Rozdziaª 2

Podstawy algebry i analizy tensorowej

2.1 Wprowadzenie: ukªady wspóªrz¦dnych, skalary i wektory

Do zwartego zapisu równa« mechaniki niezb¦dna jest znajomo±¢ podstaw rachunku tensorowego. Istniej¡

ró»ne (ale równowa»ne) sposoby deniowania obiektów zwanych tensorami - tutaj wykorzystamy do

tego ukªad odniesienia w postaci (prawoskr¦tnego) ukªadu prostok¡tnych wspóªrz¦dnych kartezja«skich.

Jak si¦ przekonamy pó¹niej, tensor traktowany by¢ mo»e jednak jako obiekt istniej¡cy w oderwaniu

od jakiegokolwiek ukªadu wspóªrz¦dnych - ukªad taki potrzebny jest jedynie do wyra»enia wielko±ci

tensorowej poprzez jej skªadowanie w odniesieniu do tego ukªadu.

Pewnym wielko±ciom zycznym b¡d¹ geometrycznym, takim jaka masa wybranego fragmentu ciaªa

materialnego lub odlegªo±¢ mi¦dzy dwoma punktami, przypisujemy w ustalonym ukªadzie jednostek liczby

rzeczywiste. Wielko±ci takie nazywamy skalarami. Inne wielko±ci, jak np. pr¦dko±¢ punktu materialnego,

siªa czy napr¦»enie wymagaj¡ do matematycznej reprezentacji wi¦cej ni» jednej liczby. Niektóre z nich

(pr¦dko±¢, siªa) przedstawia¢ mo»na za pomoc¡ wektorów, inne np. napr¦»enie wymagaj¡ do opisu jeszcze

bardziej skomplikowanej reprezentacji.

Przyjmijmy, »e modelem interesuj¡cej nas przestrzeni zycznej jest trójwymiarowa euklidesowa prze-

strze« punktowa E

3

. Rozpatrzmy w tej przestrzeni pewien ustalony kartezja«ski ukªad wspóªrz¦dnych

prostok¡tnych (x

1

x

2

x

3

)

, maj¡cy jednostkowe wektory bazowe (wersory) e

1

, e

2

, e

3

.

Dowolny punkt X w przestrzeni E

3

opisywa¢ b¦dziemy za pomoc¡ jego wspóªrz¦dnych x

1

, x

2

, x

3

w

wyró»nionym ukªadzie wspóªrz¦dnych, tj. jako

x

= x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

=

3

X

i=1

x

i

e

i

(2.1)

lub jako

x

= {x

1

x

2

x

3

} = {x

i

}

i=1,2,3

(2.2)

To samo oznaczenie stosowa¢ b¦dziemy dla tzw. wektora pozycyjnego (promienia wodz¡cego) punktu

X

- jest to wektor ª¡cz¡cy pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych z punktem X. Ze wzgl¦du na oczywist¡

relacj¦ wzajemnej jednoznaczno±ci u»ycie tego samego oznaczenia dla punktu i jego wektora pozycyjnego

nie prowadzi do nieporozumie«.

Dla dowolnych dwu wektorów pozycyjnych x, y zdeniujmy wielko±¢

v

= x − y

(2.3)

któr¡ nazywa¢ b¦dziemy wektorem o skªadowych

v

i

= x

i

− y

i

,

i = 1, 2, 3.

(2.4)

Zbiór wszystkich tak zdeniowanych wektorów nazywa¢ b¦dziemy trójwymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡
V

3

. Uogólnienie (zaw¦»enie) poj¦¢ przestrzeni E

3

i V

3

na przypadek wi¦kszej (mniejszej) liczby wymiarów

jest trywialne.

3

4

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWY ALGEBRY I ANALIZY TENSOROWEJ

Zauwa»my, »e elementy przestrzeni V

3

s¡ niezmiennicze wzgl¦dem operacji przesuni¦cia, a tak»e, »e

przestrze« punktowa E

3

zwi¡zane jest z przestrzeni¡ wektorow¡ V

3

przez zadane odwzorowanie

E

3

× E

3

−→ V

3

Innymi sªowy uporz¡dkowana para punktów (a

1

, a

2

)

nale»¡cych do E

3

, (a

1

, a

2

) ∈ E

3

× E

3

deniuje

wektor a

3

= a

2

− a

1

nale»¡cy do V

3

, a

3

∈ V

3

.

