ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

1.) ZDANIE - w logice nazywamy wyrażenie oznajmujące , któremu w kategoriach danej nauki można przyporządkować jedną z dwóch ocen: ocenę prawdy albo ocenę fałszu. Np. (...) Zdania oznaczamy przez p,q,r,s, a ich wartości logiczne przez w(p) , w(q), w(r), w(s), odpowiednio. (...) Wyrażenia w(p) =1, w(p) =0 czytamy: Zdania p jest zdaniem prawdziwym, zdanie p jest zdaniem fałszywym..

.2. TAUTOLOGIĄ- (prawem) rachunku zdań nazywamy wyrażenie rachunku zdań ( które jest zawsze prawdziwe bez względu na wartości logiczne zdań podstawionych w miejsce zmiennych zdaniowych.

3.(...) FUNKCJĘ ZDANIOWĄ φ (x) , x należy do X jednej zmiennej x o niepustym zakresie zmienności ( o niepustej dziedzinie) X nazywamy wyrażenie zawierające zmienną x , które staje się zdaniem gdy w miejsce zmiennej x podstawimy dowolny element zbiory X. Zmienną x występująca w funkcji zdaniowej φ (x) , x należy do X nazywamy zmienną wolną. (...)Mówimy , że element a x należy X spełnia funkcję zdaniową φ (x) , x należy X jeśli φ (a) jest zdaniem prawdziwym. Zbiór elementów spełniających funkcję zdaniową φ(x) x należy X oznaczamy { x należy X : φ(x) }i nazywamy wykresem tej funkcji zdaniowej.

ZBIORY

1)Przedmioty które należą do pewnego zbioru nazywamy elementami tego zbioru.

(i)zdanie ,,a € A” czytamy a jest elementem zbioru A

(ii)zdanie ,,a nie € A” czytamy a nie należy do zbioru A

2) (...) zbiór do którego nie należy żaden element nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy ǿ

(...) Niech n€N ={1,2..}. Zbiór do którego należą elementy a1,...an nazywamy zbiorem skończonym n - elementowym i oznaczonym {a1,...an}

(...) Zbiór który nie jest ani pusty ani skończony nazywamy zbiorem nieskończonym.

DOPELNIENIE ZBIORU DO PRZESTRZENI: dopełnienie zbioru A zawarte Xprzestrzeni Z nazywamy zbiór A' określony wzorem A'=X\A

x €A' x nie €A ~ x€A

PRAWO DE MORGANA: Dla dowolnych zbiorów, A,B zawartych X (AuB)' = A'^B', (A^B)' = A'uB'

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW: AxB ={(x,y): x€A ^ y€B} nie jest on przemienny.

FUNKCJE

FUNKCJA STAŁA: Niech yo €Y będzie ustalone. Funkcję f: X→Y określoną wzorem ∧x∈X. (f(x)-yo) nazywamy funkcję stałą.

IDENTYCZNOŚĆ: Funkcję f: X→X nazywamy identyczność na zbiorze X gdy ∧x∈X (f(x)=x). Identyczność ( na zbiorze x) oznaczamy id(idx).

(i) Niech f: X→Y jeśli A zawarte X to funkcję g: A→Y określoną wzorem g(x) =f(x) , x € A nazywamy obcięciem funkcji f do zbioru A o oznaczamy f/A

(ii) niech y: A→Y funkcję f: X→Y nazywamy przedłużeniem ( rozszerzeniem funkcji g na zbiór X, gdy funkcja f/A=g.

FUNKCJA ZŁOŻONA: Jeśli f: X→Y , y:Y→Z to funkcje g ·f : X→Z określamy wzorem ( g·f(x) = g(f(x)), x€X nazywamy złożeniem (superpozycje) funkcji f z g. Funkcję f nazywamy funkcję wew. , a funkcję g zew. Złożenie funkcji f zg istnieje gdyzbiór wartości funkcji wew. (Vf) zawiera się w dziedzinie funkcji zew.Dg. Składanie funkcji nie jest przemienne.

