Marek Trzynski 08.11.2009

Zaoczne studia inżynierskie

Semestr 1 grupa laboratoryjna 2/4

Ćwiczenie nr 1

Podstawowe mierniki

i pomiary elektryczne

WYDZIAŁ ELEKTRONKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI KATEDRA METROLOGII I SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH LABORATORIUM METROLOGII I TECHNIKI EKSPERYMENTU GRUPA ..2/4.....
Ćwiczenie nr 1 Podstawowe mierniki i pomiary elektryczne	Imię i nazwisko	Marek Trzynski
		Data wykonania ćwiczenia	08.11.2009 r.
		Data odbioru sprawozdania
		Ocena zaliczenia
		Uwagi i podpis

Cel ćwiczenia

Celem tego ćwiczenia było zapoznanie się z popularnymi przyrządami mierniczymi, oraz wykorzystanie ich do różnorakich pomiarów. Za ich pomocą dokonano wzorcowania woltomierza, amperomierza, pomiaru rezystancji, pomiaru mocy, oraz zestawiono w pełni funkcjonalny system pomiarowy bazujący na komputerze klasy PC. System ten umożliwiał zbieranie, gromadzenie, obróbkę i wygenerowanie określonych raportów pomiarowych.

Zadania pomiarowe

1. Wzorcowanie woltomierza

Po zestawieniu obwodu pomiarowego zgodnego ze schematem (rys. 6.11) przystąpiłem do wykonania ćwiczenia. W wyniku przeprowadzonych pomiarów uzyskałem następujące wyniki:

Ub [V]	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
Uw [V]	0,19946	0,40238	0,60377	0,80321	1,0000
ε [mV]	5,4	-2,38	-3,77	-3,21	0
δ [%]	0,0135	-0,0146	-0,0103	-4,9756	0

Po wypełnieniu tabeli w wierszu U_w [V] należy obliczyć wpierw błędy bezwzględne wynikające z pomiarów.

Wzór na błąd bezwzględny miernika magnetoelektrycznego :

ε = U_b - U_w

gdzie :

U_b - wartość napięcia uzyskana woltomierzem magnetoelektrycznym

U_w - wartość napięcia uzyskana woltomierzem cyfrowym

I tak dla przykładu:

I kolumna

ε = 0.2 V - 0,19946 V = 5.4 mV

Następnie obliczamy wartości błędów względnych dla poszczególnych napięć - otrzymujemy je z poniższej zależności :

W przypadku I kolumny uzyskujemy :

Z tego wykresu wynika, że najmniejsze wartości błędów względnych oscylowały mniej więcej w środku skali pomiarowej woltomierza magnetoelektrycznego.

Charakterystyka napięcia mierzonego woltomierzem cyfrowym w funkcji napięcia mierzonego za pomocą woltomierza magnetoelektrycznego jest liniowa. Wskazania obu przyrządów nie są obarczone jakimiś większymi odchyleniami względem siebie.

Warto przy okazji sprawdzić, czy woltomierz magnetoelektryczny zachował podczas pomiarów swoją klasę dokładności. Opisuje to następująca zależność:

gdzie:

- maksymalny błąd bezwzględny ( błąd graniczny przyrządu)

- wartość końcowa zakresu pomiarowego

Tak więc:

Ponieważ badany woltomierz posiada klasę 1.5%, zaś wyliczona wartość wynosi 0%, można zatem powiedzieć, że podczas pomiarów przyrząd zachował swoje parametry.

Poza tym zauważyć trzeba, że woltomierz magnetoelektryczny nieznacznie zawyża wynik pomiarowy w stosunku do wzorcowego wyniku uzyskanego za pomocą laboratoryjnego woltomierza cyfrowego.

