I. Matematyzacja - kierunki rozwoju.

Ekonomia matematyczna wyznacza związki w ekonomii

Ekonometria na bazie statystyki szuka związków w ekonomii. Służy ekonomii

Matematycznej jako płaszczyzna do stawiania hipotez w ekonomii

matematycznej.

II. Kontrowersje wokół zastosowań matematycznych w teorii ekonomii.

Y y =ax+b x

Keynes oceniał negatywnie ekonomię matematyczną.

„ Prawda i precyzje są w opozycji do siebie „

Modele są nielogiczne w stosunku do ekonomii.

• 
  funkcja produkcji - Q =f(K,L) e R matematycznie może być ujemna ekonomicznie musi być dodatnia

B

U_c = const.. A

U_c = f(A, B) max

I = P_A A + P_B B

Podstawowe pojęcia ekonomii matematycznej.

W gospodarce podstawową kwestią jest generowanie informacji ( liczb)

Podstawowym zadaniem podejścia ilościowego w Ek. Matematycznej i Ekonometrii jest przetwarzanie danych i przedstawianie w użytecznej z punktu widzenia praktyki gospodarczej , formie ogromnej ilości informacji generowanej w tej gospodarce.

Są to informacje o charakterze makro i mikroekonomicznym . Na poziomie mikroekonomicznym podstawowym źródłem informacji są:

1. systemy ewidencjonowania i gromadzenia informacji wewnątrz podmiotów gospodarczych ( rachunkowość w przedsiębiorstwie).

2. Systemy gromadzenia informacji o podmiotach działających poza tymi podmiotami ( urzędy, izby skarbowe itp.).

3. Obserwacje i pomiary realizowane podczas badań .

Gdy przechodzimy na poziom makroekonomiczny możliwości gromadzenia samodzielnych informacji maleją, wzrasta rola czynników staystyki ekonomiczno- społecznej.

Z problemem wykorzystania zgromadzonych informacji wiąże się zagadnienie agregacji.

Przez agregację rozumiemy proces łączenia danych liczbowych, dotyczących zbiorów jednostek niższego rzędu, wskutek czego otrzymuje się informacje dotyczące jednostek wyższego rzędu.

Teoria agregacji zajmuje się:

1. badaniem istoty i rodzajów agregacji,

2. badaniem relacji między wielkościami niższego a wyższego rzędu

3. poszukiwaniem odpowiedzi na czym mogłaby polegać agregacja doskonała. Pojęcie to oznacza taką agregację, która nie prowadziłaby do błędów predykcji ( przewidywania) w przypadku zmian strukturalnych w zbiorowościach jednostek niższego rzędu.

4. Odpowiedź na pytanie w jaki sposób zmiany strukturalne w zbiorowościach jednostek niższego rzędu wpływają na wielkości opisujące zbiorowości jednostek wyższego rzędu.

Teoria agregacji podchodzi do tych problemów na trzy sposoby. Dwa z nich opierają się o założenie iż agregacja powinna być trwała. Trwałość oznacza , że użycie agregacji funkcji do problemu ekonomicznego prowadzi do identycznych wyników bez względu na otrzymane relacje wyjściowe.

Trzeci kierunek poszukuje ogólnych zasad agregacji starając się rozwiązać te zagadnienia. Twórcy teorii agregacji sformułowali określone warunki, które muszą być spełnione aby agregacja była poprawna z punktu widzenia formalnego. Ogólnie biorąc można warunki te opisać tak : ( wykorzystujemy tu funkcję produkcji)

Grupa czynników jest agregowalna kiedy stosunek produkcyjności krańcowej dwu dowolnie wybranych czynników z tej grupy zależy tylko od wkładu czynników, które do tej grupy należą. ( L₁ ....,L_m) i (K₁....., K_n )

Gdzie:

L - nakład pracy,

11. rodzaj kapitału nakładu pracy

dla pewnej funkcji produkcji

Q = F ( L₁ ...., L_m ; K₁ ....., K_n )

Własność tę zapisujemy następująco:

∂ F

∂ = ∂ L_v

∂ F

∂ L_k = 0

∂ K_i

pochodna cząstkowa po Lv i po Lk dla dowolnych i e ( i.........n)

oraz

∂ F

∂ K_i

∂ = ∂ F ∂ K_j ∂ Lr gdzie r e ( 1 .......m)

Jeżeli funkcja produkcji ma powyższą własność to będzie nazywana funkcjonalnie rozdzielną. Wykorzystując to pojęcie - warunek agregacji brzmi następująco:

• grupy czynników L1 ......Lm i K1 .... Kn w funkcji produkcji

Q = F ( L1.......Lm ; K1........Kn) są agregowalne kiedy funkcja F względem tych grup czynników jest funkcjonalnie rozdzielna wówczas funkcja produkcji

Q = F (L1...Lm: K1.....Kn) przybierze postać Q = P(K,L)

Gdzie L= (L1........Lm),

K= (K1.......Kn)

Powyższe funkcje agregowane muszą spełniać trzy warunki:

1. funkcja agregowana powinna być jednoznaczna, oznacza to, że każda dowolna kombinacja Ki, Li musi posiadać tylko jedną wartość argumentu. Agregat ten zależy tylko od części składowych a nie zależy od innych czynników. Agregat ten musi przybierać wartości nieujemne.

2. Jeżeli powiększamy dowolny argument funkcji agregowanej przy stałości wszystkich pozostałych argumentów, agregat powinien rosnąć. Formalnie oznacza to, że dla L=( L1....,Lm) i K= (K1....,Kn) muszą być spełnione warunki:

a)

∂ L / ∂ Lr > 0 dla r=1......., m

b) ∂ K / ∂ Ki > 0 dla i=1......., n

3. Wzrost wszystkich argumentów funkcji agregatowej w jednakowej proporcji powoduje ten sam wzrost wielkości agregatu.

Innym obok agregacji problemem jest sposób traktowania czasu w modelu ekonomicznym. W uproszczony sposób można sprowadzić do wyróznienia dwóch rodzajów agregatów ekonomicznych - zasobów i strumieni.

1. Zasoby - to agregaty nie posiadające wymiaru czasowego, wyrażające rozmiary pewnej zmiennej w danym momencie czasu.

2. Strumienie - to agregaty posiadające wymiar czasowy, opisujące rozmiary zmiany w pewnym okresie ( przedział czasowy) lub na jednostkę czasu.

Problem wymiaru czasowego nabiera znaczenia gdy porównujemy w analizie jeden agregat z drugim.

Wymiar czasowy znajduje swoje odzwierciedlenie w zapisie matematycznym. Włączamy bowiem do zapisu ∆t. Wówczas dana wielkość np. Y-dochód przyjmie postać Y∆t, co oznacza , że w okresie t wystąpiła wielkość dochodu Y.

