ELEKTRONIKA 1

Wykładowca: dr Jan Szatkowski

Cz. 1

Temat 1: Działania na wektorach

Zad. 1. Dane są dwa wektory a=3i+4j-5k oraz b=-i+2j+6k. Wyznaczyć: a) długość każdego wektora, b) iloczyn skalarny a⋅ b, c) iloczyn wektorowy a×b, d) kąt pomiędzy wektorami (a-b) i (a+b).

Zad. 2. Wektory a i b spełniają relacje: a+b = 11i-j+5k; a-5b = -5i+11j+9k. Wyznaczyć wektory a i b.

Zad. 3. Dany jest wektor a=7i+11j. Wyznaczyć wektor jednostkowy prostopadły do wektora a.

Zad. 4. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz (7,7) kartezjańskiego układu współrzędnych umieszczono po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt jaki tworzą wektory wodzące cząstek.

Zad. 5. Zbadać ruch punktu materialnego, którego wektor wodzący jest określony wzorem:
, gdzie A, B oraz b są pewnymi stałymi.

Temat 2: Kinematyka i dynamika - równania ruchu

Zad. 1. Dwa samochody wyjeżdżają z jednego punktu i poruszają się w jednym kierunku ruchem prostoliniowym. Zależność przebytej drogi od czasu opisują następujące równania: s₁=at+bt²; s₂=ct+kt²+et³. Znaleźć względną prędkość ruchu tych samochodów.

Zad.2. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostoliniowych i wzajemnie prostopadłych drogach w kierunku ich przecięcia ze stałymi szybkościami v₁=50 km/h i v₂=100 km/h. Przed rozpoczęciem ruchu pierwszy samochód znajdował się w odległości s₁=100 km od skrzyżowania dróg, a drugi w odległości s₂=50 km od ich przecięcia. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia ruchu odległość między samochodami będzie najmniejsza.

Zad. 3. Prędkość łódki względem wody wynosi v. Jak należy skierować łódź, aby przepłynąć rzekę w kierunku prostopadłym do brzegu? Woda w rzece płynie z prędkością u.

Zad. 4. Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością u, prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości V zależy od odległości y od brzegu i dana jest wzorem: V=v₀sin(πy/L), gdzie v₀ jest stałą, a L szerokością rzeki. Znaleźć:

a) wektor prędkości łódki względem brzegu,

b) kształt toru łódki,

c) odległość na jaką woda zniosła łódkę w dół rzeki.

Temat 3: Zasada zachowania pędu

Zad. 1. Dwie kule zderzają się centralnie i doskonale sprężyście. Prędkość pierwszej kuli wynosi u₁=6 cm/s, a drugiej u₂=-18 cm/s. Po zderzeniu prędkość pierwszej kuli wynosiła v₁=-18 cm/s, a drugiej v₂=6 cm/s. Wyznaczyć stosunek mas obu kul.

Zad. 2. Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się. Kula o masie M zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się na wysokość h, zostaje puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą kulą. Masa drugiej kuli wynosi m.

Zad. 3. Z działa o masie M następuje wystrzał pocisku o masie m pod kątem α do poziomu. Oblicz prędkość, z jaką działo zostaje odrzucone wstecz, jeżeli prędkość pocisku względem ziemi wynosi v.

Zad. 4. Łyżwiarz jadący po lodzie z prędkością v₀ wyrzucił przed siebie, z wysokości h licząc od poziomu lodu, kamień tak, że prędkość łyżwiarza zmniejszyła się do v₁. Jak daleko upadł kamień od miejsca upadku licząc po powierzchni lodu oraz w jakim momencie jego upadku? Masa łyżwiarza M, a masa kamienia m.

Zad. 5. Wózek o masie m i długości L stoi na gładkich szynach (zaniedbujemy tarcie). Człowiek o masie M przechodzi z jednego jego końca na drugi. O jaką odległość przesunie się przy tym wózek?

Zad. 6. Poziomo lecący strumień wody uderza o ścianę i spływa po niej swobodnie. Prędkość strumienia wynosi v, a jego pole przekroju S. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień działa na ścianę.

