12 XI 2005

Biostatystyka

Zadania do ćwiczenia 3 i ćwiczenia 4

Z1. Z populacji mężczyzn, celem określenia ich masy, wybrano losowo próbę złożoną z 58 osób. Ich masę określono z dokładnością do 0.1 kg. Otrzymano następujące dane liczbowe.

49,1	54,5	63,0	64,6	69,5	74,4	79,4	85,8	53,2	55,4
61,5	65,0	70,0	75,0	82,1	87,1	54,0	54,1	62,2	65,6
70,4	75,9	83,8	56,3	63,4	66,7	71,6	75,2	58,4	60,9
67,4	72,7	76,2	59,0	64,0	68,3	73,3	76,5	57,7	68,9
74,0	78,2	61,0	69,0	72,6	78,7	62,8	67,0	73,1	78,1
66,8	70,9	79,0	71,9	60,7	74,9	75,0	75,6	-	-

Uporządkować otrzymane dane tworząc

a) szereg rozdzielczy zgrupowany.

Przedstawić otrzymane wartości w postaci wykresu:

b) histogramu (słupki) szeregu rozdzielczego,

c) diagramu (linia) szeregu rozdzielczego,

d) histogramu (słupki) skumulowanego szeregu rozdzielczego,

e) dystrybuanty oraz jej przybliżenia liniowego.

Uwaga b i c oraz d i e na jednym wykresie.

Obliczyć:

f) z dystrybuanty jaką frakcję stanowią mężczyźni o masie do 60 kg. oraz frakcję mężczyzn w granicach od 60 do 70 kg,

g) średnią masę mężczyzn,

h) dominantę

i) medianę

j) rozstęp

k) wariancję

l) odchylenie standardowe

m) odchylenie standardowe średniej

n) wskaźnik Pearsona (współczynnik zmienności)

Z2. Porównać: rozstęp, średnią arytmetyczną, odchylenie standardowe, odchylenie standardowe średniej oraz współczynniki zmienności dla następujących szeregów:

1. 26, 26, 26, 27, 27, 27, 28, 29

2. 12, 13, 21, 27, 31, 32, 38, 42

3. 3, 4, 10, 14, 27, 50, 51, 57

Z3. Obliczyć: średnią zawartość glukozy w mg/100ml krwi, medianę, modę u dziewięciu pacjentów, opierając się na następujących danych: 110, 78, 52, 59, 127, 90, 135, 110, 93.

Z4. Obliczyć średnią zawartość glukozy w populacji (μ) oraz wyznaczyć przedziały ufności pokrywające nieznaną średnia zawartość glukozy w populacji przy założonych poziomach ufności: a) 0,95, b) 0,99. Przyjąć, że rozkład glukozy jest normalny. Z populacji pobrano losową próbę liczącą 25 osób, w której średnia zawartość glukozy wynosi 115 mg/dl, a odchylenie standardowe s = 14,5mg/dl.

Z5. Próbkę o n=49 pobrano z populacji, której rozkładu nie znamy. Obliczona wartość średniej x^~=132 i s²=256. Ustalić przedział ufności średniej populacji μ przy współczynniku ufności 0,99.

Z6. W pewnym zakładzie produkcyjnym postanowiono zbadać staż pracowników umysłowych. W tym celu z populacji tych pracowników wylosowano próbę o liczebności n=196 pracowników, z której obliczono wartość średnią x^~=6,9lat. Dotychczasowe doświadczenia wskazuje, że rozkład stażu pracowników umysłowych jest normalny z odchyleniem standardowym 2,8lat. Przyjmując współczynnik ufności 0,95, zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników umysłowych w tym zakładzie. Określić względną precyzję oszacowania obliczonego parametru.

Z7. W celu ustalenia nowych norm pracy konieczne było oszacowanie średniego czasu potrzebnego do wykonania pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu z populacji wszystkich pracowników wylosowano próbę liczącą n=17 pracowników i u każdego z nich dokonano pomiaru czasu wykonania detalu. Okazało się, że średni czas wykonania detalu wyniósł 15 minut, odchylenie standardowe zaś 2 minuty. Przyjmując współczynnik ufności 0.95 oszacować średni czas potrzebny do wykonania tego detalu w całej populacji pracowników. Wiadomo że, rozkład czasu wykonania tego detalu jest w przybliżeniu normalny N(μ,σ).

Z8. Miesięczne wydatki na żywność w rodzinach trzyosobowych zamieszkałych w mieście są przedmiotem badań od wielu lat. W ostatnim roku z populacji tych rodzin wylosowano próbę 100-elementową. Z populacji tej wyznaczono średnią wydatków na żywność w skali miesiąca x^~=420zł. Dotychczasowe badania wykazały, że stałą wariancję wydatków na żywność równą 10000 w całej badanej populacji rodzin. Wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na żywność dla całej populacji przyjmując poziom ufności 0,95 oraz określić względny stopień precyzji szacunku nieznanego parametru.

