PRACA SIŁ ZEWNĘTRZNYCH I WEWNĘTRZNYCH

Praca sił zewnętrznych L_z, obciążeń działających na odpowiadających im przemieszczeniach równa się pracy sił wewnętrznych L_w powstałych w elementach tego układu na odpowiadających im odkształceniach.

Zasadę tę zapisujemy:

L_z = L_w ………………………………………………………………(1)

Praca sił zewnętrznych L_z

Jeśli obciążenie jest siłą skupioną P_i i momentem M_j to praca sił zewnętrznych tego

……………………………………………………..(2)

Praca siły P_i

i oś belki przed obciążeniem

α

i₁ oś belki po obciążeniu Rys.1

Praca siły zewnętrznej P_i jest iloczynem skalarnym

Praca momentu M_j M_j

j oś belki przed obciążeniem

φ_j

styczna

j₁ oś belki po obciążeniu Rys.2

Praca momentu zewnętrznego M_j ma postać

Praca sił wewnętrznych L_w

Praca sił wewnętrznych (przekrojowych) T, N i momentów M_g, M_s ma postać

Zasada prac wirtualnych

Ma dwie postacie:

1. rzeczywistymi wielkościami są wielkości statyczne (siły i momenty) a wirtualnymi wielkościami są wielkości geometryczne (przemieszczenia)

2. wielkości statyczne są wirtualnymi a geometryczne rzeczywistymi.

Przypadek b

Praca zewnętrznch sił wirtualnych na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach równa się pracy wirtualnych sił wewnętrznych (przekrojowych) spowodowanych wirtualnym obciążeniem na odpowiadających im rzeczywistych

Odkształceniach.

Jeśli pominiemy wpływ T i M_s to zasadę tę zapisujemy

………………………..(3)

W zakresie sprężystym wydłużenie du elementu pręta o długości ds pod działaniem siły N (rys.3)

N N

ds. du Rys.3

…………………………………………..(4)

W zakresie sprężystym kąt obrotu
przekrojów elementu pręta o długości ds poddanego działaniu momentu M_g (rys.4)

ρ

M_g M_g

ds

oś pręta Rys.4

stąd
……………………………..(5)

Z wytrzymałości materiałów ( J. Misiak, P. Tereszkowski, Z. Tereszkowski Wytrzymałość Materiałów z przykładami analizy komputerowej, Oficyna Wydawnicza WSEiZ , Warszawa 2003) strona 198 wzór (5.3.1)

i strona 200 wzór (5.3.2)

otrzymujemy z porównania tych zależności

………………………………………………(6)

Po podstawieniu (5) do (6)

…………………………………………..(7)

Podstawiając (4) i (7) do (3) otrzymujemy

…………………………….(8)

Gdzie wielkości (statyczne) wirtualne oznaczono kreseczką u góry.

WZÓR MAXWELLA MOHRA

Jeśli działa tylko
to otrzymujemy wzór do obliczenia wartości przemieszczenia

………………………..…………….(9)

Jeśli działa tylko
to otrzymujemy wzór do obliczenia wartości kąta obrotu przekroju

………………….………………….(10)

WPŁYWY POZASTATYCZNE

1. Wpływ temperatury

Przemieszczenia wynikające z przyrostu temperatury.

Założenia: a) rozkład temperatury na wysokości przekroju pręta jest liniowy

b) spód profilu ma temperaturę t_d, góra ma temperaturę t_d

c) t_d > t_g (rys.1)

góra pręta t_g t -½Δt

oś pręta t

spód pręta t_d t +½Δt

Rys.5 Rozkład temperatury

Oznaczenia:
,

Temperatura t powoduje wydłużenia elementu pręta o długości ds. o wartość

……………………………………….(11)

gdzie α_t współczynnik rozszerzalności termicznej

Różnica temperatury powoduje powstanie kąta
(rys. 6)

R₁

A₁ B₁

A B h

A₂ B₂

Rys.6 Geometria odcinka pręta o długości ds po zmianie temperatury

Długość łuku
patrz rozkład temperatury (rys.5),

długość łuku

różnica
…………………………..(12)

Po podstawieniu (11) i (12) do (9) i (10) otrzymujemy:

dla przemieszczenia

………………………………….(13)

dla kąta obrotu

………………………………….(14)

2. Osiadanie podpór

a) Przypadek gdy układ jest statycznie wyznaczalny.

