PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ
ALGEBRA MACIERZY
Macierzą prostokątną o m wierszach i n kolumnach nazywamy
tablicę
n
m ×
liczb rzeczywistych a
ij
(i=1,2, ... ,m; j=1,2, ... ,n)
zapisaną w postaci ujętego w nawiasy kwadratowe prostokąta liczb
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
K
M
O
M
M
K
K
2
1
2
22
21
1
12
11
Liczby rzeczywiste a
ij
nazywamy elementami macierzy.
KaŜdy element macierzy jest oznaczany dwoma wskaźnikami:
• pierwszy oznacza numer wiersza
• drugi – numer kolumny
Iloczyn
n
m ×
nazywamy wymiarami macierzy.
Macierz będziemy zapisywać często w krótszej postaci:
n
m
ij
n
m
a
×
×
=
A
n
m
ij
a
×
n
m×
A
ij
a
A
Najczęściej macierze oznaczamy duŜymi pogrubionymi literami
A , C , X , W , B , ...
PRZYKŁAD. Normy zuŜycia środków produkcji na jednostkę wyrobów
ALFA i BETA ujęte w tabeli moŜna zapisać jako macierz N.
Normy zuŜycia na jednostkę wyrobu
wyroby
[szt]
stal
[kg/szt]
drewno
[m
2
/szt]
farba
[litr/szt]
praca
[rg]
energia
[kWh/szt]
ALFA
1
2
3
2
2
BETA
2
1
2
2
3
=
=
×
×
3
2
2
1
2
2
2
3
2
1
5
2
5
2
ij
n
N
2
W zbiorze macierzy
{
}
n
m
A
×
wyróŜnia się pewne
typy macierzy, bądź ze względu na ich wymiary, bądź
wartości elementów a
ij
macierzy.
Wymiary macierzy są podstawą do wyróŜnienia
macierzy prostokątnych, macierzy kwadratowych i
wektorów.
Def. Macierz
n
m
ij
a
A
×
=
nazywa się macierzą
prostokątną, gdy m≠n
Def. Macierz
n
m
ij
a
A
×
=
dla m=n nazywa się
macierzą kwadratową. Macierz kwadratową oznacza
się symbolem
n
n×
=
ij
n
a
A
. Liczbę n nazywa się
stopniem macierzy kwadratowej.
3
Def. Elementy: a
11
, a
22
, ..., a
nn
macierzy
kwadratowej
n
n
ij
n
a
A
×
=
nazywa się przekątną
główną macierzy A.
Def. Macierz prostokątną
1
m
ij
a
A
×
=
(n=1)
nazywa się wektorem kolumnowym (lub krótko
wektorem) i zapisuje w postaci:
m
a
a
a
M
2
1
Def. Macierz prostokątną
n
1
ij
a
A
×
=
(m=1)
nazywa się wektorem wierszowym i zapisuje w
postaci
[
]
n
2
1
a
a
a
L
4
Wektory wierszowe i kolumnowe oznacza się w tym
skrypcie najczęściej małymi, pogrubionymi literami
a, b, ..., x, y itp.
Ze względu na wartości liczbowe elementów a
ij
macierzy A w zbiorze macierzy wyróŜnia się
macierze zerowe i macierze jedynkowe.
Def. Macierz
n
m
ij
a
A
×
=
, w której wszystkie
elementy a
ij
=0 nazywa się macierzą zerową i oznacza
symbolem 0
mxn
.
Def. Macierz
n
m
ij
a
A
×
=
, w której wszystkie
elementy a
ij
= 1 nazywa się macierzą jedynkową i
oznacza symbolem J
mxn
.
5
W zbiorze macierzy kwadratowych, stopnia n,
wyróŜnia się macierze: jednostkowe, diagonalne,
trójkątne, symetryczne i skośnosymetryczne.
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
n
n
ij
n
a
A
×
=
, w której elementy spełniają
warunek:
≠
=
=
j
i
dla
0
j,
i
dla
1
ij
a
nazywa się macierzą jednostkową i oznacza
symbolem I
n
Wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy I
n
są więc jedynkami, natomiast pozostałe elementy
zerami.
Przykład: Macierzami jednostkowymi są m.in.
macierze:
[ ]
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
6
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
n
n
ij
n
a
A
×
=
,
w której aij=0, dla kaŜdego i≠j
nazywa się macierzą diagonalną.
Przykład: Macierzami diagonalnymi są m. in.
macierze:
−
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
1
0
0
0
0
5
1
0
0
0
3
0
0
0
2
2
0
0
1
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
n
n
ij
n
a
A
×
=
, w której dla kaŜdej pary (i,j): a
ij
=a
ji
nazywa się macierzą symetryczną.
