19.a) Tw. Podstawowe Cauchy'ego. Wnioski z twierdzenia.

tw. podstawowe Cauchy'ego:

Jeżeli zbiór D jest zbiorem zwartym w C a jego brzeg ∂G jest konturem gładkim zorientowanym dodatnio, to dla dowolnego f - cji holomorficznej f: C⊃G⊃D→C,(D - spójny) takiej, że istnieje całka krzywoliniowa wzdłuż łuku ∂D, to
.

Jeżeli
, gdzie D_i , i=1,...,n są zbiorami zwartymi(spójnymi) takimi, że D_i∩D_j=φ dla i≠j, i,j =1,2,...,n D_j⊂Ω⁰ ,j=1,2,...,n, to

Wniosek 1. (podstawowy)

Jeżeli f - cja f(z) jest holomorficzna na obszarze jednospójnym D, to całka
wzdłuż kawałkami gładkiego łuku AB⊂D nie zależy od kształtu tego łuku, a jedynie od p-któw A i B.

Wniosek 2.

Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna na obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z₁,z₂,,...,z_n, należących di wnętrza kawałkami gładkiej krzywej Jordana C⊂D, to

, gdzie K_K oznacza okrąg o środku Z_K, k=1,...,n zawarty we wnętrzu krzywej C i promieniu na tyle małym, żeby K_K∩K_L=φ , k≠L , L=1,...,n.

Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna na obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana zawartą w tym obszarze, to

19.b) Uzasadnić, że

Punkty osobliwe

Nie ma wewnątrz konturu punktów osobliwych odosobnionych dlatego

...

G

D_n

D₂

D₁

---