LABORATORIUM TEORII OBWODÓW
pomiary wykonali:	Wrocław, 24.08.1996.
Sławomir Piotr Jakubowski i Bartłomiej Golenko	ćw. 10
rok studiów: II	temat: Szeregi Fouriera
termin ćwiczeń: śr. 13.15

1) Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z analizą i syntezą sygnałów okresowych w dziedzinie częstotliwości.

2) Układ pomiarowy składał się z generatora funkcji i dołączonych na jego wyjście oscyloskopu i analizatora widma (z wyjątkiem jednego pomiaru, gdzie do wyjścia generatora podłączyliśmy filtr RLC i dopiero na jego wyjście pozostałe przyrządy).

3) Wyniki i przebieg pomiarów:

1. Badanie widma amplitudowego sygnałów okresowych

Przeprowadziliśmy pomiary dla przebiegów prostokątnych o λ = 1/8, 1/4 i 1/2, dla trójkątnego o λ = 1/2 i sinusoidalnych wyprostowanych jedno- i dwupołówkowo. Źródłem sygnałów był generator. Sygnał podawaliśmy jednocześnie na oscyloskop (aby obserwować jego przebieg) i na analizator widma (aby mierzyć amplitudy harmonicznych). Oto uzyskane przez nas wyniki (A prążka oznacza amplitudę danego prążka):

a) przebieg prostokątny dla λ = 1/8

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	1,00	9	0,22	17	0,20	25	0,10
2	0,96	10	0,10	18	0,17	26	0,12
3	0,89	11	0,004	19	0,14	27	0,13
4	0,80	12	0,07	20	0,10	28	0,11
5	0,70	13	0,15	21	0,05	29	0,08
6	0,58	14	0,19	22	0	30	0,06
7	0,46	15	0,21	23	0,04	31	0,04
8	0,34	16	0,22	24	0,07	32	0

b) przebieg prostokątny dla λ = 1/4

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	1,00	9	0,22	17	0,11	25	0
2	0,86	10	0,17	18	0,06	26	0,03
3	0,66	11	0,09	19	0	27	0,06
4	0,44	12	0	20	0,05	28	0,07
5	0,21	13	0,07	21	0,08	29	0,06
6	0	14	0,12	22	0,09	30	0,03
7	0,14	15	0,13	23	0,07	31	0
8	0,21	16	0,14	24	0,04

c) przebieg prostokątny dla λ = 1/2

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	1,00	6	0,04	11	0,07	16	0,04
2	0,05	7	0,13	12	0,04	17	0,03
3	0,32	8	0,04	13	0,06	18	0,03
4	0,05	9	0,08	14	0,04	19	0,02
5	0,18	10	0,04	15	0,04

d) przebieg trójkątny dla λ = 1/4

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	1,00	6	0
2	0,02	7	0,01
3	0,10	8	0,005
4	0,01	9	0,006
5	0,03

e) przebieg sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	1,00	6	0,025
2	0,39	7	0,010
3	0,02	8	0,005
4	0,09	9	0
5	0

f) przebieg sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	0	5	0	9	0
2	1,00	6	0,06	10	0,02
3	0	7	0	11	0
4	0,21	8	0,04	12	0,01

g) przebieg prostokątny dla λ = 1/2 po przejściu przez filtr RLC

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
1	1	5	0,05
2	0,005	6	0
3	0,28	7	0,01
4	0,02	8	0

Graficzny obraz widma tych sygnałów przedstawiają dołączone rysunki. Odczytywaliśmy tyle prążków dopóki ich wartości były większe od zera. Wysokości prążków o najmniejszej wartości odczytywaliśmy po zmianie skali miernika (dlatego są podane z większą precyzją).

2. Synteza funkcji okresowych

2.1 Rozwinięcia niektórych przebiegów w szereg Fouriera

a) przebieg prostokątny

Podajemy tu przykład obliczeń dla tego przebiegu, pozostałe liczyliśmy podobnie.

Z drugiej strony f'(t) możemy przypisać szereg Fouriera: .

Ostatecznie dostajemy więc:

F₀ = 0.