Przykład: Macierze:
−
−
4
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
4
0
4
0
0
1
4
1
1
0
3
3
2
są macierzami symetrycznymi.
7
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
n
n
ij
n
a
A
×
=
,
w której dla kaŜdej pary (i, j):
a
ij
= -a
ji
nazywa się macierzą skośnosymetryczną.
Przykładami macierzy skośnosymetrycznych są
następujące macierze:
−
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
-
2
-
3
0
1
2
1
0
0
5
5
0
8
DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Niech będą dane macierze
=
ij
a
A
,
=
ij
b
B
,
=
ij
c
C
.
Def. Macierze: A
mxn
i B
mxn
są sobie równe (A=B),
jeśli a
ij
=b
ij
, dla kaŜdej pary (i,j)
Def. Sumą macierzy A
mxn
i B
mxn
nazywa się taką
macierz C
mxn
(C=A+B), Ŝe dla kaŜdej pary
wskaźników (i,j) zachodzi równość: c
ij
=a
ij
+b
ij
.
Przykład: Obliczyć sumę A+B dla
=
5
2
1
3
4
1
A
,
−
=
1
1
4
3
1
0
B
,
=
+
−
+
+
+
+
+
=
+
6
1
5
6
5
1
1
5
)
1
(
2
4
1
3
3
1
4
0
1
B
A
9
tw. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli
A+B=B+A
tw. Dodawanie macierzy jest łączne, czyli
(A+B)+C)=A+(B+C)
tw. JeŜeli A+B =A, to B=0
def. Macierz B nazywa się macierzą przeciwną do
macierzy A, co zapisuje się : B = -A, jeśli A+B=0
def. Macierz B
nxm
nazywa się transpozycją macierzy
A
mxn
(lub macierzą transponowaną do macierzy A
mxn
),
jeśli dla kaŜdej pary (i,j) zachodzi równość:
b
ij
= a
ji
Macierz transponowaną B oznacza się symbolem A
T
(lub A’)
Przykład: Macierz
=
1
3
0
1
0
0
5
4
B
jest macierzą
transponowaną do macierzy
=
1
0
3
0
0
5
1
4
A
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe kolejne kolumny (wiersze)
macierzy B odpowiadają kolejnym
wierszom(kolumnom) macierzy A.
10
Tw. Transponowanie macierzy posiada następujące
własności:
(A
T
)
T
=A
(A+B)
T
=A
T
+B
T
(A B)
T
=B
T
A
T
tw. JeŜeli macierz A=[a
ij
]
nxn
spełnia warunek A
T
=A,
to A jest macierzą symetryczną.
Def. Iloczynem liczby α i macierzy A
mxn
, nazywa się
taką macierz B
mxn
, co zapisuje się: B=αA), w której
b
ij
=α a
ij
dla kaŜdej pary (i,j)
Przykład. Obliczyć A+(-3)B, jeśli
=
3
4
2
1
A
=
0
3
1
0
B
−
−
=
−
−
+
=
−
+
3
5
1
1
0
9
3
0
3
4
2
1
3)B
(
A
11
def. Iloczynem macierzy A
mxk
przez macierz B
kxn
nazywa się taką macierz C
mxn
(co zapisuje się
C=A·B), której elementy spełniają warunek:
kj
ik
j
i
j
i
ij
j
i
b
a
b
a
b
a
c
+
+
+
=
∧
...
2
2
1
1
)
,
(
=
1
3
2
1
A
−
=
1
2
4
0
1
1
B
( )
( )
−
=
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
=
1
1
7
2
3
9
AB
1
1
0
3
2
1
1
3
4
1
1
3
1
2
0
1
2
2
1
1
4
2
1
1
tw. Dla dowolnej macierzy A
mxn
zachodzą równości:
I
m
A=A
AI
n
=A
tw. Zachodzą następujące równości
α(A+B)=αA+αB α(AB)=A (αB)
tw. MnoŜenie macierzy przez macierz jest łączne,
czyli (A B) C=A (B C)
tw. MnoŜenie macierzy przez macierz jest rozdzielne
względem dodawania macierzy, czyli
A (B+C)=A B+A C
12
Def. Macierz kwadratowa B=[b
ij
]
nxn
nazywamy
macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
A=[a
ij
]
nxn
, jeśli spełniony jest warunek:
A·B=B·A=I
n
Macierz odwrotną, jeśli istnieje, oznacza się
symbolem A
-1
, a proces wyznaczania(poszukiwania
jej elementów nazywa się odwracaniem macierzy.