2. Pomiar rezystancji wewnętrznej woltomierza metoda podstawiania.

Po zestawieniu obwodu pomiarowego zgodnie ze schematem (rys 6.12) przystąpiłem do regulacji napięcia występującego na zaciskach woltomierza badanego. Ustawiłem wartość napięcia tak, aby wskazówka woltomierza magnetoelektrycznego wskazywała napięcie 2.5 V. Dla tej wartości napięcia (przy pomocy miliamperomierza cyfrowego włączonego szeregowo w obwód) odczytałem wartość prądu przepływającego przez badany woltomierz i wyniosła ona :

I_w = 0,0491 mA

Następnie odłączyłem napięcie zasilające, a w miejsce woltomierza podłączyłem rezystor dekadowy. Po ponownym włączeniu zasilania ustawiłem wartość rezystancji tak, aby wartość prądu przepływającego przez miliamperomierz cyfrowy była taka sama. Następnie odczytałem odpowiednie nastawy rezystora dekadowego i uzyskałem następującą wartość rezystancji wewnętrznej:

R_d = R_v = 50161 Ω

3. Zmiana zakresu pomiarowego woltomierza.

Następnym zadaniem było rozszerzenie zakresy pomiarowego woltomierza magnetoelektrycznego z 2.5 V do 5 V. Aby uzyskać żądany efekt, do badanego woltomierza należało podłączyć szeregowo posobnik (w naszym przypadku nastawny rezystor dekadowy R_d ) o znanej rezystancji (rys 6.13).

Aby wyliczyć tą rezystancję należy posłużyć się następującym rozumowaniem:

Przez posobnik i woltomierz przepływa ten sam prąd. W związku z tym można zapisać następującą zależność:

I_d = I_w = I_d+w

gdzie:

I_d - prąd płynący przez posobnik

I_w - prąd płynący przez woltomierz

I_d+w - prąd płynący przez układ posobnik + woltomierz

Z kolei prąd woltomierza I_w opisuje następujący związek:

gdzie:

U_w - napięcie na zaciskach woltomierza

R_w - rezystancja wewnetrzna woltomierza

Prąd I_p+w przepływający przez układ woltomierza i posobnika:

gdzie :

U_d+w - napięcie na zaciskach układu posobnik + woltomierz

R_w + R_d - wypadkowa rezystancja układu posobnik + woltomierz

Przyrównujemy teraz obie zależności:

Iloraz
wskazuje nam, ile razy zwiększył się zakres mierzonego napięcia, dlatego określa się go jako mnożnik zakresu pomiarowego i oznacza n. Stąd nasz wzór ostatecznie przyjmie postać:

W moim przypadku chcę zwiększyć zakres pomiarowy z 2.5 V do 5 V, tak więc

U_p+w = 5 V, U_w = 2.5 V, a wartość n wyniesie:

Po podstawieniu do wzoru na wartość rezystancji posobnika otrzymujemy:

R_d = 50161 Ω *( 2-1 ) = 50161 Ω

Zatem chcąc zwiększyć zakres pomiarowy dwukrotnie należy podłączyć szeregowo posobnik o rezystancji równej wartości rezystancji wewnętrznej woltomierza rozszerzanego. Tak też uczyniłem i przystąpiłem do pomiarów napięć celem ustalenia błędów względnych przyrządu o rozszerzonym zakresie pomiarowym, oraz wyznaczenia krzywej wzorcowania. Na końcu należy jeszcze sprawdzić, czy tak „udoskonalony” przyrząd zachował swoją klasę pomiarową.

Po wypełnieniu wiersza U_w [V] pomierzonymi napięciami obliczamy kolejno błędy bezwzględne i względne dla poszczególnych napięć (zgodnie ze wzorami z punktu 1).

Ub [V]	1	2	3	4	5
Uw [V]	0.99849	1.9979	2.9803	3.9684	4.9337
ε [mV]	1.51	2.1	19.7	31.6	66.3
δ [%]	0.15	0.10	0,66	0.79	1.34

Następnie wyznaczamy krzywą wzorcowania dla woltomierza o rozszerzonym zakresie.