Iloczyn skalarny dwu wektorów b¦d¡cy odwzorowaniem V

3

× V

3

−→ R zdeniowany jest wzorem

a

· b =

3

X

i=1

a

i

b

i

(2.5)

Norm¡ - moduªem wektora a jest liczba

|a| =

√

a

· a =

q

a

2
1

+ a

2
2

+ a

2
3

(2.6)

za± k¡t ϕ pomi¦dzy wektorami a i b wyrazi¢ mo»na za pomoc¡ zwi¡zku

cos ϕ =

a

· b

|a||b|

0 ≤ ϕ ≤ Π

(2.7)

Skªadowe wektora x we wzorze (2.1) wyrazi¢ mo»na jako

x

i

= x · e

i

,

i = 1, 2, 3

(2.8)

co prowadzi do zale»no±ci

x

=

3

X

i=1

(x · e

i

) e

i

(2.9)

Równanie to (i, jak si¦ niebawem przekonamy) wiele innych zale»no±ci zapisa¢ mo»na krócej przy

u»yciu tzw. konwencji sumacyjnej. Na mocy tej konwencji dwukrotne powtórzenie w dowolnym jednomia-

nie tego samego indeksu nakazuje dokonanie operacji sumowania wzgl¦dem niego  indeks taki nazywamy

niemym i mo»emy go w danym jednomianie zast¡pi¢ dowolnym innym. Zgodnie z powy»sz¡ konwencj¡

wzór (2.1) zapisa¢ mo»na jako

x

= x

i

e

i

(2.10)

za± wzór (2.9) jako

x

= (x · e

i

) e

i

(2.11)

W odró»nieniu od indeksów niemych indeksy pojawiaj¡ce si¦ jednokrotnie nazywamy indeksami swo-

bodnymi - przykªadem jest indeks i u»yty we wzorze (2.8). Nale»y podkre±li¢, »e konwencja sumacyjna

nie obowi¡zuje w przypadku indeksu u»ytego wi¦cej ni» dwukrotnie w danym jednomianie.

Z denicji wektorów bazowych mamy

e

i

· e

j

=

½

0

je±li i 6= j

1

je±li i = j

(2.12)

Wzór ten zapisujemy krócej jako

e

i

· e

j

= δ

ij

(2.13)

gdzie δ

ij

jest niezwykle przydatn¡ wielko±ci¡ zwana delt¡ Kroneckera.

Zauwa»my, »e

a

· b = (a

i

e

i

) · (b

j

e

j

) = a

i

b

j

e

i

· e

j

= a

i

b

j

δ

ij

= a

i

b

i

(2.14)

co pokrywa si¦ z denicj¡ iloczynu skalarnego dwu wektorów (2.5) zapisan¡ przy zastosowaniu konwencji

sumacyjnej. Wzór (2.14) wymaga dwu wa»nych komentarzy: - zapis (a

i

e

i

) · (b

j

e

j

)

wymaga u»ycia dwu

2.1. WPROWADZENIE: UKŠADY WSPӊRZ†DNYCH, SKALARY I WEKTORY

5

ró»nych indeksów niemych i, j - dziaªanie delta Kroneckera δ

ij

na wyra»enie zawieraj¡ce indeks j (tu:

a

i

b

j

) polega na wymianie tego indeksu na drugi indeks zawarty w symbolu δ

ij

, czyli i. Innymi sªowy

a

i

b

j

δ

ij

= a

i

b

i

przy czym oczywi±cie tak»e

a

i

b

j

δ

ij

= a

j

b

j

co jest ilustracj¡ mo»liwo±ci zamiany indeksu niemego bez zmiany warto±ci wyra»enia.

Iloczyn wektorowy dwu wektorów b¦d¡cy odwzorowaniem V

3

× V

3

→ V

3

zdeniowany jest wzorem

a

× b = (a

i

e

i

) × (b

j

e

j

) = a

i

b

j

e

i

× e

j

(2.15)

w którym iloczyn wektorowy wersorów dany jest jako

e

1

× e

2

= e

3

,

e

2

× e

3

= e

1

,

e

3

× e

1

= e

2

,

e

2

× e

1

= −e

3

, e

3

× e

2

= −e

1

, e

1

× e

3

= −e

2

,

e

1

× e

1

= 0,

e

2

× e

2

= 0,

e

3

× e

3

= 0.

(2.16)

Wprowadzaj¡c tzw. symbol permutacyjny e

ijk

zdeniowany jako

e

ijk

=






+1
−1

0






je±li indeksy i, j, k






tworz¡ parzyst¡

tworz¡ nieparzyst¡

nie tworz¡






permutacj¦ ci¡gu 1,2,3

(2.17)

bez trudu sprawdzi¢ mo»na, »e

e

i

× e

j

= e

ijk

e

k

(2.18)

za± wzór (2.15) przybiera posta¢

a

× b = a

i

b

j

e

ijk

e

k

= (a

2

b

3

− a

3

b

2

) e

1

+ (a

3

b

1

− a

1

b

3

) e

2

+ (a

1

b

2

− a

2

b

1

) e

3

(2.19)

Je±li wynik mno»enia wektorowego a × b oznaczymy symbolem c to

c

= c

k

e

k

= a

i

b

j

e

ijk

e

k

(2.20)

czyli

c

k

= a

i

b

j

e

ijk

= e

kij

a

i

b

j

(2.21)

Aby otrzyma¢ (2.21) pomno»yli±my skalarnie (2.20) obustronnie przez e

m

, skorzystali±my z zale»no±ci

e

k

· e

m

= δ

km

, wykorzystali±my wªasno±¢ `wymieniania' indeksów (tu: k na m) przez delt¦ Kroneckera

oraz, w ko«cu, zamienili±my wolny indeks m na indeks k.