W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje w konstrukcji sił wewnętrznych. Na skutek zmian konfiguracji układu nie powstają w układzie siły wewnętrzne, wniosek praca sił wewnętrznych

Zasada prac (3) ma postać

……………………………….....(14a)

gdzie:

poszukiwane przemieszczenie liniowe

poszukiwane przemieszczenie kątowe

e znane osiadanie (przemieszczenie) podpór

Praktyczne korzystanie ze wzoru (14a) podano w rozdziale przykłady1.

Zadania z Wytrzymałości Materiałów(przypomnienie)

Wtrzymołość Materiałów z elementami techniki komputerowej.

J. Misiak, P. Tereszkowski, Z. Tereszkowski. Warszawa 2003. WSEiZ

Zadanie1 ( patrz program KRATA na płycie CD oraz str. 337-366 w/w książki)

Wyznaczyć wartości sił w prętach kratownicy, pokazanej na rysunku 7, przy zastosowaniu analitycznej metody równoważenia węzłów. Kratownica jest zbudowana z prętów o identycznej długości l = 3 m. Obciążenie kratownicy P₁ = 50 kN, P₂ = 40 kN.

C

P₁ B trójkąty ABE, BCE, CDE są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

P₂

D

1 E 2 A Rys.7

Rozwiązanie (niewiadome oznaczono w kolorze czerwonym)

C

P₁ B

y 5

3 4 6 7

R_Dy R_E P₂ h = lcos30⁰ = 0.866l

R_Dx D

1 E 2 A x

l l Rys.7a

Obliczenie wartości reakcji

,

,

,

Obliczenie wartości sił w prętach y

Równania równowagi węzła A (rys.7b) N₇

N₂ A x

z rozwiązania tego układu równań otrzymujemy: P₂

N₂ = -23.1 kN, N₇ = 46.2 kN Rys. 7b

Równania równowagi węzła B (rys.7c) y

N₅ B x

niewiadomymi są wartości N₅ i N₆ N₆ N₇

N₅ = 46.2 kN, N₆ = - 46.2 kN Rys.7c

Równania równowagi węzła D (rys.7d) y

N₃

R_Dy

niewiadomymi są wartości N₁ i N₃ R_Dx D N₁ x

N₁ = 1.9 kN, N₃ = 96.2 kN Rys.7d

Równania równowagi węzła E, w tym węźle nie jest znana tylko jedna siła N₄, mamy do dyspozycji 2 równania po wyznaczeniu N₄ z jednego równania drugie musi być spełnione

tożsamościowo

,

N₄ = - 96.2kN

, 0 = 0

Zadanie 2 (patrz program RAMA na płycie CD dołączona do książki)

Dla ramy, której schemat przedstawiono na rys.8, sporządzić wykresy: siły tnącej, siły normalnej i momentu gnącego. Rama składa się z odcinka prostego AC = a i łuku o promieniu R = a. Dane: a = 1,1 m, P = 138 N, ၡ = 48⁰, ၡ_B = 60⁰.

y P ၡ

A C

a R

ၡ_B

B

0 0₁ x Rys.8

Rozwiązanie

1. Określenie wartości reakcji podpór

R_Ay P ၡ

A R_Ax C

a R_B

R ၡ_B

0 0₁ x Rys.8a

B

Warunki równowagi ramy

(a)

(b)

z (a)

z (b)

2. Obliczenia do wykresów

Przedział:

M_x

R_Ay R_Ax 0 N

A x

x

T Rys.8b

dla x = 0 M_x=0 = 0

dla x = a M_x=a = - 62,76N·1,1m = - 69.04 Nm

Przedział:
y₁ N 90⁰ + φ T

0 φ

y

M_x

Rsin* R R_B Rys.8c

φ ၡ_B

0 0₁ B x

a = R Rcosφ R-Rcosφ

(c)

(d)

dla * = 0
M_x = 0

dla * = 90⁰

z równań (c) i (d)

dla * = 0,
,

* = 90⁰,

dla * = 0,

dla * = 90⁰,

N = 69,37 N

A C A C

- 22,97N

M_x = - 69,04 Nm

*_N=0

B

0₁ 0₁ B

T = 39,79 N N = 39,79 N

A C

N = R_B(cosၡ_Bsin* - sinၡ_Bcos*)