Wymiar czasowy	Agregat	Wartość w okresie ∆t
Brak wymiaru czasowego	Krańcowa psychologiczna skłonność do konsumpcji ∆C c= ∆Y	c
Brak wymiaru czasowego	Rynkowa stawka płac W w = L	w
Brak wymiaru czasowego	Produkcja na zatrudnionego Y - produkcyjność y = L - zatrudnienie	y
Wymiar czasowy t	Stopa zysku P - masa zysku p = K -wielkość kapit. Zatrudnionego	p∆t
Wymiar czasowy t	Produktywność kapitału Y = V K	1 ∆t V c
Wymiar czasowy t	Stopa wzrostu gospodarczego ∆Y g = Y	g∆t
Wymiar czasu t	Stopa procentowa i	i∆t
Wymiar czasu t^-1	Kapitał na zatrudnionego K k = L	k ∆t
Wymiar czasowy t ^-1	Kapitałochłonność produkcji k v = y	v ∆t

Relacja dwóch strumieni nie posiada wymiaru czasowego ponieważ wymiary poszczególnych agregatów znoszą się. Dotyczy to wielkości zarówno globalnych jak i krańcowych. Natomiast relację zasobu do strumienia posiada swój wymiar czasowy. Jest uzależniony od tego czy zasób jest w liczniku czy w mianowniku. Jeżeli zasób jest w mianowniku to cała relacja ma wymiar czasowy t.

Jeżeli zasób jest w liczniku to całe wyrażenie ma wymiar czasowy t ^-1.

innym przykładem wielkości wykorzystywanych w modelu ekonomicznym w ramach których uwzględnia się czas, jest stopa zmian określonej wielkości w czasie . określa się ją jako relację wielkości w czasie lub jako procent danej wielkości na jednostkę czasu ( np. stopa procentowa )liczona w danym przedziale czasowym,

i * x* ∆t może być zapisane

( i ∆t )x

Podstawowe definicje

W modelowaniu ekonomicznym wykorzystuje się następujące pojęcia:

1. teoria,

2. model ekonomiczny,

3. parametry,

4. daty,

5. założenia,

6. warunki ograniczające

7. funkcje.

Teoria - to ogólny system naukowo uzasadnionych praw i hipotez powiązanych ze sobą w pewną spójną całość. Jej zadaniem jest próba wyjaśnienia określonej dziedziny zapisu ekonomicznego. Zawiera sądy normatywne ( wyjaśniające) i tworzy określony sposób interpretacji zjawisk.

Model ekonomiczny - zespół logicznie spójnych założeń w ramach, których przedstawia się ilościowe związki między głównymi składnikami badanego zjawiska. O ile w teorii mogą dominować charakterystyki ilościowe o tyle w modelu dominują relacje ilościowe.

Parametry - mogą być interpretowane w szerokim i wąskim ujęciu:

• szerokie ujęcie - są to różne wielkości ekonomiczne odzwierciedlające sytuacje rynkowe i obiektywne warunki gospodarcze.

• Wąskie ujęcie - są to współczynniki wyrażające ilościowe zależności między składnikami funkcji, które tworzą modele.

Daty - elementy przyjęte w modelach za dane z zewnątrz, niezależnie od wielkości tworzących same modele ( np. warunki atmosferyczne).

Założenia - wielkości upraszczające model do elementów najistotniejszych, najczęściej przyjmują postać ceteris paribus.

Warunki ograniczające - wyznaczają ramy możliwych , dopuszczalnych rozwiązań.

Funkcje - są to podstawowe części modelu i ustalają w ramach przyjętych parametrów i warunków ograniczających najbardziej podstawowe zależności między ustalonymi wielkościami zmiennymi ( funkcja produkcji, konsumpcji )

ANALIZA OKRESOWA - DYSKRECJONALNA A ANALIZA CIĄGŁA.

W analizie okresowej strumień czasu jest dzielony na ojkresy o stałej długości, które traktuje się jako podstawowe jednostki czasu. Jeżeli model jest dynamiczny, czyli zmienne są rozpatrywane w różnych momentach czasu to warunki ograniczające modelu redukują się do równania względem zmiennej, która nabiera charakteru równania różnicowego.

W analizie ciągłej czas zmienia się w sposób ciągły ( zmiany mogą być ∞ małe). Przyjmujemy , że wszystkie zmienne modelu zmieniają się w czasie w ten sam sposób i można dla nich policzyć granicę ilorazu różniczkowego , czyli pochodną. Warunki modelu dynamicznego redukują się w tym przypadku do równania różniczkowego.

Przyjmujemy, że malejący strumień

Y_t=Z_t-1

Y - wielkość dochodu

Z_t - jest sumą wydatków konsumpcyjnych i inwestycyjnych

Z_t= C_t + I _t

Ponadto można przyjąć założenie funkcjonalne

C_t = c ∙ Y_t

Inwestycje w okresie t

I_t =A - zagregowane wydatki inwestycyjne

Popyt konsumpcyjny i inwestycyjny czyli ex ante realizowany jest przez wydatki po ex post bez odroczeń czasowych

Y_t= Z _t-1 = C_t-1 + I _t-1 = c ∙ Y_t-1+ A

W efekcie otrzymamy relację:

1=s+c

Y_t =(1-s )∙ y _t-1 +A - ujęcie dyskrecjonalne

Ten sam problem w ujęciu ciągłym

dY/ dt =z-y ∙ α różnica między popytem a produkcją razy współczynnik α

gdzie przyrost dochodu w okresie następnym przy czasie dowolnie małym oznacza ,że oferent reaguje na niedobór (z-Y) podnosząc produkcję o pewną wielkość λ zależności definicyjne pozostają bez zmian

C_t= c ∙ Y_t A - wydatki autonomiczne

I_t = A

Popyt inwestycyjny i konsumpcyjny ex ante jest realizowany bez odroczeń czasowych przez wydatki ex post, w efekcie otrzymamy równanie rożniczkowe

( 1/λ ∙ (dy/dt )= z-c = C+ I - y = cY + A-Y=A sY= (1/λ) ∙ ( dy/dt)+s∙y= A s=1-c

w pierwszym przypadku ( okresowa0

Y_t = (a/s)+ Y_o - (A/s ) ∙ ( 1-s)^t

W drugim przypadku ( ciągła )

Y + ( A/s) + Y_o (A/s) ∙( e ^-sλt )

Nie jest bez znaczenia dla wyniku jakie rozwiązanie zastosujemy ( analizę ciągła czy okresową )

Ze względu na bardziej realną postać, czy ze względu na metodologię formalną, analiza okresowa jest bliższa, człowiek traktuje cza sokresowo ( jutro, za rok itp.)