Zachodz¡ ªatwe do sprawdzenia zwi¡zki

e

ijk

e

ijk

= 6

e

ijk

e

ijl

= 2δ

kl

e

ijk

e

ilm

= δ

jl

δ

km

− δ

jm

δ

kl

(2.22)

Przypomnijmy: niemymi indeksami we wzorach (2.22)

1

, (2.22)

2

i (2.22)

3

s¡ odpowiednio i, j, k; ij oraz i,

wzór (2.22)

1

nie zawiera »adnego wolnego indeksu, za± wolnymi indeksami we wzorach (2.22)

2

i (2.22)

3

s¡ odpowiednio k, l oraz j, k, l, m.

Rozpatrzymy teraz zmian¦ ukªadu wspóªrz¦dnych. Oprócz dotychczasowego ukªadu (x

1

x

2

x

3

)

wyró»-

nijmy ukªad (x

′

1

x

′

2

x

′

3

)

o wspólnym punkcie pocz¡tkowym 0, ale obrócony wzgl¦dem ukªadu pierwotnego,

Rys. 2.1. Oznaczaj¡c wersory w ukªadzie (x

′

1

x

′

2

x

′

3

)

symbolami e

′

i

, i = 1, 2, 3

mamy dla dowolnego punktu x

x

= x

i

e

i

= x

′

i

e

′

i

(2.23)

6

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWY ALGEBRY I ANALIZY TENSOROWEJ

Rysunek 2.1: Obrót ukªadu wspóªrz¦dnych

gdzie x

′

i

s¡ wspóªrz¦dnymi punktu x w obróconym ukªadzie wspóªrz¦dnych. Mno»¡c skalarnie (2.23) przez

kolejno e

j

i e

′

j

otrzymujemy

x

i

=

¡

e

i

· e

′

j

¢

x

′

j

,

x

′

i

= (e

′

i

· e

j

) x

j

i, j = 1, 2, 3

(2.24)

Poniewa» wszystkie wersory e

i

, e

′

i

maj¡ jednostkow¡ dªugo±¢, zgodnie ze wzorem (2.7) iloczyn e

i

· e

′

j

jest cosinusem k¡ta tworzonego przez osie x

i

i x

′

j

e

i

· e

′

j

= cos

¡

x

i

, x

′

j

¢

= cos

¡

x

′

j

, x

i

¢

=

Df

Q

ji

e

′

i

· e

j

= cos (x

′

i

, x

j

) = Q

ij

(2.25)

przy czym Q

ij

wprowadzamy tu jako wygodne oznaczenie macierzy cosinusów kierunkowych. K¡ty po-

mi¦dzy odpowiednimi osiami mierzymy od osi ukªadu obróconego do osi ukªadu pierwotnego. Macierz
Q

ij

nie jest w ogólno±ci symetryczna, Q

ij

6= Q

ji

. Równania (2.24) przyjmuj¡ posta¢

x

′

i

= Q

ij

x

j

,

x

i

= Q

ji

x

′

j

(2.26)

i s¡ prawami transformacji wspóªrz¦dnych punktu x pomi¦dzy dwoma rozpatrywanymi ukªadami wspóª-

rz¦dnych. Prawa te stosuj¡ si¦ tak»e do transformacji wektorów bazowych

e

′

i

= (e

′

i

· e

j

) e

j

= Q

ij

e

j

,

e

i

=

¡

e

i

· e

′

j

¢

e

′

j

= Q

ji

e

′

j

(2.27)

Podstawienie równania (2.26)

1

do równania (2.26)

2

prowadzi do zwi¡zku

x

i

= Q

ji

Q

jk

x

k

(2.28)

sk¡d

Q

ji

Q

jk

= δ

ik

(2.29)

2.1. WPROWADZENIE: UKŠADY WSPӊRZ†DNYCH, SKALARY I WEKTORY

7

Podobnie

x

′

i

= Q

ij

Q

kj

x

′

k

(2.30)

sk¡d

Q

ij

Q

kj

= δ

ik

(2.31)

Macierz 3 × 3 maj¡ca powy»sze wªasno±ci jest macierz¡ ortogonaln¡.

Prawa transformacji (2.26) stosuj¡ si¦ do dowolnych wektorów z przestrzeni wektorowej V

3

. Dla vǫV

3

mamy na identycznej do poprzedniej drodze

v

= v

i

e

i

= v

′

i

e

′

i

(2.32)

oraz

v

′

i

= Q

ij

v

j

,

v

i

= Q

ji

v

′

j

(2.33)

Te ostatnie wzory opisuj¡ transformacj¦ skªadowych wektora v przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych.

Wektor w przestrzeni V

3

mo»na wi¦c zdeniowa¢ poprzez podanie trzech jego skªadowych v

i

, i = 1, 2, 3

oraz zaªo»enie, »e przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych skªadowe te transformuj¡ si¦ zgodnie z prawami

(2.33).

Z dotychczasowych rozwa»a« wynika, »e skalary s¡ niezmiennikami transformacji ukªadu wspóªrz¦d-

nych (2.26) (ich warto±¢ nie zmienia si¦ przy transformacji), za± wektory podlegaj¡ transformacji (2.33).

