Przykłady rozwiązań zadań z rachunku prawdopodobieństwa

z użyciem różnych metod

Rachunek prawdopodobieństwa nie należy do najłatwiejszych działów matematyki i sprawia kłopoty zarówno nauczycielom jak i uczniom.

Szczególną trudność mogą sprawić metody rozwiązywania zadań. Właśnie im poświęcona jest niniejsza praca. Mam nadzieję, że przy zastosowaniu zaproponowanych metod rachunek prawdopodobieństwa okaże się mniej straszny, niż na pierwszy rzut oka może się wydawać.

ZADANIE 1

Z urny, w której znajdują się 4 ponumerowane kule białe i 3 czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

1. obie wylosowane kule będą białe,

2. dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała.

I sposób - stosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Oznaczmy:

b₁, b₂, b₃, b₄ - kule białe

c₁, c₂, c₃ - kule czarne

Opisujemy przestrzeń Ω zdarzeń elementarnych:

Ω={w={x₁, x₂}: x₁, x₂
{ b₁, b₂, b₃, b₄, c₁, c₂, c₃}}

=

Opisujemy również zdarzenia A i B:

A={w={x₁, x₂}: x₁, x₂
{ b₁, b₂, b₃, b₄}}

=
,

B={w={x₁, x₂}: x₁
{ b₁, b₂, b₃, b₄} i x₂
{ c₁, c₂, c₃}}

II sposób - za pomocą działań na zdarzeniach

Wprowadzamy zdarzenia (pomocnicze):

C₁ - pierwsza z wylosowanych kul będzie biała,

C₂ - druga z wylosowanych kul będzie biała,

III sposób - „drzewko”

,

,

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wylosowania obydwu kul białych wynosi
, prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała wynosi
.

ZADANIE 2

W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Losujemy 5 kul na następujące sposoby:

1. wszystkie jednocześnie,

2. po jednej ze zwracaniem,

3. po jednej bez zwracania.

Oblicz przy każdym sposobie losowania prawdopodobieństwo otrzymania 3 kul białych i 2 czarnych.

Oznaczamy: b₁, b₂, ..., b₆ - kule białe,

c₁, c₂, c₃, c₄ - kule czarne.

a)

Niech:

A -zdarzenie polegające na otrzymaniu 3 kul białych i 2 czarnych

A =

n(A) =

P(A) =
.

b)

n(
) = 10⁵

,

gdzie
oznacza ilość wszystkich możliwych sytuacji

.

c)

Uwaga:

Żaden z podpunktów tego zadania nie został rozwiązany przy pomocy „drzewka”. Jest to możliwe, lecz dość uciążliwe, ponieważ trzeba rysować aż pięć pięter drzewka.

ZADANIE 3

W klasie 3a jest 17 dziewcząt i 13 chłopców, w klasie 3b jest 14 dziewcząt i 16 chłopców. Z obu klas na wycieczkę może pojechać tylko jedna osoba. Uczniowie umówili się, że wybiorą ją w następujący sposób: rzucą raz symetryczną monetą , jeżeli wypadnie orzeł, to pojedzie osoba z klasy 3a, w przeciwnym wypadku osoba z 3b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wycieczkę pojedzie chłopiec?

1. na wycieczkę pojedzie chłopiec,

B₁- na monecie wypadnie orzeł,

B₂- na monecie wypadnie reszka,

B₁
B₂ =
oraz P(B₁)>0 i P(B₂)>0, ponadto B₁
B₂ = Ω (zdarzenie, że wypadnie orzeł lub reszka jest zdarzeniem pewnym).

I sposób

- wzór na prawdopodobieństwo całkowite

II sposób „drzewko”

Według reguły dodawania i mnożenia:

.

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że na wycieczkę pojedzie chłopiec wynosi
.

ZADANIE 4

Dwaj artylerzyści strzelają niezależnie jeden od drugiego do tego samego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony tylko raz, jeżeli wiadomo, że pierwszy strzelec trafia średnio w cel 7 razy na 10 oddanych strzałów, a drugi 8 razy na 10?

Oznaczamy zdarzenia:

T - strzelec trafi w cel,

N - strzelec nie trafi w cel

I sposób

, gdzie pierwszy element w parze jest wynikiem uzyskanym przez pierwszego, a drugi - wynikiem uzyskanym przez drugiego ze strzelców.

Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy następująco:

A - cel został trafiony tylko raz, czyli

A
, zatem

II sposób „drzewko”

Według reguły dodawania i mnożenia:

P

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony tylko raz wynosi 0,38.

ZADANIE 5

Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie dwukrotnego otrzymania piątki.

I sposób

Wprowadzamy zdarzenia:

A₁ - za pierwszym razem otrzymamy piątkę,

A₂ - za drugim razem otrzymamy piątkę,

A₃ - za trzecim razem otrzymamy piątkę,

A - dokładnie dwa razy otrzymamy piątkę.

Zdarzenia A₁, A_2, A₃ są niezależne.

II sposób „drzewko”

Niech
oznacza, że piątka nie została wyrzucona.

Zdarzeniu
sprzyjają 3 możliwości:
.

Według reguły dodawania i mnożenia:

III sposób - Schemat Bernoulliego

Zastosowanie wzoru
, gdzie

- oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,

- oznacza prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie,

- oznacza ilość prób,

- oznacza liczbę sukcesów.

Zgodnie z treścią zadania mamy:

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo dokładnie dwukrotnego otrzymania piątki wynosi
.

c

b

b

c -wynik losowania pierwszej kuli

c -wynik losowania drugiej kuli

b

N

N

T

T

N

T

chł

dz

R

chł

dz

O

¬5

¬5

¬5

¬5

5

5

5

5

5

¬5

5

¬5

5

¬5

---