OBRAZ ZBIORU POPRZEZ FUNKCJĘ: Niech f: X→Y oraz a zawarte X . Zbiór f(a)=def= y∈Y : ∨x∈X x∈A ∧ y=f(x) nazywamy obrazem zbioru A poprzez funkcję f.

INT. GEOM. Jeśli f: X→Y oraz X, Y zawarte R to obrazem zbioru zawartego w X poprzez funkcję f jest rzut wykresu funkcji f odpowiadającego temu zbiorowi na oś rzędnych (OY)

PRZECIWOBRAZ ZBIORU: Niech f: X→Y oraz c zawarte Y. Zbiór f^-1 (C) = {x€X :f(x) €C}nazywamy przeciw obrazem zbioru C poprzez funkcję f.

INT.GEOM.: Jeśli f: X→Y oraz X,Y zawarte R to przeciw obrazem zbioru zawartego w Y poprzez funkcję f jest rzut wykresu funkcji f odpowiadającego temu zbiorowi na oś odciętych (OX).

FUNKCJA ODWROTNA:Funkcje f-1: Y→X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X→Y, gdy:

1. f(x)=Y

2. f-1 (Y) =X

3. ∧x∈X (f-1 (f(x))=X)

Jeśli f-1: Y→X jest funkcją odwrotną do funkcji f: X→Y to ∧y∈Y (f(f^-1(y))=y)

1. Dla każdej funkcji f:X→Y istnieje dokładnie 1 funkcja odwrotna ;-1:Y→X.

RÓZNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW

1)zbiór X,Y nazywamy różnolicznymi gdy istnieje funkcja f: X→Y. Jeśli zbiory X,Y są różnoliczne to piszemy X~Y.

2)Zbiór nazywamy przelicznym gdy jest skończony lub różnolicznyza zbiorem liczb naturalnych.

3)Zbiór nie przeliczalny-Zbiór który nie jest przenikalny .

4)Zbiór wszystkich zbiorów X oznaczamy 2^x i nazywamy zbiorem potęgowym.

FUNKCJE ELEMENTARNE

1) ZASADA INDUKCJI MATEM,: jeśli S jest podzbiorem zbioru l.IN takim , że

(i) no €S

(ii)n€S => n+1 €S , n≥no to S = { n €IN : n ≥ no} W szczególności jeśli no=1 to S =IN

2) Niech A zawarte R będzie zbiorem niepustym wówczas:

(i) a=min A a€A ^ dla każdego x€A (x≥a) a jest najmniejszą liczba w zbiorze A

(ii) b= max A b€A ^ dla każdego x€A ( x≤b) b jest największą liczbą w zbiorze A

3) Niech A zawarte IR będzie zbiorem niepustym wówczas:

(i)A jest ograniczony z dołu ∨m∈R ∧x∈A (X⊆m) m- ograniczenie dolne zb. A

(ii)A jest ograniczony z góry ∨M∈R ∧x∈A (X⊇M) M- ograniczenie górne zb. A

(i)A jest ograniczone ∨M∈R ∨m∈R x∈A (m⊇X⊇M)

1. (i) Niech A zawarte R będzie niepuetym zbiorem ograniczonym z dołu wówczas a= inf A ∧x∈A (a⊇x) ∧ ∧∑⊆0 ∨x∈A (x⊆b-∑) Kres dolny - najw. Ograniczenie dolne

(ii)Niech A zawarte R będzie niepustym zbiorem ograniczonym z góry wówczas: b= sup A∧x∈A (x⊇b) ∧ ∧∑⊆0 ∨x∈A (x⊇b+∑) Kres górny- najm. Ogran zb. A

2. ZASADA CIĄGŁOŚCI: Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ograniczony z dołu [z góry] posiada kres dolny[górny].

Zbiór liczb IR jest liniowo uporządkowany, w każdym przedziale IR są liczby wymierne i niewymierne.