Temat 4: Bryła sztywna. Zasada zachowania momentu pędu

Zad. 1. Jednorodna belka o długości L i masie M spoczywa na dwu podporach. Punkty podparcia belki znajdują się: jeden na końcu belki, a drugi w odległości d od drugiego końca. Wyznaczyć wartości sił działających na podpory.

Temat 5: Termodynamika

Zad. 1. Jaka jest temperatura gazu znajdującego się pod ciśnieniem 5⋅10⁴ Pa, jeżeli w naczyniu o objętości V=150 dcm³ znajduje się 1.8⋅10²⁴ cząstek?

Zad. 2. W otwartym naczyniu znajduje się powietrze w temperaturze T₁. Jaka część masy powietrza pozostanie w naczyniu, jeżeli podgrzejemy je do temperatury T₂? Rozszerzanie naczynia pod wpływem temperatury można zaniedbać.

Zad. 3. W dwu jednakowych naczyniach znajduje się powietrze: w jednym, w temperaturze T₁ i pod ciśnieniem p₁, w drugim - w temperaturze T₂ i pod ciśnieniem p₂. Naczynia połączono i po wyrównaniu temperatur i ciśnień podgrzano gaz do temperatury T. Jakie ciśnienie będzie miało powietrze w tych naczyniach?

Zad. 4. Tlen w stałej objętości V zwiększył swoje ciśnienie od wartości p₁ do wartości p₂. Jaką ilość ciepła pobrał tlen w tej przemianie? Ciepło molowe tlenu w stałej objętości wynosi Cv.

Zad. 5. Jeden mol azotu pod stałym ciśnieniem p ochłodzono tak, że zmniejszył on swoją objętość od V₁ do V₂. Jaką ilość ciepła oddał gaz otoczeniu? Ciepło molowe azotu pod stałym ciśnieniem wynosi c_p.

Zad. 6. Objętość pęcherzyka metanu powiększa się trzykrotnie przy wypływaniu z dna jeziora na powierzchnię. Temperatura wody na dnie wynosi t₁=7°C, a na powierzchni t₂=17°C. oblicz głębokość jeziora. Założyć, że metan można traktować jako gaz doskonały. Ciśnienie atmosferyczne wynosi p₀.

Zad. 7. W balonie o objętości V znajduje się gaz o temperaturze T₁. Masa balonu z gazem wynosi m₁. Do balonu wpuszczono jeszcze tego samego gazu zwiększając masę całkowitą balonu do wartości m₂. O ile zwiększyło się ciśnienie w balonie jeżeli gęstość gazu w warunkach normalnych wynosi ρ. Temperatura gazu i objętość balonu nie ulegają zmianie.

Zad. 8. Wodór o nieznanej masie ulega przemianie izobarycznej. Wyznacz masę wodoru jeżeli wiadomo, że podczas ogrzania go od temperatury T₁=300 K do temperatury T₂=700 K została wykonana praca W=200 J.

Zad. 9. W zamkniętym naczyniu znajduje się m₁ azotu i m₂ tlenu. Znaleźć zmianę energii wewnętrznej tej mieszaniny gazów, spowodowaną ochłodzeniem jej o ΔT Kelwinów.

Zad. 10. Sanie o masie m=300 kg przejeżdżają s=1 km poziomej drogi. Przyjmując, że całe ciepło wytworzone przez tarcie pobierane jest na topnienie śniegu, oblicz masę M stopionego śniegu. Temperatura śniegu wynosi T=273 K, a współczynnik tarcia przy ruchu sań f=0,04.

Zad. 11. Z jakiej wysokości h musi spaść kula ołowiana, by stopić się całkowicie przy uderzeniu o sprężysty grunt? Przyjmij, że 70% energii potencjalnej kuli przekształca się w jej energię wewnętrzną.

Zad. 12. Dwie bryłki ołowiu o masach m i M oraz temperaturze T poruszają się w przeciwne strony z prędkościami v i u. Jaka będzie temperatura końców ołowiu po ich centralnym zderzeniu? Zakładamy, że zderzenie jest doskonale niesprężyste i zachodzi bez wymiany ciepła z otoczeniem, a ciepło właściwe ołowiu w stanie stałym i ciekłym jest jednakowe.

