OPRACOWANIE I PRZEDSTAWIANIE WYNIKÓW POMIARÓW

3.1. Podstawowe zasady przedstawiania wyników pomiarów

Jako regułę podawania wyników pomiarów zaleca się stosowanie konwencji ustalającej związek pomiędzy niedokładnością pomiaru a formą zapisu jego wyniku, uwzględniającą liczbę cyfr znaczących.

Cyframi znaczącymi przyjęto nazywać wszystkie cyfry liczby, poczynając od pierwszej cyfry niezerowej znajdującej się na pozycji najwyższego rzędu dziesiętnego. Liczba 0.00307 ma trzy cyfry znaczące: 3, 0 i 7; liczba 0.003070 ma cztery cyfry znaczące: 3, 0, 7 i 0. Zaleca się zapisywać liczby w postaci wykładniczej, w której mantysa zawiera tylko cyfry znaczące. Tak więc liczbę 0.00307 należy zapisać jako
, liczbę 0.003070 zaś jako
. Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co błąd pomiaru. Na przykład wynik pomiaru 8.135V z czterema cyframi znaczącymi wskazuje, że dokładność pomiaru jest rzędu mV. Jeżeli pomiar był wykonywany z dokładnością 10mV, wynik powinien być podany w postaci 8.14V, to znaczy powinien mieć tylko trzy cyfry znaczące. Należy przy tym stosować obowiązujące reguły zaokrąglania liczb:

Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to liczba zaokrąglona pozostaje bez zmian.

Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to do ostatniej cyfry liczby zaokrąglonej dodaje się 1.

Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr równa się 5 i między pozostałymi odrzuconymi cyframi znajdują się cyfry niezerowe, to do ostatniej cyfry liczby zaokrąglonej dodaje się 1.

Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr równa się 5 i wszystkie pozostałe odrzucone cyfry są zerami, to ostatnia cyfra liczby zaokrąglonej:

- pozostaje bez zmian, gdy jest parzysta;

- zostaje zwiększona o 1, gdy jest nieparzysta.

3.2. Zasady postępowania matematycznego przy opracowywaniu wyników pomiarów

Przy opracowywaniu wyników pomiarów obowiązują następujące zasady postępowania:

a) Obliczenia powinny być przeprowadzane na danych (wynikach pomiarów) podawanych z ich największą dokładnością.

b) Wszystkie obliczenia przeprowadzane na danych: mnożenie, dzielenie, potęgowanie itd. należy wykonywać do co najmniej dwóch cyfr znaczących więcej niż zawierały pierwotne dane. Nie należy wykonywać zaokrągleń, dopóki nie uzyska się ostatecznego wyniku obliczeń.

c) Przy mnożeniu i dzieleniu wynik należy podawać z taką samą liczbą cyfr znaczących, jaką zawiera wynik pomiaru o najmniejszej liczbie cyfr znaczących wzięty do obliczeń.

Można zaobserwować tendencję do łamania zasady (c) przy stosowaniu do obliczeń kalkulatora. Rozważmy przykład niewłaściwego użycia kalkulatora do określenia rezystancji na podstawie cyfrowych pomiarów napięcia i prądu:

.

W przykładzie tym podano wynik obliczenia rezystancji zawierający 10 cyfr znaczących (to znaczy z dokładnością do !), podczas gdy wielkości pośrednie mają tylko trzy cyfry znaczące. Jedynym rozsądnym sposobem jest użycie w odpowiedzi tej samej liczby cyfr znaczących jaka występuje w wynikach pomiarów pośrednich. Zatem obliczenia należy przedstawić następująco

Rezystancja została podana z taką samą precyzją, z jaką zmierzono napięcie i prąd.

3.3. Sporządzanie wykresów zależności funkcyjnych pomiędzy mierzonymi wielkościami

Wykonując wykresy ręcznie należy stosować papier milimetrowy. Nanosimy najpierw układ współrzędnych wraz ze skalą liczbową na osiach. Stosunek długości obu osi nie powinien przekraczać wartości 1:1.5. Aby wykres spełniał wymagania stawiane inżynierskiej dokumentacji technicznej, musi być opisany symbolami użytych wielkości i ich jednostek, powinien posiadać także tytuł. Do opisu wykresów, a także rysunków, zalecane jest pismo bezszeryfowe, na przykład czcionka Ariel. Skala liczbowa na osiach wykresu (popularnie określana jako podziałka) powinna być wykonywana tak, aby z wykresu można było dokonać odczytu z dokładnością zbliżoną do dokładności pomiarów. Skalę można wykonać jako równomierną, logarytmiczną, kwadratową itp. lub skalę mieszaną, np. lin-log . Najczęstszy przypadek stanowi skala równomierna. Skala logarytmiczna jest przydatna do linearyzacji wykresów obrazujących zależności funkcyjne typu (rys. 3.1a). Po zlogarytmowaniu obu stron tego równania otrzymujemy zależność liniową

.

Naniesienie wyników pomiarów na przygotowaną wcześniej skalę logarytmiczną (typu log-log) zapewnia "automatyczną" linearyzację wykresu bez konieczności logarytmowania (rys. 3.1b).

Rys. 3.1. Funkcja y = x²: a) we współrzędnych o skali liniowej,

b) we współrzędnych o skali logarytmicznej (log-log)

Do często spotykanych zależności funkcyjnych typu przydatna jest skala logarytmiczno-liniowa (log-lin) bowiem po zlogarytmowaniu obu stron równania otrzymujemy

.

Wykres
względem x jest więc linią prostą o nachyleniu
. Skala log-lin jest nazywana często skalą semi-logarytmiczną.

