§ 1. Podstawowe figury geometryczne.
Niektóre wiadomości ogólne

1. Przedmioty, czyli ciała materialne, które nas otaczają bądź to w pokoju, bądź na ulicach miasta, odznaczają się najróżnorodniejszymi cechami, wszystkie one jednak mają jedną cechę wspólną - zwaną rozciągłością - mianowicie, każde z nich zajmuje pewną część przestrzeni. Tę właśnie część przestrzeni, którą zajmuje przedmiot, nazywamy bryłą geometryczną.

Rozróżniamy trzy wymiary bryły: długość, szerokość i wysokość. Widzimy je bez trudu w pokoju, łatwo spostrzegamy wymiary pudełka, skrzyni itp.

Wysokość nosi niekiedy nazwę głębokości, np. głębokość studni; zamiast o szerokości mówimy o grubości muru.

2. Bryła jest oddzielona od innej bryły lub od otaczającej je przestrzeni powierzchniami. Sala, w której się znajdujemy, jest oddzielona od pozostałej części gmachu czterema ścianami, posadzką i sufitem. Budynek szkolny jest oddzielony, tj. ograniczony od otaczającej go przestrzeni, powierzchniami ścian zewnętrznych, powierzchnią ziemi oraz dachu.

Powierzchnia ma dwa wymiary: długość i szerokość.

3. Powierzchnię można ograniczyć lub oddzielić od innych powierzchni liniami.

Linia ma tylko jeden wymiar - długość.

4. Linię można ograniczyć punktem, który żadnego wymiaru nie posiada.

5. Bryły, powierzchnie, linie i punkty, nazywane są figurami geometrycznymi.

6. Jakkolwiek powierzchni nie możemy w rzeczywistości oderwać od bryły, linii od powierzchni, a punktu od linii, to jednak dla dokładniejszego zbadania ich własności będziemy je traktowali w naszej nauce niezależnie od podstawowej figury geometrycznej, do której należą.

Koniec ostrej igły daje wyobrażenie punktu, bardzo cienka nitka, drucik lub włos - wyobrażenie linii, a bardzo cienka blaszka - powierzchni. Są to jednak tylko wyobrażenia podstawowych figur geometrycznych, które istnieją jedynie w naszej myśli.

7. Przedmiot, który znajduje się w naszym otoczeniu, np. pudełko leżące na stole możemy przenieść w inne miejsce pokoju; mówimy wówczas, że ten przedmiot wykonał pewien ruch. Oczywiście, razem z pudełkiem poruszają się wszystkie jego elementy, więc ściany, dno i pokrywa, krawędzie i wierzchołki.

Odrywając myśl od ciała materialnego, możemy traktować ruch idealnej powierzchni, linii i punktu niezależnie od ciała, do którego one należą.

Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię.

Tak np., jadąc w nocy pociągiem, widzimy czerwone nitki powstałe przez ruch rozżarzonych drobnych odpadków węgla i otrzymamy w ten sposób wyobrażenie linii. Obserwując niebo w pogodną noc sierpniową, widzimy często srebrnoświetlne linie powstałe przez spadające gwiazdy.

Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię.

Koło szybko biegnącego wozu robi wrażenie pokrytego powierzchnią, powstałą przez ruch szprych kołowych.

Wreszcie przez ciągły ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę. Rozżarzona do czerwoności blacha żelazna, spadając w ciemności z góry na dół, daje wyobrażenie ciała geometrycznego w postaci czerwonego słupa.

Można więc powiedzieć, że istnieje jeden zasadniczy twór geometryczny, mianowicie punkt (bezwymiarowy), przez ruch którego powstaje twór jednowymiarowy - zwany linią, przez ruch linii powstaje twór dwuwymiarowy - powierzchnia, wreszcie przez ruch powierzchni twór trójwymiarowy zwany bryłą.

8. Dla lepszego zrozumienia i uprzystępnienia sobie nauki posługiwać się będziemy rysunkiem, należy jednak pamiętać, że rysunek, choćby najstaranniej wykonany, nigdy nie będzie figurą geometryczną, o której mówimy, ale tylko jej wyobrażeniem.

Zaznaczając na kartce punkt przez nakłucie zaostrzonym ołówkiem lub na tablicy przez naciśnięcie kawałkiem kredy otrzymujemy wyobrażenie punktu, mniej lub bardziej dokładne, zależnie od grubości końca ołówka lub kredy.

Dla odróżnienia punktów na rysunku oznaczamy je literami (najczęściej wielkimi), napisanymi obok punktu, np. punkty: A, B, C, E (rys. 1).

Rys. 1		Rys. 2

Niekiedy oznaczamy je tą samą literą, zwłaszcza jeżeli mamy na myśli punkty o pokrewnej własności, odróżniając je wtedy numerami, np. A₁, A₂, A₃ itd.

9. Wśród linii wyróżniamy proste, łamane i krzywe.

Co to jest linia prosta (rys. 2a) nie będziemy określać - przyjmujemy, że jest to pojęcie dla każdego zrozumiałe.

Linia, która nie jest prostą, ale składa się z prostych części, nazywa się łamaną (rys. 2b); każda zaś linia, która nie jest prostą i nie składa się z części prostych, nazywa się krzywą (rys. 2c).

Do kreślenia na kartce lub na tablicy prostej posługujemy się linijką (lub ekierką), pociągając wzdłuż jej brzegu ołówkiem lub kredą. Cieśla lub stolarz posługuje się w tym celu wyciągniętym sznurkiem, nacierając go węglem lub kredą, które po wstrząśnięciu sznurka pozostawiają na desce ślad linii prostej.

Z linii krzywych największe zastosowanie ma od dawna człowiekowi znana, linia zwana okręgiem. Do praktycznego wykreślenia tej linii służy przyrząd powszechnie znany, a dla geometry niezbędny - cyrkiel.

Cyrkiel i linijka są przyrządami, bez których geometra obejść się nie może, a przy ich pomocy rozwiązuje się w praktyce najróżnorodniejsze zagadnienia geometryczne.

10. Powierzchnie bywają płaskie i krzywe.

Każdy z nas rozumie, co to jest powierzchnia płaska, czyli płaszczyzna. Wyobrażeniem płaszczyzny jest powierzchnia dobrze wygładzonego lustra, powierzchnia wody lub jakiejkolwiek cieczy nalanej do naczynia i pozostawionej w spokoju, powierzchnia gładkiej posadzki itp.

11. Punkt, prosta i płaszczyzna są to elementarne, czyli podstawowe figury geometryczne.

12. Wszelkie połączenie punktów, linii i powierzchni nazywamy figurą geometryczną.

Nauka, która bada własności figur, oraz związki, jakie zachodzą między nimi, nazywa się geometrią.

13. Prawdy, które wykrywa i którymi posługuje się nauka geometrii, są ściśle od siebie uzależnione, a dalsze wynikają z poprzednich.

