część I
1 Znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła (zdarzenia A) przy rzucie monetą.
Rozwiązanie:
Liczba wszystkich jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych n=2 (orzeł i reszka). Liczba zdarzeń sprzyjających jest równa
. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła jest równe
.
2 Znaleźć prawdopodobieństwo jednoczesnego wyrzucenia orła przy jednym rzucie dwóch monet.
Rozwiązanie
Prawdopodobieństwo pojawienia się orła dla pierwszej monety (zdarzenie A)
Prawdopodobieństwo pojawienia się orła dla drugiej monety (zdarzenie B)
Zdarzenia A i B są niezależne a więc
3W pudełku zawierającym 10 rezystorów 8 jest dobrych a 2 uszkodzone. Zakładając przypadkowość wyjęcia 1 rezystora z pudełka obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) wyjęty rezystor jest dobry (A)
b) wyjęty rezystor jest uszkodzony (B)
Rozwiązanie
4 Na ile różnych sposobów można wylosować dwa elementy z pudełka zawierającego 10 elementów?
Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest liczba kombinacji:
.
5 Ile trzycyfrowych liczb można stworzyć z cyfr 1, 2, 3, jeżeli każda cyfra występuje w każdej liczbie tylko raz?
Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest liczba permutacji:
6 Ile można utworzyć sygnałów świetlnych z 6 różnych kolorów wziętych po 2?
Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest ilość rozmieszczeń:
7 Ile nastąpi powitań, gdy jednocześnie spotka się czterech znajomych?
Rozwiązanie
Za różne powitania uważamy tylko takie, w których skład osób jest różny. Ponieważ w każdym powitaniu biorą udział dwie osoby, więc ilość powitań jest równa ilości kombinacji czterech elementów po 2, tj.
.
8 Wybierając numer telefonu abonent zapomniał dwóch ostatnich cyfr i tylko pamiętając że były różne wybrał je na zasadzie: „a może się uda”. Znaleźć prawdopodobieństwo że wybrane zostały 2 cyfry prawidłowo.
Rozwiązanie
Można wybrać tyle różnych cyfr ile jest rozmieszczeń z 10 cyfr po 2 cyfry, tj.
.
Ogólna liczba zdarzeń elementarnych wynosi więc
.
Liczba zdarzeń sprzyjających prawidłowemu wybraniu 2 cyfr wynosi
a więc
.
9 Wykazać że
Rozwiązanie:
A+AB+BC+A'C= (AΩ+AB)+BC+A'C= A(Ω+B)+A'C+BC= AΩ+A'C+BC=A+A'C+BC= A+AC+A'C+BC= A+C(A+A')+BC=A+C+BC=A+C
10 Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że wśród wylosowanych kart znajdzie się as pikowy?
Rozwiązanie
Zbiorem zdarzeń podstawowych A jest zbiór wszystkich możliwych układów 5 kart spośród 52. Ilość n zdarzeń zbioru A jest więc równa ilości kombinacji 52 elementów po 5, czyli
.
Zdarzeniami sprzyjającymi są te układy kart, wśród których znajduje się as pikowy. Układy te składają się, prócz asa pikowego, z 4 kart spośród pozostałych 51. A więc liczba nA zdarzeń sprzyjających zjawisku A1 równa się ilości kombinacji 51 elementów po 4, czyli
,
wobec czego
.
11Ktoś czeka na autobus nr 0 lub nr 18 na przystanku autobusowym, przy którym zatrzymują się autobusy nr 0, 18, 30, 11 i 36. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwszy nadjeżdżający autobus będzie odpowiedni dla oczekującej osoby, przyjmując, że wszystkie wymienione autobusy zjawiają się na przystanku jednakowo często
Rozwiązanie
Prawdopodobieństwo przyjazdu każdego z autobusów w tym nr 0 i 18 równa się
więc poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi
.
12 W urnie mamy 10 kul białych, 20 czarnych i 30 zielonych. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą lub czarną?
Rozwiązanie
Ilość zdarzeń zbioru podstawowego
, w tym zdarzeń sprzyjających zjawisku A1 (wylosowanie kuli białej) jest
, a zdarzeń sprzyjających A2 (wylosowanie kuli czarnej) jest
. Wylosowanie kuli białej lub czarnej jest sumą wykluczających się zjawisk A1 i A2, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi
13 Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej 2 damy?
Rozwiązanie
Ilość zdarzeń zbioru podstawowego
, w tym mamy
zdarzeń sprzyjających zjawisku A1 (wylosowanie dokładnie dwóch dam),
zdarzeń sprzyjających zjawisku A2 (wylosowanie dokładnie trzech dam) oraz
zdarzeń sprzyjających zjawisku A3 (wylosowanie dokładnie czterech dam). Wylosowanie co najmniej dwóch dam jest sumą wykluczających się zjawisk A1, A2, A3, zatem prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch dam wyraża się wzorem
14 Losujemy 5 kart z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że wśród wylosowanych kart znajdzie się dokładnie jeden as?