WARUNKI KONIECZNE I WYSTARCZAJĄCE

Przy danych stwierdzających lub wniosku „q” mamy następujące definicje:

1. warunek p1 jest warunkiem koniecznym dla q jeżeli q inplikuje p1

2. warunek p2 jest warunkiem dostatecznym dla q jeżeli p2 inplikuje q

3. warunek p jest konieczny i dostateczny dla q jeżeli q inplikuje p i/lub p inplikuje q

zbiór Q jest zbiorem wszystkich prawdziwych możliwości twierdzenia q, zbiór wszystkich prawdziwych możliwości dla warunku p1 i p2

zbiór zawiera wszystkie prawdziwe możliwości p2, p1 może zawierać rozwiązania które tworzą zbiór Q ale nie tworzy Q.

Ad 3 Obie relacje

W przypadku warunku koniecznego i dostatecznego nie można sumować tych warunków. Warunek konieczny i dostateczny nie jest sumą warunku koniecznego i waunku dostatecznego.

P musi zawierać Q jednocześnie I Q musi zawierać się w P

MODEL FUNKCJI PRODUKCJI JAKO PODSTAWA ANALIZY PROCESÓW PRODUKCJI I PODZIAŁU.

Pojęcie funkcji produkcji - w języku matematycznym funkcja produkcji może być wyrażana za pomocą funkcji określającej proporcje między ilością wytworzonego wyrobu B , a uwzględnionymi czynnikami produkcji. Z charakteru procesu produkcji wynika że

Q= f( x₁ .......x_n )

Nadal opisujemy ten sam proces spełniający pewne warunki1

1. nieujemność czyli brak możliwości wyrażenia produkcji w ilościach ujemnych

Q = f (x₁ ............x_n) ≥ 0

2. nieujemność wyprodukowania wyrobu przy wydatkowaniu tylko jednego czynnika produkcji, co możemy nazwać ograniczoną substytucyjnością czynników produkcji

f( 0 ,..........0, x1,.......0, 0) produkcja = 0

3. komplementarność czynników produkcji oznaczająca iż w procesie produkcji muszą wziąć udział wszystkie niezbędne czynniki produkcji

f(0, x2........xn)= f( x1, 0 ........xn)= f( x1,......0,xn)= f(x1,.....0)=0

najczęściej w analizach ekonomicznych używa się dwuczynnikowej funkcji produkcji, w której występują kapitał i praca

produkcja Q= F( K,L )

gdzie K - kapitał

L - praca

Równanie to zakłada, że istnieje związek między produkcją a nakładamiobu tych czynników (K,L). Nie mówi jednak jaki to jest związek, czyli nie pokazuje własności funkcji F. O własnościach tych powie na odpowiedź na cztery pytania:

1. Jak wyznaczona jest ogólna produkcyjność czynników produkcji czyli jakie są wkłady czynników w otrzymany produkt (efekt)

2. Czy pewna ustalona wielkość produkcji Q (stała wielkość produkcji) może być wytworzona tylko dzięki jednej większej liczby kombinacji tych czynników. Jest to pytanie jak zmniejszają się nakłady jednego czynnika w warunkach zmiany innego czynnika.

Pytanie o zakres substytucyjności czynników.

3. Jaka jest relacja między produkcyjnością krańcową czynników a ich wkładami do produkcji. Jest to pytanie o intensywność czynników.

4. Jak zmienia się produkt gdy wkład czynników rośnie proporcjonalnie o ile muszą zmienić się czynniki żeby produkt wzrósł o pewien %. Problem elementów w skali produkcji.

Najczęściej używaną klasą funkcji produkcji jest klasa funkcji homogenicznych.

Homogeniczna funkcja produkcji.

Q = F (K,L)

Jest funkcją spełniającą następujące własności.

To wyrażenie mówi, że wzrost wkładu obu czynników o λ-krotności spowoduje wzrost wartości funkcji o λ^v

Stała v będzie nazywana stopniem homogeniczności funkcji produkcji (v- dodatnie+)

Wśród funkcji homogenicznych zainteresowaniem cieszą się f. liniowo homogeniczne czyli nasze v=1 funkcje linowo homogeniczne posiadają kilka ważnych własności:

1. dla liniowo homogen. funkcji produkcyjnej przeciętna produkcja pracy i przeciętna produkcja kapitału będzie zależna od relacji ilości włożonych tych czynników

2. Produkcje krańcowe (przyrosty) pracy i kapitału są zależne również od ilości zaangażowanych czynników

3. Elastyczność substytucji jest równe we wszystkich punktach promienia wodzącego mapy izokwant.

Izokwanta - krzywa jednakowego produktu oznacza, że tg α₁ , α_2, α₃ jest jednakowy. Rozmiar produkcji jest równy sumie iloczynów produkcyjności krańcowej i wkładu czynników.

produkcja krańcowa

- pochodna cząstkowa

Właściwości te można rozszerzyć na klasę funkcji homogenicznej

1. funkcja produktu

Q=F(K,L)

Która jest homogenicznym stopniem
(eta) można zapisać w następujących formach

i

2. Jeżeli funkcja produkcji Q=F(K,L) jest homogeniczna stopnia
   to funkcja produkcyjności krańcowej
   - jest homogeniczna stopnia
   

3. elastyczność funkcji produkcji równa jest we wszystkich punktach mapy izokwanty.

4. suma produkcji krańcowej ważonych ilościami zastosowanych czynników równa jest stopniom homogenicznym
   ważonemu(x) wielkości produkcji

Sposób pojmowania kapitału w ramach funkcji produkcji.

W modelach funkcji produkcji czynniki (kapitał i produkcja) są jednorodnymi pod względem fizycznym i występują jako agregaty pozbawione wewnętrznej struktury.

Kapitał K- jest traktowany jako plastyczna galaretowata masa w pełni przekłuwalna w dowolną technikę produkcji. Jednorodność kapitału umożliwia wyrażenie jego produktu krańcowego w jednostkach technicznych bez potrzeby określania cen i wartości. A zatem miara kapitału staje się niezależna od cen i podziału. Zmiany cen czynników wiążą się ze zmianami podaży tych czynników. Zmiany te przesuwają układ produkcyjny ku równowadze w której:

1. podaż czynników produkcyjnych jest w pełni wykorzystana

2. kombinacja technologiczna tych czynników zapewnia optymalizację poziomu kosztów produkcyjnych i dochodów z produkcji

3. ceny czynników odpowiadają wartości ich produktów krańcowych

4. całkowity dochód z każdego czynnika równy jest iloczynowi ilości tego czynnika razy cena jednostkowa odpowiadająca produkcji krańcowej. Istnieją przy tym stany równowagi o różnym poziomie stopy zysku, które charakteryzują się odpowiednim wskaźnikiem na zatrudnionego (wskaźnik intensywności kapitału), produkt/na zatrudnionego - prdukcyjność kapitału oraz kapitału do produktu - współczynnik kapitałowy. Te same relacje dotyczą pracy.

Prowadzimy teraz funkcję homogeniczną per capita o postaci q=

(relacja produkcji na zatrudnionego)

(relacja kapitału na zatrudnionego)

z funkcji tej otrzymujemy następującą zależność:

Dla funkcji q=
produkcja krańcowa kapitału równa jest pierwszej pochodnej tej funkcji i wynosi:

produkcja krańcowa musi być dodatni.

