1. OMOW RUCH HAR PROSTY

Pojęcie drgań jest szeroko w fizyce stosowane. Przykładowo można wymienić
pdrganiami mechanicznymi harmonicznymi, zwanymi także ruchem har­monicznym

gdzie s oznacza wychylenie punktu drgającego od położenia równowagi, t —czas, A i o\omega — wielkości stałe w danym ruchu, tzn. niezależne od czasu Znaczenie stałej A wynika z charakteru funkcji sinus: funkcja ta może się zmieniać -A<s<A Innymi słowy, punkt drgający może się odsuwać od położenia równowagi najdalej o ±.A. Stała A oznacza więc największe wychylenie od położenia równowagi, zwane amplitudą ruchu harmonicznego. Zasadniczą cechą ruchu harmonicznego jest więc jego okresowość

czas trwania jednego pełnego drgnienia T, zwany okresem, 2pi/omega Częstotliwość ruchu v, czyli liczba pełnych drgań dokoła położenia równowagi, wykonywa­nych w jednostce czasu, jest odwrotnością okresu

Drgania dokoła położenia równowagą odbywające się zgodnie z równaniami s=asinomegat nazywamy często oscylacjami harmonicznymi, a ciało wykonujące takie drga­nia — oscylatorem harmonicznym

, prędkość jest wielkością zmienną, okresową. Ponieważ — 1 < cos<1

W punk­tach odpowiadających największym wychyleniom ciało ma prędkość równą zeru (tzn. na chwilę się zatrzymuje). W chwili mijania położenia równowagi prędkość jest naj­większa co do wartości bezwzględnej, równa Ąomega lub —Aomega, tzn. skierowana w prawo lub w lewo od położenia równowagi. przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi Jest to jednak równocześnie tak charakterystyczna cecha ruchu harmonicznego, że często na" podstawie występowania tej cechy zalicza się badany ruch do ruchów harmonicznych

. Wyniki naszych rozważań dotyczących kinematyki ruchu harmoniczego można też przedstawić na rys. 10.3. Krzywe 1, 2, 3 przedstawiają odpowiednio zależ­ność s, v i a od czasu w ruchu opisanym równaniem (10.1). Zbadaliśmy ruch harmoniczny wyrażający się równaniem: s=asin omega Można wykazać, że równania typus = Asin((ot+<p),s = Acos(a>t+<p) również przedstawiają ruch harmoniczny. w chwili t = 0, tzn. w chwili rozpoczęcia rachuby czasu, ciało nie znajduje się w położeniu równowagi, lecz ma już wychylenie s_Q = .4siny. Wartość kąta <p nazy­wamy fazą początkową ruchu harmonicznego, podczas gdy całość wyrażenia (cot-\-q>) nazywamy fazą ruchu harmonicznego albo fazą drgania. A zatem ruchy harmoniczne opisane różnią się tylko fazą początkową.\

Obecnie przejdziemy do ujęcia tego ruchu z punktu widzenia dynamiki.\

Z istnienia przyspieszenia wynika, że punkt materialny o masie m, wykonujący ruch l§rmoniczny, podlega działaniu siły F= —m*omegakwads = —m4pikwad*sSiła ta jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego skierowana (taki cha­rakter mają m. in. siły sprężyste). Współczynnik proporcjonalności ma*¹ = k nazywany jest zwykle współczynnikiem sprężystości, aczkolwiek ze względu na to, że drgania harmoniczne męgą być wywołane nie tylko przez siły sprężyste, lepiej byłoby nazywać go współczynnikiem quasi-sprężystości. Energia kinetyczna jest więc podczas mchu zmienna. Zmienność energii kinetycznej w ciągu jednego okresu ruchu harmonicznego przedstawiono na rys. 10.4 linią ciągłą Energia potencjalna E_p ciała wykonującego ruch harmoniczny równa się pracy, którą ciało drgające może wykonać wracając od wychylenia s do położenia równowagi. Wobec zmienności siły pracę W znajdujemy przez całkowanie:E_p= W=fFds Jak widać z tego wzoru, energia potencjalna ciała wykonującego ruch harmoniczny również zmienia się w czasie wykonywania ruchu. Zmienność energii potencjalnej w ciągu jednego okresu ruchu harmonicznego (przy <p = 0) przedstawiono na rys. 10.4 linią kreskowaną.

Gdy ruch odbywa się bez żadnych strat energii na pokonywanie oporów, całkowita energia E_c, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej wyraża się wzorem . Innymi słowy, wartości energii kinetycznej i potencjalnej wahają się między zerem a wartością maksymalną, lecz całkowita energia mechaniczna dala wykonującego drganie harmoniczne jest stał