W naszym wykładzie za podstawę obierzemy pewne prawdy, do których dochodzimy przez doświadczenie lub intuicję, które uznajemy za oczywiste i przyjmujemy bez uzasadnienia jako prawdy podstawowe, a z nich wysnuwamy dalsze. Takie prawdy nazywają się pewnikami lub aksjomatami. Niekiedy noszą one nazwę postulatów. Zapoznamy się z nimi w ciągu dalszej nauki.

14. Prawdę, która wynika z pewników, nazywamy twierdzeniem. Rozumowanie, które wykazuje prawdziwość twierdzenia, nazywamy dowodem.

Poznaliśmy w arytmetyce niektóre twierdzenia, np.:

a) Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 4, to jest podzielna przez 12.

b) Jeżeli suma cyfr danej liczby dzieli się bez reszty przez 9, to i dana liczba dzieli się przez 9.

Najogólniejszą postacią twierdzenia jest:

c) "Jeżeli A, to B".

Twierdzenie składa się z dwóch części: założenia (jeżeli...) i tezy (to...).

Twierdzenie, które powstało z danego przez zamianę założenia z tezą, nazywamy odwrotnym względem danego. Np. można wypowiedzieć następujące twierdzenia odwrotne względem poprzednio podanych:

a) Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest także podzielna przez 3 i przez 4.

b) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jej suma cyfr dzieli się przez 9.

c) "Jeżeli B, to A".

Nie każde jednak twierdzenie odwrotne jest prawdziwe*. Np. dla twierdzenia: "Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest podzielna także przez 2 i przez 6", twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

15. Prawdę, która wynika bezpośrednio z udowodnionego twierdzenia i nie wymaga odrębnego dowodu, nazywamy wnioskiem.

16. Obok pewników i twierdzeń ważną rolę w nauce geometrii odgrywają określenia (czyli definicje), które służą do wyjaśnienia nowych pojęć, oraz zadania, których rozwiązania polegają na budowaniu, tj. konstrukcji figur na mocy poznanych twierdzeń i pewników.

17. Wyraz "geometria" jest pochodzenia greckiego i oznacza dosłownie "mierzenie ziemi" (geo = ziemia, metro = mierzę), dlatego że pierwotnie takie zadanie miała ta nauka.

18. Uwaga. Geometria narodziła się najprawdopodobniej w Egipcie, a znakomity historyk grecki Herodot z V wieku przed Chrystusem tak tłumaczy powstanie tej umiejętności:

"Król Sezostrys nakazał podział ziemi, przeznaczając dla każdego Egipcjanina po kwadratowym kawałku ziemi, który losowano, obowiązując się płacić pewien czynsz roczny do skarbu królewskiego. W razie wylewu rzeki Nilu posiadacz zalanego gruntu zwracał się do króla, który posyłał mierników dla wymierzenia i sprawdzenia, ile gruntu uprawnego pozostało i o ile należało zmniejszyć opłatę czynszową. Oto, moim zdaniem, jest początek geometrii, która stąd już przeszła do Grecji".

W pierwszych początkach geometria uwzględniała tylko zagadnienia praktyczne i jakkolwiek Egipcjanie doszli w bardzo odległych czasach do wielkiej wprawy i biegłości w ich rozwiązywaniu, to jednak jeszcze nie można twierdzić, żeby oni byli twórcami geometrii rozumowej, czyli nauki geometrii, chociaż pewne uogólnienia teoretyczne nie były im obce.

Najdawniejszy zabytek matematyczny, egipski papirus Rhinda, pochodzący z 2000-1700 roku przed Chrystusem, napisany przez Ahmesa, a stosunkowo niedawno odczytany (1879 r.), dowodzi, że już w owych tak odległych czasach znano sposoby mierzenia powierzchni i objętości niektórych figur.

Zasługa stworzenia teoretycznej geometrii należy się niewątpliwie Grekom.

Najdawniejszą książką polską traktującą o geometrii jest napisana przez Stanisława Grzepskiego, profesora Akademii Krakowskiej „Geometria to jest Miernicka Nauka po polsku krótko napisana z greckich i łacińskich ksiąg. Naydziesz też tu jako naszy miernicy zwykli mierzyć imienie na włoki albo łany. Item iugerum romanum, jako wiele ma w sobie. Item jako wieżę, albo co inszego wysokiego zmierzyć, albo dalekość iaką etc.
Teraz nowo wydana, roku 1566 w Krakowie.”

Książka ta ma już dzisiaj tylko wartość historycznego zabytku.

* W języku praktycznie używanym dopuszcza się nazwę "twierdzenie odwrotne" także wtedy, kiedy nie jest ono (jeszcze lub w ogóle) twierdzeniem w znaczeniu wcześniej przyjętym, tj. prawdą wynikającą z aksjomatów (przyp. red.)

§ 2. Prosta. Półprosta. Odcinek

19. Każda linia prosta, albo krócej każda prosta, ma pewne własności, które ją odróżniają od innych linii. Poznajemy je z doświadczenia, a niektóre z nich, jak to zaraz zobaczymy, wydadzą się tak oczywiste, że nikomu nawet na myśl nie przyjdzie podawać je w wątpliwość. Wyszczególnimy je tutaj ze względu na to, że będziemy się na nie powoływać. Przede wszystkim zauważmy, że od jednego punktu do jakiegokolwiek drugiego, np. z A do B (rys. 3), może prowadzić wiele dróg, ale prosta jest tylko jedna. Tę własność prostej wyrażamy w postaci następującego pewnika:

 

Rys. 3

Przez dwa punkty można zawsze poprowadzić prostą, i to tylko jedną.
Inaczej ten pewnik można wyrazić, mówiąc:
dwa punkty wyznaczają jednoznacznie prostą.

Na rysunku prostą oznaczamy zwykle dwiema literami oznaczającymi punkty, przez które ona przechodzi. Piszemy np. prosta AB.

20. Na prostej możemy zawsze obrać dowolne dwa punkty, a jakkolwiek daleko od siebie je obierzemy, zawsze możemy znaleźć dalsze, poza nimi jeszcze dalsze itd., a zatem zawsze możemy prostą przedłużać dowolnie. Toteż kiedy mówimy o prostej, rozumiemy, że prosta jest linią nieograniczoną.

21. Na prostej AB (rys. 4) obierzmy jakikolwiek punkt O. Zawsze na tej prostej można obrać takie dwa punkty, np. C i D, że aby

Rys. 4

przejść od C do D (lub od D do C), musimy przejść przez punkt O. Widzimy więc, że punkt O dzieli prostą AB na dwie części: na jednej z tych części leży punkt C, na drugiej punkt D.

Tę własność linii prostej wyrażamy pewnikiem:

Każdy punkt położony na prostej dzieli ją na dwie części.

Każda z tych części zawierać będzie, zgodnie z poprzednią własnością prostej, nieskończoną ilość punktów i każda z nich nazywa się półprostą lub promieniem. W omawianym przypadku są to półproste OA i OB. Punkt O nazywamy początkiem półprostej.