Punkty pomiarowe zaznacza się kółeczkiem lub krzyżykiem. Poszczególne punkty pomiarowe łączy się możliwie zbliżoną do nich linią ciągłą. Łączenie punktów linią łamaną stosowane jest wyjątkowo, np. dla wykresu uchybów miernika. Na jednym wykresie nie należy umieszczać charakterystyk o różnych rzędnych i odciętych. W przypadku wykreślenia rodziny krzywych, należy wprowadzić różne oznaczenia lub różne kolory dla każdej z krzywych. Oznaczenie granic błędu na wykresach konstruowanych na podstawie pomiarów może być zrealizowane za pomocą pionowych kresek, krzyżyków lub prostokątów błędów.

3.4. Wyrównywanie danych pomiarowych metodą najmniejszych kwadratów

W praktyce inżynierskiej często występuje typ eksperymentu polegający na pomiarze wielu wartości dwóch różnych wielkości fizycznych w celu zbadania matematycznej formuły opisującej związek pomiędzy tymi wielkościami. Jednym z częstych przypadków jest ten, w którym oczekiwana relacja jest liniowa i punkty pomiarowe powinny układać się na prostej. Stajemy wtedy przed zagadnieniem znalezienia linii prostej
, która jest najlepiej dopasowana do wyników pomiarów. Jest to równoważne znalezieniu najlepszego przybliżenia stałych A i B opartego na danych:
, gdzie N - liczba punktów pomiarowych.

Zestawiając razem wyniki pomiarów możemy skonstruować nadokreślony układ N równań o dwóch niewiadomych A i B, który w zapisie macierzowym ma postać

(3.1)

gdzie: ,

Równania (3.1) stanowią układ sprzeczny. Sprzeczność tych równań może być spowodowana albo niedoskonałością teorii zakładającej liniową zależność, albo błędami pomiarów, albo łącznie jednym i drugim. Możemy jednak przypuszczać, że ilościowe poprawki do teorii i do wyników pomiarów są niewielkie, i spróbować - jeżeli nie dokładnie, to przynajmniej w przybliżeniu - opisać wynik eksperymentu za pomocą zależności liniowej. Do znalezienia tej zależności przydatna jest metoda najmniejszych kwadratów. W dalszym ciągu zajmiemy się tylko rachunkową stroną teorii metody najmniejszych kwadratów, pomijając całkowicie jej stronę probabilistyczną. Zastosujemy przy tym wygodny i krótki rachunek macierzowy.

Metoda najmniejszych kwadratów w rozpatrywanym przypadku polega na znalezieniu takich wartości parametrów A i B, dla których norma wektora residualnego

(3.2)

jest możliwie mała

. (3.3)

Warunek (3.3) jest równoważny warunkowi

, (3.4)

który wyraża sumę kwadratów błędów poszczególnych równań układu (stąd nazwa metody). Wielkość jest skalarem i jest funkcją wektora parametrów a

(3.5)

W celu znalezienia wektora minimalizującego (a) różniczkujemy (3.5) względem a i przyrównujemy pochodną do zera. Zgodnie z regułami różniczkowania, dla formy kwadratowej oraz dla iloczynu skalarnego wektorów, mamy

(3.6)

czyli

(3.7)

Jest to tzw. równanie normalne. Jego rozwiązanie daje najlepsze przybliżenie stałych A i B. Zauważmy, że macierz tego równania jest kwadratowa; jeżeli więc , to poszukiwany wektor parametrów wyraża się wzorem

(3.8)

Szukana prosta to .

Przedstawiona analityczna metoda znajdywania linii prostej, która najlepiej pasuje do szeregu punktów doświadczalnych, nazywana jest też metodą regresji liniowej. O znalezionej prostej mówi się, że jest dopasowana metodą najmniejszych kwadratów lub że jest prostą regresji zmiennych y i x (rys.3.2).

Jeżeli badana zależność nie jest liniowa, to można ją często do takiej postaci sprowadzić poprzez odpowiednią zamianę zmiennych. Na przykład: jeśli punkty układają się w przybliżeniu wzdłuż paraboli , to podstawienie pozwala przedstawić zależność w postaci liniowej ; gdy oczekiwana zależność ma postać , podstawienia dają , gdzie .

Rys. 3.2. Ilustracja metody najmniejszych kwadratów: a) Jeżeli dwie zmienne są związane relacją liniową i nie byłoby błędów pomiarów, to wszystkie punkty doświadczalne
leżałyby dokładnie na prostej
; b) Błędy pomiarów powodują, że punkty są rozrzucone. Szukamy linii prostej, która najlepiej pasuje do szeregu punktów doświadczalnych.

Przykład

Za pomocą metody najmniejszych kwadratów znajdź prostą , która najlepiej pasuje do czterech punktów pomiarowych (1,12), (2,13), (3,18), (4,19).

Rozwiązanie

Konstruujemy wektor y oraz macierz X

Korzystając ze wzoru dostajemy rozwiązanie układu równań (3.1) w sensie najmniejszych kwadratów

.

Szukana prosta to
.

Obliczenia według wzoru (3.8) najwygodniej przeprowadzić za pomocą programu MATLAB. Rozwiązanie zadania, łącznie z wprowadzeniem danych, trwa kilkadziesiąt sekund.

Wyznaczenie stałych A i B może być także wykonane za pomocą prostego kalkulatora. W tym przypadku obliczenia są bardziej żmudne. Korzysta się z wzorów obliczeniowych o postaci (dla zwiększenia czytelności wzorów pominięto granice
występujące przy znaku sumowania ):

, (3.9)

, (3.10)

gdzie wprowadziliśmy wygodne oznaczenie

. (3.11)

---