Zilustrujmy znaczenie powy»szych rozwa»a« na dwu prostych przykªadach.

Przykªad 2.1

Je±li macierz Q

ij

ma posta¢

[Q

ij

] =













12
25

−

9

25

4
5

3
5

4
5

0

−

16
25

12
25

3
5













to wektor v o skªadowych {0, 1, −1} we wspóªrz¦dnych {x

i

} ma skªadowe {−

29
25

,

4
5

, −

3

25

} we wspóªrz¦dnych

{x

′

i

}. Zgodnie ze wzorem (2.33)

1

mamy bowiem

v

′

1

=

12
25

· 0 −

9

25

· 1 −

4
5

· 1 = −

29
25

v

′

2

=

3
5

· 0 +

4
5

· 1 − 0 · 1 =

4
5

v

′

3

= −

16
25

· 0 +

12
25

· 1 −

3
5

· 1 = −

3

25

Przykªad 2.2

Je±li f = f (x

1

, x

2

, x

3

)

jest funkcj¡ skalarn¡ (tzn. funkcj¡ przyjmuj¡c¡ warto±ci skalarne), to jej gradient

jest wektorem. Zapiszmy

gradf =

Df

∇f =

µ

e

1

∂

∂x

1

+ e

2

∂

∂x

2

+ e

3

∂

∂x

3

¶

f

(2.34)

Mamy

∂f

∂x

′

i

=

∂f

∂x

j

∂x

j

∂x

′

i

=

∂f

∂x

j

Q

ij

(2.35)

8

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWY ALGEBRY I ANALIZY TENSOROWEJ

bowiem, por. (2.26)

∂x

j

∂x

′

i

= Q

ij

(2.36)

Widzimy wi¦c, »e skªadowe ∂f/∂x

′

i

wektora grad f w nowym ukªadzie wspóªrz¦dnych (oznaczamy je

symbolem (∇f)

′

i

, wyra»aj¡ si¦ przez skªadowe tego wektora (∇f)

j

w starym ukªadzie wspóªrz¦dnych za

pomoc¡ wzoru

(∇f)

′
i

= Q

ij

(∇f)

j

(2.37)

który pokrywa si¦ z prawem transformacji wektorów (2.33)

1

. Wykazali±my w ten sposób, »e ∇f jest

wektorem.

Przykªad 2.3

Iloczyn skalarny wektorów a, b jest skalarem. Zauwa»my, »e

a

′

i

b

′

i

= Q

ik

a

k

Q

im

b

m

=

Q

ik

Q

im

a

k

b

m

= δ

km

a

k

b

m

=

a

k

b

k

(2.38)

co dowodzi, »e a · b jest skalarem.

2.2 Tensory

Skalary i wektory s¡ szczególnymi przypadkami obiektów zwanych tensorami - skalar jest tensorem rz¦du

0 (inaczej tensorem o walencji 0), za± wektor jest tensorem rz¦du 1 (tensorem o walencji 1). Terminologia

ta stanie si¦ jasna po rozpatrzeniu denicji tensorów rz¦du 2 i wy»szych. Wielko±¢ zyczna A maj¡ca
3

2

= 9

skªadowych A

ij

w ukªadzie odniesienia (x

1

x

2

x

3

)

nazwiemy tensorem rz¦du 2 je±li A

ij

transformuj¡

si¦ przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych zgodnie ze wzorami

A

′

ij

= Q

ik

Q

jl

A

kl

A

ij

= Q

ki

Q

lj

A

′

kl

(2.39)

Macierze A

ij

i A

′

ij

s¡ skªadowymi tensora A odpowiednio w ukªadach (x

1

x

2

x

3

)

i (x

′

1

x

′

2

x

′

3

)

.

Uogólniaj¡c powy»sz¡ denicj¦ powiemy, »e wielko±¢ zyczna A o 3

n

skªadowych A ij . . . k

| {z }

n

indeksów

jest ten-

sorem rz¦du n je±li przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych

A

′

ij...k

= Q

ip

Q

jr

. . . Q

ks

|

{z

}

n

macierzy

A

pr...s

|{z}

n

indeksów

(2.40)

Dla n = 3 zachodzi w szczególno±ci zwi¡zek

A

′

ijk

= Q

ip

Q

jr

Q

ks

A

prs

(2.41)

za± dla n = 4 zwi¡zek

A

′

ijkl

= Q

ip

Q

jr

Q

ks

Q

lt

A

prst

(2.42)

Korzystaj¡c z powy»szych wzorów mo»emy, znaj¡c skªadowe tensora w jednym ukªadzie wspóªrz¦dnych

oraz macierz transformacji Q

ij

tego ukªadu, otrzyma¢ skªadowe tensora w dowolnym innym ukªadzie

wspóªrz¦dnych.