Druga pochodna natomiast jest następująca:

jest mniejsza od 0

Jest to zgodne z prawem malejącej produkcyjności czynników produkcji.

Kolejne jednostki zaangażowania czynnika daje coraz mniej dochodu.

Wynagrodzenie pracy wyniesie:

- uzbrojenie czynnika pracy

k - wynagrodzenie

jest ono większe od 0

Znając powyższe relacje możemy zauważyć, że zależność między stopą zysku a wielkością kapiatłu na zatrudnionego jest miniejsza od 0

dr- stopa zysku

dk - kapitał na zatrudnionego

Neoklasyczne twierdzenia produkcji i podziału

Twierdzenie teorii produkcji podziału

I Tw. Wyższym stopom zysku poszczególnych gospodarek odpowiadają niższe wartości kapitału na zatrudnionego w każdej z nich

- to jest płaca

II Tw. Wyższym stopom zysku odpowiadają niższe relacje kapitał - produkt

III Tw. Niższym stopom zysku poczynając od wartości max -rmax=

dla k=0 towarzyszą wyższe wartości konsumpcji na zatrudnionego aż do osiągnięcia C max dla gospodarki w której r= g g- stopa wzrostu gospodarczego r=stopa zysku

Jeżeli gospodarstwo charakteryzuje się nierównością
to będą miały niższą konsumpcję na zatrudnionego © im większa będzie ta wielkość(r-g)

IV Tw. We wszystkich badaniach gospodarczych w warunkach doskonałej konkurencji i stanie równowagi każdy czynnik otrzymuje wynagrodzenie równe jego produkcji krańcowej. Na tej podstawie można określić wynagrodzenie czynników produkcji. Dla funkcji liniowo homogenicznej mamy relację

r- stopa zysku

w -stawka płacy

W przypadku wystąpienia w gospodarce wielu produktów kapitał i produkt muszą być mieszane w określonym systemie cen a dodatkowo system ten nie może być funkcję stopy z zysku „r” i stopy płacy (w) Jeżeli byłby funkcję to tworzy się błędne koło w którym stopa zysku zawarta jest w cenach a te mają wyjaśnić stopę zysku

Poszukiwania miernika kapitału niezależnego od systemu cen prowadzone z 3 kierunkach.

1. Próbowano osłabić założenie homogeniczności struktury kapitały

2. Związany jest z ideą modeli rocznikowych (vintoge)

3. Polega na rezygnacji z pojęcia kapitału i zastąpienia go innym np. stopa przychodu od inwestycji

Modele rocznikowe pojawiły się z kilku powodów :

1. Pozwoliły osłabić założenia homogeniczności do jednego rocznika

2. Umożliwiały odejście od założenia nieograniczonej substytucji między pracą a kapitałem zarówno ex ante jak i ex post

3. Dawały możliwość rozszerzenia analizy postępu technicznego poprzez wyodrębnienie tzw. Postępu ucieleśnionego.

Wprowadzenie modeli rocznikowych oznaczało, że homogeniczny był kapitał tylko wewnątrz danego rocznika. Każdą gospodarkę opisywało tyle funkcji produkcji ile było roczników kapitału. Wprowadzenie modeli rocznikowych wymaga rewizji założenia substytucyjności w czasie.

Teoretycznie 3 rodz. modeli:

1. Model pati-pati („kit - kit”) w którym substytucje między czynnikami produkcji możliwa jest zarówno ex ante i ex post pod warunkiem, że postęp techniczny nie oddziałuje wstecz i nie zmienia efektywności wcześniejszych roczników.

2. kit-glina (puti-clain) w którym kapitał da się wymienić na etapie wyboru (ex ante) natomiast przestaje być przekłuwalny (ex post)

3. glina-glina w którym nie ma możliwości substytucji ani ex ante ani ex post

Jeżeli kapitał nie jest efektem wcześniejszej inwestycji to zasób kapitału można zapisać

, t
ł

ł - nr rocznika

K_ł - liczba maszyn rocznika

Jeżeli przejdziemy do tego zapisu w jednostkach efektywności to przekształci się on następująco:

m- niezmienna w czasie stopa postępu technicznego neutralnego w ujęciu Solowa

e- podstawowy logarytm naturalny

Wykorzystując ten zapis możemy wyprowadzić funkcję produkcji Kop-Daglasa

Q= K ^*αL^1-α

L - nakład pracy

K - zasób kapitału

α - współczynnik elastyczności

1-α - współczynnik elastyczny dla nakładów pracy

Ta formuła czynników produkcji nie zmienia się w czasie, możemy jednak przedstawić formułę produkcji która uwzględnia przesunięcia w czasie :

K^* - mierzy zasób kapitału w jednostkach efektywności

K wyraża ten sam zasób kapitału ale przeliczany na jednostki homogeniczne nowszych maszyn

Agregatowa funkcja produkcji przyjmuje postać:

Q=e^mαtK^α x L^1-α

Funkcja produkcji Kop-Daglasa

Trzeba przyjąć założenia, że funkcja równa jest Q=F(K,L) jest określona na nieujemnych i zmieniających się ciągle wartościach kapitału i pracy (K,L) i ma następujące własności:

1. Jest różniczkowana względem każdej zmiennej objaśniającej (K i L)

2. jest jednorodna stopnia v, czyli
   

3. jej pochodne cząstkowe spełniają dla wszystkich dodatnich wartości K,L następujące równości:
   

przy γ>0

F_L - produkcyjność pracy

F_K - produkcyjność kapitału

F_LF_K=(γK/L)^b2 b₂>0

Lub krócej R^x=γk^b2

gdzie:

R^x- marginalna stopa substytucji

k - techniczne uzbrojenie pracy

b₂ - elastyczność marginalnej stopy substytucji względem technicznego

uzbrojenia pracy może być stałe lub zmienne

Jak już wiemy dla stałej wielkości Q spełniana jest równość:

DQ=F_Kdk+F_Ldl=0

Dk - zmiana wkładu kapitału

a więc:

-(dK/dL)=F_LF_K

iloraz -(dk/dL) - to krańcowa stopa substytucji kapitału pracy. Należy podkreślić, że chodzi o substytucyjność zdeterminowaną technicznie.