0 = cosၡ_Bsin*_N=0 - sinၡ_Bcos*_N=0

tg*_N=0 = tgၡ_B *_N=0 = ၡ_B = 60⁰

T = -62,76 N

0₁ B T = 22,07 N

Rys. 8d

Wykresy momentu gnącego M_x, siły normalnej N, siły tnącej T

Zadanie 3

Podaj współczynnik bezpieczeństwa konstrukcji (rys.9) w stosunku do granicy sprężystości materiału, której wartość *_sp = 300 MPa. Przy obliczaniu współczynnika bezpieczeństwa uwzględnić tylko naprężenia od zginania. E = 2·10⁵MPa.

z

z P = 20 kN a - a

a

A B M_g =30 kNm h y

l = 3 m a

Rys.9 h = 100 mm h

Rozwiązanie

Wykres momentów gnących

z T P

M_x

N

A 0 B M_g x

x l - x Rys.9a

Maksymalne wartości momentów będą dla x = 0 i x = l

M_x=0 = 30kNm

A B

M_x=l = -30kNm

Rys.9b

,

Zadanie 4

Dla konstrukcji z zadania 3, obliczyć pionowe przemieszczenie punktu B.

Rozwiązanie

Wartość przemieszczenia
punktu B obliczymy korzystając ze wzoru (9)

……………………………………………….(14)

Wartości M_g przedstawiona jest na rys. 9b.

Belkę obciążoną obciążeniem wirtualnym
przedstawiono na rys.10

z

z P = 1N a - a

x a

A B x h y

l = 3 m a

Rys.10 h = 100 mm h

Równowaga odciętej części belki przedstawiono na rys. 10a

z T 1N

M_x

N

A 0 B x

x l - x

Rys.10a

Równanie równowagi momentów od obciążenia wirtualnego 1N w przekroju x

stąd

Maksymalna wartość momentu wystąpi dla x = l i wyniesie

Wykres tego momentu przedstawiono na rys. 10b

C Sc

M_x=0 = 3Nm

A B

Rys.10 b

l/6

a

M_x=0 = 30kNm

A B

M_x=l = -30kNm

Rys.10c

Jeśli EJ jest stałe to (14) ma postać

……………………………………………….(14)

Stosując graficzny sposób całkowania otrzymujemy:

gdzie ………………………………………………………………. (15)

i jest polem wykresu momentu gnącego podanego na rys.10b

stąd
jest współrzędną rzeczywistego momentu gnącego (rys.10c) odpowiadającego środkowi ciężkości pola F

Obliczenie wartości momentu bezwładności J pola przekroju pręta

Po podstawieniu tych danych do (15) otrzymujemy

Odpowiedz: ugięcie prostopadłe do osi belki punktu B jest

PRZYKŁADY 1

1 Wpływ temperatury

Kratownice

Przykład 1k

W kratownicy przedstawionej na ry.11 podgrzano pręty 3 i 5. Pręt 3 o 5^o a pręt 5 o 5^oC.

Obliczyć wartość przemieszczenia węzła A w pionie.

Kratownica jest zbudowana z prętów o identycznej długości l = 3 m z materiału którego

.

C

B trójkąty ABE, BCE, CDE są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

A₁

D δ_A

1 E 2 A Rys.11

Rozwiązanie

Wartość przemieszczenia δ_A węzła A obliczamy ze wzoru (13) który po przekształceniach ma postać

……………………………(a)

Gdzie
są siłami w prętach wywołanymi obciążeniem wirtualnym działającym w węźle A (rys.11a)

C

B

y 5

3 4 6 7

R_Dy R_E 1[N] h = lcos30⁰ = 0.866l

R_Dx D

1 E 2 A x

l l Rys.11a

Obliczenie wartości reakcji w węźle D

Z warunku równowagi całej konstrukcji na oś y

Z warunku równowagi momentów względem E

Równania równowagi węzła D (rys.11b) y

R_Dy N(3)

D N(1) x

N(3) = -1,15N Rys.11b

Z warunku równowagi węzła C
.

