Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe

1. Definicja mechaniki płynów

Przez mechanikę płynów rozumiemy naukę, zajmującą się badaniem ruchów płynów ( ga­zów i cieczy pod działaniem sił ) do obliczeń przyjmuje się przybliżone modele dotyczące cieczy idealnych, rzeczywistych, gazów półdoskonałych i rzeczywistych.

Dużą rolę w dziedzinie mechaniki płynów odegrał Newton, który sformułował pojęcie lepkości. Jako pierwszy Euler napisał różniczkowe równanie cieczy, a Archimedes skonstru­ował maszynę służącą do wymuszania ruchów cieczy zwaną „ spiralą Archimedesa „.

2. Podział mechaniki płynów

• mechanika cieczy ( hydromechanika )

• mechanika gazów ( aerodynamika )

Hydromechanika dzieli się z kolei na:

• hydraulikę cieczy idealnych

• hydraulikę cieczy rzeczywistych

W mechanice płynów wyróżniamy podział, taki jak w mechanice ciał sztywnych czyli:

• statyka

• kinematyka

• dynamika

Osobnym działem mechaniki płynów jest hydraulika. Stanowi ją zbiór wzorów empirycz­nych wyprowadzonych z doświadczeń i pomiarów praktyki hydrotechnicznej. Hydraulika nie należy do nauk ścisłych. Wyniki obliczeń są niepewne i należy traktować je z dużą ostrożno­ścią.

3. definicja cieczy idealnej

O cieczy idealnej mówimy że:

• jest ona nieściśliwa

• 
  naprężenia normalne w cieczy to ciśnienia

• naprężenia tnące

Z punktu ostatniego wynika, że ciecz idealna jest cieczą beztarciową ( pozbawioną lepko­ści )

Ciecze występujące w przyrodzie różnią się od cieczy idealnych gdyż: są nieznacznie ści­śliwe, pojawiają się naprężenia normalne które są ciągnieniem i podczas ruchu względnego pojawiają się naprężenia tnące. W cieczach rzeczywistych istnieją ponadto zjawiska kapi­larne, powstałe na skutek działania napięć powierzchniowych. Napięcia powierzchniowe są wielkością równej sile działającej na jednostkę powierzchni cieczy i jest wywołana działa­niem sił międzycząsteczkowych.

Mechanika płynów zajmuje się badaniem zachowań płynów pod wpływem działających sił, które dzielimy na :

• 
  
  siły skupione - rozłożona wzdłuż odcinka linii

• siły powierzchniowe - rozłożone na ograniczonej powierzchni

• 
  siły objętościowe - zwane również masowymi

W powyższych równaniach mowa jest o równaniach Eulera odnoszących się do cieczy ideal­nej. Równanie to ma postać:

Gdzie:

v - prędkość, t - czas , F - wypadkowa sił działających na ciecz , l - gęstość cieczy, p - ci­śnienie

Klasyfikacja płynów

1. Płyn nielepki i nieściśliwy - zwany idealnym

Definicja wynika wprost z pojęcia cieczy idealnej.

Mówimy że płyn jest nieściśliwy, jeśli jego współczynnik ściśliwości k = 0

Jak wiemy ciecze są nieznacznie ściśliwe, to znaczy, ich współczynnik ściśliwości jest bardzo mały, podobnie zresztą zachowują się przy małych prędkościach. Ten typ płynu opisujemy równaniem Eulera.

2. Płyn lepki i nieściśliwy

Modelem płynu lepkiego i nieściśliwego badamy przepływy w warstwie przyściennej. War­stwa ta charakteryzuje się tym, że gradienty prędkości przepływu, są w niej bardzo duże i oddalając się od ścianek w głąb strumienia prędkości te gwałtownie rosną.

Poza warstwą przyścienną gradienty prędkości są niewielkie. W obszarze warstwy przyścien­nej naprężenia styczne uzyskują dość znaczne wartości

3. Płyn nielepki i ściśliwy

Modelem tym posługujemy się w dynamice gazów. Zajmuje się ona przepływami z dużymi prędkościami. Ponieważ zachodzą zmiany gęstości ρ należy uwzględnić ciśnienie i tempera­turę. Zależnościami tymi zajmuje się termodynamika.

Gazy są płynami ekspansywnymi, to znaczy zajmują całą wolną przestrzeń w której są za­mknięte.