Stopa substytucyjności rośnie proporcjonalnie do technicznego uzbrojenia pracy γK/L

Zestawiając F_L/F_K=γK/L i -(dK/dL)=F_L/F_K

Założenie F_L/F_K=γK/L pozwala przedstawić funkcję produkcji w postaci:

F(K,L)=L^Vq (k)

K - techniczne uzbrojenie pracy K:L

q - funkcja argumentu k q nie znamy

q(k) = F(k,1) jest pewną nieznaną funkcji k

Różniczkując obie strony równania:

F(K,L)=L^' q(k) względem L i K otrzymujemy:

F_K=L^v-1q^'(k)

F_L= L^v-1 [vq(k) - kq^'(k)]

Z powyższych równań F_L/F_K=γK/L wynika następujące równanie, które musi spełniać funkcja q(k)

vq(k)=(1+γ)q^'(k)/k

jego rozwiązaniem jest funkcja

q(k)=Ak^v/(1-γ)

gdzie A jest pewną stałą

z równania tego otrzymujemy:

F(K,L)=AK^Vα x L^(1+α)

Jeżeli przyjmiemy, liniową homogeniczność funkcji produkcji (v=1) uzyskujemy najprostszą formułę funkcji Kop Daglasa

Q= AK^αL^1-α

Jeżeli natomiast oznaczymy vα =
, v(1-α)=

Funkcja przyjmie ogólną postać

Q=
)

Założenie

Prowadzą do wniosku, że funkcja produkcji jest funkcją potęgową względem pracy i kapitału. Wykładniki potęgowe tej funkcji wyznaczone są jednoznacznie przez parametry określające zależności krańcowej stopy substytucji od technicznego uzbrojenia (γ) oraz przez stopień jednorodności funkcji (v)

parametry ε oraz μ charakteryzują zależności (elastyczność) dynamiki wielkości produkcji (Q) oraz wielkości i dynamiki czynników produkcji. Parametr ε charakteryzuje przyrost Q przypadający na jeden przyrost kapitału K przy założeniu, że L jest stałe natomiast μ charakteryzuje przyrost Q przypadający na jednostkę przyrostu pracy L przy założeniu, że K jest stałe (kapitał)

Przyrost A najczęściej interpretuje się jako wykładnik organizacyjno-techniczny lub wskaźnik ogólnej efektywności produkcji a czasami nawet jako wskaźnik związany z jednostką miar które wykorzystujemy. Biorąc to pod uwagę można sformułować kilka własności funkcji Kop Daglasa :

1. Współzależność ε i μ są współ. elastyczne prod. względem kapitału i pracy pokazują jaka część przyrostu produkcji przypada na jednostkę przyrostu jednego zasobów (pod warunkiem, że nakłady drugiego czynnika produkcji są stałe)

2. Przypadki zmieniającej się skali produkcji występują gdy:

ε + μ > 1 ( rosnąca skala produkcji - wzrost intensywności)

ε + μ = 1 (stała skala produkcji - wzrost ekstensywny)

ε + μ < 1 (malejąca skala produkcji - wzrost silnie ekstensywny)

Inaczej można to określić jako rosnące, stałe i malejące korzyści skali w gospodarce)

3. Krańcowe produkty kapitału i pracy są dodatnie (wyraża to ogólnie zasada racjonalności postępowania w sferze produkcji):

oraz

i są zgodnie z prawem malejącej produkcyjności czynników prod. funkcjami malejącymi tzn.:

oraz

te dwie wartości maleją, że kolejne jednostki zatrudnianego czynnika przynoszą przyrost produktu ale są to przyrosty malejące.

4. Krańcowe produkty kapitału i pracy są proporcjonalne do przeciętnych

Wartość powyższą łatwo można wyprowadzić ponieważ produktywność przeciętna kapitału dla funkcji:

równa się

Po podstawieniu powyższego równania do
otrzymujemy

Produktywność przeciętna pracy równa się:

Podstawiamy powyższą relację do równania

otrzymamy
to jest poszukiwane

5. Elastyczność w substytucji b równa się jedności dla dowolnego ε + μ, co oznacza, że udziały czynników prod. (pracy i kapitału) pozostają stałe

6. lim Q = α , lim Q =∞

K → ∞ , L→ ∞ jeżeli kapitał zmierza do ∞

7. Postęp techniczny ma charakter naturalny. Rozróżnia się 3 typy naturalności postępu technicznego. W ujęciu Hicksa, Harroda, Salowa.

Wg Hiksa postępem technicznym nazywamy wówczas gdy przy stałym w czasie uzbrojeniu pracy krańcowa stopa substytucyjności między kapitałem (K) i pracą (L) pozostaje stała.

Gdy mamy funkcję prod. typu:

Q_t=F[K(t), L(t),T]

(postęp techniczny zależy od czasu (t)) to postęp techniczny jest naturalny w ujęciu Hiksa gdy ta funkcja będzie typu:

Q_t=A(t) F(K,L)

Techniczne uzbrojenie produkcji nie jest uzależnione od czasu A(t) jest funkcją postępu technicznego.

Ujęcie Harroda - post. techn. jest naturalny jeżeli przy stałej krańcowej produkcyjności kapitału jego przeciętna produkcyjność również pozostaje stała.

Q_L=F[K,A(t)L]

W ujęciu Salowa - postęp techniczny jest naturalny gdy przy stałej krańcowej wydajności pracy jej przeciętna wydajność pozostaje bez zmian, czyli funkcja:

Q_t=F[A^(t),K,L]

Funkcja produkcji (CES lub ACHS) oraz VES

- ro

ogólna postać

A - parametr elastyczności

ε - elastyczność skali (ona jest (t) i stała)

(ro)- parametr podziału

p - parametr wyznaczający wartość stałej elastyczności substytucji i

można go zapisać
będzie on miał wpływ na położenie i kształt

krzywych jednakowego produktu czyli izokwant.

b - elastyczność substytucji

b=1 i (1+p)

Wartość parametrów b-p a kształt izokwant

TABELA

Wartość b	Wartość p	Przebieg izokwanty
0	∞	Izokwanta pawokątna
<1	0<p<∞	Wypukła do początku układu, zbliża się asymetrycznie do równoległych do ukł. współrz.
1	0	Wypukła od początku układu, asymetrycznie zbliżająca się do ukł. wsp.
>1	-1<p<0	Wypukła do początku układu przecinająca ukł.wsp.
∞	-1	Liniowa z ujemnym nachyleniem

Funkcja CES ma kilka własności:

1. Jest funkcją jednorodną stopnia ε (eta) w zależności od wielkości ε mogą występować 3 rodzaje efektywności w skali produkcji:

0< ε<1 - malejąca skala

ε = 1 - stała skala

ε > 1 - rosnąca skala

2. Krańcowa produkcyjność kapitału i pracy są wielkościami dodatnimi a odpowiadające im funkcje są malejące

3. Elastyczność substytucji b=1/(1+p) jest stała ale w odróżnieniu od elastyczności substytucyjnej dla funkcji typu Kop Daglasa nie równa jest 1. Wielkość jej zależy od wartości parametru p. Elastyczność produkcji względem czynników produkcji jest zmienna i zależy od technicznego uzbrojenia pracy

4. Przy K≠L to pochodna liczona po b>0 czyli wzrost elastyczności substytucji prowadzi do wzrostu produkcji (jeżeli K=L mamy
   )

Funkcje VES

Funkcje o zmiennej elastyczności substytucji mogą przyjmować różne postacie

b=a₀+a₁(K/L)

gdzie: a₀, a₁- stałe parametry (funkcja R. Sota, R. Hoffmana)

oraz b=1+a₁[1=(k/1)]

gdzie a₁ - stały parametr (f. Rerenkossa) jak i funkcji Fergusona i Lorella

Uogólnienie funkcja CES jest funkcja VES o zmiennej elastyczności substytucji.