2. Ruch har TŁUMIONY

Drgania odbywane w warunkach rzeczywistych, w dowolnym ośrodku materialnym, zawsze są połączone z przekazywaniem energii otoczeniu w związku z pokonywaniem sił oporu. W wyniku wykonywanej pracy energia ciała drgającego maleje, zmniejsza się też amplituda drgań. Drgania nie podtrzymywane siłą zewnętrzną ulegają tłumieniu, Rozpatrzmy przypadek zanikania drgań harmonicznych pod wpływem siły hamują­cej F proporcjonalnej do prędkości i skierowanej do niej przeciwnie:F=-bv=-b*ds./dtb oznacza współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem oporu. Wy­mieniony przypadek jest dość rozpowszechniony, gdyż siły lepkości i oporu ośrodka mają — przy niewielkich prędkościach — właśnie taki charakter. że amplituda A drgań tłumionych zmienia sią wykładniczo z biegiem czasu przyjmując
wartość zerową teoretycznie po czasie nieskończenie długim: A = Ajdo-tcostan .Rysunek J.0JL przedstawia przebieg drgań tłumionych (linia ciągła) w zestawieniu ' z drganiami nietłumionymi o amplitudzie A_o (linia kreskowana). Linie utworzone z kropek i kresek są liniami charakteryzującymi wykładniczy spadek amplitudy drgań tłumionych z biegiem czasu.Wykres drgań zarówno tłumionych, jak i nietłumionych na rys. 10.9 odpowiada wartości fazy początkowej tp = 90°. Innymi słowy, krzywe ciągła i kreskowana przed­stawiają przebieg funkcjiDo charakteryzowania przebiegu drgań tłumionych często stosuje się tzw. logaryt­miczny dekrement tłumienia oznaczany symbolem A. Dekrement logarytmiczny tłu-W ośrodkach o większych stałych tłumienia (a tym samym o większych dekremen-mienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud odpowiadających chwi­lom t i (t+T). Innymi słowy, Warto podkreślić, że badanie drgań tłumionych w określonym ośrodku pozwala wyznaczyć jego współczynnik oporu b. Z pomiaru dwóch amplitud w chwili t i w chwili (t-\- T) można znaleźć dekrement logarytmiczny tłumienia. Uwzględniając (10^22) można wyznaczyć 6, a następnie opierając się na definicyjnej równości b/m = 26 znaleźć współczynnik oporu b.

Powróćmy jeszcze do równania (10.21). Widać z niego, że pulsacja co ma tylko wtedy wartość rzeczywistą, gdy wyrażenie podpierwiastkowe jest większe od zera, czyli gdy ó² < oĄ. Innymi słowy, tylko spełnienie tego warunku zapewnia powsta­wanie drgań tłumionych periodycznych, takich jak na rys. 10.9. W ośrodkach o silnym tłumieniu, gdy <5²><uo, powstaje ruch aperiodycżny. Dwa przykłady takiego ruchu przedstawia rys. 10.10: na rys. lOa wychylenie początkowe spada do zera bez zmiany znaku, na rys. lOb — z jednokrotną zmianą znaku.

3. Ruch har tłumiony z sila wymuszajaca

Omówimy kilka wniosków wynikających z zależności (10.25) i (10.26). Z zależności (10.25) widać, że

1. drgania wymuszone odbywają się z pulsacją Q siły wymuszającej,

2. drgania wymuszone mają inną fazę niż siła wymuszająca. Mówimy w takich
   przypadkach o przesunięciu fazowym.

Z zależności (10.26) wynika, że

3. amplituda drgań wymuszonych B— przy określonych F_Oi m i ó — zależy od
   różnicy kwadratów pulsacji drgań własnych co_o i pulsacji siły wymuszającej 42,

4. drgania wymuszone osiągają wtedy maksymalną* amplitudę 5_max, gdy wyrażenie
   podpierwiastkowe w mianowniku (10.26) ma minimum.- ■Rozpatrzmy ten przypadek bardziej szczegółowo. Gdy pulsacją siły wymuszającej jest tak dobrana, że drgania wymuszone odbywają się z maksymalną amplitudą, mó­wimy o zjawisku rezonansu. Pulsację siły wymuszającej nazywamy wtedy pulsacją rezo­nansową Q_r. widać, że pulsacją rezonansowa jest zawsze mniejsza od pulsacji drgań własnych układu. Różnica obu pulsacji rośnie ze wzrostem stałej tłumienia. Dla układów o bardzo małym tłumieniu można przyjmować_t że pulsacją rezonansowa siły wymuszającej jest ^ równa pulsacji drgań własnych. Można oczywiście też mówić w tym przypadku o rów­ności częstotliwości siły wymuszającej i częstotliwości drgań własnych układu. (Przy­pominamy związek co = 2tcv.) Ten warunek równości obu pulsacji lub równości obu Typowym przykładem rezonansu w ośrodku o małym tłumieniu (np. w powietrzu) jest rezonans walhadeł matematycznych o jednakowej długości. W doświadczeniu przedstawionym na rys. 10.11 mamy trzy wahadła przymocowane w punktach A_y BiC nici MN. Wahadła Ii II mają jednakowe długości, a więc i jednakowe częstotliwości drgań własnych. Wychylając wahadło / z położenia równowagi i puszczając je swobodnie wywołujemy działanie siły okresowej na oba wahadła pozostałe. Pod działaniem tej siły wahadło ///, dla którego spełniony jest warunek rezonansu, stopniowo uzyskuje dużą amplitudę, natomiast wahadło // o innej częstotliwości drgań własnych praktycznie pozostaje nieruchome. Dodatkowych wiadomości o zjawisku rezonansu dostarczają tzw. krzywe rezonan­som (rys. 10.12). Są to krzywe przedstawiające zależność amplitudy B .drgań wymuszo­nych od pulsacji siły wymuszającej Q w układach o różnych stałych tłumienia ó. Krzy­wym i, 2, ...,5 odpowiadają coraz większe stałe tłumienia i jbi <&* <&*...< &\* Jak widać, ośrodkom o mniejszych stałych tłumienia odpowiadają krzywe 1 i 2 o doić. wyraźnie zarysowanym maksimum. Innymi słowy, w takich układach duże amplitudy mogą być osiągane tylko w wąskim przedziale wartości Q, zawierającym pulsację re­zonansową Q_r. Krzywe 3 i 4 dotyczące ośrodków o dużym tłumieniu mają już maksima rozmyte — w szerokim przedziale wartości Q układ drgający reaguje niewielkim wzro­stem amplitudy. Wreszcie w układach o bardzo dużym tłumieniu (gdy d > g)₀/i/2 por. równanie (10.28)) nie obserwuje się w ogóle wzrostu amplitudy (krzywa 5) — rezonans nie występuje.

