Statyka - cd.

Wojciech Barański

Katedra Mechaniki Materiałów PŁ

[e-mail]

Tenora par sił w przestrzeni 3W

Przesunięcie równoległe pary sił w przestrzeni 3W

Twierdzenie: Dowolne przesunięcie równoległe pary sił nie zmienia skutków jej działania.

Równoważność par sił w przestrzeni 3W

Twierdzenie: Dwie pary sił są sobie statycznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne momenty.

Dowód: Wobec twierdzenia o przesuwaniu par sił, przypadek równoległości płaszczyzn działania par sprowadza się do uprzednio rozpatrzonego zagadnienia równoważności par sił na płaszczyźnie.

W przypadku nierównoległości możemy do każdej z par dodać taką samą niezerową siłę działającą wzdłuż krawędzi przecięcia płaszczyzn działania tych par i łatwo wywnioskować z teorii płaskiego układu sił, że przypadek taki jest niemożliwy ￿

Składanie par sił w przestrzeni 3W

Twierdzenie: Działanie dwu par sił jest statycznie równoważne działaniu jednej pary mającej moment będący sumą momentów par składowych.

Dowód: Wobec twierdzenia o przesuwaniu par sił, przypadek równoległości płaszczyzn działania par sprowadza się do uprzednio rozpatrzonego zagadnienia składania par sił na płaszczyźnie.

Z twierdzenia o równoważności par sił wynika, że możemy przyjąć obie pary składowe zaczepione w dwu punktach przecięcia płaszczyzn działania par składowych a następnie składać siły zaczepione we wspólnym punkcie otrzymując ostatecznie parę sił o momencie równym sumie momentów par składowych ￿

Jako bezpośredni wniosek otrzymujemy

Twierdzenie: Działanie dowolnie wielu par sił jest statycznie równoważne działaniu jednej pary mającej moment będący sumą momentów par składowych.

Redukcja przestrzennego układu sił do wektora głównego i momentu głównego

Twierdzenie: Dla dowolnego bieguna
dowolny przestrzenny układ sił
jest statycznie równoważny połączonemu działaniu zaczepionego w
wektora głównego
oraz pary sił o momencie równym momentowi głównemu
względem
.

Dowód: Niech
będzie układem zaczepionych w
sił takich, że

,..
.

Układ sił
jako zrównoważony może być dodany do rozpatrywanego układu
. Zauważmy, że układ
jako zbiór n par sił jest równoważny parze sił o momencie
.

Zauważmy również, że układ sił
jako zbieżny jest równoważny swojej wypadkowej równej wektorowi głównemu
￿

WNIOSKI:

Twierdzenie: Dwa przestrzenne układy sił są sobie statycznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne wektory główne i momenty główne względem wspólnego bieguna ￿

Twierdzenie: Przestrzenny układ sił jest zrównoważony wtedy i tylko wtedy, gdy jego wektor główny i moment główny są równe zeru ￿

Twierdzenie o zmianie bieguna redukcji: Momenty główne dowolnego przestrzennego układ sił
względem dowolnych biegunów
i C

gdzie
jest wektorem położenia bieguna B względem bieguna C ￿

Twierdzenie: Przesunięcie bieguna redukcji równoległe do wektora głównego nie zmienia momentu głównego ￿

Redukcja do pary sił

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny układu jest równy zeru to układ redukuje się do pary sił. Moment główny układu nie zależy wtedy od wyboru bieguna redukcji ￿

Skrętnik i oś centralna

Jeżeli wektor główny układu sił jest niezerowy to z twierdzenia o zmianie bieguna redukcji wynika, że można wtedy poszukiwaćar takich biegunów redukcji, którym odpowiada moment główny równoległy do wektora głównego.

Zapisując warunek równoległości dla bieguna C w postaci zerowania odpowiedniego iloczynu wektorowego otrzymujemy

,

a wobec wzoru
(Varignone)

,

co po uporządkowaniu daje

.

Korzystając z tożsamości wektorowej
otrzymujemy

co jest niejednorodnym liniowym równaniem względem nieznanego
.

Łatwo sprawdzić, że jego rozwiązaniem szczególnym jest

Rozwiązanie ogólne
równania jednorodnego ma spełniać równanie

skąd wynika, że potrzeba i wystarcza, aby było równoległe do
.