Po podstawieniu danych do (a) otrzymujemy

Przykład 2k

Konstrukcję z przykładu 1k przed podgrzaniem prętów 3 i 5 podparto w węźle 5 w sposób przedstawiony na rysunku 12.

Obliczyć siły w prętach kratownicy po podgrzaniu prętów 3 i 5.

Dane: wartość przyrost temperatury jak w przykładzie 1k, pręty mają przekrój

oraz
.

C

B trójkąty ABE, BCE, CDE są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

D

1 E 2 A Rys.12

Rozwiązanie

Zadanie rozwiązujemy metodą sił, aby uczynić konstrukcję statycznie wyznaczalną usuwamy podporę A.

Jak wyliczono w przykładzie 1 na skutek podgrzania prętów 3 i 5 węzeł A przemieści się w pionie o wartość
, podpora A nie pozwala na takie przemieszczenie, tak więc ciągłość konstrukcji na podporze A zapisujemy

……………………………………………….(a)

Gdzie
jest pionowym przemieszczeniem węzła A konstrukcji pod działaniem siły

(rys.12a).

Wartości
obliczamy ze wzoru

…………………………………………(b)

Wartości
obliczamy z równowagi węzłów kratownicy przedstawionej na rys.12a.

C

B

5

3 4 6 7

A₁

D δ₁₁

1 E 2 A Rys.12a

1[N]

Wartości
są przedstawione w tabeli a

Tabela a

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
	0,58	0,58	-1,15	1,15	-1,15	1,15	-1,15

Po podstawieniu danych do (b), podanych w zadaniu oraz wartości zamieszczonych w tabeli a otrzymano że

Rzeczywistą wartość reakcji na podporze A obliczamy z zależności (a)

Rzeczywiste wartości sił w prętach obliczamy ze wzoru
.

Wartości tych sił przedstawiono w tabeli b

Tabela b

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
	2720	2720	-5450	5450	-5450	5450	-5450

Belki

Przykład 1b

Dla belki przedstawionej na rys.13 obliczyć wartość przemieszczenia punktu B oraz kąt obrotu przekroju B spowodowanego podgrzaniem belki na całej jej długości.

Dane: przyrost temperatury dolnych włókien
, górnych włókien
, współczynnik rozszerzalności termicznej
,
, moduł Younga

z a - a z

x a

A B x h y

l = 3 m a

Rys.13 h = 100 mm h

Rozwiązanie

Wartość przemieszczenia obliczamy ze wzoru (a) patrz (13)

…………………………………..(a)

Natomiast wartość kąta obrotu ze wzoru (b) patrz (14)

……………………………(b)

gdzie

Obliczenie wartości przemieszczenia punktu B

Sporządzamy wykresy siły normalnej
i momentu gnącego
wywołanych działaniem siły wirtualnej.

Wartości M przedstawiona jest na rys. 14b.

Belkę obciążoną obciążeniem wirtualnym
przedstawiono na rys.14

z

z P = 1N a - a

x a

A B x h y

l = 3 m a

Rys.14 h = 100 mm h

Równowaga odciętej części belki przedstawiono na rys. 14a

z T 1N

M

N

A 0 B x

x l - x

Rys.14a

Wykres momentu M przedstawiono na rys.14b

A B x

1[N]l

Rys.14b

Dla naszego przypadku wzór (a ) przybiera postać

Odpowiedz:

Obliczenie wartości kąta obrotu przekroju B

Sporządzamy wykresy siły normalnej
i momentu gnącego
wywołanych działaniem momentu wirtualnego.

Wartości M przedstawiona jest na rys. 15b.

Belkę obciążoną obciążeniem wirtualnym
przedstawiono na rys.14

z

z M_w = 1Nm a - a

x a

A B x h y

l = 3 m a

Rys.15 h = 100 mm h

Równowaga odciętej części belki przedstawiono na rys. 14a

z T 1Nm

M

N

A 0 B x

x l - x

Rys.15a

Wykres momentu M przedstawiono na rys.14b

A B x

1[Nm]

Rys.15b

Dla naszego przypadku wzór (b) przybiera postać

Odpowiedz:
.