Funkcja Copp - Douglasa pozostaje podstawową funkcją produkcji.

Podsumowanie

Popularność funkcji produkcji wynika z kilku przyczyn:

1. Funkcja produkcji wykorzystując względną samodzielność czynników produkcji okazała się użytecznym narzędziem opisującym zarówno proces produkcji jak i proces wzrostu gospodarczego .

Dodatkowym plusem tego modelu jest to że można przedstawić ją w postaci funkcyjnej i postaci macierzowej.

2.Jako model opiera się na założeniach poznawczych i metodologicznych ekonomii neoklasycznej. Ta natomiast jest najpopularniejszą szkołą teoretyczną .

3.Funkcja produkcji posiada wiele zalet interpretacyjnych co pozwala wykorzystać ją do bieżącego zarządzania czy planowania gospodarką w skali mikro i makroekonomicznej. I do interpretacji wielu zjawisk z zakresu podziału produkcji.

4.Pewna swoboda interpretacyjna tego modelu pozwala go wykorzystywać przez konkurujące ze sobą szkoły teoretyczne.

5.Model funkcji produkcji znajduje szerokie zastosowanie w analizie czynnikowej co oznacza , że można przy jej pomocy badać zarówno:

• ekonomiczny model produkcji

• proponuje podział produktu tak między czynniki produkcji (K,L) jak i akumulację i spożycie , a także analizować warunki maksymalizacju produktu społecznego czy zysku. Taki charakter funkcji produkcji dodatkowo pozwala włączyć zagadnienia roli postępu technicznego w procesy produkcji.

6.Największe zastosowanie model funkcji produkcji znajduje przy prognozowaniu przyszłych rozmiarów produkcji a także przewidywaniu niezbędnych do osiągnięcia zamierzonego produktu( nakładów czynników produkcji).

7. Dodatkową zaletą modelu funkcji produkcji jest to, że pozwala ona sprowadzić ogromną ilość informacji do kilku podstawowych parametrów opisujących badany proces produkcji. 8.Modelefunkcji produkcji mają też zalety formalne(analityczne) związane z faktem, że można je uliniawiać( f. Liniowa), to ułatwia ich ekonometryczną obróbkę.

9.Funkcja produkcji nie wyczerpała wszystkich możliwości interpretacyjnych. W latach 90-tych znalazła zastosowanie np. przy badaniu związków między czynnikami środowisk ( ekologicznymi) a wielkością produkcji czy wzrostu gospodarczego, a także przy badaniu zależności między różnego rodzaju nakładami a wielkością kapitału ludzkiego.

Zagregowany makroekonomiczny miernik taksonomiczny rozwoju.

Wśród różnorodnych zagregowanych mierników rozwoju spotykamy takie, które klasyfikują obiekty wg określonej miary rozwoju. Miara ta opiera się na wielu cechach opisujących różne aspekty tego rozwoju. Przyjmując, że cech takich jest

„k” natomiast porównujemy zbiór liczący „t” obiektów. Oznacza to, że każdy obiekt jest punktem w k-wymiarowej przestrzeni. Macierz obserwacji opisujących te obiekty można zapisać następująco :

x₁₁..........x_{1k wiersz -obiekt -wartość k-tej cechy}

x₂₁..........x_{2k kolumna cecha dla 2-go obiektu}

x_t1...........x_tk

Macierz musi być tak skonstruowana aby były ujednolicone jednostki miar i rzędy wielkości.

1. nr obiektu

2. nr cechy

Można to przeprowadzić przez standaryzację lub unitaryzację ( sprowadzenie cech do tych samych rzędów wielkości)

Standaryzacja odbywa się wg formuły

x_ij - x_j - śr. arytmetyczna

Z_ij= s_{j - odchylenie standardowe}

S_i

_t

x_j =1/t ∑ x_ij

i=1

Liczymy wariancję

t

S_j = 1/t ∑ ( x_j - x_{j )}² j= 1, ......k

i=1

liczymy po kolumnach dla każdej cechy

Z_ij - standaryzowana wartość j-tej cechy w i-tym obiekcie.

Z₁₁ ........z_1k

Z = .

.

z_t1..........z_1k

Standaryzacja likwiduje jednostki. Po standaryzacji mamy niemianowane wartości.

Jest drugi sposób ujednolicania - unitaryzacja

x_ij - minx_ij - najmniejsza wartość w kolumnie

-Z_ij =

max_ij - minx_{ij - rozstęp}

wartość zminimalizowana

z₁₁.......z_1k

Z = z_t1 ......z_1k

Dalsza kwalifikacja polega na tworzeniu macierzy odległości w postaci C

0 c₁₂ c_1t

C = c₂₁ c_2t

C_t1 0 macierz symetryczna odległości ≤ z twierdz. Pitagorasa

Tego typu podejście można zastosować w różnych kwalifikacjach w tym także przy wyznaczaniu miernika rozwoju. Miernik ten wyznaczamy wg procedury składającej się z trzech etapów

I Etap - polega na wyznaczeniu wzorca i antywzorca.

Wzorzec Z₀= (Z₀₁,Z₀₂....Z_om)

Z_0j max Z_ij jeżeli jest to stymulanta tzn taka cecha , która z punktu widzenia zjawiska podstawowego jest pożądana a zatem im zjawisko podstawowe jest wyższe tym cecha jest większa .

Z_0j min Z_ij jeżeli jest destymulantą czyli jest cechą niepożądaną ..............

Antywzorzec

Z _-0 =( Z _-01, Z _-02, Z _-0m )

Z _-0j max Z_ij (destymulanta )

Z _-0j min Z_ij ( stymulanta )

II Etap - badamy prawdopodobieństwo między danym obiektem a wzorcem wykorzystując definicję odległości w następującej postaci

_m

d_i0 = ∑ ( Z_ij - Z_0j )²

^j=1

miara jak daleko obiekt jest od wzorca i

III ETAP - wyznaczamy miarę rozwoju dla każdego obiektu wg formuły

d_i0

m_{i =} 1 -

d₀ - odległość wzorca od antywzorca

m_i dla antywzorca = 0

dla wzorca = 1

wszystkie obiekty miara między 0 ≥ 1

_m

d₀ = ∑ ( Z_oj -Z _-0j)²

Modelowanie wzrostu gospodarczego.