Istnienie rezonansu_:— szczególnie w układach o małym tłumieniu, gdzie towarzy­szy mu gwałtowny wzrost amplitudy drgań — ma swoje złe i dobre strony. Rezonans jest szeroko stosowany w celu wzmacniania drgań nie tylko zresztą mechanicznych

lecz także akustycznych, elektrycznych itp. Czasem jednak drgania rezonansowe o du­żej amplitudzie są czynnikiem bardzo niepożądanym, prowadzącym niekiedy do uszko­dzenia lub zniszczenia układów drgających. Znane są m.in. przykłady zniszczenia konstrukcji mostów wskutek periodycznych pobudzeń czy to czynnikami mechanicz­nymi (miarowy krok żołnierzy), czy nawet czynnikami atmosferycznymi (okresowe pod­muchy wiatru o częstotliwości rezonansowej), jak również przykłady występowania nie­bezpiecznych drgań rezonansowych obudowy maszyn, konstrukcji budowlanych itp.

częstotliwości jest często — choć niezupełnie ściśle — podawany jako warunek rezo­nansu.

4. Składania drgan prosropadlych

Ruch jednostajny punktu M po okręgu jako ruch płaski odbywający się w płasz­czyźnie (x,y) (rys. 10.15) opisywaliśmy równaniamix =rcosfi, y = rsinfigdzie r oznacza promień koła i jest jednocześnie maksymalnym wychyleniem od po­łożenia zerowego w ruchach wzdłuż osi * i osi y, a więc można go oznaczyć literą A i traktować jako amplitudę obu ruchów, a — kąt zakreślany przez promień wodzący, będący liniową funkcją czasu. Można go zatem przedstawić jako a = cot. Po wprowadzeniu tych nowych oznaczeń otrzymujemx = Acoscot = ^4sin(wf+7t/2),

y = A%inwt.Ale wiemy już, że takie równania opisują ruch harmoniczny. Mamy więc do czynienia z dwoma ruchami harmonicznymi o jednakowej amplitudzie i pulsacji, różniącymi się w fazie o tc/2, odbywającymi się w kierunkach wzajemnie prostopadłych, po dwóch wzajemnie prostopadłych średnicach. Każdy z tych ruchów harmonicznych jest ruchem rzutu punktu M na odpowiednią średnicę. Na rys. 10.16 zaznaczone są położenia takiego rzutu na osi * co -g- T. Różnica faz wynosząca rc/2 wiąże się z tym, że gdy w jed­nym ruchu harmonicznym punkt drgający osiąga maksymalne wychylenie od poło­żenia równowagi, to w drugim w tej samej chwili mija on położenie równowagi. W wy­niku składania opisanych dwóch ruchów harmonicznych otrzymujemy ruch jednostaj­ny po kole (przestrzegamy jednak przed popełnianiem dość powszechnego u studentów błędu polegającego na utożsamianiu ruchu jednostajnego po kole z ruchem harmo­nicznym).

przejdziemy do bardziej systematycznego zestawienia wyników składania dwóch wzajemnie pro­stopadłych ruchów harmonicznych (np. wzdłuż osi współrzędnych x i y) przy różnych warunkach narzuconych okresom, amplitudom i fazom obu ruchów przypadki oznaczone jedynką i kolejną literą alfabetu dotyczą składania ruchów harmonicznych o jednakowych okresach T_x = T_y = T (a zatem i jednakowych pulsacjach co_x = co_y = co).1 a. Amplitudy jednakowe A_x = A_y = A; różnica faz A = 0.W obu rozważanych ruchach harmonicznych punkty drgające równocześnie prze­chodzą przez położenia równowagi, równocześnie osiągają maksymalne wychylenia dodatnie itd. 1b.Amplitudy niejednakowe A_x # A_y\ różnica faz A = 0.Drganie wypadkowe, podobnie jak poprzednio, jest ruchem harmonicznym o am­plitudzie A_w = /Axkw+Aykw pierw, odbywającym się wzdłuż linii prostej nachylonej względem osi * pod kątem a takim, że tg a = A_y\A_x (rys. 10.18 dla A_y — 2A_X)1 c. Amplitudy jednakowe A_x = A_y = A; różnica faz A = n/2.

Jest to rozpatrywany przez nas na początku tego paragrafu przypadek drgania wypadkowego w postaci ruchu jednostajnego po okręgu (rys. 10.16). Równania drgań składowych podane jako równanie (10.29).