O dwóch punktach prostej będziemy mówili, że leżą z jednej strony punktu O albo po przeciwnych jego stronach, zależnie od tego, czy obydwa leżą na tej samej półprostej, czy też jeden punkt leży na jednej, a drugi na drugiej półprostej.

22. Z przytoczonych wyżej własności prostej wnioskujemy, że jeżeli dwie proste mają dwa punkty wspólne, to wszystkie ich punkty są wspólne, tj. będą do siebie przystawały, tj. będą tworzyły jedną prostą. A zatem dwie proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny.

Mówimy wówczas, że dane proste przecinają się ze sobą. Nasze rozważania można więc ująć w następujący

Wniosek. Dwie proste mogą się przecinać ze sobą tylko w jednym punkcie.

23. Jak wiemy, jeden punkt nie wyznacza prostej i mając jakiś punkt na płaszczyźnie, możemy przez niego poprowadzić dowolną ilość prostych, które tworzą tak zwany pęk prostych (rys. 5). Punkt, przez który przechodzą wszystkie proste, nazywa się początkiem lub wierzchołkiem pęku.

Rys. 5

24. Niech będzie dana prosta KL (rys. 6) i dwa punkty na niej: A i B. Część AB danej prostej, ograniczoną dwoma punktami nazywamy odcinkiem prostej lub po prostu: odcinkiem.

Dwie pozostałe części prostej: AK i BL nazywamy przedłużeniami odcinka AB.

Rys. 6

Odcinek oznaczamy dwiema literami, które wskazują punkty ograniczające go, czyli jego punkty końcowe lub końce, pisząc np. odcinek AB. Możemy użyć małej litery, pisząc np. odcinek a.

O odcinku mówimy, że łączy dwa dane punkty. Odcinkiem wyznacza się odległość dwóch danych punktów.

Punkty, położone na odcinku AB nazywamy wewnętrznymi, położone zaś na jego przedłużeniu - zewnętrznymi.

25. Punkty danego odcinka AB możemy uważać za następujące po sobie począwszy od A i kończąc na B, albo też odwrotnie - od B do A. Możemy więc mówić o dwóch zwrotach odcinka, niekiedy nawet wyraźnie je rozróżniamy. Jeżeli jednak zwrot odcinka nie jest nam potrzebny, mamy zaś na myśli tylko odległość jego końcowych punktów, to powiadamy, że odcinek AB jest równy odcinkowi BA i piszemy

AB = BA.

W praktyce o równości odcinków przekonujemy się, mierząc cyrklem dany odcinek.

Rys. 7

26. Niech będzie dany odcinek a, prosta KL i leżący na niej pewien punkt O (rys. 7). Rozważając każdą z otrzymanych półprostych z osobna, na przykład OL, zauważamy, że spośród nieograniczonej liczby jej punktów znajdziemy jeden taki, którego odległość od O będzie równa a (to samo powiemy o półprostej OK).

Tę własność prostej uważamy za pewnik, mówiąc:

Z każdej strony punktu O danego na prostej można zawsze znaleźć taki punkt A, i to tylko jeden, że odcinek OA równa się danemu odcinkowi.

W praktyce robimy to w ten sposób, że wziąwszy w cyrkiel odcinek a, odkładamy go na prostej KL od punktu O i otrzymujemy z każdej strony tego punktu odcinki OA i OA' równe odcinkowi a. W ten sposób przenosimy dany odcinek na prostą, rozumiejąc, że w istocie to przenoszenie jest równoznaczne ze znalezieniem odcinka równego danemu.

27. Odcinki mogą być równe i nierówne.

O istnieniu* odcinków równych lub nierównych przekonujemy się z łatwego doświadczenia, zestawiając ze sobą dwa wyprostowane pręciki metalowe: jeżeli obydwa ich końce do siebie przystają, powiadamy, że te pręty są równe, w przeciwnym razie - są nierówne.

Rys. 8

Jeżeli mamy dane dwa odcinki: AB i A'B' (rys. 8), to dla porównania ich ze sobą, przenosimy odcinek A'B' na AB w taki sposób, aby punkt A' pokrył się z punktem A, a wtedy:

albo 1) drugi koniec odcinka A'B', tj. punkt B', będzie punktem wewnętrznym odcinka AB i wówczas mówimy, że pierwszy odcinek jest większy od drugiego:

AB > A'B';

albo 2) punkt B' pokryje się z B, i wtedy mówimy, że odcinki do siebie przystają, lub inaczej, że są sobie równe:

AB = A'B';

albo 3) punkt B' znajdzie się na przedłużeniu odcinka AB, wtedy mówimy, że pierwszy jest mniejszy od drugiego:

AB < A'B'.

28. Jeżeli na danej prostej obierzemy trzy punkty: A, B i C (rys. 9) takie, że odcinek BC leży na przedłużeniu AB i ma z nim jeden wspólny punkt B, to odcinki te nazywać będziemy kolejnymi.

Rys. 9

Odcinek AC nazywa się wtedy sumą odcinków AB i BC, co wyrażamy pisząc

AC = AB + BC.

Jeżeli mamy dwa jakiekolwiek odcinki a i b (niekoniecznie kolejne), to możemy jeden z nich przenieść i umieścić na przedłużeniu drugiego, czyniąc je kolejnymi i otrzymać w ten sposób trzeci odcinek c, który będzie ich sumą:

c = a + b.

Znajdowanie sumy odcinków nazywamy ich dodawaniem.

29. Jeżeli mamy dwa kolejne odcinki AB i BC (rys. 9), to każdy z nich nazywamy różnicą pomiędzy AC a pozostałym odcinkiem; piszemy wtedy

AB = AC - BC,

BC = AC - AB.

Znajdowanie różnicy dwóch odcinków nazywamy ich odejmowaniem.

W praktyce, aby odjąć od siebie dwa jakiekolwiek odcinki a i b, należy mniejszy odcinek przenieść na większy w taki sposób, aby miały jeden punkt końcowy wspólny, wtedy pozostała część większego odcinka (a) będzie różnicą odcinków danych, to znaczy będzie odcinkiem a - b.

 

30. Dodawanie można rozciągnąć na dowolną liczbę składników, dodając do siebie najpierw pierwsze dwa odcinki, do otrzymanej sumy dodając trzeci itd.

Można łatwo udowodnić, że sumowanie odcinków podlega ogólnym prawom dodawania, a zatem prawu przemienności i łączności:

 

a + b + c = b + c + a = c + a + b,

(a + b) + c = a + (b + c).

 

31. Dany odcinek a możemy przedłużyć, a odkładając go jeszcze raz, dwa razy itd., możemy otrzymać odcinek l, będący sumą n równych odcinków a, czyli n-tą wielokrotność odcinka a, którą oznaczamy symbolem

l = n × a.

 

Odcinek a natomiast będzie wtedy n-tą częścią całego odcinka l.

32. Widzimy zatem, że odcinki możemy ze sobą porównywać, możemy na nich wykonywać działania, jak na liczbach. Do odcinków mają zastosowanie pewniki charakteru ogólnego:

1) Dwa odcinki, z których każdy z osobna równa się trzeciemu, są sobie równe:

jeżeli a = c

i b = c,

to a = b.