4. Płyn lepki i ściśliwy

Płyn taki charakteryzuje się lepkością i niewielką ściśliwością i jest modelem płynów rze­czywistych występujących w przyrodzie. Przy rozwiązywaniu równań ten typ płynów mo­żemy napotkać na problemy, natury matematycznej, ze względu na duży stopień skompliko­wania tych równań

Obserwując zjawiska przepływu płynów możemy zauważyć, że są one skomplikowane. Opi­sanie złożonych zjawisk jest bardzo trudne. Dlatego też ze względu na te trudności, staramy się uprościć, pomijając te wielkości, które w stosunku do innych są stosunkowo niewielkie.

Pojecie lepkości. Miary lepkości. Jednostki

Nieco wcześniej były omówione naprężenia styczne, będące wewnątrz strumienia płynu. Wy­raża się je następująco.

Naprężenia styczne τ jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości w kierunku prostopa­dłym do płaszczyzny działania tego naprężenia.

Współczynnik η nazywamy współczynnikiem tarcia wewnętrznego lub współczynnikiem lepkości dynamicznej.

Jednostką lepkości jest:

Wielkością pochodną jest lepkość kinematyczna.

i jest to stosunek lepkości dynamicznej do gęstości ρ

Jednostką jest:

Metoda pomiaru ciśnień. Wakuometry, barometry, manometry. Jednostki ciśnienia.

Przyrządy do pomiaru ciśnienia mierzą nie jego wartość, lecz różnice tej wartości i wartość ciśnienia odniesienia jest ciśnienie panujące w miejscu pomiaru.

Przyrządy do pomiaru ciśnień absolutnych nazywamy barometrami, nad ciśnień manome­trami, a podciśnień wakuometrami

1. Barometr

W zbiorniku ( 1 ) jest wstawiona szklana rurka manometryczna ( 2 ) napełniona uprzednio całkowicie rtęcią. W przestrzeni między górnym zamkniętym końcem a meniskiem słupa rtęci panuje próżnia bezwzględna. Położenie słupa rtęci określa ciśnienie barometryczne.

Na tej samej zasadzie działa ciśnieniomierz absolutny

Który służy do pomiaru ciśnienia absolutnego ( P_a )

2. Manometry

Dzielimy je na:

• hydrostatyczne ( cieczowe )

• prężne ( rurkowe lub przeponowe )

1. hydrostatyczne

poniższy rysunek przestawia manometr rtęciowy, otwarty dwu ramieniowy

Składa się on z rurki szklanej R₂ stanowiącej jedno ramię manometru, jest ona u góry otwarta, tak iż rtęć jest poddana działaniu ciśnienia atmosferycznego P_b. Drugie ramię tworzy rurka szklana R₁ o tej samej średnicy połączona z obszarem, w którym panuje ciśnienie p wyższe od atmosferycznego P_b

Różnica ciśnień ( nadciśnienie ) wyraża się wzorem

φ - gęstość cieczy manometrycznej

g - przyspieszenie ziemskie g = 9,81 [ m / s² ]

Δz - różnica wysokości cieczy w rurkach R₁ i R₂

2. prężne

• rurkowe

W manometrze prężnym rurkowym, pod wpływem ciśnienia p prężna rurka Bourdona ( 1 ) ulega odkształceniu powodując wychylenie wskazówki ( 2 )

Rurka Bourdona o przekroju eliptycznym, pod wpływem ciśnienia dąży do przejścia w prze­krój kołowy, a po­nieważ długość łuku rurki pozostaje stała rurka dąży do rozprostowania się.

• przeponowe

Elementem prężnym tego manometru jest przepona ( 1 ) płaska lub falista. Pod wpływem ciśnienia p przepona ulega odkształceniu. Odkształcenie to przenosi się przez przekładnię na wskazówkę

3. Wakuometr

Jest ciśnieniomierzem służącym do pomiaru podciśnień. Zasada działania i budowy manome­trów prężnych i hydrostatycznych.

Często wykonuje się manometry prężne które mogą służyć do pomiaru nadciśnienia i podci­śnienia, nazywamy je mano - wakuometrami

4. Jednostki ciśnienia

W układzie jednostek miar SI główną jednostką ciśnienia jest Pascal ( Pa ) czyli niuton na metr kwadratowy

Pascal jest jednostką małą, dlatego w praktyce stosuje się megapascal

oraz bar

Dawniej manometry skalowano w atmosferach technicznych, czyli kilogramach siły na cen­tymetr kwadratowy.

Często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa cieczy

Przy małych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa wody

Przy większych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa rtęci ( Hg )

Tor ( Tr ) jest jednostką ciśnienia równą ciśnieniu wywieranemu w próżni przez słup rtęci o wysokości 1mm i temperaturze 0^oC przy normalnym przyspieszeniu ziemskim.