4) Jeśli X, Y zawarte R to funkcję f: X→Y nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

5) Niech D zawarte IR będzie zbiorem niepustym . Funkcję f: D → R jest ograniczona w zbiorze D, ⇔gdy ∨C⊆0 ∧x∈D (f(x)⊇c)

6)Niech D zawarte IR będzie niepustym zbiorem , Funkcja D→R jest ograniczona w zbiorze D ..........................................

7)(i) funkcje malejące, nierosnące, rosnące , niemalejące nazywamy funkcjami monotonicznymi.

(ii)Funkcje malejące i rosnące nazywamy funkcjami ściśle monotonicznymi.

3. Jeśli funkcję f: D→R jest ściśle monotoniczna w zbiorze D to jest różnowartościowa i istnieje funkcja f-1 : f(D) →D odwrotna do funkcji f: D→f(D). Jeśli funkcja jest malejąca [rosnąca] to funkcję f-1 jest malejąca [rosnąca]

4. Niepusty zbiór d zawarty R nazywamy zbiorem symetrycznym wzgl. Zera gdy :∧x ( x∈D⇒ -x∈D)

5. Niech D zawarte R będzie niepustym zbiorem symetrycznym wzgl. Zera

(i)f: D→R parzysta ⇔ ∧x∈D ( f(-x) = f(x) )

(ii f: D→R nieparzysta ⇔ ∧x∈D ( f(-x) = - f(x) )

Niech D zawarte R będzie niepustym zbiorem symetrycznym wzgl. 0. Wówczas każdą funkcję f: D→R można przedstawić w postaci sumy funkcji parzystą i nieparzystą.

6. Niech t≠0 oraz D<R będzie niepustym zbiorem takim zbiore , że ∧x (x∈D ⇒ x+t∈D) Funkcję f: D→R nazywamy okresową o okresie t, gdy ∧x∈D ( f(x+t)= f(x) ) liczbę t nazywamy okresem funkcji . Najmniejszym okres dodatni o ile istnieje nazywamy okresem podstawowym i oznaczamy T.

FUNKCJE ELEMENTARNE

WIELOMIAN: Ustalmy n należy IN {0} ao,a1,...,an należy IR, an ≠0. Funkcję W: IR→IR określoną wzorem W(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+a₁x + a₀., X należy IR nazywamy wielomianem stopnia n o współczynnikach a0, a1,..., an. Funkcję W:IR→IR określoną wzorem W(x) = 0,, n należy IR. Nazywamy wielomianem zerowym.

F. WYMIERNA: Niech P,Q będą wielomianami oraz niech Df= { n€ IR: Q(x) ≠0}. Funkcję f: Df→ IR określoną wzorem f(x) = P(x)/Q(x), x€ Df. Nazywamy funkcją wymierną.

F. POTĘGOWA: Ustalmy α € IR. Funkcję f: (o, ∞) →(0,∞) określoną wzorem f(x) = x^α, x>0 nazywamy funkcją potęgową. Jeśli α <0 to funkcja jest malejąca, Jeśli α =0 to stała , jeśli α >0 to rosnąca. Funkcja potęgowa spełnia równanie: f(xy)= f(x) · f(y), α€IR. Jeśli α ≠0 to f. Odwrotna do funkcji potęgowej f: (0;∞) → (0;∞) określonej wzorem f(x) =x^α , x>0. Jest funkcja potęgowa f-1: ( 0;∞) → (0;∞) określana wzorem f(x) = x^{1/ α} , x>0.

F. WYKŁADNICZA: Ustalmy a € (0,1)u (1,∞). Funkcję f: R → (0,∞) określoną wzorem f(x) =a^x , x€IR nazywamy f. Wykładniczą. Jeśli a€ (0,1) to malejąca, jeśli a€ (1,∞) to rosnąca. Funkcja wykładnicza jest ściśle wypukła. F. Wykładnicza spełnia równanie: f(xy)= f(x) · F(y) ; x,y € IR.

