1. Cel projektu:

Analizowany układ to pręt pryzmatyczny o przekroju kołowym. Pręt ten jest wykonany ze stali, z jednej strony utwierdzony a z drugiej podparty sprężyną. Do wyznaczenia częstości własnych przyjmuje następujące parametry:

l = 1 [m]

d = 30 [mm] = 0,03 [m]

F = 706,5∙10^-6 [m²]

E = 2,1∙10¹¹[N/m²]

ρ = 7850 [kg/m³]

c = 2000 [N/m]

V = 0,00055 [m³]

m = 4,15 [kg]

J = 39,73∙10^-9 [m⁴]

2. Rozwiązanie analityczne:

Warunki brzegowe:

Całka ogólna:

Na podstawie całki ogólnej i warunków brzegowych otrzymujemy równania:

(otrzymane wyniki przyrównujemy do zera)

Utworzony wyznacznik z wyrazów elementów równań:

Wyznacznik:

Obliczone rozwiązania drogą numeryczną:

k₁ = 1.910360419

k₂ = 4.696410174

k₃ = 7.855252110

k₄ = 10.99572103

Częstości:

3. Metoda Ritz`a:

Metoda przybliżona Ritz'a służy do rozwiązania zagadnienia drgań układów ciągłych, w oparciu o wyznaczenie minimum funkcjonału.

, L = E - U

Funkcjonał przyjmuje postać:

Granice całkowania:

Uwzględniając rozwiązanie przybliżone:

Przyjęte funkcje bazowe:

Warunek istnienia ekstremum funkcjonału:

Wyznacznik główny musi być równy zero. Zagadnienie sprowadza się do rozwiązania równania:

Miejsca zerowe wielomianu:

w₁ = 20041.39589

w₂ = 740268.9360

w₃ = 6039963.640

w₄ = 119328518.1

Metoda Ritz'a przy przyjętej aproksymacji n = 4 daje k = n-1 poprawnych wyników, więc pod uwagę bierzemy tylko trzy pierwsze częstości własne.

Metoda analityczna	Metoda Ritz'a

Dynamika Układów Zautomatyzowanych

Projekt

Analiza drgań poprzecznych pręta

Łukasz Włoch

gr 311c

rok akad. 2006/07

l

c

S

W

ρ

F

1

11

a

4

2

l

11

1

5

a

3

a

4

l

10

1

9

(

)



2

a

2

a

4

a

3

2

l

9

1

8

(

)



2

a

1

a

4

2

a

2

a

3

l

8















:=

1

7

(

)



2

a

1

a

3

a

2

2

l

7

1

3

a

1

a

2

l

6

1

5

a

1

2

l

5















E

J

400

7

a

4

2

l

7

80

a

3

a

4

l

6













1

5

(

)



240

a

2

a

4

144

a

3

2

l

5

1

4

(

)



80

a

1

a

4

144

a

2

a

3

l

4

1

3

(

)



48

a

1

a

3

36

a

2

2

l

3







12

a

1

a

2

l

2

4

a

1

2

l













c

(

)







a

1

l

2

a

2

l

3

a

3

l

4

a

4

l

5

2



w(x,t)

S

Q

---