Algebra liniowa z geometrią analityczną

Macierz odwrotna

Def. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz B, że AB=BA=I

Zadanie 1: Korzystając z definicji znaleźć macierz odwrotną do macierzy
.

Rozwiązanie: Wyznacznik macierzy A jest równy -2, stąd wiemy, że istnieje macierz odwrotna. Niech zatem
. Z definicji wiemy, że
.

Stąd po wymnożeniu lewej strony i porównaniu ze stroną prawą otrzymujemy

Porównując obie strony równości otrzymujemy układy równań

oraz

W bardzo szybki sposób można je rozwiązać otrzymując
, więc

.

Zadanie 2: Znaleźć metodą wyznacznikową macierz odwrotną do macierzy
.

Rozwiązanie:

Definicje:

• Dopełnieniem algebraicznym
  elementu
  macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j- tej kolumny, pomnożony przez
  

• Transponowaną macierz dopełnień algebraicznych nazywamy macierzą dołączoną macierzy A i oznaczamy
  .

Twierdzenie: Jeżeli macierz kwadratowa jest macierzą nieosobliwą (tzn. jej wyznacznik jest różny od zera), to jej macierz odwrotna
równa jest iloczynowi macierzy dołączonej przez odwrotność wyznacznika macierzy
.

Wyznacznik macierzy A wynosi 2, zatem istnieje macierz odwrotna. Wyznaczamy macierz dopełnień algebraicznych

Macierz dołączona ma postać
, a macierz odwrotna na mocy twierdzenia
.

Zadanie 3: Metodą operacji elementarnych wyznacz macierz odwrotną (jeśli istnieje) do macierzy
.

Rozwiązanie: W celu znalezienia macierzy odwrotnej do macierzy A, należy dopisać po prawej stronie tej macierzy, macierz jednostkową i za pomocą operacji elementarnych na wierszach tej macierzy, sprowadzić macierz A do macierzy jednostkowej. Wówczas macierz, która powstanie po prawej stronie będzie macierzą odwrotną do A.

Zatem
.

2

---