F. LOGARYTMOICZNA: Ustalmy a €(0,1) u (1,∞). Funkcję f: (0,∞) → IR określoną wzorem f(x) = log _xa , x>0 nazywamy f. Logarytm. Jeśli a€ (0,1) to f. Jest malejąca i ściśle wypukła. Jeśli a€ (1,∞) to f. Rosnąca i ściśle wklęsła. F. Log. Spełnia równanie: f(xy) = f(x) +f(y) , x,y >0

F. ELEMENTARNE: funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje stałe , potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne oraz funkcje które można uzyskać z w/w funkcji za pomocą skończonej liczby działań algebraicznych złożeń.

CIAGI I SZEREGI LICZBOWE

WŁASNOŚCI CIĄGÓW LICZBOWYCH:

Ciągiem rzeczywistym nazywamy funkcję f: IN→IR wartość: f(m); funkcję f dla liczby naturalnej n nazywamy n- tym wyrazem ciągu: oznaczamy an.

Ciąg f oznaczamy ( a_n) _n∈N lub ( a_n: n€IN).

I) ( a_n : n€IN) ciąg malejący ∧x∈N ( an > an+1)

( a_n : n€IN) C. Rosnący ⇔ ∧x∈N ( an ⊆an+1)

II) ( an : n€IN) c.rosnący ∧x∈N (an< an+1)

( an : n€IN) niemalejący ∧x∈N (an⊇an+1)

III) ciągi malejące , nierosnące , rosnące niemalejące nazywamy c. Monotonicznymi.

IV) C. Malejące i rosnące nazywamy c. Ściśle monotonicznymi.

1. Jeśli ( an : n€IN) jest dowolnym ciągiem A ( an : n€IN) jest rosnącym ciągiem liczb IN, to ciąg (an·m : m€IN) nazywamy podciągiem ciągu (an :n€IN).

GRANICA WŁAŚCIWA CIĄGU:

Liczby y€IR nazywamy granicą ciągu ( an : n€IN) co zapisujemy : lim _{n =>∞} an=g gdy ∧∑>0 ∨n_o∈N ∧n>n_o (a_n - g  <∑ );

Ciąg który posiada [nie posiada] granicę [granicy] nazywamy zbieżny [rozbieżny].

GRANICA CIĄGU STAŁEGO: Jeśli ( an : n€IN) jest ciągiem stałym tzn. an -0 ; an €IN , gdzie a €IR jest ustalona, to ..........................................

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW O WYRAZACH NIEUJEMNYCH.

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE:

Jeśli wyrazy szeregów ∑^∞_n=1 a_{n ,} ∑^∞_n=1 b_n spełniają nierówności 0≤an≤ bn, n≥n0 to:

(i)Jeśli szereg ∑^∞_n=1 bn, jest zbieżny to szereg ∑^∞_n=1 a_n jest zbieżny.

(ii)Jeśli szereg ∑^∞_n=1 a_n jest rozbieżny to szereg ∑^∞_n=1 b_n jest rozbieżny.

KRYTERIUM CAUCHYEGO- PIERWIASTKOWE)

Jeśli ciąg ( an : n€IN) ma wyrazy nieujemne oraz istnieje granica lim n→∞ ⁿ√ a_n = g∈[0,∞]

To

(i)szereg ∑^∞_n=1 a_n jest zbieżny gdy g<1

(ii)szereg ∑^∞_n=1 a_n jest rozbieżny gdy g>1.

KRYTERIUM D”ALAMBERTA:

Jeśli ciąg ( an : n€IN) ma wyrazy dodatnie oraz istnieje granica lim n→∞ (a_n+1)/a_n ⇒ q∈[0,∞] to:

(i)szereg ∑^∞_n=1 a_n jest zbieżny gdy g<1

(ii)szereg ∑^∞_n=1 a_n jest rozbieżny gdy g>1

TWIERDZENIE CAUCHYEGO: Jeśli ( an : n€IN) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych to szereg ∑^∞_n=1 a_n jest zbieżny [rozbieżny] gdy zbieżny [ względnie rozbieżny] jest szereg∑^∞_n=0 2ⁿ a_2n

ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA

Szereg ∑^∞_n=1 a_n nazywamy bieżnym bezwzględnie gdy zbieżny jest szereg ∑^∞_{n=1 }a_{n } .Każdy szereg bezwzgl. zbieżny jest zbieżny.