Zad. 13. W cylindrze o objętości V pod tłokiem znajduje się gaz o temperaturze T₁. Znaleźć pracę rozprężania gazu podczas ogrzewania go do temperatury T₂, jeżeli masa tłoka wynosi m, a jego powierzchnia S. Ciśnienie atmosferyczne wynosi p.

Zad. 14. Dwa litry ciekłego azotu o temperaturze T=77 K (temperatura wrzenia) przechowywano w termosie przez jedną dobę (τ=24 h). Okazało się, że po tym czasie połowa azotu wyparowała. Oblicz ciepło parowania azotu, jeżeli wiadomo, że masa m lodu w tym termosie roztopi się w czasie t. Założyć, że szybkość dopływu ciepła do wnętrza termosu jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur wewnątrz i na zewnątrz. Temperatura otoczenia T₁=300 K, a gęstość ciekłego azotu w temperaturze 77 K wynosi ρ.

Zadania do wykładu prof. J.M. Pawlikowskiego i dr J. Szatkowskiego

Część II

Temat 1: Równania ruchu

Zad. 1. Znaleźć zależność od czasu prędkości i wychylenia cząstki o ładunku q i masie m, znajdującej się w zmiennym polu elektrycznym E = iE = iE₀sin(ωt), gdzie i jest wektorem jednostkowym, E₀ oraz ω są pewnymi stałymi. Warunki początkowe: v(0)=0, x(0)=0.

Zad. 2. Ciało o masie m porusza się po linii prostej pod wpływem zmiennej siły F = p(q - t), gdzie p oraz q są stałymi. Po jakim czasie ciało zatrzyma się, jeśli w chwili t=0 jego prędkość wynosiła v, a siła miała kierunek prędkości. Jaką drogę przebędzie ciało do chwili zatrzymania się.

Zad. 3. Na ciało o masie m działa siła hamująca ruch, proporcjonalnie do prędkości R = -bv. Znaleźć: a) zależność prędkości ciała od czasu, b) drogę jaką przebędzie ciało do chwili zatrzymania się. Prędkość początkową ciała przyjąć równą v.

Zad. 4. Znajdź równania ruchu cząstki o masie m i ładunku q, która porusza się w równoległych, przeciwnie skierowanych jednorodnych polach elektrycznym i magnetycznym. Przyjąć: E=(-E,0,0), B=(B,0,0), v=(v,v,0), r=0.

Zad. 5. Rakieta o masie 6⋅10⁶ kg jest ustawiona na Ziemi do startu pionowego. Prędkość (względem rakiety) gazu wyrzucanego przez dysze wynosi u=10 m/s. Jaka ilość gazu musi zostać wyrzucona w ciągu sekundy, aby rakieta zaczęła poruszać się z przyspieszeniem a=19,6 m/s?

Zad. 6. Rakieta o masie początkowej M kg wyrzuca spalone paliwo ze stałą szybkością dm/dt= -r kg/s i z prędkością (względem rakiety) równą v. Napisz równanie różniczkowe wiążące prędkość rakiety z jej zmienną masą i znajdź jego rozwiązanie.

Zad. 7. Na podłodze leży łańcuch o masie m i długości L. Jeden z jego końców podnosimy do góry dopóki łańcuch nie oderwie się od podłogi. Wyznaczyć minimalną wartość pracy jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi w przypadku, gdy:

a) łańcuch jest jednorodny

b) łańcuch jest niejednorodny i jego masa m zależy od odległości x od jednego z końców według wzoru: m(x)=m₀⋅(x/L)².

Zad. 8. Cząstka porusza się w płaszczyźnie XY z prędkością v=ai+bxj, gdzie i, j są wektorami jednostkowymi oraz a, b pewnymi stałymi. W chwili początkowej cząstka znajdowała się w początku układu współrzędnych. Wyznaczyć równanie toru cząstki.

Temat 2: Drgania

Zad. 1. Aerometr w kształcie walca o średnicy D i masie M pływa w cieczy o gęstości r. Aerometr zanurzono i puszczono swobodnie. Określić ruch aerometru.

Zad. 2. Na sprężynie jest zawieszona szalka wagi z odważnikami. Okres drgań pionowych jest wówczas równy T₁. Po obciążeniu szalki wagi dodatkowymi odważnikami okres drgań pionowych wynosi T₂. O ile wydłużyła się sprężyna pod wpływem dodatkowego odważnika?

