3. ZAPAS STABILNOŚCI UKŁADÓW REGULACJI

3.1. Wprowadzenie

Stabilność układów regulacji - badana przykładowo za pomocą kryterium Hurwitza czy Nyquista - jest warunkiem koniecznym praktycznego wykorzystania tych układów. Jednak wśród układów stabilnych mogą znaleźć się takie, które będą bardziej przydatne oraz takie, które okażą się mniej przydatne. Tak więc możemy mówić o pewnej właściwości układów regulacji określającej ich praktyczną przydatność. Tę właściwość nazywamy zapasem stabilności. Dla scharakteryzowania zapasu stabilności rozważmy stabilny układ regulacji o schemacie blokowym sprowadzonym do postaci pokazanej na rysunku 3.1.

Rys. 3.1. Schemat blokowy układu regulacji

Funkcję przejścia układu zamkniętego zapiszemy w przybliżonej postaci, w której uwzględnimy tylko dominujące pierwiastki równania charakterystycznego. Na podstawie rozdziału 2 otrzymamy trzy warianty zapisu wyrażone wzorami (2.4), (2.6) i (2.20).

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Posługując się wzorami (3.1) - (3.3) możemy łatwo sporządzić charakterystyki czasowe układu dla skokowego sygnału sterującego przedstawione na rysunku 3.2. Rozpatrywane charakterystyki można zaliczyć do jednej z poniższych grup:

1. Charakterystyka oscylacyjna o dużym przeregulowaniu i dużym czasie regulacji, wynikająca ze wzoru (3.1) dla małej wartości liczby tłumienia ζ_z, przy czym 0 < ζ_z <1,

2. Charakterystyka oscylacyjna o małym przeregulowaniu i małym czasie regulacji, wynikająca również ze wzoru (3.1) dla większej wartości liczby tłumienia ζ_z, przy czym 0 < ζ_z <1,

3. Charakterystyka inercyjna o małym czasie regulacji, wynikająca ze wzoru (3.2).

4. Charakterystyka inercyjna o dużym czasie regulacji, wynikająca ze wzoru (3.3).

Na podstawie kształtu tych charakterystyk możemy zauważyć, że nie wszystkie układy regulacji nadają się do praktycznego wykorzystania, mianowicie:

• dla celów automatycznej regulacji szczególnie nadaje się układ o charakterystyce 2 lub 3, mówimy, że taki układ ma właściwy zapas stabilności,

Rys. 3.2. Charakterystyki czasowe układu dla skokowego sygnału sterującego

• dla celów automatycznej regulacji praktycznie nie nadaje się układ o charakterystyce 1, mówimy, że ma on za mały zapas stabilności,

• dla celów automatycznej regulacji praktycznie nie nadaje się także układ o charakterystyce 4, mówimy, że ma on za duży zapas stabilności.

Powyżej zauważyliśmy, że zapas stabilności jest niezbędny ze względu na właściwy kształt charakterystyk czasowych układu. Ponadto należy dodać, że zapas stabilności jest niezbędny także z uwagi na możliwość zmian parametrów układu pod wpływem szkodliwych czynników zewnętrznych. Rozróżniamy następujące podstawowe miary zapasu stabilności:

1. Liczba tłumienia dominujących pierwiastków zespolonych równania charakterystycznego.

1. Zapas wzmocnienia i fazy w układzie otwartym.

1. Amplituda rezonansowa układu zamkniętego.

3.2. Liczba tłumienia dominujących pierwiastków zespolonych równania charakterystycznego

Metoda linii pierwiastkowych umożliwia - między innymi - takie zaprojektowanie układów regulacji, aby uzyskać zadane z góry położenie dominujących pierwiastków zespolonych równania charakterystycznego. Położenie to określa wartość kąta η_z wynosząca około

(3.4)

Z takim przedziałem kąta η_z związany jest następujący przedział liczby tłumienia ζ_z pierwiastków dominujących

(3.5)

Na podstawie wyników badań członu drugiego rzędu, zestawionych w tabeli 3.1, można stwierdzić, że takie wartości liczby tłumienia ζ_z oznaczają, że charakterystyka czasowa przy skokowym sygnale sterującym będzie wykazywała przeregulowanie κ w zakresie

(3.6)

Tabela 3.1. Zależność przeregulowania charakterystyki skokowej
od liczby tłumienia członu drugiego rzędu

ζz [-]	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70	0.80
κ [%]	72.9	52.7	37.2	25.4	16.3	9.5	4.6	1.5

W przypadku, gdy przeregulowanie będzie niedopuszczalne należy zastosować projektowanie przy dominującym podwójnym pierwiastku rzeczywistym, który spowoduje, że

(3.7)

3.3. Zapas wzmocnienia i fazy w układzie otwartym

Zapas stabilności układów regulacji można również wyrazić za pomocą charakterystyk częstotliwościowych w układzie otwartym, takich jak: charakterystyka amplitudowo-fazowa, charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa, wykres Blacka (Nicholsa) nazywany również logarytmiczną charakterystyką amplitudowo-fazową.

3.3.1. Zastosowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej

Rozważmy fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej w układzie otwartym w otoczeniu granicy stabilności, pokazany na rysunku 3.3.