Przykład 2b

Belkę z przykładu 1 utwierdzono w sposób przedstawiony na rys.16. Sporządzić wykresy sił przekrojowych N, T i momentu M

z a - a z

x a

A B x h y

l = 3 m a

Rys.16 h = 100 mm h

Rozwiązanie

Obliczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu

Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.

Równania kanoniczne dla przekroju B

jest to równanie opisujące sumę przemieszczeń punktu B, i tak:

jest przemieszczeniem wywołanym zmianą temperatury w belce opisanym w przykładzie 1, jego wartość wynosi 3,94mm,

jest przemieszczeniem wywołanym siłą reakcji
działającą w utwierdzeniu B,

jest przemieszczeniem wywołanym momentem
działającą w utwierdzeniu B,

jest to równanie opisujące sumę kątów obrotu przekroju B, i tak:

jest kątem obrotu przekroju B wywołanym zmianą temperatury w belce opisanym w przykładzie 1, jego wartość wynosi
,

jest kątem wywołanym siłą reakcji
działającą w utwierdzeniu B,

jest przemieszczeniem wywołanym momentem
działającą w utwierdzeniu B,

Obliczenie współczynników
, w tym celu rysujemy wykresy momentów wywołanych działaniem
rys.16a i
rys.16b.

X₁=1N

A B x

1[N]l

M₁ Rys.16a

X₂=1Nm

A B x

1[Nm]

M₂ Rys.16b

Wartości współczynników

Równania kanoniczne mają postać

Po podstawieniu danych i rozwiązaniu tego układu równań otrzymano

,

Wykres momentu gnącego M rys.16c

-1450Nm

A B x

T Rys.16c

Rama

Przykład 1r

Obliczyć przemieszczenie pionowe punktu C ramy o wymiarach i obciążeniu termicznym jak na rys.17. Dane: a = b =1m, grubość ramy h = 5cm, współczynnik rozszerzalności liniowej
, temperatura na ramieniu AB
, na ramieniu BC

x₁ b

t_g2

B C x₂

t_d2

t_g1 t_d1

a

h Rys.17

A

Rozwiązanie

W punkcie C przyłożono obciążenie wirtualne (rys.17a), przedstawiono również wewnętrzny wirtualny moment gnący
. Na rys.17b przedstawiono wykres wirtualnej siły normalnej

M=1·b 1N

N= 1N

B C B C

Rys.17a Rys.17b

A A

Do obliczenia wartości przemieszczenia punktu C zastosujemy wzór (13) (Praca sił wewnętrznych i zewnętrznych) pod postacią

gdzie:
jest polem wykresu siły wzdłużnej (normalnej) w stanie wirtualnym

jest polem wykresu momentu zginającego w stanie wirtualnym

ostatecznie

Dla

Przykład 2r

Konstrukcja ramy przedstawiona na rys18. jest utwierdzona na sztywno w przekroju A oraz jest podparta w punkcie C podporą przegubową przesuwną. Po zmontowaniu rama została podgrzana. Wymiary geometryczne ramy i obciążeniu termicznym jak na rys.1.2.

Należy sporządzić wykresy sił przekrojowych i momentu gnącego ramę.

Dane: a = b =1m, grubość ramy h = 5cm, szerokość
, współczynnik rozszerzalności liniowej
, temperatura na ramieniu AB
, na ramieniu BC
, moduł Younga
.

x₁ b a-a

t_g2 a

B C x₂

t_d2 a h y

H

t_g1 t_d1

a

h Rys.18

A

Rozwiązanie

1. Obliczenie statycznej niewyznaczalności konstrukcji

…………………………………………………..(a)

Konstrukcja składa się z jednego elementu czyli

Na konstrukcję działają 4 reakcje, 3 w przekroju A i jedna w punkcie C czyli
podstawiając te dane do (a) otrzymujemy
, tak więc konstrukcja jest jednokrotnie statyczne niewyznaczalna. Tą jedną niewiadomą może być np. reakcja podpory C pod postacią X.

Równanie kanoniczne (ciągłości konstrukcji w punkcie C)

……………………………………………..(b)

gdzie
jest przemieszczeniem punktu C w kierunku działania reakcji podpory V_C wynikającym z działania temperatury (podgrzania ramy).