Dotychczas mówili±my o dowolnym tensorze A rz¦du 2 korzystaj¡c z jego skªadowych A

ij

odniesionych

do pewnego ukªadu wspóªrz¦dnych kartezja«skich. Zdeniujmy teraz formalnie przestrze« tensorów o

walencji 2 z odpowiednio w niej dobran¡ baz¡ tak, aby±my mogli dokona¢ rozkªadu tensora A w tej

bazie. Innymi sªowy, chcemy utworzy¢ dla tensora rz¦du 2 zwi¡zek analogiczny do obowi¡zuj¡cego dla

wektorów zwi¡zku (2.10). Taka przestrze« tensorów rz¦du 2, oznaczana symbolem T

2

, maj¡ca struktur¦

9-wymiarowej przestrzeni wektorowej i b¦d¡c¡ tzw. iloczynem tensorowym dwu przestrzeni V

3

, T

2

=

2.2. TENSORY

9

V

3

⊗ V

3

, zdeniowana jest przez odwzorowanie V

3

× V

3

→ T

2

takie, »e dla dowolnych a, b ∈ V

3

ich

iloczyn tensorowy a ⊗ b ∈ T

2

.

Je±li w obu przestrzeniach V

3

przyjmujemy t¦ sam¡ baz¦ e

i

= 1, 2, 3

; to wówczas 9 elementów postaci

e

i

⊗ e

j

stanowi baz¦ w przestrzeni T

2

. Baza ta generuje caª¡ przestrze« T

2

- dowolny tensor A ∈ T

2

mo»e by¢ jednoznacznie rozªo»ony w tej bazie jako

A

= A

ij

e

i

⊗ e

j

(2.43)

Ukªad 9 liczb czyli macierz A

ij

nazywamy reprezentacj¡ tensora A w bazie e

i

⊗ e

j

. Je±li baza ta

jest w danym problemie ustalona, to tensor A uto»samia¢ mo»na z jego reprezentacj¡ A

ij

. Fakt ten

jest powodem cz¦stego, bª¦dnego uto»samiania tensora z macierz¡ jego skªadowych w danym ukªadzie

wspóªrz¦dnych. Tak jak wektor w przestrzeni V

3

(tj. tensor rz¦du 1) nie jest jedynie uporz¡dkowan¡

trójk¡ liczb (niezb¦dne jest jeszcze prawo transformacji przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych w V

3

),

tak tensor rz¦du 2 nie jest jedynie macierz¡ swoich skªadowych - musi on bowiem jeszcze podlega¢

transformacji zgodnie ze wzorem (2.39).

Tensory rz¦du 2 o specjalnej postaci

A

= a ⊗ b = (a

i

e

i

) ⊗ (b

j

e

j

) = a

i

b

j

e

i

⊗ e

j

(2.44)

nazywamy diadami. Nie ka»dy tensor rz¦du 2 mo»na przedstawi¢ w postaci diady - te, dla których to

jest mo»liwe nazywamy tensorami rozkªadalnymi. Tensory nie rozkªadalne mo»na przedstawi¢ w postaci

liniowej kombinacji diad. W analogiczny sposób deniuje si¦ tensory wy»szych rz¦dów. Tensorem o wa-

lencji n (rz¦du n) nazywamy ka»dy element przestrzeni T

n

b¦d¡cej n-krotnym iloczynem tensorowym

przestrzeni V

3

:

T

n

= V

3

⊗ V

3

⊗ . . . ⊗ V

3

|

{z

}

n

razy

(2.45)

Je±li we wszystkich powy»szych przestrzeniach wprowadzimy t¦ sam¡ baz¦ wektorow¡ e

i

, to ka»dy

tensor A rz¦du n rozªo»y¢ mo»na w 3

n

-wymiarowej przestrzeni T

n

jako

A

= A

ij...k

|{z}

n

indeksów

e

i

⊗ e

j

⊗ . . . ⊗ e

k

(2.46)

Ukªad 3

n

liczb A

ij...k

jest reprezentacj¡ tensora A w bazie e

i

⊗ e

j

⊗ . . . ⊗ e

k

- prawo transformacji

A

ij...k

przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych podano poprzednio jako wzór (2.40).

Scharakteryzujmy krótko podstawowe wªasno±ci tensorów.

(a) Liniowa kombinacja tensorów:

Je±li A

1

, A

2

s¡ tensorami rz¦du m, to A = αA

1

+ βA

2

jest równie» tensorem rz¦du m (α, β s¡ tu

dowolnymi skalarami). Wªasno±¢ t¦ udowodni¢ mo»na bez trudu stwierdzaj¡c, »e A

ij...k

transformuje

si¦ przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych wg. tej samej reguªy co A

1

ij...k

i A

2

ij...k

.

(b) Operacja zw¦»enia (kontrakcji) tensora:

Je±li A jest tensorem rz¦du m ≥ 2 o skªadowych A

ijk...l

to obiekt A

iik...l

jest tensorem rz¦du

m − 2. Aby to stwierdzi¢ zauwa»my, »e

A

′

ijk...l

= Q

ip

Q

jr

Q

ks

. . . Q

lt

A

prs...t

,

(2.47)

a st¡d por. (2.29)

A

′

iik...l

= Q

ip

Q

ir

| {z }

δ

pr

Q

ks

. . . Q

lt

A

prs...t

= Q

ks

. . . Q

lt

δ

pr

A

prs...t

|

{z

}

A

rrs...t

= Q

ks

. . . Q

lt

A

rrs...t

(2.48)

10

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWY ALGEBRY I ANALIZY TENSOROWEJ

W szczególno±ci je±li A jest tensorem rz¦du 2, to

A

ii

= A

11

+ A

22

+ A

33

Df

= tr A

(2.49)

jest tensorem rz¦du 0 (skalarem) z prawem transformacji A

′

ii

= A

ii

, nazywanym ±ladem tensora A.