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE DLA SZEREGÓW O WYRAZACH DOWOLNYCH: Jeśli wyrazy szeregów ∑^∞_n=1 a_{n ,} ∑^∞_n=1 b_n spełniają nierównośća_n⊆ b_{n ,} n⊇n_o to

(i)zbieżność szeregu ∑^∞_n=1 b_n implikuje bezwzględną zbieżność szeregu ∑^∞_n=1 a_n.

(ii)rozbieżność szeregu ∑^∞_{n=1 }a_n implikuje rozbieżność szeregów ∑^∞_n=1 b_n.

Szereg który nie jest bezwzgl. Zbieżny nazywamy zbieżnym warunkowo.

SZEREG NAPRZEMIENNY- Jeśli an € IN jest ciągiem o wyrazach dodatnich to szereg ∑^∞_n=1 ( -1)ⁿ⁺¹ nazywa się sz. naprzemiennym.

TW. LEIBNIZA: Jeśli an € IN jest ciągiem nierosnącym o wyrazach nieujemnych zbieżnym do 0 to szereg∑^∞_n=1 a_n jest zbieżny.

CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

1)CIĄG FUNKCYJNY: niech X€R będzie zbiorem niepustym oraz f1, f2,... X→R. Ciąg , którego wyrazami są funkcje f1, f2, ... nazywamy ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze X i oznaczamy ( fn: n€N). Ciąg funkcyjny ( fn: n€N) określany na zbiorze X ∈ R jest dla każdego ustalonego x€X ciągiem liczbowym zbieżnym lub rozbieżnym.

2)Niech X zawarte R będzie zbiorem niepustym oraz f, f1, f2, ... X→R :

a)mówimy , że ciąg funkcyjny (fn: n€N) jest zbieżny punktowo do funkcji granicznej f na zbiorze X ( co zapisujemy fn→ f lim n→∞ fn(x) = f(x), x∈X gdy ∧x∈X ∧∑>0 ∨n0∈N ∧n ⊇n0 (fn(x) - f(x) <3 )

b)mówimy, że ciąg funkcyjny (fn: n€N) jest zbieżny jednostajnie do funkcji granicznej f na zbiorze X ( co zapisujemy fn↔f) gdy ∧x∈X ∧∑>0 ∨n0∈N ∧n ⊇n0 ∧x∈X (fn(x) - f(x) <∑ )

TW. WEIERSTRASSA: Jeśli f:<a, b>→R jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów Wn: <a, b> →R, n€N zbieżny jednostajnie do funkcji f.

WIELOMIAN TRYGON. Ustalmy n€N ao, a1,...an, b1,..bn €R ( tak aby) an² + bn²>0 Funkcję W: <-Π, Π> →R określoną wzorem W(x) = a0 + ∑ⁿ_k=1( ak coskx + bk sinkx), x €< -pi, pi> nazywamy wielomianem trygonometrycznym stopnia n . Funkcję stałą w: <-pi, pi> →R określoną wzorem W(x) =ao, x€<-pi, pi> nazywamy wielomianem tryg. Stopnia zero.

a)Niech (fn: n€N) będzie ciągiem funkcyjnym określonym na niepustym zbiorze X zawarte IR. Ciąg funkcyjny ( Sn: n€IN) określamy następująco: S1 (x)=f1(x); S2 (x) = f1(x) + f2(x); Sn (x)= F1(x) + f2(x) +....+ fn (x) =∑ⁿ_k=1 fk(x) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazach f1, f2, ... i zapisujemy ∑^∞_n=1 fn(x) Funkcję Sn nazywamy n - tą sumą częściową szeregu funk. ( Sn: n€IN)

b)mówimy , że szereg funkcyjny∑^∞_n=1 fn(x) jest zbieżny ( punktowo)[jednostajnie] do funkcji granicznej f na zbiorze X ( co zapisujemy∑^∞_n=1 fn(x)= f(x)) gdy ciąg funkcyjny ( Sn: n€IN) jest zbieżny (punktowo)[jednostajnie] do funkcji granicznej f na zbiorze X.

