RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
1/4
Macierze
PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY
Macierz A
m,n
,
gdzie
„ m „ to ilość wierszy, „ n „ ilość kolumn
a
i,j
element macierzy z
”i-tego„ wiersza, „j-tej„ kolumny
Operacje na macierzach
Równość macierzy
A
m,n
= B
m,n
.
def
a
i,j
= b
i,j
8
6
4
2
4
3
2
1
8
6
4
2
4
3
2
1
Dodawanie (odejmowanie) macierzy
A
m,n
± B
m,n
= C
m,n
.
def
c
i,j
= a
i,j
± b
i,j
9
2
13
5
2
3
5
2
1
2
0
2
4
0
12
3
2
1
Mnożenie macierzy przez skalar
A
m,n
* c = B
m,n
.
def
b
i,j
= a
i,j
* c
2
0
3
3
1
3
1
2
1
4
2
1
3
1
0
1
WIERSZ A
i
KOLUMNA A
(j)
A
3,2
RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
2/4
Macierze
16
0
48
12
8
4
4
0
12
3
2
1
*
4
Mnożenie macierzy przez skalar jest przemienne
16
0
48
12
8
4
4
*
4
0
12
3
2
1
A
m,n
* c = c * A
m,n
Iloczyn dwóch macierzy
Iloczyn wierszy(sumo-mnożenie) pierwszej macierzy i
odpowiadających elementów kolumn drugiej macierzy
A
m,n
* B
n,s
= C
m,s
.
def
j
k
b
n
k
k
i
a
j
i
c
,
1
*
,
,
2
9
14
7
4
0
2
3
2
1
*
1
2
3
3
2
1
Iloczyn wielu macierzy
A
m,n
* B
n,s
* C
s,t
* D
t,v
= E
m,v
15
16
37
63
0
21
0
1
2
3
0
1
*
1
2
2
1
*
4
0
2
3
2
1
*
1
2
3
3
2
1
Iloczyn wielu macierzy
A
1
2
3
3
2
1
RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
3/4
Macierze
B
A*B
SUMA
1
-2
-1
7
14
21
21
3
2
5
9
2
11
11
0
4
4
C
A*B*C
SUMA
1
-2
-1
-21
0
-21
-21
-2
1
-1
5
-16
-11
-11
D
A*B*C*D
SUMA
-1
0
3
2
21
0
-63
-42
-42
2
1
0
3
-37
-16
15
-38
-38
Mnożenie macierzy jest łączne
A
m,n
* B
n,s
* C
s,t
= A
m,n
* (B
n,s
* C
s,t
)
Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania
( A
m,n
+ B
m,n
) * C
n,s
= A
m,n
* C
n,s
+ B
m,n
* C
n,s
Mnożenie macierzy nie jest przemienne
A
m,n
* B
n,s
B
n,s
* A
m,n
2
9
14
7
4
0
2
3
2
1
*
1
2
3
3
2
1
≠
4
8
12
11
10
9
1
2
5
1
2
3
3
2
1
*
4
0
2
3
2
1
Transpoza macierzy
Macierz transponowaną względem macierzy A
m,n
nazywa się taką
macierz
T
m
n
A
,
w której wiersze odpowiadają kolumnom macierzy A
m,n
8
6
4
2
4
3
2
1
T
8
4
6
3
4
2
2
1
a
T
i,j
a
j,i
Transpoza macierzy posiada następujące własności:
RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
4/4
Macierze
(A
T
)
T
= A
Transpoza macierzy transponowanej przywraca pierwotną macierz
8
4
6
3
4
2
2
1
T
8
6
4
2
4
3
2
1
(A
T
+ B + C)
T
= (A
T
)
T
+ B
T
+ C
T
= A + B
T
+ C
T
Transpoza sumy macierzy jest sumą macierzy transponowanych
(ABCD)
T
= D
T
C
T
B
T
A
T
Transpoza iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy
transponowanych w odwrotnej kolejności.