Operacji zw¦»enia tensora dowolnej walencji dokonywa¢ mo»na wzgl¦dem dwu dowolnie wybranych

wska¹ników tensora.

(c) Symetryczne i antysymetryczne tensory rz¦du 2 transpozycja tensora:

Je±li skªadowe A

ij

tensora A maj¡ wªasno±¢ A

ij

= A

ji

, to A nazywamy tensorem symetrycznym.

Je±li natomiast A

ij

= −A

ji

to A nazywamy tensorem antysymetrycznym  w tym przypadku

wszystkie skªadowe tensora le»¡ce na gªównej przek¡tnej równe s¡ zero. Dowolny tensor A ∈ T

2

mo»na przedstawi¢ jako sum¦ tensora symetrycznego i antysymetrycznego  w tym celu wystarczy

zauwa»y¢, »e

A

ij

=

1
2

(A

ij

+ A

ji

)

|

{z

}

A

sym
ij

+

1
2

(A

ij

− A

ji

)

|

{z

}

A

antysym
ij

(2.50)

Zauwa»my, »e w przypadku tensorów wy»szego rz¦du mówi¢ mo»na o symetrii (antysymetrii) wzgl¦-

dem dwu wybranych indeksów, np.
A

ijk...l

= A

jik...l

 tensor symetryczny wzgl¦dem pary (i, j)

A

ijk...l

= −A

jik...l

 tensor antysymetryczny wzgl¦dem pary (i, j).

Transpozycj¡ tensora A ∈ T

2

o skªadowych A

ij

w bazie e

i

⊗ e

j

nazywamy tensor A

T

∈ T

2

o

skªadowych A

ij

w tej samej bazie, czyli

A

T

= A

ij

e

i

⊗ e

j

Tensorem symetrycznym rz¦du 2 jest wi¦c tensor, który jest równy tensorowi do niego transpono-

wanemu

A

= A

T

Tensor antysymetryczny ma natomiast wªasno±¢

A

= −A

T

.

Operacja transpozycji zapewnia dla A, B ∈ T

2

speªnienie nast¦puj¡cych równo±ci:

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

(A

T

)

T

= A

Transpozycji dokonywa¢ mo»na tak»e na tensorach rz¦du wy»szego ni» dwa  dotyczy ona wtedy

wybranych dwu wska¹ników reprezentacji tych tensorów.

(d) Iloczyn zewn¦trzny tensorów o dowolnej walencji:

Je±li A ∈ T

m

i B ∈ T

n

to C = A ⊗ B jest tensorem rz¦du m + n, tj. C ∈ T

m+n

. W zapisie

wska¹nikowym

A

= A

ij...r

|{z}

m

e

i

⊗ e

j

. . . ⊗ e

r

B

= B

kl...s

|{z}

n

e

k

⊗ e

l

⊗ . . . ⊗ e

s

C

= A

ij...r

B

kl...s

|

{z

}

m+n

e

i

⊗ e

j

⊗ . . . ⊗ e

r

⊗ e

k

⊗ e

l

⊗ . . . ⊗ e

s

Zauwa»my, »e

2.2. TENSORY

11

• Iloczynem zewn¦trznym wektorów a i b jest diada C = a ⊗ b:

a

= a

i

e

i

, b = b

i

e

j

,

C

= a

i

b

j

e

i

⊗ e

j

• operacja iloczynu zewn¦trznego jest w ogólno±ci nieprzemienna: A ⊗ B 6= B ⊗ A

• dla tensora C = a ⊗ b zachodzi zwi¡zek tr C = a · b

(e) Proste nasuni¦cie tensorów:

Je±li A ∈ T

m

i B ∈ T

n

to tensor C rz¦du m + n − 2 otrzymany jako wynik nast¦puj¡cych dziaªa«

nazywamy prostym nasuni¦ciem tensorów A i B (oznaczanym AB):

• iloczyn zewn¦trzny A ⊗ B = A

ij...tp

| {z }

m

B

kl...r

|{z}

n

e

i

⊗ e

j

⊗ . . . e

p

⊗ e

k

⊗ e

l

. . . ⊗ e

r

• zw¦»enie po ostatnim wska¹niku A (tu: p) i pierwszym wska¹niku B (tu: k)

C

ij...tl...r

| {z }

m+n−2

= A

ij...tp

B

pl...r

W przypadku zw¦»enia po innych (ni» wskazanych powy»ej) wska¹nikach mamy do czynienia ze

zwykªym (nie prostym) nasuni¦ciem tensorów.