Podobnie jak w przypadku zakresu pomiarowego 0 - 2.5 V tak i w tym przypadku wykres jest liniowy - dołączenie posobnika nie wpłynęło zasadniczo na zmianę charakterystyki U_w / U_b.

Porównując oba wykresy błędów względnych (dla zakresu 0 - 2.5 V oraz 0 - 5V) zauważyć można następującą prawidłowość:

- dla zakresu napięcia 0-5V wskazania napięć od początku do środka skali są wyraźnie obarczone mniejszymi błędami pomiarowymi niż w przypadku zakresu 0-2.5V.

- w środku skali są niemal identyczne (zakres 0-2.5V - 0.67%, zakres 0-5V - 0,66%).

- od środka do końca skali pomiarowej są zbliżone, jednakże z lekką „przewagą” zakresu 0-5V (mniejsze błędy)

Zatem można przypuszczać, że rozszerzenie zakresu pomiarowego poprawiło średnią dokładność wskazań woltomierza magnetoelektrycznego. Sprawdzić jeszcze należy, czy woltomierz z rozszerzonym zakresem zachował swoja klasę dokładności.

gdzie:

- maksymalny błąd bezwzględny ( błąd graniczny przyrządu)

- wartość końcowa zakresu pomiarowego

Dla zakresu 5V maksymalny błąd bezwzględny wynosi 66.3 *10 ^-3 V, tak więc

Woltomierz posiada klasę pomiarową 1.5%, zaś wyliczona z pomiarów wynosi 1.32%.

Można zatem stwierdzić, że przyrząd zachował swoja klasę pomiarową - co więcej, w stosunku do poprzednich pomiarów na zakresie 0-2.5V (1.47% ) nawet uzyskał nieznacznie lepszy wynik.

Podobnie jak to miało miejsce w przypadku zakresu pomiarowego 0 - 2.5 V woltomierz magnetoelektryczny nieznacznie zawyżał wyniki pomiaru w stosunku do wzorcowego wyniku uzyskanego przez laboratoryjny woltomierz cyfrowy.

4. Pomiary miliamperomierzem magnetoelektrycznym

Po zestawieniu obwodu pomiarowego zgodnie z rys. 6.14 przystąpiłem do wykonywania pomiarów. Wyniki umieściłem w tabelce (wiersz I_w [mA])

Ib [mA]	10	20	30	40	50	60	70	75
Iw [mA]	10.0738	20.194	30.190	40.385	50.325	60.561	70.627	75.525
ε [μA]	- 73.8	- 194	- 190	- 385	- 325	- 561	- 627	- 525
δ [%]	- 0.73	- 0.96	- 0.63	- 0.95	- 0.64	- 0.92	- 0.88	- 0.69

Należy teraz wyliczyć błąd bezwzględny dla poszczególnych wartości prądu:

ε = I_b - I_w

gdzie:

I_b - wartość prądu zmierzona miliamperomierzem magnetoelektrycznym

I_w - wartość prądu zmierzona wzorcowym miliamperomierzem cyfrowym

Dla przykładu:

Prąd 40 mA ε = I_b - I_w = 40 mA - 40.385 mA = - 0.385 mA = - 385 μA

Następnym krokiem jest wyliczenie wartości błędu względnego dla danych prądów.

Podstawiamy więc wyliczone wartości błędów bezwzględnych do wzoru:

Przy prądzie I_b = 40 mA wartość błędu względnego wyniesie:

Jak wynika z wykresu, charakterystyka zależności I_w / I_b jest liniowa. Podobnie zresztą prezentowały się charakterystyki napięciowe woltomierzy - stąd wniosek, że wskazania miliamperomierza magnetoelektrycznego w całym przedziale skali są liniowe, choć obarczone niewielkim błędem.

Daje się zaobserwować interesującą zależność - błędy względne oscylują w przedziale

od -1% do  - 0.5%. Poza tym wykres przypomina nieco wykres funkcji sinus - regularnie, co 20 mA występują wartości maksymalne i minimalne (zaburzone jest to lekko tylko na początku i końcu wykresu). Być może większe przybliżenie uzyskałbym zwiększając liczbę pomiarów w danym zakresie pomiarowym, choć nie mogę tego jednoznacznie potwierdzić.