1. Podejście neoklasyczne w oparciu o funkcję produkcji.

2. Podejście keynesowskie o jeden wybrany model Hawoda

W ramach tradycyjnego modelu gospodarczego możemy rozróżnić modele o charakterze neoklasycznym i keynesowskim.

W ujęciu neoklasycznym przykładowym modelem wzrostu gospodarczego jest rozwiazanie proponowane prze J.Meada (Mida)

Model ten opiera się na założeniach:

1.gospodarka jest zamknięta co oznacza brak wymiany handlowej z zagranicą . 2.brak jest aktywnego udziału państwa w życiu gospodarczym. 3.istnieje doskonała konkurencja. 4.ceny są równe kosztom marginalnym ,wynagrodzenie czynników produkcji jest równe ich produktom marginalnym. 5.istnieje doskonała podzielność czynników produkcji. 6.brak jest efektów zewnętrznych ( korzyści zewnętrzne). 7.postęp techniczny ma charakter egzogeniczny.(zewnętrzny)

W zdecydowanej większości modeli neoklasycznych zakłada się również stan pełnego zatrudnienia czynników produkcji. Jest to konsekwencja działania doskonałej konkurencji, prawa Saya oraz oraz wynagrodzenia czynników produkcji wg ich produkcujności krańcowej. Dalsze założenia metodologiczne znajdują swoje odzwierciedlenie w koncepcji funkcji produkcji. Neoklasyczna interpretacja funkcji produkcji oznacza, że funkcja ta powinna wyrażać fundamentalne zasady tej ekonomii:

• prawo malejących przychodów,

• ogólna racjonalność gospodarowania podmiotów

• prawo malejącej krańcowej stopy substytucji,

• marginalne zasady podziału.

Konkretna analityczna postać funkcji produkcji w różny sposób opisuje te reguły ogólne. Funkcja taka powinna spełniać warunki

f' > 0 ogólna racjonalna

f'' < 0 prawo malejącego dochodu

Oznacza to , że przyrosty krańcowe produktu względem dowolnego czynnika produkcji są dodatnie w całym badanym przedziale zmienności produkcji ( f' ), a także przyrosty te są malejące( f'' ) co oznacza prawo malejących przychodów.

Założenia poznawcze metodologiczne akceptowane w neoklasycznej teorii wzrostu gospodarczego determinują sposób pojmowania istoty tego procesu wzrostu. Wzrost ten rozumiany jest przez ekon. Neoklasyczną ze względu na 3 cechy:

1. jest procesem stopniowym i ciągłym.

2. ma charakter harmonijny i kumulatywny .

3. jest praktycznie nieograniczony.

Analizując różnorodność tych modeli można dokonać klasyfikacji wykorzystując następujące kryteria:

1. sposób pojmowania kapitału,

2. uwzględnianie lub nie i sposób uwzględniania postępu technicznego,

3. liczba i charakter dóbr wytwarzanych przez dany system gospodarczy.

Wykorzystując te kryteria wyróżniamy grupy modeli wzrostu gospodarczego:

I.1. Modele z przekłuwalnym kapitałem, bez postępu technicznego lub z nie ucieleśnionym postępem technicznym

I.2. Modele rocznikowe z postępem technicznym ucieleśnionym i nie ucieleśnionym.

II.1. Modele jednoproduktowe bez postępu technicznego i z postępem technicznym ucielenionym -fazy ucieleśnienia.

II.2. Modele dwuproduktowe bez postepu technicznego lub z postępem technicznym ucieleśnionym lub nie ucieleśnionym.

II.3.Modele wieloproduktowe.

III.1. Modele z postępem technicznym ucieleśnionym lub nie ucieleśnionym.

III.2. Modele bez postępu technicznego .

Wykorzystując poszczególne postacie analitycznych modeli neoklasycznych określają czynniki wpływające na tempo wzrostu produktu per capita lub absolutne tempo wzrostu.

Rozumując ją `' Mid” i wykorzystując funkcję produkcji

Y= F ( K, L, N, t )

Gdzie

Y - produkt , dochód

K - nakłady zagregowane, homogeniczne kapitału,

L - nakłady pracy,

N - nakłady zasobów naturalnych,

t - czas wyrażający oddziaływanie nie ucieleśnionego postępu technicznego.

Można dojść do wniosku, że przy stałej liczbie ludności , na tempo wzrostu gospodarczego mogą wpływać:

1. wysokie tempo wzrostu postępu technicznego,

2. kapitałochłonny postęp techniczny,

3. niski początkowy udział oszczędności w dochodzie,

4. wysoki stopień możliwości substytucyjnych między kapitałem a pozostałymi czynnikami wytwórczymi,

5. szybki wzrost udziału oszczędności w realnym dochodzie,

6. wysoki udział oszczędności w zyskach pod warunkiem, że jest połączony z kapitałowym postępem technicznym i wysokimi możliwościami substytucji między kapitałem a pozostałymi czynnikami produkcji.

W dalszej kolejności określane są warunki gwarantujące stały zrównoważony wzrost gospodarczy, `'Mid'' wykorzystał w tym celu równanie:

Y= Uk + Ql + r

Gdzie

Y - dochód

U - proporcjonalny produkt marginalny kapitału,

Q - proporcjonalny produkt marginalny pracy,

L - roczna stopa wzrostu pracy,

K - roczna stopa wzrostu kapitału,

r - roczna stopa wzrostu postępu technicznego

Jeżeli U i Q są określone, natomiast l i r stałe to wówczas wzrost gospodarczy jest stały, gdy małe k będzie stałe.

Nieco bardziej złożona jest interpretacja modeli rocznikowych oparta na ogranoczoności do danej generacji przekłuwalności i subsytucyjności kapitału. Opierają się one na zmodyfikowanej funkcji Copp - Douglasa w postaci:

q_r(t) + Be^γrl_r(t)² ∙K_r(t)^1-α

q_r(t) - produkt wytwarzany w roku (t) na podstawie wyposarzenia kapitałowego rocznika (r)

l_r(t) - praca zatrudniona w czasie (t) do obsługi wyposażenia kapitałowego rocznika ( r)

B - stała lub zmienna wyrażająca wpływ nie ucieleśnonego postępu technicznego

α - elastyczność wzrostu produktu względem pracy

K_r(t)^1-α - kapitał w okresie (t) z rocznika r

٧ - wpływ usprawnień technicznych ucieleśnionych w roczniku ( r )

Rozpatrujemy model , w którym deprecjacja kapitału następuje tylko przez fizyczne zużycie a ponadto bieżące koszty produkcji nie wzrastają z powodu tego fizycznego zużycia. Można przyjąć, że wzrost bieżących kosztów jest rekompensowany pozytywnym wpływem nie ucieleśnionego postępu technicznego. Ponieważ kapitał obejmuje różne roczniki młodsze charakteryzujące się niższym nakładem kosztów pracy na jednostkę produkcyjną.