(f) Peªne nasuni¦cie tensorów:

Je±li A ∈ T

m

, B ∈ T

n

i m ≥ n to tensor C rz¦du m − n otrzymany jako wynik nast¦puj¡cych

dziaªa« nazywamy peªnym nasuni¦ciem tensorów A i B (oznaczonym A · B):

• iloczyn zewn¦trzny A ⊗ B (jak poprzednio)
• n-krotna operacja nasuni¦cia

C

ij...s

|{z}

m−n

= A

ijskl...r

|{z}

n

| {z }

m

B

kl...r

|{z}

n

Je±li np. A ∈ T

3

, B ∈ T

2

to C = A · B = A

ijk

B

jk

e

i

Oczywi±cie, gdy m = n, tj. gdy peªne nasuni¦cie dotyczy tensorów o tej samej walencji, wynikiem

tego dziaªania b¦dzie skalar - nazywa¢ go b¦dziemy iloczynem skalarnym tych tensorów .

Tak wi¦c np. dla A, B ∈ T

m

mamy

A

· B = A

ij...k

|{z}

m

B

ij...k

|{z}

m

za± dla a, b ∈ T

1

(iloczyn skalarny wektorów!)

a

· b = a

i

b

i

Zauwa»my, »e nasuni¦cie dowolnego tensora A i wektora b jest jednocze±nie proste i peªne:

Ab

= A · b

Dla A ∈ T

2

i

a

, b ∈ T

1

odnotujmy tak»e zwi¡zek

a

· Ab = A · (a ⊗ b)

Dla symetrycznego tensora A rz¦du 2 i dowolnych wektorów a

1

, a

2

zachodzi zwi¡zek

a

1

· A · a

2

= a

2

· A · a

1

za± dla A, B ∈ T

2

zwi¡zek

(AB)

T

= B

T

A

T

12

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWY ALGEBRY I ANALIZY TENSOROWEJ

(g) Pot¦gowanie tensorów:

Tensor A

2

∈ T

2

, otrzymany jako wynik dziaªania prostego nasuni¦cia tensora A ∈ T

2

na siebie

A

2

= AA

nazywamy kwadratem tensora A. W notacji wska¹nikowej

A

= A

ij

e

i

⊗ e

j

A

2

= A

ij

A

jk

e

i

⊗ e

k

Ogólniej, tensor A

n

∈ T

2

, otrzymywany jako wynik (n − 1)-krotnego prostego nasuni¦cia tensora

A

∈ T

2

na siebie

A

n

= AAA . . . A

|

{z

}

n

nazywamy n-t¡ pot¦g¡ tensora A ∈ T

2

. W notacji wska¹nikowej

A

n

= A

ij

A

jm

A

mp

. . . A

sk

|

{z

}

n

e

i

⊗ e

k

(h) Tensor odwrotny:

Zdeniujmy tensor jednostkowy (metryczny) o walencji 2 jako

1 = δ

ij

e

i

⊗ e

j

Je±li dla danego tensora A ∈ T

2

tensor B ∈ T

2

speªnia równo±ci

BA

= AB = 1

to nazywamy go tensorem odwrotnym do A i oznaczamy symbolem B = A

−1

. Powy»szy warunek

przepisa¢ mo»na jako

A

−1

im

A

mj

e

i

⊗ e

j

= δ

ij

e

i

⊗ e

j

sk¡d otrzymujemy ukªad 3

2

= 9

liniowych równa« algebraicznych na niewiadome  skªadowe

reprezentacji tensora A

−1

:

A

−1

im

A

mj

= δ

ij

Ukªad ten ma jednoznaczne rozwi¡zanie je±li det A

mj

6= 0, tj. gdy wyznacznik macierzy kwadratowej

A

mj

jest ró»ny od zera. Skalar det A

mj

nazywamy wyznacznikiem tensora A  mo»na pokaza¢, »e

jest on niezmiennikiem przy zmianie ukªadu wspóªrz¦dnych, tj.

det A

mj

= det A

′

mj

= det A

Tensor A, dla którego det A 6= 0 nazywamy tensorem nieosobliwym  tylko dla takich tensorów

istniej¡ tensory odwrotne.

(i) Tensory ortogonalne:

Tensor Q ∈ T

2

nazywamy ortogonalnym, je±li dla dowolnych a, b ∈ T

1

zachodzi

(Qa) · (Qb) = a · b

Warunek ten jest równowa»ny warunkowi

QQ

T

= Q

T

Q

= 1

2.2. TENSORY

13

a wi¦c tak»e warunkowi

Q

T

= Q

−1

Tensor ortogonalny jest nieosobliwy bowiem

det(Q

T

Q

) = det 1 = 1 = det Q

T

· det Q = (det Q)

2

sk¡d

det Q = ±1

Tensor ortogonalny Q, dla którego det Q = 1 nazywamy obrotem i cz¦sto oznaczamy symbolem
R

. Proste nasuni¦cie tensora obrotu R i dowolnego wektora a ∈ T

1

daje w wyniku wektor b ∈ T

1

(patrz przykªad 4 poni»ej) odpowiednio obrócony wzgl¦dem a:

b

= Ra

(j) Tensory dewiatorowe i kuliste:

Tensor A ∈ T

2

nazywamy dewiatorem je±li trA = 0.