1 Tr = 1 mm Hg = 133,3224 Pa

Jako normalne ciśnienie fizyczne przyjęto ciśnienie jednej atmosfery fizycznej

Pn = 1 atm = 760 Tr = 101325 Pa

Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe

1. Definicja mechaniki płynów.

Przez mechanikę płynów rozumiemy naukę, zajmującą się badaniem ruchów płynów ( cieczy i gazów będą­cych pod działaniem sił ).

W obliczeniach stosuje się przybliżone modele dotyczące idealnych, cieczy rzeczywi­stych, gazów półdo­skonałych i rzeczywistych.

Prekursorami w dziedzinie mechaniki płynów byli Newton, który sformułował pojecie lepkości, Euler jako pierwszy napisał różniczkowe równania cieczy i Archimedes starożytny konstruktor, który zbudował maszynę, na jego część nazwaną „ Spiralą Archimedesa ” , słu­żącą do wymuszania przepływu cieczy.

2. Podział mechaniki płynów

Mechanikę płynów dzielimy na:

• Mechanikę cieczy ( hydromechanikę )

• Mechanikę gazów ( aerodynamikę )

Z kolei hydromechanikę dzielimy na:

• hydromechanikę cieczy idealnych

• hydromechanikę cieczy rzeczywistych

ponadto w mechanice płynów obowiązuje analogiczny podział jak w mechanice ciał sztyw­nych czyli:

• statyka

• kinematyka

• dynamika

Osobny dział mechaniki płynów stanowi hydraulika. Stanowi ją zbiór wzorów empirycz­nych ( wyznaczonych doświadczalnie ) wyprowadzonych z pomiarów i do­świadczeń praktyki hydrotechnicznej. Hy­draulika nie jest nauką ścisłą. Wyniki obliczeń w hydraulice są nie­pewne, należy ją przyjmować z dużą ostroż­nością.

3. Definicja cieczy idealnej.

O cieczy idealnej mówimy, gdy:

• Jest ona nieściśliwa.

• Naprężenia normalne w cieczy to ciśnienia.

• 
  Naprężenia tnące są równe zero.

Z punktu ( 3 ) wynika, że ciecz idealna jest cieczą beztarciową i pozbawioną lepkości.

Ciecze istniejące w przyrodzie różnią się od cieczy idealnej gdyż: są nieznacznie ściśliwe, pojawiają się zjawiska takich naprężeń normalnych które są ciągnieniami i podczas ruchu względnego pojawiają się naprężenia tnące.

W cieczach rzeczywistych istnieją ponadto zjawiska kapilarne, powstałe wskutek działa­nia napięcia powierzch­niowego, polegające np: na wciąganiu cieczy w wąskie rurki ( ka­pilary ) lub pory o ściankach zwilżonych oraz wypychanie cieczy z rurek lub porów nie zwil­żonych.

4. Napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe jest wielkością równą sile działającej na jednostkę powierzchni cieczy, wywołane jest ono działaniem sił międzycząsteczkowych.

Definicja mechaniki płynów mówi, że nauka zajmuje się badaniem zachowania się pły­nów pod wpływem dzia­łających sił.

Siły te dzielimy na:

1. Siły skupione - przedstawiane jako wektory ślizgające się lub uczepione w jakimś punk­cie.

2. 
   
   Siły liniowe - rozłożone wzdłuż odcinka linii

3. 
   
   Siły powierzchniowe - rozłożone na ograniczonej powierzchni

4. 
   
   Siły objętościowe ( nazywane również siłami masowymi )

W powyższych rozważaniach wspomnieliśmy o napisanym przez Eulera różniczkowym równaniu cieczy odno­szącym się do cieczy idealnej.

Równanie to ma postać

gdzie:

v - prędkość przepływu , t - czas , F - wypadkowa sił działających na ciecz , 1 - gęstość płynu , p - ciśnienie

Klasyfikacja płynów

1. Płyn nielepki i nieściśliwy - zwany idealnym.

Jego definicja wynika wprost z definicji cieczy idealnej

Mówimy, że płyn jest nieściśliwy, jeśli jego współczynnik ściśliwości k równa się zero.

Współczynnik ściśliwości oznacza się wzorem.

Wyraża on zmianę gęstości σ pod wpływem zmiany ciśnienia p

Jak wiemy ciecze są nieznacznie ściśliwe, to znaczy, ich współczynnik ściśliwości jest bardzo mały, podobnie zachowują się również gazy przy małych prędkościach. Opisując przepływ cieczy, oraz przepływ gazu przy małych prędkościach, możemy przyjąć stałą war­tość gęstości.