1 d. Amplitudy różne A_x & A_y\ różnica faz A = tc/2.Ruch wypadkowy po elipsie (rys. 10.20), której osie symetrii skierowane są wzdłuż osi * i y.

1 e. Amplitudy dowolne; różnica faz dowolna z wykluczeniem wartości 0, pi/2 . 3pi/2. 2 pi

Ruch wypadkowy po elipsie, której osie symetrii nie są skierowane wzdłuż osi * i y (rys. 10.21 dla A_x — A, i A = tc/4). W zależności od wartości amplitud i różnicy faz elipsa zmienia swój kształt i położenie.Przypadek 1 e jest oczywiście najogólniejszym przypadkiem składania drgań wza­jemnie prostopadłych o jednakowych okresach. Można bowiem uwbżać, że otrzymy­wane w pozostałych przypadkach okrąg lub odcinki Unii prostych są szczególnymi po­staciami elips. Warto podkreślić, że we wszystkich rozważanych przypadkach okres drgania wypadkowego równa się okresowi drgań składowych 2. Ten punkt dotyczy przypadku, gdy okresy drgań składowych T_x i T_y są niejed­nakowe. Tym razem ruchy wypadkowe odbywają się na ogół po skomplikowanych torach krzywoliniowych, których przykłady podane są na rys. 10.22. Obok rysunku podane są warunki, jakim odpowiadają drgania składowe, a mianowicie różnica faz A i stosunek pulsacji.Tory zakreślane przez punkty materialne odbywające dwa ruchy harmoniczne wzajemnie prostopadłe noszą nazwę krzywych (figur) Lissajous. Przykłady tych krzy­wych podane są na rys. 10.17-10.22.Umiejętność składania ruchów harmonicznych wzajemnie prostopadłych jest bar*
dzo przydatna przy badaniu światła spolaryzowanego (§ 26.1). Na niej też opierają się .
badania oscylograficzne, np. obwodów prądu zmiennego. Obrazy oscylograficzne
powstają dzięki odchylaniu elektronów przez dwa wzajemnie prostopadłe zmienne pola
elektryczne. Jeśli natężenia pól zmieniają się sinusoidalnie z biegiem czasu, mają te
same pulsacje, lecz dowolne amplitudy i fazy, to obrazy wytwarzane przez elektrony
na fluoryzującym ekranie oscyloskopu mają kształt elips, przechodzących w szczegól­
nych przypadkach w okręgi lub odcinki linii prostych. Jeśli natomiast pulsacje obu
pól są niejednakowe, to powstające obrazy oscyloskopowe mają kształt bardziej skom­
plikowanych krzywych Lissajous, zależnie od stosunku pulsacji i istniejącej różnicy
faz natężeń obu pół.

a7. Mech rozchodzenia się fali podluznej ow plaskiej fali bignacej

W fali podłużnej kierunek ruchu drgającego cząstek jest równoległy do kierunku ruchu zaburzenia. Fale podłużne można wywołać na wężu kauczukowym przez jegc rozciąganie i rozluźnianie. Wtedy cząstki kauczuku poruszają się w kierunku równoleg­łym do osi podłużnej węża i w tym samym kierunku rozchodzi się wzbudzone zaburzę-Rozpatrzmy w podobny sposób powstawanie fali harmonicznej podłużnej. Załóż­my przykładowo, że źródłem fali jest tłok (rys. 11.6), drgający ruchem harmonicznym u wylotu długiej rury, zawierającej powietrze. Kolejne położenia tłoka co -|- okresu od­powiadają punktom A\, A₂, Ai itd. Wychylenia tłoka w prawo (dodatnie) powodują zgęszczenia powietrza w rurze, wychylenia w lewo (ujemne) wywołują rozrzedzenia. Zaburzenia wzbudzone przez ruch tłoka dochodzą do coraz dalej położonych cząste­czek powietrza, ale z coraz większym opóźnieniem. Zbadajmy wychylenia cząsteczek od położeń równowagi dokładnie po upływie jednego okresu od chwili rozpoczęcia ruchu przez tłok. Niech punkt B na rys. 11.7a oznacza cząstkę ośrodka, do której do­chodzi zaburzenie od źródła O po upływie 1 okresu. Dzieląc odległość OB na osiem