Natomiast
jest przemieszczeniem punktu C spowodowanym działaniem reakcji

2. Czynimy konstrukcję statycznie wyznaczalną, w naszym przypadku uwalniamy konstrukcję od podpory w punkcie C. Konstrukcja w tym momencie jest identyczna z konstrukcją z przykładu 1. Wynika to z porównania danych z przykładów 1 i 2.

Stąd wiemy, że

.

Obliczenie wartości

W punkcie C przyłożono obciążenie wirtualne (rys.18a), przedstawiono również wewnętrzny wirtualny moment gnący
. Na rys.18b przedstawiono wykres wirtualnej siły normalnej

M=1·b 1N

N= 1N

B C B C

Rys.18.a Rys.18b

A A

Do obliczenia wartości przemieszczenia punktu C zastosujemy wzór (c) (Praca sił wewnętrznych i zewnętrznych) pod postacią

……………………………..(c)

W naszym przypadku

Tak więc korzystając z wykreślnej metody obliczania wartości całek otrzymujemy

;

gdzie

Pierwszy człon w nawiasie kwadratowym wynika z uwzględnienie działania siły normalnej, natomiast drugi człon jest wynikiem uwzględnienia momentu gnącego.

Wniosek dla tego typu konstrukcji jest następujący, pomijanie wpływu sił normalnych przy obliczaniu ugięć jest dopuszczalne.

Po podstawieniu tych danych do (b)

Minus oznacza że reakcja w rzeczywistej konstrukcji ma zwrot przeciwny do przedstawionego na rys.18a.

Wykresy siły normalnej i momentu gnącego konstrukcje rzeczywistą przedstawiono na rys.19

x₁

M_B=-137Nm

x₂ N= -137N

B C B C

Rys.19

A A

T = 137N

B C

A

Dodatnie zwroty sił i momentu podano na rys.19a

+T

+M_g +N +N

x_i x_i

Rys.19a +T

2. Osiadanie podpór

Kratownice

Przykład 1kp

Dla konstrukcji przedstawionej na rys.20 obliczyć wartość przemieszczenia węzła C jeśli podpora E osiadła w pionie o
Kratownica jest zbudowana z prętów o identycznej długości

C

B

y 5

3 4 6 7

P₂ h = lcos30⁰ = 0.866l

D

1 E 2 A x

l l Rys.20

Rozwiązanie

Rozwiązanie składa się z dwóch etapów:

1. obliczenie wartości przemieszczenia
   

2. obliczenie wartości przemieszczenia
   

wypadkową
przemieszczenia węzła C obliczamy z zależności

………………………………………………..(a)

Obliczenie wartości

Aby obliczyć przemieszczenie
w węźle C względem układu xy, przykładamy obciążenia 1[N] o kierunku osi x który równoważymy reakcjami podpór D i E rys. 20a

C δ_Cx

1[N] B

y 5

3 4 6 7

V_D V_E h = lcos30⁰ = 0.866l

H_D D

1 Δ_E E 2 A x

l l Rys.20a

Z warunku równowagi momentów względem D, obliczamy reakcję V_E podpory E

stąd

Przemieszczenie
obliczamy ze wzoru (14a) na pracę sił zewnętrznych

……

Obliczenia wartości

Aby obliczyć przemieszczenie
w węźle C względem układu xy, przykładamy obciążenia 1[N] o kierunku osi y który równoważymy reakcjami podpór D i E rys. 20b

1[N]

C δ_Cy

B

y 5

3 4 6 7

V_D V_E h = lcos30⁰ = 0.866l

H_D D

1 Δ_E E 2 A x

l l Rys.20b

Z warunku równowagi momentów względem D, obliczamy reakcję V_E podpory E

stąd

Praca sił zewnętrznych:

Wartość całkowitego przemieszczenia węzła C

(patrz rys.20c).

y

C δ_Cx x

- δ_Cy

δ_C Rys.20c

Przykład 2kp. n =1

W konstrukcji przedstawionej na rys 21 osiadła podpora A o wartość
, obliczyć wartości sił w prętach wywołanych tym zjawiskiem. Długości prętów są identyczne i mają wartość l = 3m. Kratownica konstrukcyjnie jest identyczna z konstrukcją w przykładzie 2k. Pręty mają przekrój

oraz
.