Z9. Roczne wydatki na promocję pojawiających się na rynku nowych wyrobów (X) mają rozkład normalny N(μ,σ). Wylosowano próbę złożoną z 10 zakładów produkujących te wyroby i prowadzących aktywne działania promocyjne na rynku. Na podstawie próby wyznaczono wartość średnią x^~=60000 i wariancję s²=144 000 000.

1. wyznaczyć na poziomie ufności 0,90 przedział ufności dla średnich rocznych wydatków na promocję nowych wyrobów

2. powtórzyć obliczenia z punktu a) na poziomie ufności 0,95

3. porównać precyzję oszacowania nieznanego parametru w obu przypadkach.

Z10. W próbie losowej n=450 stwierdzono odchylenie standardowe s=60. Dokonać estymacji punktowej i przedziałowej odchylenia standardowego w populacji, przyjmując współczynnik ufności 0,95.

Z11. Ocenić zróżnicowanie średnicy drzew (wariancję - odchylnie standardowe) w całym lesie, jeśli w 25-elementowej próbie złożonej z drzew wybranych losowo z tego lasu otrzymano wartość średnią x^~=37,3cm oraz s²=13,5cm². Zakładamy, że rozkład średnicy drzew jest normalny. Przyjąć współczynnik ufności 0,90.

Z12. W losowo wybranej grupie 450 samochodów osobowych przeprowadzono badanie zużycia benzyny na trasie o długości 100km (taka sama trasa dla wszystkich samochodów). Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8litra na 100km. Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego zużycia benzyny przez wszystkie samochody tej marki na tej trasie. Przyjąć współczynnik ufności 0,99.

Z13. W celu ustalenia przeciętnej zawartości witaminy C w owocach dzikiej róży pobrano 15 próbek 100 gramowych miąższu owocowego. Uzyskano następujące rezultaty (w mg na 100g miąższu): 495, 455, 438, 483, 501, 468, 492, 471, 474, 485, 504, 469, 478, 495, 481. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 zbuduj przedział ufności dla wariancji badanej cechy.

Z14. Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzew w całym lesie, jeśli w 16 wylosowanych kwadratach lasu, o powierzchni 1 ara każdy, średnia liczba drzew wynosi x^~=32 oraz s²=14,44. Badania wcześniejsze potwierdzają, że rozkład gęstości drzew w lesie jest rozkładem normalnym. Przy konstrukcji przedziału ufności przyjąć współczynnik ufności 0,90.

Z15. Firma dysponuje siecią 300 sklepów w całej Polsce. W badaniach utargu ze sprzedaży tej firmy pobrano próbę losową, złożoną z 50 sklepów. Na podstawie próby wyznaczono wariancję dziennego utargu, która kształtuje się następująco s²=4 000 000. Ustalić przedział ufności dla odchylenia standardowego utargu w sklepach firmy przy współczynnikach ufności 0,99 i 0,90.

Z16. W zbiorze nowej odmiany pomidorów należy pobrać próbę losową celem ustalenia średniej wagi jednego pomidora zakładając, że rozkład wagi pomidora jest normalny. Przyjmując, że maksymalny błąd szacunku średniej ma wynosić 2g, a poziom ufności równy 0,99.

Z17. Ustalić minimalną liczebność próby, aby na jej podstawie możliwe było oszacowanie średniej zawartości hemoglobiny we krwi, jeżeli przyjmiemy z założenia, że oszacowanie to prowadzimy z prawdopodobieństwem 0,95 i nie chcemy się pomylić więcej niż 0,1g. Równocześnie dokonane zostało badanie pilotowe 38 wylosowanych kobiet, a wyznaczone odchylenie standardowe wynosiło 0,4g.

Z18. Ustalić, jak liczna powinna być próba, aby na jej podstawie można było oszacować średni wzrost ogółu noworodków, jeżeli wiadomo, że rozkład wzrostu noworodków jest normalny z odchyleniem standardowym 1,5cm. W obliczeniach przyjąć, że maksymalny błąd szacunku średniego wzrostu w populacji jest równy 0,5cm przy współczynniku ufności 0,99.

Z19. Wyznaczyć minimalną liczebność próby do oszacowania średniego wzrostu uczniów w klasach piątych szkół podstawowych, jeżeli w próbie wstępnej liczącej 10 uczniów otrzymano następujące wyniki (w cm): 125, 150, 145, 130, 155, 140, 160, 125, 155, 135. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku5 cm przy współczynniku ufności 0,95.

Z20. Rozkład wzrostu studentów jest rozkładem normalnym N(μ,10). Ilu studentów należy wylosować do próby, aby ocenić przeciętny wzrost studenta z maksymalnym błędem oszacowania 2 cm na poziomie ufności 0,99.

Z21. Rozkład wzrostu studentów jest rozkładem normalnym N(μ,10). Pobrano 8-elementową próbę wstępną. W wyniku przeprowadzonych pomiarów otrzymano: 159, 185, 176, 170, 160, 192, 188, 162. Ustalić postulowaną liczebność próby przy poziomie ufności 0,99 z maksymalnym błędem oszacowania równym 2cm.

3

---