równych części wyodrębniamy te cząstki ośrodka, do których zaburzenie dochodzi z opóźnieniem wynoszącym \T, -§T, \T itd. Ich położenia równowagi przedstawiają odpowiednio punkty Aj, A'₆, A'_s, ..., A[. Każdy z tych punktów do końca okresu będzie drgał odpowiednio w ciągu ^T, Ą-T itd. Położenia tych punktów (czyli tych cząstek ośrodka) po upływie jednego okresu od chwili rozpoczęcia ruchu przez źródło przedstawia rys. 11.7b. Wyraźnie zaznaczają się obszary zgęszczeń i rozrzedzeń cząs­tek. Na rysunku 11.7c zaznaczone są wektory prędkości chwilowych badanych cząstek.Aby otrzymać obraz fali podłużnej przypominający obraz fali poprzecznej, uma­wiamy się, że wielkości wychyleń od położenia równowagi odłożymy jako rzędne w sto­sunku do linii równowagi, uważając wychylenia w prawo za dodatnie, a w lewo za ujemne (rys. 11.7d). Stosując taką umowę otrzymujemy obrazy fali poprzecznej i fali podłużnej w postaci krzywych tego samego kształtu (sinusoidy). Badanie graficzne fali podłużnej uzupełniamy przedstawiając na rys. 11.7e rozkład prędkości poszcze­gólnych cząstek w oparciu o rys. 11.7c, z tym jednak, że prędkości cząstek odkładamy jako rzędne. Prędkości skierowane w prawo traktujemy jako rzędne dodatnie, skiero­wane w lewo—jako rzędne ujemne. Ten ostatni wykres przedstawia równocześnie rozkład zmian ciśnienia liczonych .względem ciśnienia równowagi w ośrodku (bez fali). W punktach O i B występuje, jak widać z rys. 11.7b, największe zgęszczenie cząstek, czyli największy wzrost ciśnienia w stosunku do ciśnienia równowagi, zaś w punkcieA\ panuje największe rozrzedzenie, a zatem i największe obniżenie ciśnienia w sto­sunku do ciśnienia równowagi.Z porównania krzywej wychyleń od położenia równowagi(rys.11.7d)krzywąrozkładu zmian ciśnienia (rys. 11.7e) można wyciągnąć interesujący wniosek. Podczas
rozchodzenia się fali sprężystej podłużnej ekstremalne wartości zmian ciśnienia wystę­
pują w tych punktach ośrodka, w których cząstki w rozważanej chwili znajdują się
w położeniach równowagi. I odwrotnie, w tych punktach, gdzie występują największe
wychylenia od położeń równowagi, nie ma żadnych nadwyżek lub obniżeń ciśnienia
w stosunku do ciśnienia równowagi. A zatem zmiany ciśnienia liczone w stosunku do
ciśnienia równowagi są zgodne w fazie wzglądem prędkości ruchu drgającego cząstek,
a przesunięte w fazie o tc/2 wzglądem wychyleń cząstek od położenia równowagi.

8.Mechanizm rozchodzenia się fali poprzecznej rw fali plaskiej

Rów­nocześnie z rozchodzeniem się zaburzenia (równoważnym — jeszcze raz to podkreśl­my — transportowi energii) rozpoczynają się drgania cząstek ośrodka, do których za­burzenie już dotarło, dokoła ich położeń równowagi (drgania harmoniczne). Tak więo ruch falowy jest związany z dwoma procesami: z transportem energii przez ołrodek od cząstki do cząstki i z ruchem drgającym poszczególnych cząstek dokoła ich położenia równowagi. Nie jest natomiast związany z ruchem materii jako całości.Przypomnijmy w tym miejscu znaną z życia codziennego obserwację. W pobliżu małego liścia leżącego na powierzchni stawu uderza o wodę kamień. Charakterystyczne
kręgi rozchodzące się po powierzchni wody obrazują ruch zaburzenia. Drgania liścia
w górę i w dół bez przesuwania się względem brzegów obrazują ruch drgający cząstek
ośrodka. Przez promień fali rozumiemy każdy kie­runek rozchodzenia się zaburzenia. Tak więc w omawianym przykładzie z kulą drga-\ jącą w ośrodku jednorodnym i izotropowym (rys. 11.1) promieniami fali są przedłu­żenia wszystkich promieni kuli. Powierzchnia falowa jest to zbiór punktów ośrodka, w których zaburzenie ma tę samą fazę drgania w danej chwili. Powierzchnia falowa najdalej odsunięta od źródła, a więc stanowiąca zbiór punktów, do których w danej chwili dociera zaburzenie, nosi nazwę czoła fali. W omawianym przykładzie — wobec założonych właściwości ośrod­ka — czoło fali i pozostałe powierzchnie falowe mają kształt kul. Kilka takich powierzch­ni falowych widzimy na rys. 11.1 w przekroju. Linie kreskowane oznaczają powierzch-

nie falowe, odpowiadające maksymalnym rozrzedzeniom, a linie ciągłe •— maksymalnym zgęszczeniom. Falą poprzeczną charakteryzuje to, że w niej kierunek ruchu zaburzenia jest pro­stopadły do kierunku ruchu drgającego cząstek. Fale tego rodzaju powstają np. na napiętym wężu kauczukowym uderzonym prostopadle do jego długości Nasuwa się pytanie, czy fale sprężyste poprzeczne i podłużne mogą powstawać we wszystkich rodzajach ośrodków, a więc w ciałach stałych, ciekłych i gazowych. fal harmonicz­nych sprężystych poprzecznych i podłużnych. Niech punkt O przedstawia źródło fali poprzecznej harmonicznej. Innymi słowy, punkt O znajdujący się w ośrodku sprężjs-tym wykonuje drgania harmoniczne. Prześledźmy te drgania np. co \ okresu.

W chwili t — 0 punkt O jest w położeniu równowagi, po ■£ okresu T mija położenie A_x, po \T— . położenie A₂, po \T jest w A₃ (A₃ = A_{), po \T punkt O przechodzi przez położenie równowagi A₄, po czym wychyla się w stronę przeciwną osiągając punkt A₅ po \T punkt A₆ — po \T, wraca do A₇ po }T, a po pełnym okresie znowu osiąga położenie równowagi.

