Warszawa

SiMR 3.3 20.03.2007r.

Mechanika Płynów

Praca domowa nr I.

Zadanie nr 1.

Wyprowadzić równanie równowagi płynu, rozważania opatrzyć komentarzami i ilustracjami.

1) Siła powierzchniowa

Siła ta działa na powierzchni badanego obszaru jest prostopadła do powierzchni i działa ściskająco.

Gdzie
ponieważ macierz jest symetryczna.

Gdzie
, stąd naprężenie możemy zapisać w takiej postaci:

Gdzie

naprężenia ściskania

dewiator naprężeń w stanie spoczynku jest równy zero

ciśnienie (ponieważ płyn jest zawsze ściskany nigdy nie jest rozciągany)

Ośrodek ciągły jest w równowadze, gdy w całym badanym obszarze siła wypadkowa równa jest zero.

Widok układu w układzie współrzędnych z oznaczeniem krawędzi obszaru i powierzchni.

2) Siła objętościowa i masowa.

Siła objętościowa:

Siła masowa:

Zależność łącząca siłę objętościową i masową:

3) Wyznaczanie siły wypadkowej.

W skład siły wypadkowej będą wchodzić wcześniej omawiane siły: siła powierzchniowa i siła objętościowa. Jednak trzeba wpierw z całkować obie siły.

-Całkuję równanie na siłę powierzchniową w punkcie
po całym obszarze:

- Całkuję równanie na siłę objętościową:

Stąd równanie na siłę wypadkową będzie miało postać:

4) Twierdzenie Gaussa- Ostrogradzkiego.

Wg twierdzenia możemy zapisać:

Stąd:

Warunkiem równowagi płynu jest
, stąd:

Aby
funkcja pod całką też musi być równa zero stąd:

Otrzymane równanie jest to równanie Eulera dla płynów w stanie statycznym.

Podstawiając do równania
gdzie:
(ponieważ płyn jest zawsze ściskany) otrzymamy:

p

Po podstawieniu
do równania Eulera otrzymujemy rozwiązanie w postaci równania równowagi płynu:

grad p = 0

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć siłę naporu cieczy na klapę cysterny samochodowej jadącej ze stałym przyśpieszeniem (opóźnieniem). Średnica klapy wynosi d = 1m.

Dane i założenia.

długość cysterny

średnica zbiornika cysterny

średnica klapy (klapa przednia kp)

gęstość benzyny

przyśpieszenie cysterny

nachylenie drogi

Rozpatruję przypadek C, kiedy cysterna zjeżdża z góry.

Uwaga:

-na rysunku przedstawiony jest zwrot przyśpieszenia skierowany przeciwnie do rzeczywistego, stąd do obliczeń uwzględniamy minus stojący przed wartością przyśpieszenia,

-układ odniesienia na rysunku (y,z) został przyjęty w celu uproszczenia obliczeń.

Widok przyczepy z zaznaczonymi liniami ciśnień i głównymi wymiarami.

Obliczenia:

1) Obliczam przyśpieszenia działające na cząstkę cieczy.

Wektor przyśpieszeń działający na cząstkę benzyny:

Schemat składowych wektora przyśpieszeń.

2) Obliczam ciśnienie na klapę korzystając z równania równowagi płynu.

Całkuję stronami równanie:

Stałą całkowania wyznaczam z warunków brzegowych:

Stąd stała całkowania będzie miała wartość:

Ostatecznie otrzymujemy równanie równowagi płynu:

Po podstawieniu współrzędnych klapy do równania obliczymy ciśnienie działające na klapę:

3) Obliczam siłę naporu na klapę.

Zadanie nr 3.

Zaprojektować zestaw pontonów dla pławy. Grubość blachy, z której są wykonane pontony wynosi δ = 3 mm. Pontony są zanurzone do połowy swojej wysokości. Wysokość metacentryczna powinna być nie mniejsza od 2 m.

Dane i założenia.

wysokość środka ciężkości pławy mierzony od górnej powierzchni pontonów

grubość blachy z jakiej wykonane są pontony

gęstość wody

gęstość stali z której wykonane są pontony

masa pławy

wysokość metacentryczna

rodzaj (cylindryczne z półkolistymi zakończeniami) i układ (gwiazda trójramienna) pontonów pławy

Ogólny widok pławy z zaznaczonymi położeniami środków ciężkości.

Obliczenia:

1) Obliczam powierzchnię boczną pontonu w funkcji długości boku
.

Powierzchnia cylindrycznej części pontonu:

Powierzchnia sferycznego zakończenia pontonu:

Powierzchnia całkowita pontonu:

2) Obliczam masę jednego pontonu w funkcji długości boku
.

3) Obliczam objętość zanurzenia pontonu w funkcji długości boku
.

4) Na podstawie warunku pływania obliczam długość boku
.

gdzie:

siła ciężkości

siła wyporu

Przyjmuję

5) Obliczam odległość środka wyporu części pontonu zanurzonej w wodzie od powierzchni wody
.

Rysunek pontonu z zaznaczonymi środkami ciężkości elementów pontonu.

gdzie:

objętość zakończeń części zanurzonej pontonu

objętość środkowej części zanurzonej pontonu

odległość środka ciężkości zakończeń części zanurzonej pontonu od powierzchni wody

odległość środka ciężkości środkowej części zanurzonej pontonu od powierzchni wody

6) Obliczam odległość środka wyporu pontonu od środka ciężkości pławy
.

gdzie:

odległość górnej powierzchni pławy od środka wyporu

7) Obliczam moment bezwładności wodnicy
.

Układ pontonów.

Wymiary pontonu i pomocnicze osie do obliczenia momentu względem środka.

Moment bezwładności przekroju pontonu na wodnicy względem osi x.

gdzie:

moment bezwładności względem osi x części kwadratowej pontonu na wodnicy

moment bezwładności względem osi x części półkolistej pontonu na wodnicy

pole części półkolistej pontonu na wodnicy

odległość między osią x a osią półkola xpk

Moment bezwładności przekroju pontonu na wodnicy względem osi y.

gdzie:

moment bezwładności względem osi y części kwadratowej pontonu na wodnicy

moment bezwładności względem osi y części półkolistych pontonu na wodnicy

Moment bezwładności przekroju pontonu na wodnicy obrócony o kąt α.

gdzie:

kąt obrócenia pontonu

Moment całkowity układu pontonów względem osi Xc.

Ze względu na symetrię rozstawu pontonów w pławie momenty bezwładności dla wszystkich osi są takie same.

gdzie:

pole powierzchni pontonu na wodnicy

przesunięcie osi ksi do osi centralnej

szukany promień rozstawu pontonów na okręgu

Mając dany moment bezwładności zestawu pontonów w funkcji nieznanego promienia ich rozstawu R mogę podstawić to wyrażenie do wzoru na stabilność i obliczyć rozstaw.

Przyjmuję R = 1.5m

2

---