c)mówimy , że szereg funk. ∑^∞_n=1 fn(x) jest zbieżny bezwzględnie gdy zbieżny jest szereg funkc. ∑^∞_{n=1 }fn(x).

KRYTERIUM WEIERSTRASSA: Niech X zawarte R, x różne od zbioru pustego oraz f1, f2... X→R . Jeśli szereg. ∑^∞_n=1 an o wyrazach rzeczywistych jest zbieżny oraz fn(x)⊆ an to szereg funkcyjny∑^∞_n=1 fn(x) jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze X.

SZEREG POTĘGOWY: Jeśli ( an: n€Nu {0}) jest ciągiem liczb rzeczywistych to każdy szereg funkcyjny postaci ∑^∞_n=0 anxn = a₀xⁿ + a1x1+a₂x² + ... = a₀ + a₁x +a₂x+.. nazywamy szeregiem potęgowym

PROMIENIEM ZBIERZNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO ∑^∞_n=0 anxn nazywamy liczbę Q= sup {....}, jeśli zbiór {...} jest ograniczony; +∞ jeśli zbiór {...} jest nieograniczony

DEFINICJA CAUCHYEGO - HADAMARDA: Jeśli istnieje λ =lim n→∞ ⁿ√an to promień zbieżności R szeregu potęgowego ∑^∞_n=0 anxn wyraża się wzorem R = 1) 1/λ, λ≠0 2)∞, λ=0 3) 0, λ=∞

PRZEDZIAŁEM ZBIEŻNOSCI szeregu potęgowego∑^∞_n=0 anxn nazywamy zbiór (-R, R) , gdzie R jest promieniem zbieżności tego szeregu.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

ILORAZ RÓŻNICOWY: funkcji f: (a,b) →R między punktami x, xo€(a,b) , x≠xo nazywamy wyrażenie If(x,x0)= (f-(x) - f(x0))/(x-x0)

POCHODNA FUNKCJI F W PUNKCIE xo: Niech f: (a,b) →R , x, xo€ (a,b) ,x ≠xo. Jeśli istnieje granica ilorazu różniczkowego If (x,xo) gdy x→xo to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie xo i oznaczamy: f ' (x0) ,df/dx (x0) , f(x0) , Df(x0), tzn: f ' (x0) = lim x→x0 (f(x) - f(x0))/(x-x0) Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie xo€(a,b) to mówimy , że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie xo. Jeśli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie przedziału (a,b) to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a,b).

POCHODNA FUNKCJI: Jeśli f: (a,b) →R jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a,b) tą funkcję , która przyporządkowuje każdemu punktowi x€(a,b) pochodną f'(x) funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną funkcji f i oznaczamy f',df/dx, f, Df

POCHODNE JEDNOSTRONNE FUNKCJI W PUNKCIE: Niech f: (a,b) → R , x, xo€(a,b), x≠xo. Wówczas:a) f '- (x0) = lim x→x0- (f(x) - f(x0))/(x-x0) b) f '+ (x0) = lim x→x0+ (f(x) - f(x0))/(x-x0)

1. Funkcja f: (a,b) →R jest różniczkowalna w punkcie xo €(a,b) gdy istnieją obydwie pochodne jednostronne f '+ (x0) f '- (x0) funkcji f w punkcie xo i są sobie równe.

2. Mówimy , że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale domkniętym <a,b> gdy funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b) i posiada lewostronną pochodną w punkcie b i prawostronną pochodną w punkcie a.