Dzięki siłom sprężystym drgania wykonywane przez punkt O udzielają się sąsied­nim cząstkom ośrodka. Każda z tych cząstek zostaje wprawiona w analogiczne drgania jak punkt O, ale rozpoczyna swój ruch z pewnym opóźnieniem, zależnym od jej od­ległości od punktu O. Przedstawmy graficznie (rys. 11.4) stan drgań punktów leżących np. na wężu kauczukowym w otoczeniu punktu O traktowanego jako źródło fali do­kładnie po upływie jednego okresu od chwili rozpoczęcia ruchu. Niech OB odpowiada odległości, o jaką zaburzenie się przesunęło w ciągu jednego okresu. Wobec tego punktB nie ma jeszcze żadnego wychylenia od położenia równowagi. Podzielmy odległość OB np. na osiem równych części i ustalmy, w jakich ułamkach okresu odbywały się drga­nia punktów A't, A'_6t Aś, ... itd. Do punktu A'₇ zaburzenie doszło z opóźnieniem wy­noszącym \T, a zatem do końca okresu pozostało \T i tyle wynosi czas drgania punktu A't. Wychylenie punktu Ay od położenia równowagi równa się zatem wychyleniu, jakie miał punkt O (rys. 11.3) po upływie }T. Wielkość OA₇ odkładamy jako rzędną punktu A'₇. Podobnie punkt A'₆ rozpoczął drgania z opóźnieniem wynoszącym ^T, drgał więc do końca okresu w ciągu \T. Jego wychylenie od położenia równowagi

równa się wychyleniu, jakie miał punkt O po f T. To wychylenie OA₆ odkładamy jako rzędną punktu A'₆ itd. Punkt A[ rozpoczął drganie z opóźnieniem \T, zdążył uzyskać wychylenia odpowiadające \T, czyli jego wychylenie od położenia równowagi równa się OAu Punkt B spóźniony jest o \T, czyli po upływie jednego okresu od chwili roz­poczęcia drgań przez punkt O jest on jeszcze w położeniu równowagi, gdyż zaburzenie dopiero do niego dociera.Uwzględnienie wychyleń wszystkich punktów ośrodka drgającego zawartych mię­dzy O i B doprowadza do migawkowego obrazu stanu ośrodka dokładnie po upływie jednego okresu od chwili rozpoczęcia drgań przez źródło. Odpowiada on sinusoidzie z rys. 11.4. Ten stan jest jednak tylko chwilowy. Rys. 11.5 przedstawia stan drgań punktów ośrodka po upływie innego czasu, a mianowicie po czasie (T-\-\T). Wszystkie punkty zmieniły fazy swoich drgań

9. Mech pows i wl fali stojacej

Zajmiemy się obecnie graficznym przedstawieniem interferencji dwóch fal o jed­nakowych amplitudach Ao i o pulsacjach co rozchodzących się w przeciwnych,kierun­kach wzdłuż tego samego promienia.

rozważymy wyniki ich spotkania, np. co y okresu. Wykres od­nosi się do wyodrębnionej części ośrodka, odpowiadającej jednej długości fali (rys. 11.22).

Niech w chwili t = 0 obie fale składowe spotykają się w wyodrębnionej części ośrodka WiW₃ w zgodnych fazach (rys. 11.22a). Obrazem jednej fali jest sinusoida ciągła, obrazem drugiej —sinusoida kreskowana. Kierunek prędkości obu fal zazna­czony jest odpowiednio strzałką ciągłą i kreskowaną. Wobec zgodności faz i równości amplitud obu fal składowych otrzymujemy po zsumowaniu wychyleń od położeń równowagi falę wypadkową o podwojonej amplitudzie.

Rysunek 11.22b przedstawia stan tej części ośrodka po upływie -y okresu. Obie fale przesunęły się o -g-A: fala zaznaczona linią ciągłą — w prawo, linią kreskowaną —w le­wo. Znowu sumujemy wychylenia od położeń równowagi w każdym punkcie. Otrzy­mana fala wypadkowa ma nieco inny przebieg niż wypadkowa na rys. 11.22a. Tym

razem obie fale składowe nie spotykają się w zgodnych fazach, a więc fala wypadkowa nie ma amplitudy równej 2A₀.

Po upływie -f-T obie fale są przesunięte w stosunku do położeń pierwotnych o -f-A, w tych samych jak poprzednio kierunkach (rys. 11.22c). Tym razem fale spotykają się w fazach przeciwnych, w tej chwili zatem wychylenia wszędzie się znoszą. Wszystkie cząstki ośrodka pozostają w tym momencie w swych położeniach równowagi.

fazydrgania.Spoglądając kolejno na rysunki od a do i prze

analizujmy, co się dzieje z poszczególnymi punkta-mi badanej części ośrodka w eiągu całego okresu(a więc i w ciągu okresów następnych).Punkt Wi nie wykonuje żadnych drgań, jeststale w położeniu równowagi. Taki punkt nazy-warny węzłem. Punkt Punkty W₂ i W₃ zachowują się w ciągu całego

okresu tak jak W_it tzn. nie wykonują żadnych

drgań. Są to więc następne węzły badanej fali.

Punkt S2 zaczyna drgania w chwili t — 0 naj-

większym wychyleniem w dół, równym — 2A₀,

po czym stopniowo wraca do położenia równowagi, mija je w chwiliT, wychyla się
w górę osiągając wychylenie równe 2A₀ po -£T» potem wraca do położenia równowagi
(w chwili t = -f-T) i wychyla się ku dołowi osiągając 2nów wartość —2A₀ po upły­
wie pełnego okresu. '.