Ostatecznie
oraz

gdzie
jest dowolną liczbą rzeczywistą. Widać zatem, że zbiór biegunów spełniających warunek równoległości momentu głównego do wektora głównego tworzy prostą zwaną osią centralną rozpatrywanego układu sił a skutek redukcji do dowolnego punktu osi centralnej nazywamy skrętnikiem tego układu.

Obliczając moment główny względem bieguna C leżącego na osi centralnej możemy się posłużyć wzorami

;

otrzymując

co po skorzystaniu z tożsamości
daje

.

Jak widać moment główny względem takiego bieguna jest rzutem momentu głównego względem bieguna pomocniczego na oś wektora głównego.

Udowodniliśmy zatem następujące twierdzenie:

Twierdzenie o redukcji do skrętnika: Jeżeli wektor główny
układu sił jest niezerowy to istnieje taka prosta zwana osią centralną rozpatrywanego układu, że moment główny układu obliczmy względem dowolnego punktu osi centralnej jest równoległy do wektora głównego rozpatrywanego układu sił. Położenie punktów osi centralnej względem pomocniczego bieguna B dane jest równaniem

a wartość momentu głównego względem dowolnego punktu osi centralnej wynosi

￿

Wnioski:

Twierdzenie o redukcji do wypadkowej: Jeżeli wektor główny
układu sił jest niezerowy i prostopadły do momentu głównego
względem dowolnego bieguna B, to układ redukuje się do wypadkowej zaczepionej w dowolnym punkcie osi centralnej ￿

Twierdzenie: Moment główny układu sił nie zależy od wyboru punktu na osi centralnej układu.

Warunki równowagi przestrzennego układu sił

Udowodniliśmy uprzednio, że do równowagi potrzeba i wystarcza, aby wektor główny i moment główny układu były zerowe. Zagadnienie sformułowań alternatywnych nie jest tym przypadku tak proste jak to ma miejsce dla płaskiego układu sił.

Twierdzenie: Dla dowolnego układu sił
, dla dowolnej osi
i leżącega na niej punktu O zachodzi

;

gdzie
jest rzutem na oś
wektora głównego rozpatrywanego układu a
jest rzutem na oś
momentu głównego.

Twierdzenie: Jeżeli osie x, y są do siebie równoległe to dla dowolnego układu sił
zachodzi

.

Twierdzenie: Na to, aby przestrzenny układ sił
był w równowadze potrzeba i wystarcza, aby spełnione były następujące warunki:

;
;
;

;
;

przy założeniu, że osie
przecinają się w jednym punkcie, lecz nie są współpłaszczyznowe.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe to układ sił
spełniający warunki

;
;

jest albo w równowadze albo redukuje się do wypadkowej zaczepionej w punkcie O.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe to układ sił
spełniający warunki

;
;
;

jest albo w równowadze albo redukuje się do wypadkowej zaczepionej w punkcie O i prostopadłej do osi x.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe a osie x i y nie są do siebie równoległe to układ sił
spełniający warunki

;
;
;

;

jest albo w równowadze albo redukuje się do wypadkowej zaczepionej w punkcie O i prostopadłej do osi x i y.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe a oś x nie przechodzi przez punkt O, to układ sił
spełniający warunki

;
;
;

jest albo w równowadze albo redukuje się do wypadkowej zaczepionej w punkcie O i leżącej w płaszczyźnie zawierającej oś x oraz punkt O.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe a osie x i y nie przechodzą przez punkt O i nie leżą razem z punktem O w jednej płaszczyźnie, to układ sił
spełniający warunki

;
;
;

;

jest albo w równowadze albo redukuje się do wypadkowej zaczepionej w punkcie O i leżącej wzdłuż krawędzi przecięcia płaszczyn zawierających odpowiednio oś x oraz punkt O i oś y oraz punkt O.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe a osie x, y i z nie przechodzą przez punkt O i spełniają następujące warunki:

1. osie x i y nie leżą razem z punktem O w jednej płaszczyźnie,

2. osie x i z nie leżą razem z punktem O w jednej płaszczyźnie,

3. osie z i y nie leżą razem z punktem O w jednej płaszczyźnie,

to układ sił
jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujące warunki:

;
;
;

;
;
.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe, osie x i y nie przechodzą przez punkt O i nie leżą razem z punktem O w jednej płaszczyźnie a oś z nie jest prostopadła do krawędzi przecięcia płaszczyzn przechodzących odpowiednio przez osie x i y oraz przez punkt O , to układ sił
jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujące warunki:

;
;
;

;
;
.

