Przepływ w płynach - wiskozymetr Stokes'a

Na ciało poruszające się w płynie (to znaczy w cieczy lub gazie, ponieważ płyn to wbrew pozorom nie tylko ciecz) działają przede wszystkim cztery siły:

• siła ciężkości

• siła wyporu

• siła oporu (wynikająca z różnicy ciśnień)

• siła oporu (wynikająca z tarcia)

Omówmy teraz po kolei poszczególne siły.

Jeśli chodzi o siłę ciężkości myślę, że możemy ją jednak pominąć w opisie gdyż jest trywialny. Zacznijmy zatem od siły wyporu.

Siła wyporu

Siła wyporu działająca na ciało jest wprost proporcjonalna do objętości ciała, gęstości ośrodka w jakim to ciało się porusza oraz do współczynnika grawitacji:

Siła oporu wynikająca z różnicy ciśnień

Siła ta opisana jest wzorem:

gdzie C- współczynnik proporcjonalności zależny od rodzaju ciała(m.in.jego kształtu)

S- pole powierzchni stawiającej opór, V- prędkość przepływu,
-gęstość ośrodka

Siła ta jak widać jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Nie jest tak jednak zawsze. Dla małych prędkości można przyjąć, że rośnie liniowo (jest proporcjonalna do prędkości), natomiast dla bardzo małych prędkości można ją w ogóle pominąć. W przypadku wiskozymetru Stokes'a po prostu pominiemy to siłę z naszych rozważań.

Siła oporu wynikająca z tarcia (lepkość)

Siła ta wynika z tarcia ciała o cząsteczki płynu. Siła oporu wynikająca z tarcia opisana jest wzorem:

gdzie S- to pole powierzchni a
- współczynnik lepkości (czasami nazywany lepkością dynamiczną), który jest zależny od rodzaju płynu w jakim porusza się ciało.

Siła ta wynika z tego iż płynące ciało porywa za sobą pewną warstwę płynu, ta warstwa kolejną warstwę ta następną itd. Oczywiście kolejne warstwy płynu poruszają się już coraz wolniej.

Dla przepływu laminarnego Stokes wprowadził równanie opisujące siłę oporu jako:

Powyżej omówiliśmy siły działające na ciało poruszające się w płynie. Teraz należałoby omówić przepływ samej cieczy. Z punktu widzenia fizyki nie ma specjalnego rozgraniczenia pomiędzy przypadkami przepływu ciała w płynie, a opływaniem płynu wokół ciała. Mówiąc inaczej z punktu widzenia fizyki nie jest ważne czy jakieś ciało porusza się w nieruchomym płynie, czy też płyn porusza się wokół stojącego ciała. Powyższa zasada jest bardzo pomocna przy testowaniu różnego rodzaju pojazdów. Nie trzeba bowiem np. samochodu rozpędzać do 200 km/h aby zbadać jego własności aerodynamiczne. Można w tzw. tunelach aerodynamicznych poddać samochód przepływowi powietrza o prędkości 200 km/h. Efekt będzie taki sam.

Dla opisu przepływu w płynach wprowadza się bezwymiarową wielkość zwaną liczbą Reynoldsa, opisaną wzorem:

gdzie l - oznacza charakterystyczny rozmiar przekroju poprzecznego.

Liczba Reynoldsa stanowi kryterium podobieństwa przepływu, to znaczy mówimy, że dwa przepływy są takie same gdy mają taką samą liczbę Reynoldsa

. Daje to kolejne możliwości badania kształtów aerodynamicznych. Można bowiem stworzyć model samolotu 10 razy mniejszy i poddać go 10 razy szybszemu strumieniowi powietrza w tunelu aerodynamicznym.

Ponieważ liczba Reynoldsa zostanie zachowana zatem przepływy możemy uznać za identyczne.

Wyróżniamy dwa rodzaje przepływu w cieczach:

1. Przepływ laminarny (warstwowy)- płyn podczas przepływu zachowuje się jak by była podzielona na wiele warstw, które jedynie trą o siebie. Cząsteczki cieczy nie przechodzą między warstwami. Liczb Reynoldsa jest wielokrotnie mniejsza od jedności (Re<<1)

2. Przepływ turbulentny (burzliwy) - płyn intensywnie się miesza, nie zachowuje swojego kształtu, a prędkości w poszczególnych miejscach zmieniają swoje prędkości w sposób chaotyczny (przypadkowy). Przepływ nie jest stacjonarny. Liczba Reynoldsa przyjmuje duże wartości.

Powyższy opis mechaniki płynów nie jest zbyt obszerny, jednak w zupełności wystarcza do omówienia tzw. wiskozymetru Stokesa. Jest to szklana rura taka jak na rysunku obok. Na górze znajduje się najczęściej lejek. Do rury tej wrzuca się kulki niewielkich rozmiarów, a następnie mierzy się czas przepływu kulki na określonej długości l. Doświadczenie to może służyć np. do wyznaczania współczynnika lepkości
bądź też do potwierdzenia prawa Stokesa.

Aby jednak zrozumieć całe to doświadczenie musimy wrócić do opisanych powyżej sił działających na ciało i zastanowić się co musimy wziąć pod uwagę. Po pierwsze zakładamy, że na ciało działają tylko trzy siły. Siła ciężkości, wyporu oraz oporu związana z tarciem czyli lepkość. Zapisując równanie z II zasady dynamiki Newtona otrzymujemy

gdzie
- gęstość płynu (w naszym wypadku cieczy)

Jeżeli przyjmiemy, że ruch ciała odbywa się jedynie pod wpływem siły ciężkości możemy za przyspieszenie podstawić g. Jeżeli dodatkowo będziemy chcieli wyznaczyć prędkość graniczną (to znaczy taką, przy której ruch będzie jednostajny) będziemy mogli przyrównać prawą stronę do zera (ponieważ
. Zatem otrzymamy:

Korzystając z powyższego wzoru na prędkość graniczną po przekształceniu otrzymujemy wzór na współczynnik lepkości:

Równania Stokes'a zakładają, że promień cylindra R jest wielokrotnie większy od promienia kulki. Aby wyniki były bardziej wiarygodne można wprowadzić poprawkę w postaci:

gdzie n jest współczynnikiem wyznaczanym empirycznie

Ponieważ prędkość przyjmujemy za stałą, a ruch odbywa się na takiej samej drodze możemy zapisać:

gdzie R - promień cylindra (rury)

Z powyższego wzoru możemy wyznaczyć szukany współczynnik.

Uwzględniając poprawkę we wzorze na współczynnik lepkości otrzymujemy wzór:

Jeżeli już wiemy jak wyglądają wszystkie potrzebne nam wzory możemy teraz powrócić do wykonania doświadczenia. Trzeba bowiem zwrócić uwagę na to iż czas spadku kulki (ciała) mierzymy dopiero od momentu w którym uznamy, że ruch jest jednostajny ponieważ założyliśmy, że nie ma przyspieszenia (
) i wszystkie powyższe równania opierają się na tym założeniu. Kolejnym założeniem, jakie tu zrobiliśmy, a które zostało przemilczane jest zagadnienie tzw. masy efektywnej. Można powiedzieć, że do kulka spadającej w cieczy z pewną prędkością przyklejają się cząsteczki cieczy, które następnie spadają razem z kulką. Zatem w efekcie masa układu, który spada jest większa, ponieważ składa się na niego masa kulki oraz masa przylepionej cieczy. W naszych rozważaniach założyliśmy jednak, że do kulki przylepiły się tak nieznaczne ilości cieczy, że można je pominąć.

---