POCHODNE NIEWŁAŚCIWE FUNKCJI W PUNKCIE: Niech f: (a,b) →R będzie funkcją ciągłą w punkcie xo €(a,b) , x€(a,b) , x≠xo wówczas : f '(x0) = -∞ ⇔ lim x→x0 (f(x) - f(x0))/(x-x0) = -∞ f '(x0) = +∞ ⇔ lim x→x0 (f(x) - f(x0))/(x-x0) = +∞

Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu x. Niech x1 będzie dowolnym punktem tego otoczenia

a)prostą AB przechodzącą przez punkty A (xo, f(xo)) , B (x1, f(x1)) należące do wykresu funkcji f nazywamy prostą sieczną.

b)Prostą nazywamy styczną do wykresu funkcji f w punkcie (xo, f(xo)) jeśli jest granicznym położeniem siecznym funkcji f przechodzących przez punkty (xo, f(xo), (x1, f(x1)) gdy x1→xo

INTERPR. GEOM.: Prosta sieczna wykresu funkcji f przechodząca przez punkty (x0, f(x0), (x1, f(x1)) ma równanie y - f(x0)=[(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)]•(x-xo) jeśli f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x0 to prosta styczna do wykresu funkcji f w punkciex0 ma równanie: y - f(x0)=f'(x0) (x-xo)

Jeśli f' (xo)= - ∞ lub f'(xo) = +∞ to prosta styczna do wykresu funkcji f w punkcie xo ma równanie x=xo

WARUNEK KONIECZNY RÓŻNICZKOWALNOŚCI FUNKCJI W PUNKCIE: Jeśli funkcja f : (a,b) →R jest różniczkowalna w punkcie xo €(a,b) to jest w tym punkcie ciągła.

DZIAŁANIA NA POCHODNYCH: Jeśli funkcje f, g:(a,b) →R są różniczkowalne w punkcie x€(a,b) to:

a) (λf)' (x0) = λf'(xo)

b)(f+-g)'(x0) = f'(x0)+-g(x0)

c)(f*g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)

d)(f/g)'(x0) = [ f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0) ] / [g(x0)g(x0)]

O POCHODNEJ ZŁOŻONEJ: jeśli funkcja f: (a,b) →R jest różniczkowalna w punkcie xo € (a,b) a funkcja g: ( f: (a,b) →R jest różniczkowalna w punkcie f(xo) € (f(a,b)) , to (g·f)' (xo) = g' (f(xo))· f' (xo) , xo € (a,b)

O POCHODNWJ FUNKCJI ODWROTNEJ: Jeśli f: (a,b) →R jest funkcją ciągłą i różnowartościową oraz istnieje pochodna funkcji f w punkcie xo i f' (xo) ≠0 to funkcja f^-1 : f(a,b) →R odwrotna do funkcji f jest różniczkowalna w punkcie f(xo) € f(a,b): zachodzi wzórf-1)'(f(x0))= 1/[f '(f-1(f(x0)))= 1/f'(x0) , x∈(a,b) , f(x0)= f(a,b)

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

DRUGA POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE: Jeśli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie przedziału (a,b) a funkcja f' jest różniczkowalna w punkcie x0 € (a,b) to liczbę f” (xo) określoną wzorem: f' (xo) = (f')' (xo). Nazywamy drugą pochodną funkcji f w punkcie x0 d2f/dx2(x0), f''(x0) , D2f(x0)

WZÓR LEIBNIZA: Jeśli f,g (a,b) →R są n-krotnie rózniczkowalne w punkcie xo €(a,b) to; (f*g)ⁿ(x0)=∑(ⁿ_k) f^{( n - k )} (x0) *g^k(x0)

RÓŻNICZKA

Niech f:(a,b)→R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie xo€(a,b). Różniczka funkcji f w punkcie xo nazywamy funkcję: dxo f: IR→IR zmiennej x-xo określoną wzorem: (dxof)(x-xo)= f `(xo) k(x-xo), x-xo€ R