Żaden z punktów ośrodka nie osiąga wychylenia od położenia równowagi większe-

go od 2A₀. Można więc powiedzieć, że punkty S są to takie punkty ośrodka, które mają maksymalną amplitudę drgań. Punkty te nazywamy strzałkami. Strzałki i węzły utrzy­mują sie w stałych punktach ośrodka. Ich istnienie w ośrodku jest charakterystyczne dla fali stojącej.

. Amplitudy drgań poszczegól­nych punktów są tylko i wyłącznie funkcjami ich położenia Rozpatrując jeszcze raz rys. 11.22 od a do i stwierdzamy, że każdy punkt ośrodka, np. między W\ i W₃, wykonuje drganie dokoła /położenia równowagi o amplitudzie zawartej między zerem (węzły) i wartością 2Aq (strzałki). Punkty leżące między W_x i W₂ mają w każdej chwili jednakowe fazy: np. jednocześnie osiągają swe wychylenia maksymalne, jednocześnie mijają położenia równowagi itd,, tzn'. faza drgań tych punk­tów jest tylko funkcją czasu (nie zależy od ich położenia). Podobnie wszystkie punkty między W₂ i W3 mają stale jednakowe fazy. Jednak fazy drgań punktów między Wi i W_t są w każdej chwili przeciwne względem faz drgań punktów między W₂ i W₃, tzn. gdy pierwsze wychylają się ku górze, to drugie w tej samej chwili przesuwają się w dół; i tak na przemian. Dzięki temu powstaje charakterystyczne dla fali stojącej „kołysanie się".Na rysunkach 11.23a i b zaakcentowana jest różnica między falą bieżącą i falą sto­
jącą. Oba rysunki przedstawiają stan drgania cząstek wyodrębnionej części ośrodka co
^- okresu, lecz rysunek a dotyczy fali bieżącej, a rysunek b — fali stojącej. Na rysunku a
widać charakterystyczne przesuwanie się fazy (np. grzbietu a) wzdłuż ośrodka, dla
rysunku b natomiast charakterystyczna jest stałość położeń węzłów i strzałek odpowie- j
dzialna za wspomniane „kołysanie się". (

Takie kołysanie się można zaobserwować np. w przypadku fali stojącej poprzecznej na napiętym sprężystym sznurze. Tym razem fala stojąca powstaje w wyniku inter- j ferencji fali rozchodzącej się od źródła i fali odbitej od ściany, do której przymocowany i jest sznur. Obie fale mają jednakowe amplitudy i pukacje, a poruszają się w kierunkach przeciwnych.

10 Zjawisko Dopplera

Ani zjawisko odbicia, ani zjawisko załamania nie mają wpływu na częstotliwość od­bieranego tonu. Zmiana częstotliwości tonu odbieranego w stosunku do częstotliwości tonu nadawanego występuje w przypadku ruchu źródła, ruchu obserwatora lub też obu na raz względem ośrodka, w którym rozchodzi się fala głosowa. Mimo że zjawisko to, znane pod nazwą zjawiska Dopplera, występuje we wszystkich rodzajach ruchu fa­lowego, omówimy je dokładnie w odniesieniu do fal głosowych, gdyż w tej dziedzinie znamy je ogólnie z naszych codziennych obserwacji.

Każdy z nas niejednokrotnie miał okazję stwierdzić dość gwałtowną zmianę wyso­kości odbieranego tonu w momencie, gdy poruszające się źródło dźwięku nas wymija. Zmienia się wysokość 'tonu gwizdka przejeżdżającego obok nas parowozu, zmienia się wysokość tonu syreny mijającego nas samochodu itp.Następujące rozumowanie pozwoli ustalić zależność między częstotliwością y tonu wysyłanego, częstotliwością v' tonu odbieranego oraz prędkościami: źródła (v_z), obser­watora (v₀) i głosu (©,).

Zastosowanie wyprowadzonych wzorów pozwoli

na ustalenie, czy zmiana częstotliwości odbieranego sygnału będzie jednakowa, gdy: a) źródło zbliża się do nieruchomego obserwatora z prędkością «, b) obserwator zbliża się do nieruchome­go źródła z prędkością u?Odpowiedź na postawione pytania być może jest nieco zaskakująca i wymaga bliż­szego przeanalizowania. Okazuje się, że zmiany częstotliwości w obu przypadkach są różne. Wiąże się to z tym, że wystąpienie zjawiska Dopplera wynika z ruchu obserwa­tora i źródła względem ośrodka, a nie z ich ruchu względnego. Jeśli obserwator porusza się np. w stronę nieruchomego źródła (rys. 12.16), to jego ucho odbiera w czasie 1 se-

kundy więcej fal niż wtedy, gdy jest ono nieruchome. Jeżeli jednak obserwator jest nieruchomy, a źródło się do niego zbliża (rys. 12.17), to efekt jest taki, że długość fali dochodzącej do ucha jest mniejsza niż w przypadku źródła nieruchomego. Widać to wyraźnie na rys. 12.17. Źródło w swoim ruchu usiłuje dogonić wysyłane fale, co po­woduje zmniejszenie odległości między kolejnymi np. grzbietami, a więc zmniejsza długość fali. Umniejszeniu długości fali — przy stałej prędkości głosu w ośrodku — od­powiada wzrost częstotliwości. Tak więc inne czynniki wywołują zmianę częstotliwości odbieranego tonu przy ruchu źródła, a inne przy ruchu obserwatora i stąd różne wy­niki w obu przypadkach wymienionych w pytaniach.