C

B trójkąty ABE, BCE, CDE są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

D

1 E 2 A Rys.21

Rozwiązanie, n=1

Równanie kanoniczne ma postać:

lub
stąd

gdzie:

jest przemieszczeniem podpory A pod działaniem
, wielkość ta została

obliczona w przykładzie 2k i ma wartość

jest reakcją podpory A na konstrukcję kratownicy powstałą w wyniku osunięcia

się podpory A (rys.21a).

tak więc

C

B trójkąty ABE, BCE, CDE są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

X

D

1 E 2 A Δ_A Rys.21a

A₁

Wartości
są przedstawione w tabeli a

Tabela a

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
	0,58	0,58	-1,15	1,15	-1,15	1,15	-1,15

Wartości sił w prętach są podane w tabeli b, wartości ich obliczamy z zależności

Tabela b

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
	-13,18	-13,18	26,14	-26,14	26,14	-26,14	26,14

Belki

Przykład 1bp

Sporządzić wykresy siły poprzecznej T i momentu gnącego M dla belki przedstawionej na rys.22. W konstrukcji po jej zmontowaniu osiadła podpora B o wartość Δ_B=10mm.

Dane:

a a-a

A B Δ_B C D

x y h

l₁ l₂ a l₃

b

Rys.22

Rozwiązanie

Obliczamy stopień statycznej niewyznaczalności r =5, e =1,

Zadanie jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalne czyli ma dwie wielkości nadliczbowe które nazwiemy X₁ i X₂.

Równania kanoniczne zapiszemy:

…………………………………………..(a)

W naszym przypadku zadanie rozwiążemy wprowadzając przeguby na podporach B i C rys.22a. Wartości współczynników w układzie równań (a) obliczamy ze stanów:

a) δ₁₁ ze stanu 1, jest to wartość kąta w przekroju B wywołanego działaniem

momentu X₁=1 rys.22b

b) δ_1Δ ze stany podstawowego, jest to kąt w przekroju B wywołany osunięciem się

podpory B o wartość Δ_B rys.22c

c) δ₂₂ ze stanu 2, jest to wartość kąta w przekroju C wywołanego działaniem

momentu X₂=1 rys.22d

d) δ₁₂ ze stanu 1 i stany 2, jest to kąt w przekroju B wywołany X₂=1 rys.22b

e) δ₂₁ ze stanu 2 i stanu1, jest to kąt w przekroju C wywołany X₁=1, δ₁₂=δ₂₁ rys.22d

f) δ_2Δ ze stanu podstawowego dla przekroju C, jest to kąt w przekroju C wywołany

osunięciem się podpory B o Δ_B rys.22e

A X₁ X₂ D

x

l₁ l₂ l₃

Rys.22a

Stan 1

V_A1 V_B1 V_C1 V_D1

A X₁=1 X₁=1 C D

x

l₁ l₂ l₃

M₁

1

δ₁₁ δ₁₂

A B C D

x

l₁c l₂ l₃

Rys.22b

Stan podstawowy dla przekroju B

δ_1Δ

A B Δ_B C D

x

B₁

l₁c l₂ l₃

Rys.22c

Stan 2

V_A2 V_B2 V_C2 V_D2

A B X₂=1 X₂=1 D

x

l₁ l₂ l₃

M₂

1

δ₂₁ δ₂₂

A B C D

x

l₁c l₂ l₃

Rys.22d

Stan podstawowy dla przekroju C

δ_2Δ

A B Δ_B C D

x

B₁

l₁ l₂ l₃

Rys.22e

Obliczenie wartości δ_ij

Przy obliczaniu δ_iΔ wykorzystujemy wzór na pracę sił zewnętrznych,

Dla stanu podstawowego w przekroju B,

z warunku równowagi rys.22b

praca sił i momentów zewnętrznych rys.22b na przemieszczeniach z rys 22c

Dla stanu podstawowego w przekroju C

z warunku równowagi rys.22d

praca sił i momentów zewnętrznych rys.22d na przemieszczeniach z rys.22e

Równania kanoniczne

,

,

Z rozwiązania tego układu otrzymujemy

Obliczenie wartości k

,
,

,

Wykres momentu gnącego M przedstawiono na rys.22f

- 180Nm

A B

C D

M

+ 300Nm

Rys.22f

Wykres siły poprzecznej T przedstawiono na rys.22g

-80N

A B

C D

+100N +100N

y Rys.22g

Rama

Przykład 1rp

Konstrukcja ramy przedstawiona na rys.23 jest utwierdzona na sztywno w przekroju A oraz jest podparta w punkcie C podporą przegubową przesuwną. Po zmontowaniu ramy podpora C uległa pionowemu osunięciu o wartość Δ=10mm. Wymiary geometryczne ramy jak na rys.1.2.