Rozwiązanie
Ilość zdarzeń zbioru podstawowego
. Do zbioru zdarzeń sprzyjających zjawisku zaliczamy układy kart, które składają się z 1 asa spośród 4 asów i z 4 kart spośród 48, jakie otrzymamy wyłączając z talii 4 asy, więc
, wobec czego
15 Każda litera słowa „matematyka” jest napisana na osobnej kartce. Kartki zostały umieszczone w pudełku i wymieszane. Po kolei losowane jest pięć kartek. Jakie jest prawdopodobieństwo
otrzymania słowa „temat”.
Rozwiązanie
Niech A1, A2, A3, A4, A5 oznaczają zdarzenia odpowiadające kolejnemu wyciągnięciu liter t, e, m, a, t. Odpowiednie prawdopodobieństwa są równe:
;
;
;
;
więc
16Dwaj strzelcy niezależnie od siebie strzelają do tego samego celu. Prawdopodobieństwo trafienia wynosi dla
strzelca A
a dla strzelca B
. Znaleźć prawdopodobieństwo co najmniej jednokrotnego trafienia celu.
Rozwiązanie
17 Prawdopodobieństwo tego że dzień będzie deszczowy wynosi
. Znaleźć prawdopodobieństwo q tego, że dzień będzie słoneczny.
Rozwiązanie
Zdarzenia „dzień deszczowy” i „dzień słoneczny” wykluczają się a więc
18 Cztery automaty do kawy pracują jednocześnie. Dla każdego urządzenia prawdopodobieństwo że pracuje ono w danym momencie jest równe
.
Znaleźć prawdopodobieństwo tego (zdarzenie A) że w danym momencie pracuje choćby jeden automat.
Rozwiązanie
Zdarzenia „automat pracuje” i „automat nie pracuje” w danej chwili są przeciwne, więc
i
ostatecznie
19 Obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że na 5 rzutów kostką co najmniej 4 razy wypadnie ilość oczek nie większa od 3?
Rozwiązanie
Obliczmy najpierw prawdopodobieństwo p, że w jednym rzucie kostką wypadnie ilość oczek nie większa od 3. Zjawisko E polegające na wyrzuceniu ilości oczek nie większej od 3 jest sumą trzech zjawisk wykluczających się, polegających odpowiednio na wylosowaniu jedynki, dwójki lub trójki, a każde z tych zjawisk ma prawdopodobieństwo równe
, więc
.
Prawdopodobieństwo P zjawiska A polegającego na zajściu zjawiska E w 5 rzutach co najmniej 4 razy jest równe sumie prawdopodobieństw
, gdzie
są prawdopodobieństwami zajścia zjawiska E, 4 względnie 5 razy w 5 rzutach. Zatem szukane prawdopodobieństwo
20 Pewien element elektroniczny jest produkowany w dwóch zakładach, przy czyn większość produkcji drugiego zakładu jest n razy większa od wielkości produkcji pierwszego zakładu. Udział elementów wadliwych w produkcji pierwszego zakładu wynosi p1 a w produkcji drugiego zakładu p2.
Załóżmy, że elementy wyprodukowane przez te zakłady w jednakowym czasie zostały wymieszane w składnicy tych elementów. Wyznaczmy prawdopodobieństwo tego, że został wybrany element wyprodukowany przez drugi (względnie pierwszy) zakład, jeżeli był to element wadliwy?
Rozwiązanie
Niech zdarzenie A1 oznacza fakt, że został wybrany element wyprodukowany przez pierwszy zakład, a A2, że element pochodzi z drugiego zakładu.
Zauważmy, że
i
Są to prawdopodobieństwa a priori zdarzeń A1 i A2. Niech zdarzenie A oznacza, że wybrano element wadliwy. Dane są prawdopodobieństwa warunkowe:
.
Ze wzoru Bayesa otrzymujemy:
.
Również mamy
.
Ostanie zależności dają odpowiedź na postawione pytanie.
21 Fabryki A1, A2 i A3 produkują żarówki w
ilościach,
i
. Wiadomo, że fabryki te produkują przeciętnie 0,3%, 0,2% i 0,5% zepsutych żarówek. Określić, z której fabryki najprawdopodobniej pochodzi zakupiona zepsuta żarówka.
Rozwiązanie
Oznaczając przez A1, A2 i A3 zjawiska polegające na tym, że żarówka pochodzi z fabryki A1, A2 lub A3 oraz przez B polegające na tym, że zakupiona żarówka jest niezdatna do użytku, mamy tu
,
,
oraz
wobec czego zgodnie z wzorem Bayesa po wykonaniu rachunków otrzymamy
,
,
Zakupiona żarówka pochodzi najprawdopodobniej z fabryki A2.
22 Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie kostką na 10 rzutów wypadnie 8 razy jedynka?
Rozwiązanie
Mamy tu
, więc szukane prawdopodobieństwo
23 Rzucamy osiem kostek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 2 kostkach wypadnie po sześć oczek?
Rozwiązanie
Zadanie jest równoważne następującemu: rzucamy jedną kostką 8 razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 razy wypadnie szóstka?