Możemy też policzyć amplitudę i fazę 11 pierwszych harmonicznych dla λ=1/2 (dla amplitudy A= π/2 ≈ 1,571):

k	|Fk|	arg(Fk) [^o]	k	|Fk|	arg(Fk) [^o]
0	0	0	6	0	0
1	1	-90	7	0,143	-90
2	0	0	8	0	0
3	0,333	-90	9	0,111	-90
4	0	0	10	0	0
5	0,200	-90	11	0,091	-90

b) przebieg trójkątny

.

F₀ = 0.

c) przebieg piłokształtny (trójkątny dla λ=0,5)

Tu nie można było skorzystać z metody różniczkowania, więc liczyliśmy z definicji:

F₀ = 0.

d) przebieg sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo

.

e) przebieg sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo (czyli |sin|)

F₁ = 0.

2.2 Synteza wybranych przebiegów z wykorzystaniem obliczonych powyżej szeregów Fouriera

Posługując się programem Matlab dokonaliśmy syntezy przebiegów eksperymentując z liczbą uwzględnianych harmonicznych. Efekt zamieściliśmy na kolejnych wydrukach komputerowych. Amplitudy sygnałów są różne (np: prostokątnego i piłokształtnego wynoszą π/2, a sinusoidalnych (wyprostowanych): 0,5. Ostatni z rysunków przedstawia zawsze sygnał „idealny”, czyli po uwzględnieniu dostatecznie dużej liczby harmonicznych.

Ponieważ mieryliśmy sygnał prostokątny na wyjściu filtru RLC, można spróbować również teoretycznie go zsytenzować. Filtr był szeregowym połączeniem rezystora, cewki i kondensatora, przy czym napięcie wyjściowe było napięciem na kondensatorze. Połączyliśmy ze sobą cewkę L₁, kondensator C₃ i równolegle 3 rezystory R₁, R₂ i R₃. Ponieważ nie znalazłem dokładnych wartości L i C, więc posłużyliśmy się wartościami wyznaczonymi w ćw. 2 (a więc przybliżonymi), wartości rezystancji wzięliśmy ze skryptu. Mamy zatem:

L₁ = 104,5 mH

C₃ = 163,3 nF

R= 506,1 Ω

Licząc najpierw funkcję transmitancji H(s), a potem h(jω) dostajemy:

. Zamieściliśmy na rysunku charakterystykę amplitudową i fazową tego filtru (widoczna jest pulsacja rezonsowa ok. 7,6 kHz), a następnie policzyliśmy początkowe 40 harmonicznych (dalsze przy tej precyzji były równe 0):

N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka	N^o prążka	A prążka
0	0	10	0	20	0	30	0
1	0,7530	11	0,0024	21	0,0003	31	0,0001
2	0	12	0	22	0	32	0
3	0,1771	13	0,0015	23	0,0003	33	0,0001
4	0	14	0	24	0	34	0
5	0,0293	15	0,0009	25	0,0002	35	0,0001
6	0	16	0	26	0	36	0
7	0,0099	17	0,0006	27	0,0002	37	0,0001
8	0	18	0	28	0	38	0
9	0,0045	19	0,0005	29	0,0001	39	0,0001

Następnie zsyntezowaliśmy sygnał (zamieszczony na kolejnym rysunku)

3. Wyznaczenie współczynników charakteryzujących przebiegi okresowe sinusoidalne

Ze względu na działanie analizatora widma niemożliwe było zmierzenie składowej stałej (a₀), która jest wartością średnią przebiegu. Dlatego też niemożliwe jest wyznaczenie współczynnika kształtu k_k (jedynie dla zależności teoretycznych). Niżej podajemy obliczone współczynniki.

	Rzeczywiste			Teoretyczne
przebieg	kO [%]	h [%]	kS	kO [%]	h [%]	kk	kS
prostokąt (λ=1/8)	45,2	89,2	1,9
prostokąt (λ=1/4)	61,2	79,1	1,4
prostokąt (λ=1/2)	91,9	39,5	1,4
trójkąt	99,4	10,7	4,9
sinus jednopołówkowy	92,8	37,3	3,7
|sin|	69,8	100,0	6,6
zniekształcony prostokąt	96,2	27,4

---