne zdania systemu stają się nierozstrzygalne.

Program formalizacji matematyki, autorstwa D. Hilberta, sprowadzał się do postulatu zrekonstruowania całej matematyki - w tym także jej infinitystycznej części, odkrytej głównie przez Georga Cantora, jednego z największych badaczy dziedziny matematyki zwanej teorią mnogości - w jednym systemie formalnym. Taki system musi być niesprzeczny, jak również zupełny, to znaczy, po pierwsze, z dwóch zdań takich, że jedno jest negacją drugiego, tylko jedno może stanowić tezę systemu. Po drugie każde zdanie w tym systemie prawdziwe musi być jego twierdzeniem, to znaczy mieć dający się przeprowadzić w skończonej liczbie kroków (stąd mowa o metodzie finitystycznej) dowód. Gödel pokazał, że jeśli założymy niesprzeczność systemu matematycznego, a dokładniej systemu zawierającego tzw. arytmetykę Peano (w której podstawowe działania, jak dodawanie i mnożenie, charakteryzowane są za pomocą funkcji następnika), to nie będzie prawdą, iż system ten jest zupełny, można bowiem przy użyciu jego własnych środków skonstruować zdanie, które w tym systemie będzie nierozstrzygalne, to znaczy ani ono, ani jego negacja nie będzie miało dowodu, chociaż zdanie to będzie w tym systemie prawdziwe. Gödel wykorzystał wersję paradoksu kłamcy, gdyż jego zdanie w języku naturalnym można wyrazić jako mówiące „ja nie mam w tym systemie dowodu”. Jeśli to zdanie byłoby fałszywe, to miałoby dowód, a zatem, na mocy metasystemowych założeń każących wszystkie zdania mające dowód uznać za prawdziwe - byłoby ono wtedy prawdziwe. Ponieważ założenie fałszywości zdania gödlowskiego prowadzi do sprzeczności, zdanie to musi być prawdziwe (przynajmniej jeśli zakładamy zasadę dwuwartościowości), a więc jest tak, jak ono głosi. Z twierdzenia o niezupełności została wyciągnięta ważna konsekwencja, tzn. twierdzenie mówiące, że nie można udowodnić niesprzeczności danego systemu arytmetyki i a fortiori matematyki w nim samym.