Ten typ płynu opisuje równanie Eulera

Definicja lepkości znajduje się w dalszej części rozprawki.

2. Płyn lepki i nieściśliwy

Modelem płynu lepkiego i nieściśliwego badamy przepływy w warstwie przyściennej.

Warstwa przyścienna charakteryzuje się tym, że gradienty prędkości przepływu, są w niej bardzo duże, od­dalając się od ścianek w głąb strumienia prędkości te gwałtownie rosną.

Poza warstwą przyścienną gradienty prędkości są bardzo małe. W obszarze warstwy przy­ściennej napręże­nia styczne, uzyskują znaczne wartości, niezależnie od lepkości płynu jest niewielka, ze względem na gradienty prędkości naprężenia styczne są pomijalnie małe.

Ten typ płynu opisuje równanie:

3. Płyn nielepki i ściśliwy

Modelem tego płynu posługujemy się w dynamice gazów. Jest to nauka zajmująca się prze­pływami z dużymi prędkościami.

Ponieważ zachodzą wyraźne zmiany gęstości ς należy uwzględnić zależność p od ciśnienia i temperatury. Tymi zależnościami zajmuje się termodynamika. Powiązania z termodynamiką mogą być daleko bardziej idące np.: w przepływach w których doprowadzamy lub odprowa­dzamy ciepło lub pracę. Gazy są płynami ekspansywnymi, to znaczy zajmują całą wolną przestrzeń, w której są zamknięte.

4. Płyn lepki i ściśliwy

Charakteryzuje się lepkością i niewielką ściśliwością, jest modelem płynów rzeczywi­stych występujących w przyrodzie. Na tym modelu bazują najbardziej ogólne i ścisłe rozwią­zania. Jednakże przy rozwiązywaniu rów­nań opisujących ten typ płynu napotykamy na ogromne trudności, głównie natury matematycznej, ze względu na duży stopień skompliko­wania tych równań.

Obserwując zjawisko przepływu płynów zauważamy, że jest ono ogromnie skompli­kowane. Opisanie tak złożonych zjawisk nie jest łatwe. Dlatego też ze względu na trudności w ich rozwiązywaniu staramy się je nieco uprościć, pomijając te wielkości które w stosunku do pozostałych są bardzo małe.

Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki.

W poprzednich rozdziałach rozważaliśmy istnienie naprężeń stycznych wewnątrz strumienia płynu. Naprężenia te można wyrazić następującą zależnością.

Jak widać naprężenie styczne τ jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości w kierunku prostopadłym do płaszczyzny działania danego naprężenia.

Współczynnik η nazywamy współczynnikiem tarcia wewnętrznego lub współczynnikiem lepkości dynamicznej, lub po prostu lepkością dynamiczną.

Jednostką lepkości dynamicznej jest:

Wielkością pochodną jest lepkość kinematyczna.

Jest to stosunek lepkości dynamicznej η do gęstości p. Jej jednostką jest:

Oprócz wymienionych jednostek stosuje się również jednostki umowne. Na przykład lepkość w stopniach En­glera czy Redwooda wyraża się stosunkiem czasów wypływu określonej ob­jętości cieczy i cieczy normalnej 9 np.: wody 0 w określonych warunkach, ze znormalizowa­nego przyrządu

Metody pomiaru ciśnienia. Wakuometry, barometry, manometry, Jednostki ciśnienia.

Przyrządy do pomiaru ciśnienia mierzą nie jego wartość lecz różnicę tej wartości i wartości ciśnienia odniesie­nia. Ciśnienie odniesienia jest ciśnieniem panującym aktualnie w miejscu pomiaru. Ogólnie przyrządy do po­miaru ciśnień nazywamy ciśnieniomierzami.

Przyrządy do pomiaru ciśnień absolutnych nazywają się barometrami, nad ciśnień mano­me­trami, a podciśnień

5. Barometr

W zbiorniku ( 1 ) jest wstawiona szklana rurka manometryczna ( 2 ) napełniona uprzednio całkowicie rtęcią. W przestrzeni między górnym zamkniętym końcem a meniskiem słupa rtęci panuje próżnia bezwzględna. Położenie słupa rtęci określa ciśnienie barome­tryczne.