Zad. 3. Pozioma platforma wykonuje drgania o amplitudzie A. Jaka może być maksymalna częstość drgań platformy, by leżące na niej ciało nie oderwało się?

Zad. 4. Ciało o masie M leży na poziomej desce wykonującej pionowe drgania harmoniczne o okresie T i amplitudzie A. Wyznaczyć siłę nacisku ciała na deskę.

Zad. 5. Jak zmieni się okres drgań pionowych ciężarka zawieszonego na dwu sprężynach, gdy szeregowe połączenie sprężyn zastąpimy równoległym?

Zad. 6. Na poziomym doskonale gładkim stole leży przymocowane sprężyną do ściany ciało o masie M. W ciało to uderza pocisk o masie m lecący poziomo z prędkością v i zostaje w nim. Po zderzeniu ciało wraz z tkwiącym w nim pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitudą A. Wyznaczyć częstość tych drgań.

Zad. 7. Ciało o masie m spadło z wysokości h na szalę wagi sprężynowej i się do niej przylepiło. Układ wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym. Wyznaczyć amplitudę drgań i ich energie. Współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k. Zaniedbać masę sprężyny i masę szalki.

Zad. 8. Wyznaczyć okres drgań układu przedstawionego na rysunku. Dane są: promień bloku, jego moment bezwładności względem osi obrotu, masa ciała oraz współczynnik sprężystości sprężyny. Przyjąć stosowne założenia.

Zad. 9. Po zawieszeniu na sprężynie ciała o masie m wydłużyła się ona o Δl. Po przyłożeniu do tego układu okresowej pionowej siły F = f cos(ωt) wykonuje ono drgania wymuszone których logarytmiczny dekrement tłumienia wynosi λ. Zaniedbując masę sprężyny wyznaczyć wartość częstości rezonansowej oraz amplitudę rezonansową.

Zad. 10. Jeżeli częstości siły wymuszającej są równe ω₁ i ω₂, to amplitudy drgań harmonicznych wymuszonych pewnego układu są sobie równe. Wyznaczyć częstość rezonansową.

Zad. 11. Na poziomo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie sprężyny o Δl. Ciężarek ten wprawiono w drgania pionowe. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia β, aby: 1) amplituda zmalała sto razy w przeciągu czasu t, 2) ciężarek powrócił aperiodycznie do położenia równowagi, 3) logarytmiczny dekrement tłumienia był równy λ₀.

Zad. 12. Ciało o masie M wykonuje drgania harmoniczne tłumione. W chwili t=0 faza drgań była równa zeru a amplituda wynosiła A₀. Na ciało zaczęła działać okresowa siała zewnętrzna, pod wpływem której ustaliły się drgania wymuszone o równaniu x = Bcos(2πt - 0,75π). Wyznaczyć: 1) równanie drgań nietłumionych, 2) amplitudę i częstość siły wymuszającej.

Temat 3: Mechanika relatywistyczna

Zad. 1. Mion (mezon μ) utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 5km z prędkością v=0,95c. Jaki jest czas życia mionu mierzony przez obserwatora na Ziemi, a jaki mierzony w jego własnym układzie odniesienia? Jaką grubość atmosfery, mierzoną w jego własnym układzie odniesienia, przebędzie mion?

Zad. 2. Zjonizowany atom wyleciwszy z akceleratora z prędkością v=0,8c wyemitował foton w kierunku swojego ruchu. Oblicz prędkość fotonu względem akceleratora.

Zad. 3. Prędkość punktu w inercjalnym układzie odniesienia XYZ dana jest przez v_x=5, v_y=3, v_z=5. Jaka jest prędkość tego punktu w inercjalnym układzie X'Y'Z' poruszającym się względem XYZ z prędkością v_x= v_y=0, v_z=-8. Podaj wartości składowych tej prędkości.

Zad. 4. Układ O' porusza się ze stałą prędkością v wzdłuż osi OX układu O. Obserwator znajdujący się w układzie O' stwierdził, że długość pręta wynosi l' i tworzy on kąt ϕ' z osią OX'. Jaką długość pręta i jaki kąt zmierzy obserwator znajdujący się w układzie O.