2) Jeżeli do odcinków równych dodamy równe, albo od odcinków równych odejmiemy równe, to otrzymane sumy albo różnice będą równe:

jeżeli a = b,

to a
m = b
m.

Przyjmujemy również pewnik następujący:

3) Jeżeli mamy dwa odcinki nierówne np.: a > b, to zawsze możemy znaleźć taką liczbę n, że n x b
a.

Pewnik ten należy rozumieć w taki sposób, że chociażby odcinek b był bardzo mały w porównaniu z a, to jednak przez kolejne odkładanie go na a, zawsze możemy dojść do tego, że wprawdzie po (n - 1)-krotnym odłożeniu jeszcze będzie (n - 1) × b < a, ale po następnym - czyli po n-tym odłożeniu będzie już n × b ł a, czyli otrzymamy:

(n - 1) × b < a
n × b.

W ten sposób zawsze możemy mniejszym odcinkiem b pokryć odcinek większy a.

33. Uwaga. Ostatni z podanych pewników nosi nazwę pewnika Archimedesa, znakomitego matematyka i fizyka greckiego z III wieku przed Chrystusem (287 - 212 p.n.e.). Jest to najpotężniejszy z umysłów świata starożytnego. Archimedes urodził się w Syrakuzach, a nauki pobierał prawdopodobnie w Aleksandrii. Jego obrona Syrakuz przed Rzymianami przeszła do historii: dzięki machinom jego wynalazku miasto mogło przez trzy lata opierać się licznej oblegającej je armii, dopóki Rzymianie podstępem nie wtargnęli do miasta. Podczas szturmu Archimedes zginął z ręki żołdaka rzymskiego.

Archimedes był umysłem na wskroś oryginalnym i wszechstronnym: nie zadawalał się on dotychczasowymi znanymi metodami, stwarzał nowe, budzące dziś jeszcze podziw, i to nie tylko w dziedzinie czystej matematyki, ale i w jej zastosowaniach (fizyce), wszędzie zostawiając potężne ślady swego genialnego umysłu.

Warto tu nadmienić, że stosunkowo niedawno, bo w 1899 r., udało się jednemu z uczonych paleografów odnaleźć rękopis Archimedesa, zawierający pracę doniosłej wartości naukowej i świadczący, że Archimedes już stwarzał początki jednej bardzo ważnej gałęzi nauki matematycznej*, która dopiero w dwadzieścia wieków po nim, bo w XVII w., stała się znaną w świecie.

* Praktycznym (przyp. red.).

§ 3. Płaszczyzna

34. Doświadczenie nasuwa nam myśl, że każda płaszczyzna ma następującą własność:

Przez trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, zawsze można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę.

Pewnik ten można wyrazić w sposób następujący:

trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, jednoznaczniewyznaczają płaszczyznę.

O punktach mówimy, że leżą na płaszczyźnie, o płaszczyźnie zaś, że jest przez te punkty poprowadzona albo przesunięta.

35. Pewnik.

Prosta, która ma z płaszczyzną dwa punkty wspólne, całkowicie leży na tej płaszczyźnie

tj. ma z nią wszystkie punkty wspólne.

Dlatego też w praktyce dla przekonania się, czy dana powierzchnia jest płaska, przykładamy do niej w dowolnych kierunkach linijkę i sprawdzamy, czy brzeg linijki przylega do niej całkowicie.

Ponieważ, jak wiadomo, prosta jest wyznaczona przez dwa punkty, więc z tego i poprzedniego pewnika wynikają następujące wnioski:

1) Prosta i punkt nie leżący na niej wyznaczają płaszczyznę.

2) Dwie przecinające się proste wyznaczają płaszczyznę.

36. Płaszczyzna jest powierzchnią nieograniczoną, na rysunku jednak inaczej jej przedstawić nie możemy, jak tylko ograniczając ją liniami (rys. 10) i oznaczamy ją zwykle dwiema literami, położonymi w przeciwnych końcach, pisząc np. płaszczyzna MN, lub najczęściej jedną literą, pisząc np. płaszczyzna M.

Rys. 10

37. Niech będzie dana płaszczyzna P i na niej pewna prosta AB. Na tej płaszczyźnie możemy obrać takie punkty C i D, że by przejść od punktu C do D (lub od D do C) musimy przejść przez prostą AB. Widzimy więc, że ta prosta dzieli płaszczyznę na dwie części: na jednej z tych części leży punkt C, na drugiej punkt D. A zatem mamy pewnik:

Każda prosta położona na płaszczyźnie dzieli ją na dwie części.

Każda z tych części zawierać będzie nieskończoną ilość punktów (i prostych) i każda z nich nazywa się półpłaszczyzną.

O dwóch punktach płaszczyzny będziemy mówili, że leżą z jednej strony AB albo z przeciwnych jej stron, zależnie od tego, czy obydwa leżą na tej samej półpłaszczyźnie, czy też jeden punkt leży na jednej, a drugi na drugiej półpłaszczyźnie.

38. Jeżeli dwie płaszczyzny mają trzy punkty wspólne, które nie leżą na jednej prostej, to płaszczyzny do siebie przystają.

Co będzie jednak, jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden albo dwa punkty wspólne?

Przyjmijmy za pewnik następującą prawdę:

Jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to muszą mieć przynajmniej jeszcze jeden punkt wspólny,

a zatem (na mocy poprzedniego pewnika) mają wspólną prostą, którą nazywamy krawędzią przecięcia płaszczyzn.

Można więc ten pewnik wyrazić krócej, mówiąc:

Jeżeli dwie płaszczyzny przecinają się, to ich linią przecięcia jest prosta.

39. O punkcie położonym na prostej mówiliśmy, że dzieli prostą, o prostej położonej na płaszczyźnie mówimy, że dzieli płaszczyznę. Podobnie, powiemy, że każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, pamiętając, co należałoby rozumieć przez takie dzielenie.

40. O prostej powiedzieliśmy, że leży całkowicie na płaszczyźnie, jeżeli ma z nią dwa punkty wspólne. Jednak tej własności dowolna inna linia może nie posiadać. Istnieją krzywe płaskie, których wszystkie punkty leżą na płaszczyźnie, np. okrąg, i krzywe przestrzenne, tj. takie, które tej cechy nie posiadają, np. krzywa, którą wyobraża sprężyna druciana.

Figury geometryczne, których wszystkie elementy leżą na jednej płaszczyźnie, nazywamy płaskimi, wszystkie zaś inne przestrzennymi.

Część geometrii, która traktuje o figurach płaskich, nosi nazwę geometrii płaskiej czyli planimetrii, ta zaś, która zajmuje się figurami trójwymiarowymi - geometrii przestrzennej, czyli stereometrii.

* Autor ma na myśli analizę matematyczną (przyp. red.)