RW – 1.3
– dr inż. Jan Ruchel
1/4
Macierze - rozkład
Rodzaje macierzy
(ze względu na kształt i elementy macierzy)
Macierz zerowa
0
A
m,n
.
def
a
i,j
= 0 (m, n
– dowolne)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Macierz kwadratowa
A
n,n
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Macierz symetryczna
S
n,n
.
def
s
i,j
= s
j,i
5
0
3
0
1
2
3
2
1
Przekątna macierzy (przekątna główna) – a
i,i
Elementy o tym samym wskaźniku wiersza i kolumny
3
2
1
1
9
2
6
1
2
Macierz diagonalna
D
n,n
.
def
d
i,i
0 oraz d
i,j
= 0
1
0
0
0
4
0
0
0
3
RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel
2/4
Macierze - rozkład
Macierz skalarna
S
n,n
.
def
s
i,i
= c (dla c 0) oraz s
i,j
= 0
3
0
0
0
3
0
0
0
3
Macierz jednostkowa E
E
n,n
.
def
e
i,i
= 1 oraz e
i,j
= 0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Iloczyn skalaru przez macierz jednostkow
ą daje macierz skalarną
S = c * E
(np. S = 3 * E)
3
0
0
0
3
0
0
0
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
*
3
Iloczyn macierzy
A
T
*A
jest macierzą symetryczną
A
T
* A = S
2
1
1
0
2
1
2
0
1
2
1
1
6 1
1 5
*
Transpoza macierzy symetrycznej daje macierz pierwotną
N
T
= (A
T
* A)
T
= A
T
* A = N
Dla macierzy symetrycznej P iloczyn
m
m
m
n
n
n
T
n
m
N
A
P
A
,
,
,
,
*
*
daje macierz symetryczną
2
3
1
2
1
1
3
0
0
3
2
1 1
3
2
1
6
9
3
6
3
3
2
1 1
3
2
1
39
24
15
24
15
9
15
9
6
*
*
*
RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel
3/4
Macierze - rozkład
Dla macierzy kwadratowych można zdefiniować potęgowanie
A * A = A
2
Macierz idempotentna A
A
2
= A
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
2
*
Macierz
elementarna
(trójkątna lub trapezowa)
Macierz zawi
erająca poniżej lub powyżej przekątnej same 0
2
1
0
0
3
2
1
0
4
3
2
1
1
0
0
2
1
0
3
2
1
0
0
0
0
0
0
2
0
5
3
0
0
3
1
0
0
0
5
RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel
4/4
Macierze - rozkład
Rozkład macierzy na czynniki elementarne
Macierz
kwadratową
(n,n)
można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy
trójkątnych
(n,n)
, z których pierwsza składa się z elementów zerowych nad
przekątna główną, a druga ma elementy=0 pod przekątna główną
A
n,n
= H
T
n,n
* G
n,n
Elementy położone na przekątnej jednej z macierzy H lub G mogą być
dowolnie ustalonymi liczbami z wy
jątkiem zera. Najczęściej przyjmuje się na
przekątnej macierzy G jedynki
, a pozostałe elementy macierzy H i G
wyznacza się z definicji mnożenia macierzy.
Macierz
prostokątną poziomą (czyli m<n) można rozłożyć na iloczyn
macierzy trójkątnej H
m,m
i macierzy
trapezowej G o „m” wierszach i „n”
kolumnach
(identycznych rozmiarów , co macierz rozkładana).
A
m,n
= H
T
m,m
* G
m,n
Elementy na przekątnej macierzy G (mogą być ustalone jako = 1
(zalecane).
Przykład rozkładu macierzy
2
4
6
4
3
5
13
3
2
3
13
7
2
0
0
3
1
0
2
1
3
1
2
3
2
0
1
4
3
0
0
1
2
*
Macierz symetr
yczną można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy
(
z których jedna jest transpozą drugiej).
N
n,n
= R
T
n,n
* R
n,n
9
6
3
6
8
10
3
10
42
3
0
0
2
2
0
1
4
5
3
2
1
0
2
4
0
0
5
*
Macierz R nazywamy pierwiastkiem kwadratowym macierzy N.
UWAGA! ROZKŁAD I WSZYSTKIE INNE DZIAŁANIA NA MACIERZACH WYKONYWANE
„RĘCZNIE” NALEŻY WYKONYWAĆ ŁĄCZNIE Z KONTROLAMI SUMOWYMI.
RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel
1/4
Macierze - odwrotność
Wyznaczniki i minory macierzy
Wyznaczniki
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A
stopnia n o elementach
a
ij
nazywamy funkcję rzeczywistą elementów a
ij
określoną wzorem
det
*
*.....*
A
A
a
a
a
i
j
np
1
2
Gdzie sumowanie przebiega wszystkie permutacje wskaźników
(i, j,...,p)
ciągu
(1, 2,...,n)
, przy czym znak plus jest, gdy
(i, j,...,p)
tworzą permutację
parzystą, a znak minus jest gdy wskaźniki te tworzą permutację nieparzystą.
Minory
Jeżeli w macierzy A skreśli się
„
i-
ty”
wiersz i
„
j-
tą”
kolumnę, to
wyznacznik takiej
podmacierzy nosi nazwę minora i oznaczany jest przez
M
i,j
.
A
1
2
1
2
1
2
2
5
3
M
1,1
1
2
5
3
Algebraiczne
dopełnienie (czyli minor z odpowiednim znakiem)
elementu
a
ij
macierzy
A
A
i,j
= (-1)
i+j
* M
i,j
Wartość wyznacznika macierzy A możemy wyznaczyć za pomocą
dopełnień
)
(
)
(
*
*
det
j
j
i
i
A
a
A
a
A
Przy czym wskaźnik „i” oznacza dowolny wiersz a „j” dowolną
kolumnę („a” z wyznacznika i „A” z macierzy dopełnień
algebraicznych) .
RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel
2/4
Macierze - odwrotność
Właściwości macierzy
Rząd macierzy R(A)
Rząd macierzy definiuje się jako liczbę jej liniowo niezależnych
wierszy lub jako liczbę jej liniowo niezależnych kolumn.
Rząd macierzy R(A) stanowi najwyższy stopień minorów macierzy
A różnych od zera
0 < R( A
n,m
) min(n, m)
gdzie min(n, m) oznacza mniejszy wymiar macierzy A.
Własności
R(A) = R(A
T
)
R(ABC) min (R(A) , R(B) , R(C))
Macierz kwadratowa
A
n,
jest pełnego rzędu
(macierzą
nieosobliwą)
, gdy
R( A
n,n
) = n
czyli
det (A) 0
Macierz kwadratowa A jest niepełnego rzędu
(
macierzą osobliwą),
gdy
det (A) = 0
Macierz prostokątna pionowa
A
n,m
(n> m)
jest kolumnowo
pełnego rzędu (regularną kolumnowo), gdy
R(A
n,m
) = m
Macierz prostokątna pozioma
A
n,m
(n < m)
jest wierszowo
pełnego rzędu (regularną wierszowo), gdy
R( A
n.m
) = n
Defektem macierzy A
n.m
nazywamy liczbę całkowitą określoną
wzorem
d = min ( n, m )
– R (A
n,m
)
RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel
3/4
Macierze - odwrotność
ii
a
Wszystkie macierze pełnego rzędu posiadają defekt zerowy, czyli
d = 0
.
Jeżeli macierz posiada
d > 0
, to macierz ta jest niepełnego rzędu,
czyli
osobliwa
.
Ślad macierzy
dla macierzy kwadratowej
A
n,n
.