Zad. 5. Akcelerator liniowy w Stanford przyspiesza elektrony do takich prędkości, dla których (1 - (v/c)²) ~ 10^-5. Kanał akceleratora ma długość 3000m. Obliczyć, jaką długość kanału przyspieszającego zmierzy obserwator związany z przyspieszanymi elektronami.

Zad. 6. Pojazd kosmiczny oddala się od Ziemi z prędkością 0,3c. Światło w pojeździe kosmicznym ma dla pasażerów kolor niebieski λ=4,8⋅10^-7m. Jaki kolor widzi obserwator na Ziemi?

Zad. 7. Kosmonauta porusza się w poprzek rakiety kosmicznej z prędkością v=5 km/h względem ściany rakiety. Jaką prędkość poprzeczną ma kosmonauta względem Ziemskiej Stacji Lotów, jeśli rakieta oddala się od Ziemi z prędkością v=180000 km/s?

Zad. 8. W tym samym miejscu korony słonecznej w odstępie 12 s nastąpiły dwa wybuchy. Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała dwa te zdarzenia w odstępie 13 s. Ile wynosi odległość przestrzenna między wybuchami w układzie związanym z poruszającą się rakietą? Jaką wartość i jaki kierunek ma wektor prędkości rakiety?

Zad. 9. Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem zaszłyby: a) w tym samym miejscu, b) w tym samym czasie?

Zad. 10. Po 10 s od chwili wybuchu wulkanu na Ziemi zaobserwowano proturbulencję na Słońcu. Czy może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami? Czy istnieje taki układ odniesienia, w którym wybuch wulkanu nastąpiłby jednocześnie z proturbulencją.

Temat 4: Dynamika relatywistyczna

Zad. 1. Jaką pracę należy wykonać aby zwiększyć prędkość cząstki o masie spoczynkowej m od 0,6c do 0,9 c. porównaj otrzymany wynik z wynikiem otrzymanym zgodnie z mechaniką klasyczną.

Zad. 2. Strumień relatywistycznych elektronów o energii kinetycznej T każdy uderza w tarczę i jest przez nią pochłaniany. Ilość padających elektronów w jednostce czasu wynosi l. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień oddziaływuje na tarczę.

Zad. 3. W wyniku rozpadu pewnej cząstki powstają dwie nowe cząstki o masach m₁ i m₂. Z doświadczenia znane są wartości pędów p₁ i p₂ powstałych cząstek oraz kąt α pomiędzy kierunkami ruchu nowych cząstek. Jaka była masa rozpadającej się cząstki?

Zad. 4. Pokazać, że dla p<<m₀c (gdzie m₀ jest masą spoczynkową, a p jest pędem) energię całkowitą można przybliżyć zależnością: E(p) = m₀c² + p²/2m₀.

Zad. 5. Rozpatrzyć ruch elektronu w kondensatorze płaskim. W obszarze kondensatora istnieje stałe pole elektryczne o natężeniu E. Nie ograniczać się do małych prędkości. Pokazać zależność energii od pędu.

Zad. 6. W spoczywającą cząstkę o masie M uderza cząstka o masie spoczynkowej m i energii kinetycznej T. W wyniku zderzenia obie cząstki zespalają się w jedną poruszającą się dalej w całości. Znaleźć masę spoczynkową powstałej cząstki oraz jej prędkość.

Zad. 7. Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa o masach spoczynkowych m₁ i m₂. Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów.

Temat 5: Ruch w polu sił centralnych. Grawitacja

Zad. 1. Planeta porusza się po torze eliptycznym wokół nieruchomego Słońca. Największa odległość planety od Słońca wynosi R₁ a najmniejsza R₂. Wyznacz moment pędu planety.

Zad. 2. Zakładając, że Ziemia jest jednorodną kulą o promieniu R i gęstości r wyznaczyć zależność przyspieszenia ziemskiego od odległości od środka Ziemi.

Zad. 3. Energia potencjalna cząstki w pewnym polu sił zależy jednie od odległości od środka pola i dana jest równaniem: U(r)=a/r² - b/r, gdzie a, b są pewnymi stałymi dodatnimi. Wyznaczyć wartość promienia odpowiadającą położeniu równowagi. Czy jest to równowaga trwała?

---