§ 4. Ćwiczenia

1. Czy zawsze przez ruch prostej otrzymamy płaszczyznę, a przez ruch płaszczyzny - bryłę?

2. Ile różnych prostych można poprowadzić, mając danych na płaszczyźnie 3, 4, 5, i - ogólnie - dowolną ilość n punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej?

3. Jaka będzie największa liczba punktów przecięcia 3, 4, 5, i - ogólnie - dowolnej ilości n prostych położonych na jednej płaszczyźnie?

4. Na prostej dane są cztery punkty: A, B, C, D. Ile otrzymamy odcinków? Który z nich jest sumą dwóch innych? Który jest sumą trzech innych? Który jest różnicą dwóch innych?

5. Na prostej dane są punkty: A, B, C, D i E (w podanej kolejności). Jakiemu odcinkowi będą równe:

AB + BC + CD,

AC + CD + DE,

AD + DE,

AE - DE,

AD - AB,

AE - (AB + BC)?

6. Dane są trzy odcinki: a, b, c. Znaleźć odcinki: a + 2b, 2a - b, a + b - c, a + 2b - 3c.

7. Mając trzy odcinki: a, b, c, udowodnić, że:

(a + b) - c = a + (b - c); a - b + c = (a + c) - b.

8. Na danej prostej obrano punkt O i z obu stron odłożono dwa równe sobie odcinki: OA i OB. Na tej samej prostej wzięto jeszcze punkt C, taki, że punkt B leży między A i C. Udowodnić, że odcinek OC jest równy połowie sumy odcinków AC i BC.

9. Na danej prostej obrano punkt O i z obu stron odłożono dwa odcinki: OA = OB. Oprócz tego na tej prostej wzięto jeszcze punkt C, położony między A i B. Udowodnić, że odcinek OC jest równy połowie różnicy odcinków AC i BC.

10. Wyprostować łamaną ABCD, tj. znaleźć odcinek równy sumie odcinków tworzących łamaną.

§ 5. Kąt

41.Jeżeli na płaszczyźnie z danego punktu poprowadzimy dwie półproste, to utworzymy figurę, która posłuży nam do określenia pojęcia kąta. Półproste OA i OB (rys. 11) nazywamy ramionami, a ich wspólny punkt O wierzchołkiem.

Otrzymaną figurę oznaczmy symbolem OAB.

Rys. 11		Rys. 12

42. Figura AOB dzieli płaszczyznę na dwie części, nazywane obszarami kątowymi, lub wprost kątami. Jeśli założymy, że półproste OA i OB nie leżą na jednej prostej, to tylko jeden z obszarów kątowych - nazwiemy go wewnętrznym - ma tę własność, że odcinek łączący dwa dowolne punkty na różnych ramionach figury (np. punkty D i E na rys. 12), zawiera się w tym obszarze. Wspomnianą wyżej własność będziemy nazywać wypukłością kątów, a kąt o tej własności kątem wypukłym. Jeśli ramiona figury leżą na jednej prostej, to jej obszary kątowe nie mają tej własności.

Dla oznaczenia kątów będziemy używać pojedynczych liter
,
itd., pisząc np.

. Jeśli użyjemy symbolu
AOB, będziemy mieli na myśli ten spośród dwóch kątów, który jest wypukły (wykluczając wtedy - z uwagi na niejednoznaczność symbolu ­ przypadek leżenia ramion na jednej prostej).

43. Kąty mogą być równe lub nierówne.

Praktycznie o istnieniu kątów równych lub nierównych przekonać się możemy z doświadczenia, jeżeli wytniemy z kartonu dwa kąty ABC i A'B'C' i przeniesiemy jeden na drugi w taki sposób, żeby miały wierzchołek wspólny i jedno ramię wspólne.

Jeżeli się okaże, że pozostałe ich ramiona są do siebie przystające, to mówimy, że dane kąty są sobie równe lub inaczej przystające, co zaznaczamy, pisząc

ABC =
A'B'C'.

Jeżeli zaś ramię A'B' położone będzie wewnątrz lub na zewnątrz kąta ABC, to powiemy, że kąty nie są równe i piszemy w pierwszym przypadku

ABC <
A'B'C',

w drugim przypadku natomiast

A'B'C' <
ABC.

Uwaga. Jeżeli ramię OB kąta AOB (rys. 11) będziemy uważać za ruchome i za początkowe jego położenie weźmiemy OA, za końcowe zaś OB, to możemy powiedzieć, że kąt powstaje przez obrót ramienia ruchomego dokoła danego punktu, czyli wierzchołka.

Mówimy wtedy, że półprosta zakreśliła kąt.

Kąt ten mógł powstać także przez obrót drugiego ramienia, które wychodzi z położenia początkowego OB i zajmuje położenie końcowe OA. Można by więc rozróżnić dwa zwroty kąta, jeżeli jednak o zwrocie nie myślimy, mówimy, że otrzymujemy kąt AOB albo BOA - bez różnicy. Mówi się niekiedy, że prosta OB jest nachylona do prostej OA pod kątem AOB.

Rys. 13

44. Niech będzie dany kąt
(rys. 13), prosta KL i punkt O leżący na niej. Z tego punktu można wyprowadzić nieograniczoną ilość półprostych (z każdej strony prostej KL), ale tylko jedna z nich półprosta OM będzie tworzyła z półprostą OL kąt
, czyli będzie nachylona do OL pod kątem
.

Przyjmujemy więc jako pewnik:

Z każdej strony danej prostej z punktu położonego na niej, zawsze można wyprowadzić taką półprostą, i to tylko jedną, która z daną półprostą tworzy kąt, równy danemu kątowi.

Ten pewnik rozumiemy jako możliwość przenoszenia kąta na daną prostą, czyli budowania na niej kąta równego danemu.

O sposobach tej konstrukcji będziemy mówili później, tymczasem odnotujmy tylko tę możliwość.

Rys. 14

45. Jeżeli z wierzchołka kąta AOB (rys. 14) na danej płaszczyźnie wyprowadzimy półprostą OC (rys. 14) leżącą na zewnątrz kąta, to otrzymamy kąty AOB i BOC, które oprócz wspólnego wierzchołka O mają wspólne jedno ramię. Takie kąty nazywamy kolejnymi. Kąt AOC, nazywamy sumą kątów AOB i BOC i piszemy:

AOC =
AOB +
BOC.

O każdym z tych kątów mówimy, że jest kątem mniejszym od kąta AOC i zapisujemy:

AOB <
AOC i
BOC <
AOC.

Natomiast o kącie AOC mówimy, że jest większy od AOB i BOC i będziemy pisać:

AOC >
AOB i
AOC >
BOC.

Każdy z kątów AOB i BOC nazywamy różnicą pomiędzy kątem AOC i pozostałym kątem; mamy

AOB =
AOC -
BOC,

BOC =
AOC -
AOB.

46. Zajmiemy się teraz przypadkiem wyjątkowym, kiedy półproste OA i OB leżą na jednej prostej. Jeśli te półproste są różne, to tworzą one dwa kąty (rys. 15), które nazywamy półpełnymi.