Mamy tu
, więc
24 Z urny zawierającej 7 kul białych i 8 czarnych losujemy 5 razy po dwie kule, które po wylosowaniu wrzucamy z powrotem do urny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy parę kul różnokolorowych.
Rozwiązanie
Obliczmy najpierw prawdopodobieństwo p, że w jednym losowaniu wyciągniemy parę kul różnokolorowych; zjawisko to jest sumą dwóch zjawisk wykluczających się, z których pierwsze polega na wyjęciu najpierw kuli białej a potem kuli czarnej, drugie zaś na wyjęciu najpierw kuli czarnej i potem kuli białej. Wobec tego
.
Ponieważ po każdym losowaniu dwóch kul wrzucamy je do urny z powrotem, więc mamy tu do czynienia z doświadczeniami niezależnymi. Doświadczenie wykonano 5 razy i chcemy znaleźć prawdopodobieństwo, że rozważane zjawisko (wylosowanie pary różnokolorowych kul), o prawdopodobieństwie
w jednym doświadczeniu, zajdzie 3 razy, zatem oznaczając szukane prawdopodobieństwo przez
, mamy zgodnie z prawem dwumianowym
.
25Obliczyć prawdopodobieństwo, że na 3600 rzutów monetą orzeł wypadnie 1830 razy.
Rozwiązanie
Ponieważ
,
,
,
, więc
dla
odczytujemy z tablicy wartość
, wobec czego
26
Dla
,
obliczyć prawdopodobieństwo
ze wzoru Bernouliego.
Rozwiązanie
Obliczenie prawdopodobieństwa ze wzoru Bernouliego jest technicznie trudne.
27Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie A wystąpi 80 razy w 400 doświadczeniach jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia w każdym doświadczeniu jest równe 0,2.
Rozwiązanie
,
,
,
W oparciu o lokalne twierdzenie Laplace'a otrzymuje się wynik:
a w oparciu o twierdzenie Bernouliego
Występuje tutaj dobra zgodność wyników.
28 Prawdopodobieństwo trafienia w cel przy jednym strzale wynosi
. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w 10 strzałach cel zostanie trafiony 8 razy.
Rozwiązanie
,
,
,
(z tw. Laplace'a),
(z tw. Bernouliego).
Rozbieżność wyników jest spowodowana małymi wartościami n i k.
29 Dla n prób Bernouliego wyznaczyć najbardziej prawdopodobną wartość
, dla której prawdopodobieństwo
osiąga maksimum. Rozważyć dwie sytuacje:
a)
b)
Rozwiązanie:
a)
nie jest liczbą całkowitą
(wzór przybliżony).
b)
(wzór przybliżony).
30Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach monetą orzeł wypadnie od 40 do 60 razy.
Rozwiązanie
Mamy tu
Obliczamy a i b:
skąd
a więc prawdopodobieństwo, że ilość k rezultatów wyrzucenia orła jest większa od 40 i mniejsza od 60, wyraża się wzorem
Dla x=2 odczytujemy z tablicy wartość
, wobec czego
.
31 Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej k występującej w prawie dwumianowym.
Rozwiązanie
Ponieważ
,
więc wartość oczekiwana zmiennej k wyrazi się wzorem
Wartość ta dla dużych n jest bliska najbardziej prawdopodobnej ilości wystąpienia zdarzenia w serii n doświadczeń.
32Zastosować twierdzenie o wartości oczekiwanej sumy zmiennych losowych do obliczenia wartości oczekiwanej zmiennej losowej podlegającej prawu dwumianowemu.
Przedstawiamy zmienną losową k w postaci sumy zmiennych losowych
gdzie ki jest ilością wystąpienia zdarzenia A w i-tym doświadczeniu (i=1, 2, ..., n). Ponieważ w każdym doświadczeniu może wystąpić zdarzenie A z prawdopodobieństwem p lub jego zaprzeczenie
z prawdopodobieństwem
i wówczas zmienna losowa przyjmuje odpowiednio wartość 1 lub 0, więc wartością oczekiwaną zmiennej losowej
będzie
W myśl twierdzenia o wartości oczekiwanej sumy zmiennych losowych
33W loterii pieniężnej przygotowano 100 losów w tym 1 wygrywający 1000zł i 10 wygrywających 100zł. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - wartość możliwej wygranej dla posiadacza pojedynczego losu.
Rozwiązanie
X:
Sprawdzenie:
.
34Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej, określonej na zbiorze zdarzeń elementarnych, odpowiadających wynikom rzutu kostką.
Rozwiązanie
Taka zmienna losowa przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6 z jednakowymi prawdopodobieństwami, wynoszącymi 1/6.
Zgodnie z definicją dystrybuanta ma w tym przypadku postać:
Przykład prawdopodobieństw i odpowiadającej im dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej
35Znaleźć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X, która jest zadana wartościami szeregu rozkładu:
Xi |
1 |
2 |
5 |
p(Xi) |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Rozwiązanie:
Wartość średnia
Wartości kwadratu odchylenia:
Szereg rozkładu prawdopodobieństwa kwadratu odchylenia:
|
1,69 |
0,09 |
7,29 |
p(Xi) |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Wariancja:
Odpowiedź:
.