Twierdzenie: Jeżeli osie
przecinają się w punkcie O, lecz nie są współpłaszczyznowe, osie x nie przechodzi przez punkt O a oie y i z nie są do siebie równoległe ani prostopadłe do płaszczyzny przechodzącej przez oś x i przez punkt O, to układ sił
jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujące warunki:

;
;
;

;
;
.

Twierdzenie: Jeżeli osie
są do siebie równoległe lecz nie są współpłaszczyznowe, a układ sił
spełnia następujące warunki:

;
;

to układ sił albo jest w równowadze albo redukuje się do wypadkowej równolwgłej do tych osi.

Układ sił równoległych

Jeżeli wszystkie siły układu
są równoległe do danego wektora
to taki układ nazywamy układem sił równoległych.

Zauważmy, że moment układu względem dowolnej osi równoległej do
jest równy zeru. Równe zeru są również sumy rzutów wszystkich sił układu na dowolną oś prostopadłą do
.

Redukcja układu sił równoległych

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny układu sił równoległych
jest niezerowy to układ redukuje się do wypadkowej równoległej do sił układu i zaczepionej gdziekolwiek na osi centralnej o równaniu

gdzie:
jest jednostkowym wektorem równoległym do sił układu,
jest dowolną liczbą rzeczywistą,
są wektorami położenia punktów zaczepienia sił układu, natomiast

,
.

Dowód: Z założenia o niezerowości wektora głównego wynika istnienie wypadkowej układu. Pozostaje zatem znalezienie równania osi centralnej układu. Skorzystajmy ze wzoru ogólnego na oś centralną

.

Obliczamy

Korzystając ze wzoru
obliczamy

skąd wynika

gdzie oznaczono

￿

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny układu sił równoległych
jest zerowy to albo układ redukuje się do pary albo układ jest w równowadze.

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny i moment główny układu sił równoległych
są zerowe to układ jest w równowadze.

Warunki równowagi układu sił równoległych

Twierdzenie: Jeżeli osie
są prostopadłe do sił układu i nie są do siebie równoległe a oś z jest równoległa do sił układu, to układ sił równoległych
jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujące warunki:

;
;
.

Twierdzenie: Jeżeli osie
są prostopadłe do sił układu i nie są do siebie jednocześnie równoległe a ich rzuty na płaszczyznę prostopadłą do sił układu nie przecinają się w jednym punkcie, to układ sił
jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujące warunki:

;
;
.

Środek sił równoległych

Dla danego układu sił równoległych
z niezerowym wektorem głównym, punkt określony wektorem położenia

nazywamy środkiem sił równoległych. Z twierdzenia o redukcji układu sił równoległych do wypadkowej wynika, że bez względu na wartość wersora należy on do osi centralnej układu.

;
;

Środek ciężkości (masy) bryły

Środkiem cięzkości bryły V nazywamy punkt C określony wektorem położenia

gdzie
jest masą bryły.

Środek ciężkości figury płaskiej

Środkiem cięzkości figury płaskiej A nazywamy punkt o współrzędnych

;

gdzie

- nazywamy momentem statycznym figury wzgledem osi x,

- nazywamy momentem statycznym figury wzgledem osi y,

A - jest polem figury.

;

Środek ciężkości powierzchni materialnej

Środkiem ciężkości powierzchni materialnej S nazywamy punkt C określony wektorem położenia

gdzie
jest masą powierzchni materialnej.

Przypadek 1. Powierzchnia dana równaniem parametrycznym

co oznacza

;
;
.

Różniczce parametru u odpowiada wektor

a różniczce parametru v odpowiada wektor
.

Czyli odpowiada im elementarna powierzchnia

wektorowo oraz

skalarnie.

Stąd masę obliczamy ze wzoru

a środek masy ze wzoru

Przypadek 2. Powierzchnia dana równaniem jawnym

.

Możemy wówczas skorzystać ze wzorów przypadku 1 przyjmując zmienne niezależne x i y jako parametry postaci parametrycznej.

Mamy wtedy

;
;
;
;

;
;
;

;

.

Środek ciężkości krzywej materialnej

Środkiem ciężkości krzywej materialnej L nazywamy punkt C określony wektorem położenia

gdzie
jest masą powierzchni materialnej.

Krzywa dana równaniem parametrycznym

co oznacza

;
;
.

Różniczce parametru u odpowiada wektor
.

Czyli odpowiada jej elementarna długość

Stąd masę obliczamy ze wzoru

a środek masy ze wzoru

.

---