Przyjmujemy jako pewnik, że kąty półpełne są sobie równe.

Jeśli półproste OA i OB pokrywają się, to powstaje jeden obszar kątowy, który nazywamy kątem pełnym.

Przyjmujemy jako pewnik, że kąty pełne są sobie równe.

Rys. 15

Stosownie do określenia sumy kątów kąt pełny jest sumą dwóch kątów półpełnych, i - ogólniej - kąt pełny jest, dla każdej figury AOB, sumą dwóch kątów, jakie ta figura wyznacza.

47. Z tego, co było powiedziane, widzimy, że dwa kąty możemy łączyć znakami równości lub nierówności, dodawania i odejmowania, i chociaż jeszcze nie znamy sposobów przenoszenia kąta, zatem i znajdowania sumy lub różnicy dwóch dowolnych niekolejnych kątów, to jednak zasygnalizowaliśmy, że taka możliwość istnieje. Jeżeli dalej rozszerzymy dodawanie kątów na kilka składników, dojdziemy do pojęcia kąta, który będzie równy danemu, powtórzonemu pewną liczbę razy (mnożenie kąta przez liczbę całkowitą), a stąd już, jako działanie odwrotne, wyniknie dzielenie kąta na części.

Możemy więc na kątach dokonywać działań takich, jak na odcinkach, a zatem kąty, podobnie jak odcinki, zaliczamy do wielkości geometrycznych i możemy do nich stosować pewniki ogólne, podane w punkcie 32.

Rys. 17

48. Jeżeli z pewnego punktu O prostej AB (rys. 17) wyprowadzimy półprostą OC, to utworzą się dwa kąty: AOC i COB, które nazywamy kątami przyległymi.

Stąd określenie:

dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek, jedno ramię wspólne i których drugie ramię tworzy jedna prosta, nazywają się kątami przyległymi.

Oczywiście, suma kątów przyległych jest kątem półpełnym.

O kątach przyległych mówimy, że się nawzajem dopełniają, a każdy z nich nazywamy dopełnieniem drugiego.

Widzimy więc, że dopełnienie danego kąta jest równe różnicy między kątem półpełnym i danym, a stąd już wynika wniosek:

Jeżeli dwa kąty są sobie równe, to i ich dopełnienia są kątami równymi.

Rys. 18

49. Jeżeli wspólne ramię CD (rys. 18) kątów przyległych ma takie położenie względem prostej AB, że oba kąty są sobie równe, to każdy z nich nazywamy kątem prostym, np.
ACD i
BCD na rysunku.

O istnieniu takich kątów przekonamy się nieco później.

Znakiem kąta prostego bywa często litera d (z francuskiego, droit = prosty), aby więc zaznaczyć, że dany kąt jest prosty, piszemy
ACD = d.

Proste, które tworzą ze sobą kąty przyległe równe, to znaczy przecinają się pod kątem prostym, nazywają się prostopadłymi względem siebie, np. proste AB i CD (rys. 18) są prostopadłe. Dla skrócenia piszemy AB
CD, albo CD
AB, czytając prosta AB jest prostopadła do prostej CD albo CD jest prostopadła do AB.

Punkt C nazywamy spodkiem prostopadłej.

Rys. 19

Prostą przecinającą daną prostą pod kątem, który nie jest prostym, nazywamy pochyłą względem niej, np. prosta CE jest pochyłą do prostej AB (rys. 19).

Stąd, że suma kątów przyległych jest równa kątowi półpełnemu, wynika, że kąt prosty, jako jeden z dwóch równych sobie kątów przyległych, można uważać za połowę półpełnego, a zatem: wszystkie kąty proste są sobie równe.

Rys. 20

50. Z kątem prostym, jako wielkością stałą, porównujemy inne kąty. Kąt mniejszy od kąta prostego nazywa się kątem ostrym, większy od kąta prostego kątem rozwartym.

Jeżeli dwa kąty ostre tworzą w sumie kąt prosty, to mówimy, że te kąty dopełniają się do kąta prostego.

Stąd wynikają następujące wnioski:

1. Kąt półpełny jest równy sumie dwóch kątów prostych.

2. Suma kątów przyległych jest równa sumie dwóch kątów prostych.

3. Jeżeli dwa kąty ostre są równe, to i ich dopełnienia do kąta prostego też są równe.

4. Jeżeli jeden z kątów przyległych jest ostry, to drugi jest rozwarty.

Rys. 21

51. Jeżeli mamy dwie proste AB i CD (rys. 21), przecinające się w punkcie O, to otrzymamy cztery kąty kolejne, które dla skrócenia oznaczamy numerami 1, 2, 3 i 4. Niektóre z nich są przyległe, np. kąty 1 i 2, inne zaś nieprzyległe, np. 1 i 3, albo 2 i 4.

Określenie. Dwa kąty, utworzone przez dwie przecinające się proste, nazywają się kątami wierzchołkowymi, jeżeli ramiona jednego z nich są przedłużeniami ramion drugiego.

Te kąty mają pewną własność, którą wyraża następujące

Twierdzenie. Kąty wierzchołkowe są sobie równe.

Mamy dwie proste AB i CD (rys. 21) przecinające się w punkcie O. Utworzą się kąty wierzchołkowe: 1 i 3 (albo 2 i 4). Trzeba dowieść, że
1 =
3.

Dowód. Ponieważ kąty 1 i 2 są przyległe, więc kąt 1 jest dopełnieniem kąta 2, dla takiej samej przyczyny kąt 3 jest również dopełnieniem kąta 2, a więc
1 =
3 (patrz punkt 48), co było do udowodnienia.

 

Uwaga. Dopiero co przytoczone twierdzenie wypowiedzieliśmy w postaci skróconej, w której zacierają się dwie części - założenie i teza - z jakich składa się każde twierdzenie (patrz punkt 14). Można je wyrazić w następującej formie: "Jeżeli dwa kąty mają wspólny wierzchołek i ramiona jednego z nich są przedłużeniami ramion drugiego, to te kąty są sobie równe". Założeniem jest zdanie: "Jeżeli ..."., tezą zaś "to...".

Rys. 22

52. Z wierzchołka kąta AOB (rys. 22) wyprowadźmy półprostą OC położoną wewnątrz tego kąta, wtedy otrzymamy dwa kąty: AOC i COB, które w sumie tworzą kąt dany AOB.

Jeżeli półprostą OC tak poprowadzimy, że:

AOC =
COB,

to kąt AOB będzie podzielony na połowy i półprostą OC nazwiemy dwusieczną danego kąta.

Jak taką prostą wykreślić, zobaczymy później.

§ 6. Ćwiczenia

1. Z punktu O wyprowadzono trzy półproste: OA, OB i OC. Ile utworzyło się kątów? Który z nich jest sumą dwóch innych, a który różnicą?

2. Z punktu O wyprowadzono cztery półproste: OA, OB, OC i OD. Który kąt jest sumą dwóch innych? Który jest sumą trzech? Który jest różnicą dwóch innych?