Na tej samej zasadzie działa ciśnieniomierz absolutny

Który służy do pomiaru ciśnienia absolutnego ( P_a )

6. Manometry

Dzielimy je na:

• hydrostatyczne ( cieczowe )

• prężne ( rurkowe lub przeponowe )

3. hydrostatyczne

poniższy rysunek przestawia manometr rtęciowy, otwarty dwu ramieniowy

Składa się on z rurki szklanej R₂ stanowiącej jedno ramię manometru, jest ona u góry otwarta, tak iż rtęć jest poddana działaniu ciśnienia atmosferycznego P_b. Drugie ramię tworzy rurka szklana R₁ o tej samej średnicy połączona z obszarem, w którym panuje ciśnienie p wyższe od atmosferycznego P_b

Różnica ciśnień ( nadciśnienie ) wyraża się wzorem

φ - gęstość cieczy manometrycznej

g - przyspieszenie ziemskie g = 9,81 [ m / s² ]

Δz - różnica wysokości cieczy w rurkach R₁ i R₂

4. prężne

• rurkowe

W manometrze prężnym rurkowym, pod wpływem ciśnienia p prężna rurka Bourdona ( 1 ) ulega odkształceniu powodując wychylenie wskazówki ( 2 )

Rurka Bourdona o przekroju eliptycznym, pod wpływem ciśnienia dąży do przejścia w prze­krój kołowy, a po­nieważ długość łuku rurki pozostaje stała rurka dąży do rozprostowania się.

• przeponowe

Elementem prężnym tego manometru jest przepona ( 1 ) płaska lub falista. Pod wpływem ciśnienia p przepona ulega odkształceniu. Odkształcenie to przenosi się przez przekładnię na wskazówkę

7. Wakuometr

Jest ciśnieniomierzem służącym do pomiaru podciśnień. Zasada działania i budowa nie odbiega od działania i budowy manome­trów prężnych i hydrostatycznych.

Często wykonuje się manometry prężne które mogą służyć do pomiaru nadciśnienia i podci­śnienia, nazywamy je mano - wakuometrami

8. Jednostki ciśnienia

W układzie jednostek miar SI główną jednostką ciśnienia jest Pascal ( Pa ) czyli niuton na metr kwadratowy

Pascal jest jednostką małą, dlatego w praktyce stosuje się megapascal

oraz bar

Dawniej manometry skalowano w atmosferach technicznych, czyli kilogramach siły na cen­tymetr kwadratowy.

Często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa cieczy

Przy małych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa wody

Przy większych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa rtęci ( Hg )

Tor ( Tr ) jest jednostką ciśnienia równą ciśnieniu wywieranemu w próżni przez słup rtęci o wysokości 1mm i temperaturze 0^oC przy normalnym przyspieszeniu ziemskim.

1 Tr = 1 mm Hg = 133,3224 Pa

Jako normalne ciśnienie fizyczne przyjęto ciśnienie jednej atmosfery fizycznej

Pn = 1 atm = 760 Tr = 101325 Pa

SPIS TREŚCI:

Strona 1:

• Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe

• Definicja mechaniki płynów

• Podział mechaniki płynów

• Definicja cieczy idealnej

Strona 2:

• Klasyfikacja płynów

Strona 3:

• Płyn nielepki i nieściśliwy

• Płyn lepki i nieściśliwy

• Płyn nielepki i ściśliwy

• Płyn lepki i ściśliwy

Strona 4:

• Pojęcie lepkości

• Metody pomiaru ciśnienia. Wakuometry, barometry, manometry

• Barometr

Strona 5:

• Manometry

Strona 6:

• Wakuometry

Strona 7:

• Jednostki ciśnienia

Strona 8:

• Literatura.

Literatura:

1. Jan Szargut „ Termodynamika techniczna ” wydanie II. Wydawnictwo Politechniki Ślą­skiej 1997r. Gliwice

2. Edmund Tuliszka „ Mechanika Płynów ” Państwowe Wydawnictwo Naukowe - War­szawa 1980r

3. Mały Poradnik Mechanika Wydawnictwo Naukowo Techniczne - Warszawa

Równanie Bernouliego

Dla niektórych przypadków ruchu cieczy i gazów doskonałych jest możliwe zastoso­wanie równania pędu w formie różniczkowej - równania Eulera.

do uzyskania związku algebraicznego między prędkością przepływu płynu, a jego ciśnieniem. Jest to niezmiernie ważne z praktycznego punktu widzenia.

Do przeanalizowania kinematycznych własności ruchu, dla którego jest możliwe uzy­skanie tych związków, przekształcimy równanie Eulera do postaci, w której w sposób jawny występuje rot v.

Gdy weźmiemy pod uwagę składowe pochodnej substancjalnej dla prędkości

I do jednej z nich, na przykład pierwszej dodamy i odejmiemy te same człony ujęte w na­wiasy

to po przekształceniu otrzymujemy

ostatni wyraz wyliczamy w oparciu o relację

poniższe równanie nosi nazwę równania Eulera w formie Lamba-Gromeki.