Daja tym samym wyższe „kwazirenty” od kapitału. Rocznik wycofywany z produkcji ma kwazirentę „0” zerową. Czas życia maszyn jako `'T'' określany jest przez ich zdatność przynoszenia kawzirent. Jeżeli istnieją różne generacje maszyn to produktywność per capita zależy nie tylko od intensywności kapitałowej ale również od przeciętnego wieku kapitału.

W modelu rocznikowym płaca musi być równa przeciętnemu produktowi marginalnemu pracy zatrudnionej przy najstarszej generacji kapitału. Okres życia kapitału `'T `' zależy od:

1. tempa wzrostu poziomu płac,

2. udziału płac w łącznej produkcji uzyskiwanej na nowowprowadzanych dobrach kapitału.

MODELE KEYNESOWSKIE

Zwolennicy tego podziału podejmują trzy problemy

1. problem równowagi dynamicznej,

2. Problem długookresowych odchyleń od równowagi i czynników powodujących te odchylenia,

3. zagadnienie wahań koniukturalnych i krótkookresy odchyleń od równowagi.

R. Harrod wychodzi od relacji

I = s inwestycje = osczednościom

Formule tej można nadać dwie interpretacjie

1. trywialna - prosta

stopa oszczędności s= I / Y inwestycje / dochód

k = I / ∆ Y - rzeczywisty współczynnik kapitału

w_y + ∆Y/Y - stopa wzrostu doch. narodowego

Mamy zatem że

W_y = s/k

W tym przypadku stopa wzrostu gospodarczego jest równa ilorazowi udziału oszczędności w dochodzie i rzeczywistego krańcowego współczynnika kapitałowego ( relacja ta obowiązuje ex post „po'' )

Wykorzystując założenia Harroda możemy wyznaczyć równanie

Stopa oszczędności s= G * C

Gdzie

G - tempo wzrostu gospodarczego

C - wielkość akumulacji do przyrostu dochodów

Z tego równania przechodzimy do interpretacji nietrywialnej wprowadzając gwarantowaną stopę wzrostu gospodarczego

2. Interpretacja nietrywialna

s = G_{w *} C_r

gdzie

G_w - gwarantowana stopa wzrostu gospodarczego

C_r - pożądany współczynnik kapitałowy

Relacja ta zachodzi ex post ale ważne by zachodziła ex ante.

Wykorzysując koncepcję faktów i gwarantowaną stopę wzrostu gospodarczego możemy przeanalizować warunki stabilności tego wzrostu. Zdaniem Harroda stabilność ta zależy od skłonności przedsiębiorstwa do inwestowania.

Niestabilność można określić:

1. jeżeli przy stałym współczynniku oszczędności `' s „ faktyczna stopa wzrostu `'G' jest większa niż „G_w'' -gwarantowana stopa wzrostu to wówczas współczynnik kapitałowy `'C'' musi być mniejszy niż pożądany współczynnik kapitałowy `'C_r''

Zbyt mały współcz. Kapitał. C oznacza , że przedsiębiorcy więcej inwestują. Tym samym inwestycje `'I `' przewyższają oszczędności `'s'' ex ante, a to pogłębia rozbieżność między G a G_w.

W przypadku odwrotnym przedsiębiorcy zmniejszają zawierane inwestycje w stosunku do oszczędności zamierzone ( ex ante) uruchamia się depresja także pogłębiająca rozbieżność między G a G_w.

Inaczej mówiąc gwarantowaną stopę wzrostu gospodarczego otaczają siły odśrodkowe.

Badając kierunki rozwoju gospodarczego Harrod wprowadza pojęcie naturalnej stopy wzrostu gospodarczego .Oznacza ona taki jej poziom przy , którym osiągamy pełne zatrudnienie w danych warunkach przyrostu ludności i danym postępie technicznym. Aby wzrost był zrównoważony powinno być spełnione równanie

G = G_w = G_n

Tabela

Relacja	Uwagi - komentarz
G < Gw	Gospodarka zmierza ku depresji
G < Gw ale Gw > Gn	W gospodarce istnieje tendencja do ekonomicznej depresji ponieważ nadmierne oszczędności utrudniają wejście w fazę ożywienia
G<Gw ale Gw< Gn	Występujący w gospodarce nadmiar siły roboczej można zlikwidować kosztem inflacji
G>Gw	Gospodarka znajduje się w stanie rozwijającej się koniunktury
G>Gw ale Gw>Gn	Stopa wzrostu jest niezwykle wysoka a zamierzone inwestycje ex ante przewyższają planowane oszczędności na poziomie przekraczającym potencjalną możliwość wzrostu gospodarczego. Sytuacja taka o krótkotrwałym charakterze może wystąpić gdy gospodarka posiada bezrobocie i silne bodźce do inwestowania.
G>Gw albo Gw< Gn a także Gn>G Gn< G Gn =G	Sytuacja uzależniona od relacji między naturalną stopą a faktyczną stopą. Każdy z trzech przypadków tej relacji oznacza możliwość kontynuowania wzrostu gosp. Do momentu wyczerpania się rezerw siły roboczej. Po ich wyczerpaniu wzrost gospod. Nie utrzyma poziomu naturalnego i spowoduje skurczenie się wydatków inwestycyjnych. To natomiast uruchomi mnożnik wraz z mechanizmem depresyjnym( załamanie koniunktury)

Reasumując możemy zauważyć różnice między neoklasycznymi a keynesowskimi modelami wzrostu gospodarczego.

I.

1. modele neoklasyczne są modelami podażowymi

2. modele keynesowskie są modelami popytowymi.

Na wzrost gospodarczy w ( 1 ) przypadku wpływa zasób i wydajność

czynników produkcji, w ( 2 ) rozmiary globalnego popytu.

II.

1. W modelach neoklasycznych- pełne zatrudnienie czynników produkcji

A tym samym optymalny produkt.

2. W modelach keynesowskich stan pełnego zatrudnienia jest hipotezą

Badawczą.

III.

1. W modelach neoklasycznych równowaga traktowana jest nie tylko jako cecha modelowa ale jako cecha rzeczywistej gospodarki.

2. W modelach keynesowskich taka ogólna dynamiczna równowaga

To stan hipotetyczny, który gospodarka może osiągać ale nie musi.

IV. Neoklasycy i keynesiści odmiennie rozumieją związek między oszczę-

dnościami i inwestycjami i mechanicznie dostosowują te wartości.

V. Oba podejścia inaczej interpretują siły napędowe wzrostu gospodarczego.

VI. Obie szkoły odmiennie interpretują problemy podziału dochodu narodowego.

Wg neoklasyków warunkowany on jest produkcyjnością krańcową czynników

Produkcji.

U Keynesistów siły decydujące o podziale są egzogeniczne.

1

Q

Q

p

A

1

2

Q

L

K

B

C

Q^*

Q^**

Q^***

L

Produkt krańc.prod.

Produkt krańcowej pracy

L

K

L

K

L

K

---