Należy sporządzić wykresy sił przekrojowych i momentu gnącego ramę.

Dane: a = b =1m, grubość ramy h = 5cm, szerokość
, ramieniu BC, moduł Younga
.

x₁ b a-a

a

B C x₂

a Δ=δ₁₀ h y

H

a

h Rys.23

A

Rozwiązanie

1. Obliczenie statycznej niewyznaczalności konstrukcji

…………………………………………………..(a)

Konstrukcja składa się z jednego elementu czyli

Na konstrukcję działają 4 reakcje, 3 w przekroju A i jedna w punkcie C czyli
podstawiając te dane do (a) otrzymujemy
, tak więc konstrukcja jest jednokrotnie statyczne niewyznaczalna. Tą jedną niewiadomą może być np. reakcja podpory C pod postacią X.

Równanie kanoniczne (ciągłości konstrukcji w punkcie C)

……………………………………………..(b)

gdzie
jest przemieszczeniem punktu C w kierunku działania reakcji podpory V_C wynikającym z osunięcia się podpory C

Natomiast
jest przemieszczeniem punktu C spowodowanym działaniem reakcji

2. Czynimy konstrukcję statycznie wyznaczalną, w naszym przypadku uwalniamy konstrukcję od podpory w punkcie C.

Obliczenie wartości

W punkcie C przyłożono obciążenie wirtualne (rys.23a), przedstawiono również wewnętrzny wirtualny moment gnący
. Na rys.23b przedstawiono wykres wirtualnej siły normalnej

M=1·b 1N

N= 1N

B C B C

Rys.23.a Rys.23b

A A

Do obliczenia wartości przemieszczenia punktu C zastosujemy wzór (c) (Praca sił wewnętrznych i zewnętrznych) pod postacią

……………………………..(c)

W naszym przypadku

, pierwszy człon w równaniu (c) pomijamy ponieważ jest mały w stosunku do drugiego.

Korzystając z wykreślnej metody obliczania wartości całek otrzymujemy

gdzie
.

Ponieważ
to

Po podstawieniu tych danych do (b)

Wykresy siły normalnej i momentu gnącego konstrukcje rzeczywistą przedstawiono na rys.23c

x₁

M_B=940Nm

x₂ N= 940N

B C B C

Rys.23c

A A

T = -137N

B C

A

Dodatnie zwroty sił i momentu podano na rys.23d

+T

+M_g +N +N

x_i x_i

Rys.23d +T

Przykład 2rp

W ramie przedstawionej na rys.24 nastąpiło obsuniecie się podpory B. Narysować wykres momentu jeśli wiadomo że Δ=20mm.

Dane: współrzędne węzłów w cm podano w tabeli a. Momenty bezwładności:

belki 1-2 i 2-3
, belki 2-3
,

x₁

y 2 3 x₂

1 4 x

A Δ Rys.24

B₁ x₃

Tablica a

Nr węzła	1	2	3	4
x	0	100	200	300
y	0	100	100	0

Rozwiązanie

Równanie kanoniczne

gdzie

jest przemieszczeniem podpory B w kierunku osi y pod działaniem siły X=1N

Obliczenie wartości
, wykres momentu gnącego M₁ przedstawiono na rys.24a

2Nm

1Nm

y 2 3

3Nm

1 4 x

A B Rys.24a

X=1N

Oznaczamy odcinek 1-2 przez l₁=141,4cm, odcinek 2-3 przez l₂=100cm, odcinek 3-4 przez l₃=141,4cm.

Wykres momentu gnącego (rys.24b), wartości dodatnie podano na rys.23d. Kierunki osi x_i przedstawiono na rys.24.

250Nm

125Nm

2 3

375Nm

1 4 x

A B Rys.24b

27

---