TW. O WARTOŚCI ŚREDNIEJ: TW ROLLE'A: Jeśli f: [a,b] →R jest ciągła w [a,b] i różniczkowalna w (a,b) oraz f(a)= f(b) to ∨ξ∈(a,b) (f'(ξ)=0)

TW. LAGRANGE”A: Jeśli funkcja :<a,b> →R jest ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) to: ∨ξ∈(a,b) (f(b)- f(a)/b-a = f'(ξ))

TW. CAUCHYEGO : Jeśli funkcja f,g: [a,b] →R są ciągłe <a,b> : różniczkowalne w (a,b) to ∨ξ∈(a,b) ([f(b) - f(a)]g'(ξ) = [g(b)-g(a)]f'(ξ))

WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ LAGRANGE'A: Załóżmy zę f: (a,b)→R i xo €(a,b). Niech h€R będzie takie , że xo +h €(a,b) . Jeśli f posiada ( h-1)- krotną ciągłą pochodną w przedziale [xo, xo+h] oraz f jest n - krotnie różniczkowalne w przedziale (xo, xo+h) to istnieje θ €(0,1) takie, że: ...........................................................................................................................................

WZÓR MACLAURINA: Jeśli x0=0 € )a,b0 to:...............................................................

REGUŁA DE L'HOSPITALA: (dla symboli nieoznaczonych......)(0·∞)(∞-∞) Załóżmy , że funkcje f,g są różniczkowalne w przedziale (a,b), a'(x)≠0 dla x€(a,b) oraz albo lim x→a+ f(x)= lim x→a+ g(x)=0 albo lim x→a+ f(x)= lim x→a+ g(x)=∞ wówczas jeśli istnieje granica skończona lub nieskończona lim x→a+ f'(x)/g'(x) to lim x→a+ f(x)/g(x) = lim x→a+ f'(x)/g'(x)

FERMATA WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO: Jeśli f: (a,b) →R jest funkcją różniczkowalną oraz f posiada ekstremum lokalne w punkcie x€ (a,b) to f ` (xo)=0 ;

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY NA ISTNIENIE EKSTRMUM LOKALNEGO:Jeśli funkcja f(a,b)→R jest różniczkowalna, f `(xo)=0 dla pewnego xo€ (a,b) oraz pochodna f ` zmienia znak punkcie xo, to funkcja f posiada ekstremum lokalne w punkcie xo, to:

(i)max. Lokalne gdy f' (x) >0 dla xo€ (x-e, xo) oraz f” (x) <0 dla x€ ( xo, xo+e) gdzie E>0 jest pewną stałą

(ii)minimum lokalne gdy f ` (x) ,0 dla x€(xo-E, xo) oraz f'(x)>0 dla x€ (xo,xo+E) gdzia E>0jest pewną stałą

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY: Jeśli f(a,b)→R jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną f' (xo)=0, f” (xo)≠0 oraz f” jest ciągła w punkcie xo€ (a,b) to funkcja f posiada ekstremum lokalne w punkcie xo, jest to:

(i)maksimum lokalne gdy f” (xo)<0

(ii)minimum lokalne gdy f” (xo)>0

PUNKT PRZECIĘCIA: Niech f: (a,b) →R oraz xo€(a,b) punkt xo jest nazywany punktem przegięcia funkcji f gdy:

(i)istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie xo

(ii)funkcja f jest ściśle wklęsła w przedziale (xo-E, xo) oraz ścisle wypukła w przedziale (xo, xo+E) lub na odwrót. (E>0 pewna stała).

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA PUNKTU PRZEGIECIA F: Jeśli f(a,b)→R jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną , xo € (a,b) jest punktem przegięcia funkcji f oraz f” jest ciągła w punkcie xo to f”(xo) =0

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY: Niech f(a,b)→R będzie funkcją 2- krotnie różniczkowalną jeśli f `(xo)=0 dla pewnego xo € (a,b), f” jest ciągła w punkcie xo oraz f” zmienia znak w punkcie xo , to xo jest punktem przegięcia funkcji f.

---