Wykład 18

18. Siła elektrostatyczna

1. Wstęp

Oddziaływanie elektromagnetyczne - chyba najważniejsze w fizyce. Pozwala wyjaśnić nie tylko zjawiska elektryczne ale też siły zespalające materię na poziomie atomów, cząsteczek. Przewodniki i izolatory. Doświadczenie z naładowaniem pręta metalowego i pręta szklanego. Zdolność izolacyjna stopionego kwarcu jest 10²⁵ razy większa niż miedzi.

2. Ładunek elektryczny

Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru F = 3.61·10^-47 N z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym samym atomie F = 2.27·10^-8 N.

To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał dominują wynika stąd, że liczby protonów i elektronów są równe.

Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.

W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".

1. Kwantyzacja ładunku

Ładunek elementarny e = 1.6·10^-19 C. Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.

2. Zachowanie ładunku

Zasada zachowania ładunku - B. Franklin. Wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym jest stały.

3. Prawo Coulomba

Siła oddziaływania dwóch ładunków q₁ i q₂

(18.1)

gdzie stała
. Współczynnik ε₀ = 8.854·10^-12 C²/(Nm²) nosi nazwę przenikalności elektrycznej próżni. W układzie cgs k = 1.

1. Zasada superpozycji

Siłę wypadkową (tak jak w grawitacji) obliczamy dodając wektorowo siły dwuciałowe.

Przykład 1

Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków oddalonych od siebie l. Jaka siła jest wywierana na ładunek q umieszczony tak jak na rysunku?

Z podobieństwa trójkątów

Stąd

gdzie p = Ql jest momentem dipolowym.

4. Pole elektryczne

W wykładzie 6 zdefiniowaliśmy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punkcie przestrzeni jako siłę grawitacyjną działająca na masę m umieszczoną w tym punkcie przestrzeni podzieloną przez tę masę.

Analogicznie definiujemy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten ładunek.

Aby zmierzyć natężenie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, należy w tym punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wypadkową siłę elektryczną F działającą na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku q nie zmienia położeń innych ładunków. Wtedy

(18.2)

Ładunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na ładunek dodatni).

Przykład 2

Ten sam układ co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiegoś" ładunku tylko tam umieścimy ładunek próbny. Korzystając z otrzymanej zależności obliczamy E

Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.

Pole E w odległości r od ładunku punktowego Q jest równe

Pole elektryczne od n ładunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elektrycznych

Przykład 3

Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest pole elektryczne na osi pierścienia w odległości x₀ od środka ? Pole wytwarzane przez element dl pierścienia jest równe

dE_x = dE(cosα)

cosα = x₀/r

Jeżeli λ = Q/2πR jest liniową gęstością ładunku to

oraz

Stąd

Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x₀ = 0) E = 0, a dla x₀ >> R pole E → kQ/x₀² i jest takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.

Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy zajmować się szczegółami źródła pola. Np. pole E = kQ/r² może pochodzić od wielu źródeł.

1. Linie sił

Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw. linii sił. Linie nie tylko pokazują kierunek E ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni).

Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię ΔS oznaczymy Δφ to wówczas

Δφ = E ΔS = EΔS cosα

gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni ΔS i wektorem E.

W ogólności więc

dφ = dE ds (18.3)

i jest to definicja strumienia elektrycznego.

Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę przyczynków od elementów powierzchni

Suma ta przedstawia całkę powierzchniową

(18.4)

Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego w odległości r od niego.

W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę linii przez powierzchnię).

(18.5)

Otrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r. Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa Q/ε₀ i linie te ciągną się do nieskończoności.

Ponieważ pokazaliśmy, że strumień jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie od r więc jest to prawdą dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która otacza ładunek Q).

Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią Gaussa.

5. Prawo Gaussa.

Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q₁ i Q₂. Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków Q₁ i Q₂ jest równa

gdzie E₁ jest wytwarzane przez Q₁, a E₂ przez Q₂. Powołując się na wcześniejszy wynik otrzymujemy

φ_całk = (Q₁/ε₀) + (Q₂/ε₀) = (Q₁ + Q₂)/ε₀

Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez ε₀. Podobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.

Otrzymujemy więc prawo Gaussa

(18.6)

Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równa wypadkowemu ładunkowi podzielonemu przez ε₀. Jeżeli Q jest ujemne strumień wpływa do ciała.

Linie mogą zaczynać się i kończyć tylko na ładunkach a wszędzie indziej są ciągłe.

A co w sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki?

Rozważmy zamkniętą powierzchnię (rysunek) wewnątrz której Q_wewn. = 0, a linie sił pochodzą od ładunku na zewnątrz.

Całkowity strumień dzielimy na części

φ_całk = φ_ab + φ_bc + φ_cd + φ_da

Z rysunku widać, że φ_ab = +2, φ_bc = +3, φ_cd = -7, φ_da = +2. Tak więc

φ_całk = +2 + 3 - 7 + 2 = 0

Na następnym wykładzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla różnych naładowanych ciał.

17-7

18-1

---