Warto sprawdzić, czy miliamperomierz zachował swoją klasę pomiarowa podczas pomiarów.

Do znanego już wzoru

gdzie:

- maksymalny błąd bezwzględny ( błąd graniczny przyrządu)

- wartość końcowa zakresu pomiarowego

Podstawiamy następujące wartości:

Δx_max = - 0.627 mA x_zakr = 75 mA

i otrzymujemy

Ponieważ badany przeze mnie miliamperomierz posiadał klasę 0.5%, zaś wyliczona wartość wyniosła 0.836% - stąd wniosek jest następujący: miliamperomierz nie spełnia swojej klasy.

Niejako „ciekawostką eksperymentalną” był fakt, że badany przeze mnie miliamperomierz posiadał lekko skrzywioną w prawo wskazówkę. Nie przesądziło to raczej o wynikach, gdyż zgodnie z sugestią prowadzącego laboratorium wykładowcy obrałem pewien punkt na wskazówce, względem którego dokonywałem potem odczytu mierzonej wartości. Oczywiście przed właściwymi pomiarami wyregulowałem wskazanie miliamperomierza tak, aby obrany punkt na wskazówce odpowiadał początkowi skali. W ten sposób niejako ograniczyłem wpływ tego błędu systematycznego na dokładność pomiaru.

Należy także wspomnieć, iż miliamperomierz magnetoelektryczny wykazał tendencję do zaniżania wyniku pomiarowego w stosunku do wzorcowego miliamperomierza cyfrowego, co znalazło odzwierciedlenie w wartościach błędów względnych i bezwzględnych.

5. Zastosowanie multimetru cyfrowego w pracy autonomicznej

1. Pomiary napięcia z wykorzystaniem funkcji pamiętania wyniku oraz wartości

maks. i min.

Po zestawieniu układu pomiarowego zgodnie z rysunkiem 6.15 ustawiłem napięcie wyjściowe równe 10 V, kierując się wskazaniami wewnętrznego woltomierza zasilacza.

Odczytałem wartość napięcia pomierzonego miernikiem cyfrowym i wyniosła ona:

U_m = 9.85 V

Można zatem uznać, że nastawy napięcia zgodne ze wskazaniami wewnętrznego woltomierza zasilacza mają charakter jedynie orientacyjny i nie mogą służyć do precyzyjnego ustalenia napięcia wyjściowego zasilacza.

Następnie należało wykorzystać pracę miernika cyfrowego w różnych trybach pamiętania pomiaru - zwiększać płynnie napięcie wyjściowe zasilacza w granicach od 8 V do 12 V, potem zmniejszać je w przedziale 12V do 8 V i swoje spostrzeżenia zamieścić w tabeli.

L.p.	Tryb pracy	Opis zachowania multimetru
1	normalny	Na wyświetlaczu pojawia się płynnie zmieniające się napięcie.
2	pamiętania (D-H)	Na wyświetlaczu wskazywana jest wartość napięcia „uchwycona” w momencie wciśnięcia klawisza HOLD. Zmiana napięcia nie powoduje zmiany wskazań.
3	pamiętania min. (MIN)	Na wyświetlaczu wskazywana jest wartość napięcia, która jest najniższa dla danej zmiany napięcia wejściowego miernika. Zwiększanie wartości napięcia powyżej wartości MIN nie skutkuje zmianą wskazania. Zmniejszanie wartości poniżej MIN powoduje ciągłą aktualizację najniższej wartości zmierzonej.
4	pamiętania max. (MAX)	Na wyświetlaczu wskazywana jest wartość napięcia, która jest najwyższa dla danej zmiany napięcia wejściowego miernika. Zmniejszanie wartości napięcia poniżej wartości MAX nie skutkuje zmianą wskazania. Zwiększenie wartości powyżej MAX powoduje ciągłą aktualizację najwyższej wartości zmierzonej.