3. Z punktu O wyprowadzono cztery półproste: OA, OB, OC i OD. Jakiemu kątowi będą równe:

AOB +
BOC;

AOC +
COD;

AOB +
BOD;

AOD -
AOB;

AOD -
COD;

AOD -
AOB -
BOC?

4. Trzy proste: AB, CD i EF przecinają się w jednym punkcie O. Wymienić pary kątów przyległych i wierzchołkowych. Które kąty tworzą w sumie kąt półpełny?

5. Z punktu O wyprowadzono cztery półproste: OA, OB, OC i OD. Okazało się, że
AOB =
DOC. Czy to wystarcza, aby twierdzić, że kąty te są kątami wierzchołkowymi? Jak sformułować twierdzenie odwrotne do twierdzenia o kątach wierzchołkowych (punkt 51)?

6. Dowieść, że dwusieczne kątów przyległych są do siebie prostopadłe.

7. Dowieść, że suma kątów kolejnych, utworzonych przez pęk prostych na płaszczyźnie jest równa sumie czterech kątów prostych.

8. Dowieść, że suma wszystkich kątów kolejnych o wspólnym wierzchołku i położonych z jednej strony danej prostej jest równa sumie dwóch kątów prostych.

9. Dwie proste przecinają się w pewnym punkcie. Jeden z otrzymanych czterech kątów kolejnych wynosi ²/₃ d. Obliczyć trzy pozostałe.

10. Dany jest kąt ABC. Z wierzchołka B wyprowadzono BE
BA i BD
BC. Dowieść, że kąt DBE jest równy kątowi ABC albo jest jego dopełnieniem.

§ 7. Wiadomości wstępne o kole

Rys. 23

53. Obierzmy na płaszczyźnie pewien punkt O (rys. 23), poprowadźmy przez ten punkt dowolną ilość prostych i na każdej z nich z obu stron od punktu O odłóżmy dany odcinek a. Wtedy na prostych otrzymamy szereg punktów: A i A', B i B', C i C' itd. Wyobrażając sobie nieskończoną ilość prostych, przechodzących przez punkt O, otrzymamy nieskończenie wiele punktów, które utworzą linię zwaną okręgiem.

Określenia. Okręgiem nazywamy krzywą płaską, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu.

Ten dany punkt nazywa się środkiem okręgu.

Odcinek, który łączy jakikolwiek punkt okręgu ze środkiem, nazywamy promieniem okręgu.

Jeżeli odcinki OB, OC, OD itd. traktować będziemy jako kolejno następujące po sobie położenia jednego z nich, np. OA, obracającego się dokoła punktu O, to można powiedzieć, że okrąg jest to krzywa, którą zakreśla koniec odcinka, obracającego się dokoła danego punktu.

W ten właśnie sposób wykreślamy okrąg, posługując się cyrklem, którego jedna nóżka jest utkwiona w danym punkcie (środku), a koniec drugiej, wyposażony w ołówek, obracany (bez zmiany rozwartości cyrkla) dokoła środka.

Rys. 24

54. Jeżeli wyobrazimy sobie, że jakieś ciało porusza się po okręgu, wychodząc np. z punktu A (rys. 24), to ono zawsze może, poruszając się w tym samym kierunku (np. zgodnie z ruchem wskazówki zegarowej), dojść do swego położenia pierwotnego. Dlatego mówimy, że okrąg jest linią zamkniętą.

Tej własności prosta nie posiada.

Rys. 25

55. Doświadczenie pozwala nam zauważyć, że okrąg dzieli płasz czyznę na dwie części. Jedna z nich jest ograniczona i nazywa się wewnętrzną, inaczej kołem, druga zaś jest nieograniczo na i nazywa się częścią zewnętrzną.

Jeżeli więc z jakiegokolwiek punktu M jednej z tych części (rys. 25) pragniemy przejść do punktu N, położonego w drugiej, musimy przeciąć okrąg.

Punkty płaszczyzny, położone w pierwszej części, nazywają się punktami wewnętrznymi koła; odległość każdego z nich od środka koła jest mniejsza od promienia. Do tej części płaszczyzny włączamy również punkty położone na okręgu, których odległości od środka są równe promieniowi. Punkty drugiej części nazywają się punktami zewnętrznymi i ich odległość od środka jest większa od promienia koła.

Uwaga. W mowie potocznej często mówi się "koło" zamiast "okrąg". Widzimy jednak, że te dwa pojęcia są różne.

Rys. 26

56. Określenie. Część okręgu ograniczoną dwoma punktami, nazywamy łukiem.

Znak
jest symbolem łuku. Piszemy
AB i czytamy łuk AB (rys. 26). Zauważyć tu należy, że mówiąc łuk AB, nie mówimy, o który z dwóch łuków, na które punkty A i B dzielą okrąg, chodzi. Dlatego, nie chcąc wprowadzać nieporozumienia, zwykle piszemy trzecią literę, oznaczającą jakikolwiek punkt między A i B, położony na łuku, piszemy więc
AKB lub
AMB.

57. Jeżeli przez środek koła poprowadzimy jakąkolwiek prostą, to możemy łatwo zauważyć, że przetnie ona okrąg z każdej strony środka tylko w jednym punkcie (patrz pewnik z punktu 26), a więc jeżeli na tej prostej obierzemy dwa punkty: M i N (rys. 27), położone jeden wewnątrz koła, a drugi na zewnątrz niego, to odcinek MN (jako część poprowadzonej prostej) przetnie się z okręgiem tylko w jednym punkcie. Zachodzi teraz pytanie: czy jakakolwiek inna prosta, nie przechodząca przez środek koła, będzie miała również taką własność?

Rys. 27

Twierdzimy, że tak będzie, przyjmując następujący pewnik:

Odcinek, łączący dwa punkty płaszczyzny, z których jeden leży wewnątrz koła, a drugi na zewnątrz niego, przecina okrąg, tylko w jednym punkcie (np. M'N').

Ten pewnik rozszerzamy na przypadek, kiedy omawiane punkty M' i N' połączymy łukiem koła, niekoniecznie odcinkiem.

Punkty M' i N' (rys. 27) można również połączyć łukiem koła leżącym po przeciwnej stronie odcinka M'N'; przetnie on dany okrąg znowu w jednym punkcie*, widzimy więc, że okrąg, który przechodzi przez dwa punkty M' i N', z których jeden leży wewnątrz danego koła, a drugi na zewnątrz niego, przecina się z danym okręgiem w dwóch punktach.

58. Określenia. Odcinek, który łączy dwa punkty okręgu, tj. końce łuku, nazywamy cięciwą.

Cięciwę, która przechodzi przez środek koła, nazywamy średnicą.

Oczywiście, w kole wszystkie średnice są sobie równe, bo wszystkie promienie są sobie równe.

Dwa koła nazywamy równymi, albo inaczej przystającymi, jeżeli mają równe promienie.