Przykład: Macierz B jest macierzą odwrotną do
macierzy A, gdzie:
=
−
−
=
3
5
1
4
i
4
5
1
3
7
1
A
B
, poniewaŜ
=
+
−
−
+
−
−
=
=
⋅
12
5
15
15
4
4
5
12
7
1
4
5
-
1
-
3
7
1
3
5
1
4
B
A
=
=
1
0
0
1
7
0
0
7
7
1
oraz
13
=
+
−
+
−
−
−
=
−
−
=
⋅
12
5
20
20
3
3
5
12
7
1
3
5
1
4
4
5
1
3
7
1
A
B
=
=
1
0
0
1
7
0
0
7
7
1
MoŜna zatem napisać:
−
−
=
−
7
4
7
5
7
1
7
3
3
5
1
4
1
def. Macierzą kwadratową A, która nie posiada
macierzy odwrotnej nazywa się macierzą osobliwą.
Przykład:
Pokazać moŜna, Ŝe np. macierz
=
2
1
2
1
A
jest macierzą osobliwą
tw. JeŜeli A jest macierzą nieosobliwą, to
(A
-1
)
T
= (A
T
)
-1
oraz
(A
-1
)
-1
= A
14
tw. JeŜeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego
samego stopnia, to
(AB)
-1
= B
-1
A
-1
tw. JeŜeli A jest macierzą nieosobliwą i α∈R\{0}, to
( )
( )
1
1
1
−
−
=
A
A
α
α
def. Macierz kwadratową A spełniającą warunek
A
T
A = AA
T
= I
Nazywa się macierzą ortogonalną
15
PRZEKSZTAŁCENIA ELEMENTARNE
MACIERZY
def. Przekształceniami elementarnymi macierzy
A=[a
ij
]
m×n
nazywa się następujące działania
wykonywane na wierszach (lub na kolumnach)
macierzy:
T1: PomnoŜenie wszystkich elementów wybranego
wiersza (kolumny) przez liczbę α
α
α
α ≠≠≠≠ 0.
T2: Zamiana miejscami (przestawienie) dwóch
dowolnie wybranych wierszy (lub kolumn)
macierzy;
T3: Dodanie do wszystkich elementów wybranego
wiersza (kolumny) odpowiadających im
(występujących w tej samej kolumnie (wierszu))
elementów innego wiersza (kolumny)
pomnoŜonych przez liczbę α
α
α
α ≠≠≠≠ 0
16
Przykład
:
−
4
4
6
4
2
1
2
6
2
4
1
1
−
−
−
−
−
2
2
3
2
2
1
2
6
2
4
1
1
w’3=w3/(-2)
−
−
−
−
−
−
2
2
1
2
2
1
4
6
2
4
0
1
k’2=k2+k1*(-1)
−
−
−
−
−
−
2
2
1
2
2
4
0
1
2
1
4
6
w’1=w2, w’2=w1
−
−
−
−
−
−
1
2
2
2
0
4
2
1
4
1
2
6
k’2=k4, k’4=k2
17
ODWRACANIE MACIERZY
Jedną z metod odwracania macierzy jest metoda
wykorzystująca operacje elementarne.
Idea polega na równoległym przekształcaniu
elementarnym wierszy macierzy danej A
oraz macierzy jednostkowej I.
Schemat postępowania moŜna ująć krótko
A
I
:
:
ciąg operacji elementarnych
:
:
I
B=A
-1
JeŜeli nie moŜna odwrócić macierzy w podany sposób, to oznacza,
Ŝe nie istnieje macierz odwrotna do macierzy A.
18
PRZYKŁAD. Dana jest macierz
=
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
A
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
( )
(
)
2
/
1
1
3
3
1
1
2
2
2
/
1
1
1
1
0
2
/
1
0
1
1
0
0
2
/
1
2
/
1
1
0
1
1
0
2
/
1
1
1
−
×
+
=
−
×
+
=
×
=
−
−
−
stary
stary
nowy
stary
stary
nowy
stary
nowy
w
w
w
w
w
w
w
w
( )
1
2
3
3
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
/
3
0
1
1
0
1
2
/
1
2
/
3
0
0
1
1
0
2
/
3
0
1
×
+
=
−
×
=
×
+
=
−
−
−
−
stary
stary
nowy
stary
nowy
stary
stary
nowy
w
w
w
w
w
w
w
w
( )
3
/
2
3
3
3
/
2
3
2
2
1
3
1
1
3
/
2
3
/
2
1
3
/
2
3
/
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
×
=
×
+
=
−
×
+
=
−
−
−
stary
nowy
stary
stary
nowy
stary
stary
nowy
w
w
w
w
w
w
w
w
Zatem macierz odwrotna do macierzy A
3
ma postać
−
−
−
=
−
3
/
2
3
/
2
1
3
/
2
3
/
1
0
1
0
1
1
3
A