2. Pomiar rezystancji

Ćwiczenie polegało na pomiarze wartości pięciu rezystorów za pomocą miernika cyfrowego.

Wyniki pomiarów umieszczone są w tabeli:

Nr rezystora	1	2	3	4	5
Ri [kΩ]	3.30	3.32	3.25	3.25	3.34

Na podstawie tych danych należy teraz obliczyć wartość średnią, odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru oraz odchylenie standardowe wartości średniej, ilustrujące właściwości statystyczne populacji.

Wartość średnia rezystancji tej serii rezystorów wyraża się wzorem:

gdzie:

n - liczba rezystorów (w naszym przypadku 5)

R_n - wartość n - tego rezystora

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

= 3.292 kΩ

W przypadku pomiaru za pomocą komputera wyliczona przezeń wartość rezystancji średniej różni się nieznacznie (3.294 kΩ). Porównując poszczególne wartości rezystancji pomierzone przez komputer zauważyłem, że wartość pomiaru piątego rezystora (3.35 kΩ) różni się od uzyskanej przeze mnie (3.34 kΩ) w pomiarze manualnym. Jak się okaże później, ta niewielka różnica przełoży się na niewielkie rozbieżności w wartościach odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru, wyliczonych przeze mnie i przez komputer. W ślad za tym również wartości odchyleń standardowych wartości średnich będą się od siebie nieznacznie różniły.

Obliczamy teraz odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru, które wyraża się wzorem:

gdzie:

R_n - wartość rezystancji n - tego rezystora badanej serii

R_sr - wartość średnia rezystancji badanej serii

n - liczba rezystorów w badanej serii

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

Wartość tego odchylenia dla pomiaru manualnego wynosi (w zaokrągleniu)  0.041 kΩ - wartość wyliczona zaś przez komputer wyniosła 0.044 kΩ.

Następną wartością, która należało wyliczyć, było odchylenie standardowe wartości średniej.

Wyliczamy tą wielkość z następującej zależności:

gdzie:

σ - odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

n - liczba pomiarów (rezystorów)

Po podstawieniu otrzymujemy:

 Jak nietrudno zauważyć wyliczona przeze mnie wartość ( 0.018 kΩ ) różni się niewiele od wartości wyliczonej przez komputer ( 0.020 kΩ ). Jak już wcześniej wspomniałem, różnice w otrzymanych wartościach średnich, odchyleniach standardowych pojedynczego pomiaru oraz odchyleniach standardowych wartości średnich spowodowane są jedną zaledwie różnicą przy pomiarze ostatniego rezystora w badanej próbce rezystorów.

6. Pomiar mocy

Celem tego ćwiczenia był pomiar mocy wydzielanej na rezystorze - elemencie o znanej rezystancji, a następnie porównanie przeprowadzonych obliczeń z wynikami otrzymanymi za pomocą układu AD 7755 - specjalizowanego układu cyfrowego do pomiaru energii elektrycznej i mocy. W dalszej części ćwiczenia zamiast rezystora o znanej wartości podłączymy żarówkę, następnie wyliczymy wydzielającą się na niej energię i porównamy z wynikami uzyskanymi przy pomocy w/w układu scalonego.

Po podłączeniu układu pomiarowego według schematu z rysunku 6.16 dokonałem pomiarów częstotliwości, otrzymanych na wyjściu f_wy . Wyniki umieściłem w tabelce:

U [V]	0.5	1.00	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0
f [kHz]	0.050	0.200	0.450	0.800	1.250	1.800	2.45	3.20
P [mW]	2.5	10	22.5	40	62.5	90	122.5	160
k [mW/kHz]	50	50	50	50	50	50	50	50

Aby obliczyć moc wydzielającą się na rezystorze R_L = 100 Ω należy użyć wzoru na moc czynną:

P = u * i * cos ϕ [W]

gdzie:

u - napięcie skuteczne [V]

i - prąd skuteczny [A]

cos ϕ - wartość (kąt) przesunięcia fazowego między napięciem u i prądem i

W naszym przypadku nie znamy wartości kąta przesunięcia fazowego, lecz przy obciążeniach typowo rezystancyjnych (a za takie możemy uznać zarówno rezystor jak i żarówkę) wartość przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem skutecznym i prądem skutecznym wynosi 0 (mówi się, że w takim przypadku napięcie jest w „fazie” z prądem).