Aby uzyskać związki algebraiczne należy dokonać całkowania równania Eulera, które jest równaniem różniczkowym. Można tego dokonać gdy:

1. pole sił masowych F_m (x,y,z,t) jest polem potencjalnym, czyli istnieje potencjał U ( x,y,z,t ) , który spełnia równanie:

F_m = grad U

2. płyn jest barotropowy, czyli istnieje jednoznaczny związek między ciśnieniem i gęstością płynu; dla cieczy przyjmujemy po prostu q = const. , a dla gazów zwiążek

ogólne oznaczamy

gdzie P - funkcja ciśnienia

Gdy weźmiemy pod uwagę ruch ustalony, czyli σv / σt = O, i utrzymamy pozostałe wymie­nione założenia, to możemy napisać że:

Oznacza to, że suma zawarta w nawiasach po lewej stronie może się zmienić tylko w kie­runku prostopadłym do wektora v i jednocześnie do wektora rot v, gdyż wektor gradientu jest do nich prostopadły.

Powyższe równanie nosi nazwę równania Bernouliego dla cieczy. Oznacza ono, że wzdłuż linii prądu suma energii kinetycznej, członu p/q i pracy sił masowych jest stała.

Dla gazu wykorzystujemy założenie o przepływie izentropowym

i bierzemy pod uwagę znany z termodynamiki związek obowiązujący dla przemian izentro­powych

Stosując to w poniższym równaniu uzyskamy równanie Bernouliego dla gazów

Otrzymamy następujące równanie

Równanie Bernouliego dla cieczy i dla gazów na formę równań zachowania energii. Powstało z wymnożenia skalarnego równania Eulera ( równanie równowagi sił w ruchu płynu )przez przesunięcie wzdłuż elementu drogi przepływu ds., a więc jest istotnie równaniem bi­lansu energii.

Dla gazów, jak widać ( przy pominięciu U ), nie różni się wcale od równania

które wyprowadzano z równania zachowania energii. Różnica polega na tym, że wyprowa­dzenie równania Bernouliego dla gazów wymaga założenia izentropowości

a wyprowadzenie

wcale tego założenia nie wymaga.

Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe

5. Definicja mechaniki płynów.

Przez mechanikę płynów rozumiemy naukę, zajmującą się badaniem ruchów płynów ( cieczy i gazów będą­cych pod działaniem sił.

W obliczeniach stosuje się przybliżone modele dotyczące idealnych, cieczy rzeczywi­stych, gazów półdo­skonałych i rzeczywistych.

Prekursorami w dziedzinie mechaniki płynów byli Newton, który sformułował pojecie lepkości, Euler jako pierwszy napisał różniczkowe równania cieczy i Archimedes starożytny konstruktor, który zbudował maszynę, na jego część nazwaną „ Spiralą Archimedesa ” , słu­żącą do wymuszania przepływu cieczy.

6. Podział mechaniki płynów

Mechanikę płynów dzielimy na:

• Mechanikę cieczy ( hydromechanikę )

• Mechanikę gazów ( aerodynamikę )

Z kolei hydromechanikę dzielimy na:

• hydromechanikę cieczy idealnych

• hydromechanikę cieczy rzeczywistych

ponadto w mechanice płynów obowiązuje analogiczny podział jak w mechanice ciał sztyw­nych czyli:

• statyka

• kinematyka

• dynamika

Osobny dział mechaniki płynów stanowi hydraulika. Stanowi ją zbiór wzorów empirycz­nych ( wyznaczonych doświadczalnie ) wyprowadzonych z pomiarów i do­świadczeń praktyki hydrotechnicznej. Hy­draulika nie jest nauką ścisłą. Wyniki obliczeń w hydraulice są niepewne, należy ją przyjmować z dużą ostroż­nością.

7. Definicja cieczy idealnej.

O cieczy idealnej mówimy, gdy:

• Jest ona nieściśliwa.

• Naprężenia normalne w cieczy to ciśnienia.

• 
  Naprężenia tnące są równe zero.

Z punktu ( 3 ) wynika, że ciecz idealna jest cieczą beztarciową i pozbawioną lepkości.

Ciecze istniejące w przyrodzie różnią się od cieczy idealnej gdyż: są nieznacznie ściśliwe, pojawiają się zjawiska takich naprężeń normalnych które są ciągnieniami i podczas ruchu względnego pojawiają się naprężenia tnące.