Tensor A ∈ T

2

nazywamy kulistym je±li A = λ1 λ ∈ R

Zauwa»my, »e dowolny tensor rz¦du drugiego rozªo»y¢ mo»na na sum¦ dwu tensorów

A

=

1
3

1trA + A

D

A

ij

=

1
3

δ

ij

A

kk

+ A

D
ij

(2.51)

z których pierwszy jest tensorem kulistym, za± drugi nazywamy tensorem dewiatorowym (dewiato-

rem tensora A). Licz¡c ±lad tensorów wyst¦puj¡cych po obu stronach powy»szego równania

A

ii

= A

D
ii

+

1
3

3A

ii

(2.52)

stwierdzamy, »e zgodnie z denicj¡

trA

D

= A

D
ii

= 0

(2.53)

(k) Dla nieosobliwych F ∈ T

2

(tj. takich, dla których det F 6= 0) zachodzi jednoznaczny rozkªad

F

= RU = VR

(2.54)

nazywany rozkªadem polarnym  tensory U i V s¡ tu dodatnio okre±lonymi symetrycznymi ten-

sorami drugiego rz¦du, za± R jest tensorem ortogonalnym.
Aby udowodni¢ pierwsze z równa« (2.54) (dowód drugiego jest analogiczny) potraktujmy F jako

odwzorowanie przeprowadzaj¡ce wektor v w wektor v

′

, tj.

v

′

i

= F

ij

v

j

przy czym v

′

= 0

wtedy i tylko wtedy gdy v = 0, co wynika z nieosobliwo±ci F . Kwadrat dªugo±ci

wektora v

′

deniuje form¦ kwadratow¡

|v

′

|

2

= v

′

i

v

′

i

= F

ij

F

ik

v

j

v

k

= F

T

ji

F

ik

v

j

v

k

której wspóªczynniki

C

jk

= F

T

ji

F

ik

,

C

= F

T

F

tworz¡ dodatnio okre±lony symetryczny tensor. Mo»emy wi¦c zdeniowa¢

U

Df

=

√

C

i przyj¡¢, »e

R

Df

= F U

−1

Bez trudu sprawdzamy, »e R jest tensorem ortogonalnym

R

T

R

= (F U

−1

)

T

(F U

−1

) = U

−1

F

T

F U

−1

= U

−1

CU

−1

= 1

14

ROZDZIAŠ 2. PODSTAWY ALGEBRY I ANALIZY TENSOROWEJ

Dalsze wªasno±ci tensorów poznamy na przykªadach.

Przykªad 2.4

Je±li a jest wektorem w skªadowych a

i

, a A tensorem o skªadowych A

ij

, to

(a) b

i

= A

ij

a

j

s¡ skªadowymi wektora. Aby to sprawdzi¢ napiszmy

b

′

i

= A

′

ij

a

′

j

= Q

ip

Q

jr

A

pr

|

{z

}

A

′′

ij

Q

js

a

s

| {z }

a

′

j

= Q

ip

δ

rs

A

pr

| {z }

A

ps

a

s

= Q

ip

A

ps

a

s

| {z }

b

p

= Q

ij

b

j

(b) b

i

= A

ji

a

j

s¡ równie» skªadowymi wektora.

Przykªad 2.5

Je»eli A ∈ T

2

i A = A(x) to

∂A

ij

∂x

j

s¡ skªadowymi wektora. Aby to sprawdzi¢ napiszmy

b

′

i

Df

=

∂A

′

ij

∂x

′

j

=

∂(Q

ik

Q

jl

A

kl

)

∂x

m

∂x

m

∂x

′

j

= Q

ik

Q

jl

∂A

kl

∂x

m

Q

jm

= Q

ik

δ

lm

∂A

kl

∂x

m

= Q

ik

∂A

kl

∂x

l

Df

= Q

ik

b

k

Przykªad 2.6

Je»eli a ∈ T

1

i a = a(x) to

∂a

i

∂x

j

s¡ skªadowymi tensora rz¦du 2. Aby to sprawdzi¢ napiszmy

A

′

ij

Df

=

∂a

′

i

∂x

′

j

=

∂(Q

ik

a

k

)

∂x

m

∂x

m

∂x

′

j

= Q

ik

∂a

k

∂x

m

Q

jm

Df

= Q

ik

Q

jm

A

km

Przykªad 2.7

Niech reprezentacje tensora obrotu Q oraz pewnego tensora A maj¡ w ukªadzie odniesienia nast¦puj¡ce

postaci:

[Q

ij

] =













1/

√

2

1/

√

2 0

−1/

√

2 1/

√

2 0

0

0

1













[A

ij

] =













1

−1 0

0

0

0

0

2

0













Skªadowe tensora A w ukªadzie obróconym zgodnie z tensorem obrotu Q policzy¢ mo»na jako, por.

(2.39)

A

11

′

= Q

1

k

Q

1

l

A

kl

= A

11

Q

11

Q

11

+ A

12

Q

11

Q

12

+ A

32

Q

13

Q

12

+ 0 =

µ 1

√

2

¶

2

· 1 +

µ 1

√

2

¶

2

· (−1) = 0

itd.