Dla kąta ϕ = 0 otrzymujemy wartość przesunięcia fazowego cos ϕ = 1.

Dzięki temu nasz wzór upraszcza się do postaci:

P = u * i , i = u / R

a po jego rozwinięciu otrzymujemy zależność:

którą użyjemy do obliczenia mocy wydzielanej na danej rezystancji (w ćwiczeniu - R_L ).

Dla przykładu, obliczenia dla pierwszej kolumny „0.5 V” będą wyglądały następująco:

Następnie należy uzupełnić tabelę w wierszu „k [mW/kHz]” - jest to współczynnik przetwarzania układu do pomiaru mocy i wyraża się zależnością:

Wyliczenie wartości k dla pierwszej kolumny będzie wyglądało tak:

Ponieważ współczynnik k jest taki sam dla różnych wartości napięcia, można założyć, że charakterystyka częstotliwości wyjściowej układu w funkcji mocy jest liniowa. Aby potwierdzić te przypuszczenie należy sporządzić wykres zależności f_wy = f(P)

Wykres jest zgodny z moimi przypuszczeniami - dla danego układu pomiarowego charakterystyka przetwarzania P/f (moc / częstotliwość) jest liniowa.

W drugiej części ćwiczenia w miejsce rezystora o znanej rezystancji podłączyliśmy żarówkę.

Celem ćwiczenia był pomiar energii pobranej przez to obciążenie, mierzonej przy dwóch różnych wartościach napięcia zasilającego. W wyniku dokonanych pomiarów otrzymałem następujące wyniki:

I pomiar:

Czas pomiaru t - 100 sekund (
)

Napięcie zasilające U - 2.001 V

Prąd pobierany przez żarówkę I - 25.8 mA

II pomiar:

Czas pomiaru t - 100 sekund (
)

Napięcie zasilające U - 4.000 V

Prąd pobierany przez żarówkę I - 38.3 mA

Ogólny wzór na energię pobraną przez odbiornik wygląda następująco:

E = P*t [kWh, mWh]

W naszym przypadku można zapisać, że

E = U * I * t

Tak więc dla pierwszego pomiaru wyliczona wartość wyniesie :

E₁ = 2.001 V * 25.8 mA * 1/36 h = 1.434 mWh

Dla drugiego pomiaru:

E₂ = 4.000 V * 38.3 mA * 1/36 h = 4.255 mWh

Porównując to z wartościami uzyskanymi i wyliczonymi przez komputer daje się zauważyć nieznaczne odchylenia od uzyskanych przeze mnie wyników (komputer odpowiednio I pomiar - 1.418 mWh, oraz II pomiar - 4.155 mWh). Bierze się to z zaokrągleń, którymi posługiwałem się podczas obliczania wartości mocy (wartość prądu), podczas gdy komputer z dużą dokładnością i precyzją zliczał i sumował pobraną energię na bieżąco. Jak więc widać, automatyzacja pomiaru pozwala na precyzyjniejsze, a co najważniejsze, na natychmiastowe uzyskanie odpowiednich wartości bez potrzeby dalszych, czasami żmudnych obliczeń.

