Dowolny wektor danej przestrzeni trójwymiarowej można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową wersorów osi współrzędnych przy czym współczynniki kombinacji równe są współrzędnym danego wektora (kombinacja liniowa wektorów bazowych).

Geometrycznie suma dwóch wektorów jest wektorem przekątnej równoległoboku zbudowanego na wektorach

Przykład 1. Wyznaczyć przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach

Przykład 2. Wyznaczyć wektor położony w dwusiecznej kąta

Na skutek mnożenia wektora przez skalar dany wektor można skrócić wydłużyć lub zmienić jego zwrot.

-wektor położony na dwusiecznej

ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW

Iloczynem skalarnym nazywamy liczbę oznaczaną

W interpretacji jeżeli wektor potraktujemy jako siłę natomiast wektor b jako przesunięcie liniowe to iloczyn skalarny wyznacza pracę jaką siła a wykonuje przy przesunięciu b.

Dwa wektory nazywamy ortogonalnymi jeżeli ich iloczyn skalarny zeruje się

Twierdzenie 1.

Dwa wektory są prostopadłe (ortogonalne) tylko wtedy i wtedy gdy ich iloczyn skalarny zeruje się. Pod warunkiem że żaden z tych wektorów nie jest wektorem zerowym.

Dowód:

Własności :

Twierdzenie 2.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów wyraża się wzorem:

UWAGA: mnożenie skalarne wektorów odbywa się wedle tej samej reguły niezależnie od wymiaru przestrzeni.

Dowód:

Przykład 2. Obliczyć iloczyn skalarny

Zastosowania: Rzut wektora na oś:

Przykład 3. Wyznaczyć rzut wektora:

ILOCZYN WEKTOROWY WEKTORÓW

Rozważmy układ O,X,Y. Przez obrót pierwszej osi wokół punktu O można doprowadzić ją do porycia się z osią drugą.

Ten kierunek obrotu nazywamy kierunkiem dodatnim przeciwny ujemnym.

Jeżeli dodatni kierunek obrotu jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara to układ OXY nazywamy układem prawoskrętnym jeżeli zgodny to układ taki jest układem lewoskrętnym.

Płaszczyzna na której został ustalony dodatni kierunek obrotu nazywa się płaszczyzną zorientowaną przy czym może ona mieć orientację prawą lub lewą.

Niech OXYZ oznacza ortokartezjański układ w przestrzeni wówczas zorientowana płaszczyzna OXY dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie.

Jeżeli układ OXY nadaje płaszczyźnie widzianej od strony półprzestrzeni zawierającej dodatnią półoś Z to mówimy że układ OXYZ jest dodatnio zorientowany lub prawoskrętnie zorientowany.

Rozważmy w przestrzeni uporządkowaną trójkę wektorów dla ustalenia uwagi zaczepionych w jednym punkcie.

Definicja:

Uporządkowana trójka niezerowych wektorów ... ma orientację zgodną z orientacją układu OXYZ jeśli obrót wektora a wokół punktu P doprowadzający do pokrycia tego wektora z wektorem b widziany z końca wektora c ma taki kierunek jak obrót pierwszej osi układu doprowadzający do pokrycia z drugą osią układu widziany z dodatniej półosi Z.

Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów nierównoległych w przestrzeni geometrycznej
zorientowanej nazywamy wektor oznaczony symbolem:

posiadający następujące cechy geometryczne:

Jeżeli wektory są wektorami równoległymi to ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym.

Z warunku pierwszego wynika że wektor będący iloczynem wektorowym wektorów nierównoległych ma tyle jednostek długości ile jednostek powierzchni posiada pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b.

Warunek drugi podaje że wektor będący iloczynem wektorowym jako prostopadły do a i b jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny w której te wektory leżą.

Własności:

Dowód:

Przykład 4: wyznaczyć wektor prostopadły zarówno do wektora a jak i do wektora b.

Przykład 1.

Obliczyć pole trójkąta którego wierzchołki znajdują się w punktach A(5,3,1), B(2,1,0), C(3,2,3)

Przykład 2. Wyznaczyć tangens kąta zawartego między wektorami:

ILOCZYN MIESZANY WEKTORÓW

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów w przestrzeni geometrycznej zorientowanej nazywamy liczbę której wartość wyznacza się wzorem:

Jeżeli wektory leżą w jednej płaszczyźnie to iloczyn mieszany wynosi zero.

Twierdzenie;

Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów jest równy wartości wyznacznika abc.

Dowód:

Przykład: Policzyć iloczyn mieszany.

Kiedy iloczyn mieszany wynosi O.

1. Gdy jeden z wektorów jest zerowy.

2. Dwa wiersze są proporcjonalne tzn wektory są równoległe.

3. Jeden wiersz jest kombinacją liniową pozostałych tzn wektory są współpłaszczyznowe (leżą w tej samej płaszczyźnie)

Twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby 3 wektory były współpłaszczyznowe (komplanarne) jest zerowanie się iloczynu mieszanego trójki tych wektorów.

Przykład: Sprawdzić czy punkty leżą w jednej płaszczyźnie:

Dozwolone są operacje:

Płaszczyzny w przestrzenie wektorowej wyznaczają dwa wektory nierównoległe oraz dowolnie ustalony punkt na niej leżący.

Wyznacznikowe równanie płaszczyzny;

Przykład;

Napisać równanie płaszczyzny która przechodzi przez 3 punkty;

A(2,-1,3) B(3,1,2) C(0,02)

Trzy punkty wyznaczają współpłaszczyznę gdy nie współliniowe.

Przykład; Napisać równanie płaszczyzny która przechodzi przez środek odcinka AB i jest do tego odcinka prostopadła A(2,-5,4) B(-4,3,8).

Na tej samej podstawie piszemy równania na Oyz, Oxz.

Oyz ; x=0

Oxz; y=0

Przykład; Obliczyć objęstość czworościanu jaki płaszczyzna tworzy z płaszczyznami podstawowymi.

a

Y

X

O

a

b

O

X

Y

Z

P

S

O

w

w_s

α

Dwusieczna kąta

b

a+b

P

O

X

Y

Z

---