11. Zjawiska tow rozch się fal mech korz z zasaady HUYGENSA

Rozchodzenie się fal o rozmaitych kształtach powierzchni falowych, jak również zjawiska ugięcia, odbicia i załamania fal można ujmować z punktu widzenia tzw. za­sady Huygensa. Według tej zasady każdy punkt ośrodka, do którego dociera czoło fali, staje się samodzielnym źródłem wysyłającym fale kuliste cząstkowe. Powierzchniastyczna do wszystkich fal kulistych cząstkowych stanowi nowe czoło fali. Rys. 11.8 i 11.9 przedstawiają właśnie w takim ujęciu rozchodzenie się fali kołowej i fali płaskiej. Rys. 11.10 przedstawia w analogiczny sposób zjawisko ugięcia fali płaskiej na małym otworze CD wyciętym w przeszkodzie AS. To samo zjawisko w odniesieniu do falpłaskich na wodzie ilustruje rys. 11.11. Widać wyraźnie przekształcanie się fali płaskiej w falę kołową.

Na granicy dwóch ośrodków fala ulega zazwyczaj częściowemu odbiciu, a jeśU ośrodek drugi również jest „przezroczysty" dla danego typu fali, to równocześnie 2 odbiciem występuje załamanie. Oba zjawiska podlegają następującym prawom: 1 1 111 1Promień fali padającej, fali odbitej i normalna wystawiona w punkcie padania
leżą w jednej płaszczyźnie (rys. 11.12).

1. Kąt padania a równa się kątowi odbicia «,'. Kąt padania <x jest to kąt zawarty
   między promieniem padania AO i normalną ON do powierzchni odbijającej, wysta­
   wioną w punkcie padania. Kąt odbicia a' jest to kąt zawarty między promieniem OB
   fali odbitej i normalną ON. Zaznaczone na rys. 11.12 prostopadłe do promieni przed­
   stawiają odpowiednio powierzchnie płaskiej fali padającej i odbitej. Rys. 11.13 ilustruje
   odbicie fal płaskich na wodzie.

2. Promień fali padającej, fali załamanej i normalna wystawiona to punkcie padania
   lezą w jednej płaszczyźnie (rys. 11.12).4. Stosunek sinusa kąta padania a do sinusa kąta załamania P równa się stosunkom prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku pierwszym do prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku drugim. Kąt załamania /? jest to kąt zawarty między promieniem załamanym OC i normalną ON'.Treść ostatniego prawa można zapisać następująco:[Prawa, odbicia i załamania fal można wyprowadzić stosując zasadę Huygensa, Niech prosta AB na rys. 11.14 przedstawia przeszkodę odbijającą. CO jest jednym z promieni fali padającej, OE stanowi część czoła fali padającej. Według zasady Huygensa punkt O staje się źródłem fali kulistej cząstkowej, z chwilą gdy do niego dociera czoło fali. Ta fala cząstkowa stopniowo z biegiem czasu powiększa swój promień, który osiąga war­tość DO = EEi = vt po czasie t, w ciągu którego czoło fali dociera od punktu E do punktu Ei. Kolejne punkty przeszkody leżące między O i E\ stają się coraz później źródłami fal cząstkowych, więc też ich promienie są coraz mniejsze, jak to widać na rysunku. Styczna do wszystkich fal cząstkowych, przechodząca przez E_it wyznacza czoło fali odbitej. Aby znaleźć promień fali odbitej OC_lt wystawiamy, prostopadłą do jej czoła z punktu O. Uzupełniamy rysunek kreśląc normalną padania ON i zazna­czając kąt padania a i odbicia a'.

Bez trudności można wykazać równość trójkątów prostokątnych OHEi i OEEi (OH = EE_X z konstrukcji), z której bezpośrednio wynika prawo odbicia

W podobny sposób dochodzimy do prawa załamania wyrażonego wzorem (11.1). Niech AB (rys. 11.15) przedstawia powierzchnię rozgraniczającą ośrodek / (prędkość fali vi) od ośrodka // (prędkość fali v₂). Załóżmy np., że v_t = -§■ v₂. Gdy ^czoło fali pa­dającej osiąga punkt O powierzchni granicznej, zaczyna on wytwarzaj: falę kulistą cząstkową w ośrodku //. W tym czasie, gdy w ośrodku / fala od E dociera do E\, w ośrodku II rozchodzi się fala kulista cząstkowa o promieniu OF = yEi&JJunkty po­średnie między O i E_t wyślą do ośrodka // fale cząstkowe o odpowiednio mniejszych promieniach, jak to widać z rysunku. Styczna do wszystkich fal cząstkowych stanowi czoło fali załamanej, której promieniem wystawionym z punktu O jest OCi. Na ry­sunku zaznaczone są kąty padania ą i załamania /?. Takie same kąty można znaleźć w trójkątach prostokątnych OEE\ i OFE\. Wobec tego można napisać

5

---