W cieczach rzeczywistych istnieją ponadto zjawiska kapilarne, powstałe wskutek działania napięcia powierzch­niowego, polegające np.: na wciąganiu cieczy w wąskie rurki ( kapilary ) lub pory o ściankach zwilżonych oraz wypychanie cieczy z rurek lub porów nie zwilżonych.

8. Napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe jest wielkością równą sile działającej na jednostkę powierzchni cieczy, wywołane jest ono działaniem sił międzycząsteczkowych.

Definicja mechaniki płynów mówi, że nauka zajmuje się badaniem zachowania się płynów pod wpływem dzia­łających sił.

Siły te dzielimy na:

5. Siły skupione - przedstawiane jako wektory ślizgające się lub uczepione w jakimś punk­cie.

6. 
   
   Siły liniowe - rozłożone wzdłuż odcinka linii

7. 
   
   Siły powierzchniowe - rozłożone na ograniczonej powierzchni

8. 
   
   Siły objętościowe ( nazywane również siłami masowymi )

W powyższych rozważaniach wspomnieliśmy o napisanym przez Eulera różniczkowym równaniu cieczy odno­szącym się do cieczy idealnej.

Równanie to ma postać

gdzie:

v - prędkość przepływu , t - czas , F - wypadkowa sił działających na ciecz , 1 - gęstość płynu , p - ciśnienie

Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki.

W poprzednich rozdziałach rozważaliśmy istnienie naprężeń stycznych wewnątrz strumienia płynu. Naprężenia te można wyrazić następującą zależnością.

Jak widać naprężenie styczne τ jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości w kierunku prostopadłym do płaszczyzny działania danego naprężenia.

Współczynnik η nazywamy współczynnikiem tarcia wewnętrznego lub współczynnikiem lepkości dynamicznej, lub po prostu lepkością dynamiczną.

Jednostką lepkości dynamicznej jest:

Wielkością pochodną jest lepkość kinematyczna.

Jest to stosunek lepkości dynamicznej η do gęstości p. Jej jednostką jest:

Oprócz wymienionych jednostek stosuje się również jednostki umowne. Na przykład lepkość w stopniach En­glera czy Redwooda wyraża się stosunkiem czasów wypływu określonej ob­jętości cieczy i cieczy normalnej 9 np.: wody 0 w określonych warunkach, ze znormalizowa­nego przyrządu

Klasyfikacja płynów

5. Płyn nielepki i nieściśliwy - zwany idealnym.

Jego definicja wynika wprost z definicji cieczy idealnej

Mówimy, że płyn jest nieściśliwy, jeśli jego współczynnik ściśliwości k równa się zero.

Współczynnik ściśliwości oznacza się wzorem.

Wyraża on zmianę gęstości σ pod wpływem zmiany ciśnienia p

Jak wiemy ciecze są nieznacznie ściśliwe, to znaczy, ich współczynnik ściśliwości jest bardzo mały, podobnie zachowują się również gazy przy małych prędkościach. Opisując przepływ cieczy, oraz przepływ gazu przy małych prędkościach, możemy przyjąć stałą war­tość gęstości.

Ten typ płynu opisuje równanie Eulera

Definicja lepkości znajduje się w dalszej części rozprawki.

6. Płyn lepki i nieściśliwy

Modelem płynu lepkiego i nieściśliwego badamy przepływy w warstwie przyściennej.

Warstwa przyścienna charakteryzuje się tym, że gradienty prędkości przepływu, są w niej bardzo duże, od­dalając się od ścianek w głąb strumienia prędkości te gwałtownie rosną.

Poza warstwą przyścienną gradienty prędkości są bardzo małe. W obszarze warstwy przy­ściennej napręże­nia styczne, uzyskują znaczne wartości, niezależnie od lepkości płynu jest niewielka, ze względem na gradienty prędkości naprężenia styczne są pomijalnie małe.

Ten typ płynu opisuje równanie:

7. Płyn nielepki i ściśliwy

Modelem tego płynu posługujemy się w dynamice gazów. Jest to nauka zajmująca się prze­pływami z dużymi prędkościami.

Ponieważ zachodzą wyraźne zmiany gęstości ς należy uwzględnić zależność p od ciśnienia i temperatury. Tymi zależnościami zajmuje się termodynamika. Powiązania z termodynamiką mogą być daleko bardziej idące np.: w przepływach w których doprowadzamy lub odprowa­dzamy ciepło lub pracę. Gazy są płynami ekspansywnymi, to znaczy zajmują całą wolną przestrzeń, w której są zamknięte.