Łuk, którego końce są połączone średnicą, nazywamy półokręgiem, a część płaszczyzny ograniczoną średnicą i półokręgiem nazywamy półkolem.

Z tego, co było powiedziane wyżej, wynika, że okrąg jest wyznaczony, jeżeli znamy położenie jego środka i promień.

* Na mocy poszerzonej wersji pewnika (przyp. red.).

§ 8. Wiadomości wstępne o trójkącie i wielokącie

Rys. 28

59. Określenia. Jeżeli trzy punkty: A, B i C, które nie leżą na jednej prostej (rys. 28), połączymy odcinkami AB, BC i AC, to otrzymamy figurę, którą nazywamy trójkątem i oznaczamy symbolem
ABC. Odcinki, tworzące trójkąt, nazywamy jego bokami, a punkty przecięcia wierzchołkami. Kąty, utworzone przez każde dwa boki trójkąta, nazywamy kątami trójkąta. Boki i kąty trójkąta są jego elementami. Sumę boków nazywamy obwodem trójkąta, a linię łamaną ABCA - brzegiem trójkąta.

Brzeg trójkąta dzieli płaszczyznę na dwie części, czyli na dwa obszary, z których jeden ograniczony nazywany obszarem wewnętrznym, stanowi trójkąt; zawiera on wszystkie punkty płaszczyzny, położone wewnątrz trójkąta oraz punkty na brzegu. Drugi zaś obszar jest nieograniczony i nazywany jest obszarem zewnętrznym*.

Rys. 29

Jeżeli którykolwiek z boków trójkąta ABC (rys. 29), np. bok AB przedłużymy, to kąt, utworzony przez bok BC i przedłużenie boku AB, nazywa się kątem zewnętrznym trójkąta, np. CBD jest kątem zewnętrznym w trójkącie ABC. Kąty, utworzone przez boki trójkąta, nazywamy wtedy kątami wewnętrznymi trójkąta, albo po prostu kątami trójkąta.

Bok trójkąta oznacza się zwykle małą literą i tak literą a oznaczamy zazwyczaj bok BC położony naprzeciw wierzchołka A, literą b bok AC, a literą c bok AB.

Kąty wewnętrzne oznaczamy albo jedną literą, pisząc np. A, B, C, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumienia, o który kąt chodzi, albo trzema literami, pisząc np.
ABC, albo wreszcie jedną literą alfabetu greckiego, oznaczając kąt A literą
, kąt B literą
, a kąt C literą
.

Rys. 30

60. Jeśli jeden z boków trójkąta nazwiemy podstawą, to wierzchołek przeciwległy nazwiemy wierzchołkiem trójkąta.

Jeżeli na ramionach dowolnego kąta A (rys. 30), począwszy od jego wierzchołka, odłożymy dwa równe sobie odcinki AB i AC, to otrzymamy trójkąt ABC, który ma dwa boki równe, AB = AC. Taki trójkąt nazywamy trójkątem równoramiennym. Boki AB, AC nazywamy ramionami, a bok BC podstawą trójkąta równoramiennego.

Gdybyśmy kąt A tak dobrali, że po dokonaniu poprzednich konstrukcji okazałoby się, że i trzeci bok BC jest równy bokom AB i AC, to otrzymalibyśmy trójkąt o wszystkich trzech bokach równych. Taki trójkąt nazywamy trójkątem równobocznym, a jak go zbudować, wkrótce zobaczymy.

61. Jeżeli dane na płaszczyźnie punkty: A, B, C, D i E połączymy odcinkami AB, BC, CD, DE i EA, to otrzymamy część płaszczyzny ograniczoną linią łamaną ABCDEA, do której należeć będą wszystkie punkty, wewnątrz tej łamanej oraz na niej położone.

Rys. 31

Taką figurę nazywamy wielokątem, a w szczególności czworokątem, pięciokątem itd., stosownie do liczby danych punktów (rys. 31).

Odcinki, tworzące wielokąt, nazywamy jego bokami, a punkty ich przecięcia wierzchołkami wielokąta.

Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wielokąta.

Sumę wszystkich boków nazywamy obwodem wielokąta, linię łamaną ABCDEA ograniczającą wielokąt brzegiem wielokąta.

Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwie części, tzn. na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi zaś jest nieograniczony i nazywamy go obszarem zewnętrznym*.

Rys. 32

Jeżeli którykolwiek z boków wielokąta, np. AE (rys. 32), przedłużymy, to kąt, utworzony przez bok ED i przedłużenie boku AE, tj. kąt DEF, nazywamy kątem zewnętrznym wielokąta.

Rys. 33

62. Wielokąt nazywamy wypukłym (rys. 33), jeżeli przedłużenia jego boków nie przecinają brzegu; w przeciwnym razie wielokąt nazywa się wklęsłym (rys. 34).

Rys. 34

W dalszych rozważaniach będziemy zawsze mieli na myśli wielokąty wypukłe, chyba że wyraźnie zaznaczymy, że jest inaczej.

Odcinek, który łączy dwa wierzchołki wielokąta, nie leżące na tym samym boku, nazywmy przekątną, np. AC, AD (rys. 35).

Rys. 35

Każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty przekątnymi, wyprowadzonymi z któregokolwiek wierzchołka. Jeżeli zauważymy, że w skład każdego z tych trójkątów wchodzi po jednym boku wielokąta, oprócz trójkątów skrajnych, do wyznaczenia których potrzebne są po dwa boki wielokąta, to łatwo wywnioskować, że wielokąt można podzielić przekątnymi na tyle trójkątów, ile ma boków mniej dwa.

Co do liczby przekątnych, które da się wyprowadzić z jednego wierzchołka wielokąta, to będzie ich tyle, ile wielokąt ma boków mniej trzy. Tak więc np. z jednego wierzchołka w czworokącie można wyprowadzić jedną przekątną, w pięciokącie dwie itd.

* To, że brzeg trójkąta dzieli - podobnie jak okrąg - płaszczyznę na dwa obszary, przyjmujemy bez dowodu.

§ 9. Ćwiczenia

1. Wykreślić okręgi mające a) ten sam środek, b) ten sam promień, ale inny środek.

2. Promieniem równym danemu odcinkowi a wykreślić okrąg, przechodzący przez dany punkt A. Ile takich okręgów można wykreślić i gdzie będą leżały ich środki?

3. Wszystkie boki danego trójkąta przedłużono w obie strony. Ile powstało kątów przy każdym wierzchołku trójkąta? Wymienić kąty wewnętrzne i zewnętrzne tego trójkąta. Które z otrzymanych kątów będą sobie równe, a które będą kątami przyległymi?

4. Co można powiedzieć o odcinku, który łączy punkt wewnętrzny trójkąta z punktem zewnętrznym, a co o odcinku, który łączy dwa punkty zewnętrzne trójkąta?

5. Ile przekątnych można wyprowadzić z jednego wierzchołka w dziesięciokącie, a ile w piętnastokącie? Ile różnych przekątnych da się wyprowadzić ze wszystkich wierzchołków danego wielokąta?

---