Sp ( A
n,n
) =
Macierz odwrotna
Odwrotność lewostronna (dla macierzy pionowej)
(A
m,n
)
-1
* A
n,m
= E
m,m
Odwrotność prawostronna (dla macierzy poziomej)
A
n,m
* (A
m,n
)
-1
= E
n,n
Jeżeli macierz kwadratowa
A
stopnia
n * n
jest
ni
eosobliwa, czyli jest macierzą której rząd R(A)= n, to
istnieje dokładnie jedna
macierz odwrotna:
E
A
A
A
A
n
n
n
n
n
n
n
n
,
1
,
1
,
,
*
*
Własności odwrotności:
( A*B*C )
-1
= C
-1
B
-1
A
-1
A
-1
= (H
T
* G)
-1
= G
-1
* (H
T
)
-1
A
-1
= (A
-1
)
T
(dla macierzy symetrycznej)
(A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel
4/4
Macierze - odwrotność
T
D
A
A
*
det
1
1
Odwrotność liczona za pomocą macierzy dopełnień
algebraicznych
A
-1
macierz odwrotna
Det |A|
wyznacznik macierzy A
D
T
macierz dopełnień
algebraicznych (dla A)
2
20
22
6
6
8
12
4
6
3
*
2
*
1
3
*
1
*
2
1
*
2
*
4
3
*
1
*
4
1
*
2
*
2
3
*
2
*
1
3
3
1
2
2
1
4
2
1
A
1
2
3
3
1
2
1
1
2
3
3
1
2
1
0
6
6
3
3
2
2
3
,
1
2
,
1
1
,
1
M
M
M
1
2
3
3
1
2
1
1
4
3
3
1
4
1
6
12
6
3
3
4
2
3
,
2
2
,
2
1
,
2
M
M
M
0
2
2
2
1
2
1
2
4
2
2
1
4
1
4
8
4
2
2
4
2
3
,
3
2
,
3
1
,
3
M
M
M
0
2
4
1
1
6
1
1
0
M
0
2
4
1
1
6
1
1
0
D
0
1
1
2
1
1
4
6
0
T
D
0
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
5
,
0
2
3
0
0
1
1
2
1
1
4
6
0
*
2
1
*
det
1
1
T
D
A
A
RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel
1/3
Macierze – układ równań
Układ równań
a
1,1
* x + a
1,2
* y + a
1,3
* z = l
1
a
2,1
* x + a
2,2
* y + a
2,3
* z = l
2
a
3,1
* x + a
3,2
* y + a
3,3
* z = l
3
zapis algebraiczny
A * X = L
(zapis macierzowy układu równań)
Macierz odwrotna dla macierzy współczynników przy
ni
ewiadomych układu równań określa rozwiązanie tego układu,
(dla macierzy A kwadratowej i nieosobliwej)
A
n,n
* X
n,1
= L
n,1
1
,
1
,
1
,
*
n
n
n
n
L
A
X
A * X
= L
/
mnożymy lewostronnie
* A
-1
A
-1
* A * X = A
-1
* L
(A
-1
* A) * X = A
-1
* L
( E ) * X
= A
-1
* L
E * X
= A
-1
* L
X
= A
-1
* L
Praktycznie realizacja (wariant 1):
A = H
T
* G
H
T
* (H
T
)
-1
= E
G * G
-1
= E
G
-1
* (H
T
)
-1
= A
-1
X = A
-1
* L
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
,
3
2
,
3
1
,
3
3
,
2
2
,
2
1
,
2
3
,
1
2
,
1
1
,
1
L
l
l
l
3
2
1
X
z
y
x
RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel
2/3
Macierze – układ równań
Układ trzech równań liniowych
x - 5y + 3z = -5
3x -13y + 17z = -21
2x -14y - 5z = -3
Macierz X
Macierz L
1
-5
3
x
-5
3
-13
17
*
y
=
-21
2
-14
-5
Z
-3
1
-5
3
1
0
0
1
-5
3
3
-13
17
=
3
2
0
*
0
1
4
2
-14
-5
2
-4
5
0
0
1
1
0
0
1.00
0.00
0.00
1
0
0
3
2
0
*
-1.50
0.50
0.00
=
0
1
0
2
-4
5
-1.60
0.40
0.20
0
0
1
1
-5
3
1.00
5.00 -23.00
1
0
0
0
1
4
*
0.00
1.00
-4.00
=
0
1
0
0
0
1
0.00
0.00
1.00
0
0
1
1.00
5.00 -23.00
1.00
0.00
0.00
30.30
-6.70
-4.60
0.00
1.00
-4.00
*
-1.50
0.50
0.00
=
4.90
-1.10
-0.80
0.00
0.00
1.00
-1.60
0.40
0.20
-1.60
0.40
0.20
Macierz X
Macierz L
3
30.30
-6.70
-4.60
-5
1
=
4.90
-1.10
-0.80
*
-21
-1
-1.60
0.40
0.20
-3
Macierz X
Macierz L
1
-5
3
3
-5
3
-13
17
*
1
=
-21
2
-14
-5
-1
-3
Kontrola
Iloczyn
odwrotnośći
Macierz A-1
Rozwiązanie
Macierz A
Odwrotność
Macierz G
-1
Macierz (H
T
)
-1
Macierz A
-1
Odwrotność
Macierz G
Macierz G
-1
E
Macierz G
Rozkład
Macierz H
T
Macierz (H
T
)
-1
E
Układ
Macierz A
Macierz A
Macierz H
T
RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel
3/3
Macierze – układ równań
Document Outline