8. Płyn lepki i ściśliwy

Charakteryzuje się lepkością i niewielką ściśliwością, jest modelem płynów rzeczywistych występujących w przyrodzie. Na tym modelu bazują najbardziej ogólne i ścisłe rozwiązania. Jednakże przy rozwiązywaniu rów­nań opisujących ten typ płynu napotykamy na ogromne trudności, głównie natury matematycznej, ze względu na duży stopień skomplikowania tych równań.

Obserwując zjawisko przepływu płynów zauważamy, że jest ono ogromnie skompli­kowane. Opisanie tak złożonych zjawisk nie jest łatwe. Dlatego też ze względu na trudności w ich rozwiązywaniu staramy się je nieco uprościć, pomijając te wielkości które w stosunku do pozostałych są bardzo małe.

Metody pomiaru ciśnienia. Wakuometry, barometry, manometry, Jednostki ciśnienia.

Przyrządy do pomiaru ciśnienia mierzą nie jego wartość lecz różnicę tej wartości i wartości ciśnienia odniesie­nia. Ciśnienie odniesienia jest ciśnieniem panującym aktualnie w miejscu pomiaru. Ogólnie przyrządy do po­miaru ciśnień nazywamy ciśnieniomierzami.

Przyrządy do pomiaru ciśnień absolutnych nazywają się barometrami, nad ciśnień manome­trami, a podciśnień

9. Barometr

W zbiorniku ( 1 ) jest wstawiona szklana rurka manometryczna ( 2 ) napełniona uprzednio całkowicie rtęcią. W przestrzeni między górnym zamkniętym końcem a meniskiem słupa rtęci panuje próżnia bezwzględna. Położenie słupa rtęci określa ciśnienie barometryczne.

Na tej samej zasadzie działa ciśnieniomierz absolutny

Który służy do pomiaru ciśnienia absolutnego ( P_a )

10. Manometry

Dzielimy je na:

• hydrostatyczne ( cieczowe )

• prężne ( rurkowe lub przeponowe )

5. hydrostatyczne

poniższy rysunek przestawia manometr rtęciowy, otwarty dwu ramieniowy

Składa się on z rurki szklanej R₂ stanowiącej jedno ramię manometru, jest ona u góry otwarta, tak iż rtęć jest poddana działaniu ciśnienia atmosferycznego P_b. Drugie ramię tworzy rurka szklana R₁ o tej samej średnicy połączona z obszarem, w którym panuje ciśnienie p wyższe od atmosferycznego P_b

Różnica ciśnień ( nadciśnienie ) wyraża się wzorem

φ - gęstość cieczy manometrycznej

g - przyspieszenie ziemskie g = 9,81 [ m / s² ]

Δz - różnica wysokości cieczy w rurkach R₁ i R₂

6. prężne

• rurkowe

W manometrze prężnym rurkowym, pod wpływem ciśnienia p prężna rurka Bourdona ( 1 ) ulega odkształceniu powodując wychylenie wskazówki ( 2 )

Rurka Bourdona o przekroju eliptycznym, pod wpływem ciśnienia dąży do przejścia w prze­krój kołowy, a po­nieważ długość łuku rurki pozostaje stała rurka dąży do rozprostowania się.

• przeponowe

Elementem prężnym tego manometru jest przepona ( 1 ) płaska lub falista. Pod wpływem ciśnienia p przepona ulega odkształceniu. Odkształcenie to przenosi się przez przekładnię na wskazówkę

11. Wakuometr

Jest ciśnieniomierzem służącym do pomiaru podciśnień. Zasada działania i budowy manome­trów prężnych i hydrostatycznych.

Często wykonuje się manometry prężne które mogą służyć do pomiaru nadciśnienia i podci­śnienia, nazywamy je mano - wakuometrami

12. Jednostki ciśnienia

W układzie jednostek miar SI główną jednostką ciśnienia jest Pascal ( Pa ) czyli niuton na metr kwadratowy

Pascal jest jednostką małą, dlatego w praktyce stosuje się megapascal

oraz bar

Dawniej manometry skalowano w atmosferach technicznych, czyli kilogramach siły na cen­tymetr kwadratowy.

Często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa cieczy

Przy małych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa wody

Przy większych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa rtęci ( Hg )

Tor ( Tr ) jest jednostką ciśnienia równą ciśnieniu wywieranemu w próżni przez słup rtęci o wysokości 1mm i temperaturze 0^oC przy normalnym przyspieszeniu ziemskim.

1 Tr = 1 mm Hg = 133,3224 Pa

Jako normalne ciśnienie fizyczne przyjęto ciśnienie jednej atmosfery fizycznej

Pn = 1 atm = 760 Tr = 101325 Pa

---