Należy także zauważyć jedną prawidłowość - dwukrotne zwiększenie napięcia nie spowodowało czterokrotnego zwiększenia się wydzielanej mocy, a co za tym idzie czterokrotnego zwiększenia się pobranej energii. Przy stałej rezystancji taki fakt powinien mieć miejsce, jednakże tak się nie stało. Przeprowadzając odpowiednie obliczenia dla pierwszego pomiaru wyliczamy, że żarówka posiadała rezystancję równą:

Natomiast dla drugiego pomiaru rezystancja żarówki wyniosła:

Wzrost rezystancji żarówki spowodowany został fizycznymi własnościami włókna wolframowego, z którego żarówka jest zbudowana (materiał nagrzewając się zwiększa swoją rezystancję)- stąd też różnice między wartościami teoretycznie oczekiwanymi, a faktycznie uzyskanymi.

Ostatnim z zadań było zaprojektowanie uniwersalnego miernika elektrycznego, zgodnego ze schematem 6.18 skryptu.

Pierwszym krokiem do dalszych obliczeń jest wyliczenie wartości rezystancji posobnika R_D. Zauważamy, że dla zakresu 2 mA/200 mV układ szeregowo podłączonego posobnika R_D i ustroju magnetycznego o rezystancji R_A jest zasilany napięciem zakresowym 200 mV. Dlatego też można przeprowadzić następującą zależność:

 

200 mV = (R_D + R_A)* Iz

gdzie:

Iz - prąd zakresowy ustroju magnet. = 1 mA

R_A - rezystancja wewnętrzna ustroju = 20 ၗ

R_D - szukana rezystancja posobnika

 

 

Po przekształceniu wzoru otrzymujemy:

 

 

Dla dalszych rozważań można założyć następującą zależność:

 

R_wy = R_A + R_D = 200ၗ

 

Dla bocznika prądowego napięcie panujące na ustroju magnet. oraz na boczniku prądowym są takie same, więc :

Iz * R_A = ( I - Iz)*R_B stąd

Odnosząc to do naszego układu możemy napisać, że:

 

1. dla zakresu 2 mA zachodzi równanie
   , czyli

 

2. dla zakresu 10 mA otrzymamy
   , czyli

3. dla zakresu 50 mA równanie wygląda następująco:

zatem dla całości układu otrzymaliśmy matematyczny układ 3 równań z trzema niewiadomymi:

Dany układ równań można rozwiązać na wiele sposobów - ja posłużę się metodą Cramera.

Wpierw należy obliczyć wyznacznik główny układu :

następnie należy obliczyć wyznaczniki poszczególnych niewiadomych. Zacznę od pierwszej niewiadomej R_W1 :

Druga niewiadoma R_W2 :

Trzecia niewiadoma R_W3 :

Aby obliczyć wartości odpowiednich rezystancji, korzystamy ze wzorów:

Na koniec należy obliczyć wartości rezystancji R_W4 i R_W5 . Dla zakresu pomiarowego woltomierza 200 mV rezystancję wypadkową stanowią 2 gałęzie połączone równolegle ze sobą:

- pierwsza gałąź to szeregowo połączone rezystory R_D (posobnik) oraz R_A (rezystancja ustroju pomiarowego)

- druga gałąź to szeregowo połączone rezystory R_W1, R_W2 i R_W3.

Ogólny wzór na rezystancję wypadkową zestawu równolegle podłączonych rezystorów wygląda następująco:

W naszym przypadku przyjmie on postać:

Można zatem zauważyć, że dla zakresu 200mV woltomierz reprezentuje wypadkową rezystancję R_Z = 100Ω - skoro tak, to można uznać, że dla zakresu pomiarowego 1 V będzie reprezentował wartość R_W4 + R_Z , co ujmiemy następującą proporcją:

Stąd otrzymujemy:

W podobny sposób wyliczamy rezystancję R_W5 - układamy odpowiednią proporcję:

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:

Podsumowując - do zbudowania wielozakresowego, uniwersalnego miernika elektrycznego, zgodnego ze schematem rys. 6.18 skryptu należy przyjąć następujące wartości rezystancji:

R_D = 180Ω

R_W1 = 8Ω

R_W2 = 32Ω

R_W3 = 160Ω

R_W4 = 400Ω

R_W5 = 2000Ω

---