Parametryczne krzywe trzeciego stopnia

W grafice komputerowej reprezentacje gładkich krzywych można uzyskać przez zastosowanie funkcji wyższego stopnia.

Odpowiednie funkcje mogą być wyrażone:

1. bezpośrednio

dla danego x: y = f(x), z = g(x)

Nie można wtedy uzyskać takich krzywych, które dla jednej wartości x dają wiele wartości y (nie są funkcjami), np. okręgi lub elipsy muszą być reprezentowane przez kilka segmentów

2. równaniami uwikłanymi

f(x, y, z) = 0

Dane równanie może mieć wiÄ™cej niż jedno rozwiÄ…zanie, np. x² + y² = 1 reprezentuje dwie połówki okrÄ™gu

3. równaniami parametrycznymi

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Wybór stopnia wielomianu

• wielomian stopnia drugiego:

x(t) = b_xt² + c_xt + d_x

y(t) = b_yt² + c_yt + d_y 0 ≤ t ≤ 1

z(t) = b_zt² + c_zt + d_z

Wymaga 3 warunków brzegowych dla jednoznacznego określenia np. przechodzenie przez dwa punkty + zgodność kierunku.

• wielomian stopnia trzeciego:

x(t) = a_xt³ + b_xt² + c_xt + d_x

y(t) = a_yt³ + b_yt² + c_yt + d_y 0 ≤ t ≤ 1

z(t) = a_zt³ + b_zt² + c_zt + d_z

lub oznaczajÄ…c

Q(t) = [x(t) y(t) z(t)]^T = c * T

Zapewnia interpolacje odcinka krzywej przez podanie 4 parametrów (warunków brzegowych). Mogą to być np. dwa punkty końcowe + pochodne w punktach końcowych.

Wielomiany parametryczne III stopnia są również najniższego stopnia krzywymi, które nie leżą w płaszczyźnie 3D.

• wielomian stopnia wyższego niż trzeci:

Wymagają wyższej liczby warunków do określenia współczynników i mogą oscylować w sposób trudny kontrolowania.

Dla określenia współczynników równań krzywych III stopnia potrzebne są 4 parametry wynikające z warunków brzegowych. Z uwagi na postać tych warunków stosuje się różne rodzaje krzywych:

1. krzywe Hermit'a

określone są przez dwa punkty końcowe + dwa wektory styczne w punktach końcowych

2. krzywe Béziera

określone przez dwa punkty końcowe + dwa punkty dodatkowe, które mają wpływ na wektory styczne w punktach końcowych.

3. krzywe sklejane

krzywe te majÄ… ciÄ…gÅ‚ość C¹ i C² w punktach poÅ‚Ä…czenia i przechodzÄ… blisko swoich punktów sterujÄ…cych, ale w ogólnym przypadku nie interpolujÄ… punktów

4. B-spline

wielomian z ciÄ…gÅ‚oÅ›ciÄ… C⁰, C¹ i C², który interpoluje (przechodzi) przez punkty kontrolne. Ten wielomian ma o jeden stopieÅ„ ciÄ…gÅ‚oÅ›ci wiÄ™cej niż dwa poprzednie. B-spline charakteryzuje lepsza gÅ‚adkość niż poprzednie postacie.

Wady: - przesuwanie dowolnego punktu wpływa na kształt całej krzywej,

- czas obliczeń wymagany do wyznaczenia krzywej jest dłuższy.

Tworzenie krzywej typu splajn na bazie zadanych punktów.

1. Określamy punkt początkowy splajnu (1).

2. Określamy punkty kolejne (1-5).

3. Określamy kierunek stycznej dla początku i końca (6, 7).

4. Określamy tolerancje dopasowania krzywej.

---