Zapasem wzmocnienia nazywamy dodatkowy mnożnik wzmocnienia K_d, powodujący, że układ znajdzie się na granicy stabilności. Dla pulsacji ω_π można napisać

(3.8)

czyli z rysunku 3.3

(3.9)

a stąd

(3.10)

Oczywiste jest, że

• K_d > 1 dla układów stabilnych,

• K_d = 1 dla układów na granicy stabilności,

• K_d < 1 dla układów niestabilnych, a dokładniej 0 < K_d < 1.

Rys. 3.3. Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej: ω_φ - pulsacja zapasu fazy,
ω_π - pulsacja kąta fazowego -π, a_π - długość wektora H(jω)G(jω) dla pulsacji ω_π

Zapasem fazy lub marginesem fazowym nazywamy kąt określony wzorem

(3.11)

Oczywiste jest, że

• γ > 0 dla układów stabilnych,

• γ = 0 dla układów na granicy stabilności,

• γ < 0 dla układów niestabilnych.

W praktyce stosuje się następujące wartości zapasów

(3.12)

Zapas fazy ma znaczenie decydujące, natomiast zapas wzmocnienia drugorzędne. Wynika to z faktu, że istnieją układy o nieskończenie wielkim zapasie wzmocnienia.

Przykład 3.1

Za pomocą charakterystyki amplitudowo-fazowej zbadać zapas stabilności układu regulacji opisanego funkcją przejścia

(3.13)

dla danych

	KKz	=	0.80
	T1	=	10	[s]
	T2	=	1	[s]

Rozwiązanie

Funkcję przejścia w układzie otwartym zapisujemy w postaci podobnej do (2.35)

(3.14)

gdzie

W konwencji Matlab-a napiszemy

l =[0.8];

a=[1,0];

b=[10,1];

c=[1,1];

m=conv(conv(a,b),c);

Następnie wydajemy polecenia

1. określenie zakresu pulsacji ω, dokonane metodą prób

om=0.25:0.02:5;

2. wykreślenie charakterystyki amplitudowo-fazowej

nyquist(l,m,om)

3. wyrównanie jednostek na osiach (o ile jest potrzebne)

axis(`image')

Charakterystykę amplitudowo-fazową wykonaną w ten sposób pokazano na rysunku 3.4.

Rys. 3.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa w układzie otwartym

Z rysunku wynika, że

Powyższy wynik można sprawdzić i rozszerzyć za pomocą funkcji Matlab-a

[Kd,gamma,omega_pi,omega_fi]=margin(l,m)

która wyznacza następujące wartości

	Kd	=	1.375
	gamma	=	5.32	[^o]
	omega_pi	=	0.316	[1/s]
	omega_fi	=	0.269	[1/s]

Porównując otrzymany wynik z zaleceniami projektowymi (3.12) stwierdzamy, że zapas stabilności jest za mały, szczególnie zbyt mały jest zapas fazy.

3.3.2. Zastosowanie charakterystyk logarytmicznych amplitudowej i fazowej

Zapas wzmocnienia i fazy można również wyrazić za pomocą charakterystyk logarytmicznych w układzie otwartym, pokazanych na rysunku 3.5. Charakterystyki te są tylko innym ujęciem sytuacji pokazanej na rysunku 3.3.

Rys. 3.5. Charakterystyki logarytmiczne w otoczeniu granicy stabilności

Wartości liczbowe zapasu wzmocnienia i fazy, stosowane podczas projektowania są odpowiednio równe

(3.15)

Oczywiste jest, że

	ΔLm	>	0	dla układów stabilnych, wtedy charakterystyka amplitudowa przechodzi pod punktem o współrzędnej ωπ,
	ΔLm	=	0	dla układów na granicy stabilności, wtedy charakterystyka amplitudowa przechodzi przez punkt o współrzędnej ωπ,
	ΔLm	<	0	dla układów niestabilnych, wtedy charakterystyka amplitudowa przechodzi nad punktem o współrzędnej ωπ.

Przykład 3.2

Za pomocą charakterystyk logarytmicznych amplitudowej i fazowej zbadać zapas stabilności układu opisanego funkcją przejścia

(3.16)

dla danych

	KKz	=	3.0
	T1	=	0.50	[s]
	T2	=	0.10	[s]
	T3	=	0.05	[s]

Rozwiązanie

Funkcję przejścia w układzie otwartym zapisujemy w znanej postaci

(3.17)

gdzie

W konwencji Matlab-a napiszemy

l =[3.0];

a=[0.50,1];

b=[0.10,1];

c=[0.05,1];

m=conv(conv(a,b),c);

Następnie wydajemy polecenia

a) określenie zakresu pulsacji ω , dokonane metodą prób

om=1:5:100;

b) wykreślenie charakterystyki amplitudowo-fazowej

bode(l,m,om)

Charakterystyki logarytmiczne amplitudową i fazową, wykonane z wykorzystaniem funkcji zoom pokazano na rysunku 3.6.

Rys. 3.6. Charakterystyki logarytmiczne

Z charakterystyk odczytano

ΔLm = 16 [dB]

γ = 76,3 [^o]

Podobnie jak w przykładzie 3.1 wykorzystamy funkcję margin otrzymując

	Kd	=	6.6
	gamma	=	72.902	[^o]
	omega_pi	=	16.124	[1/s]
	omega_fi	=	4.850	[1/s]

a stąd

ΔLm = 20 lg (Kd) = 16.391 [dB]

Porównując otrzymany wynik z zaleceniami projektowymi (3.15) stwierdzamy, że zapas stabilności układu jest nieco za duży.

3.3.3. Uproszczenie zapisu funkcji przejścia układu zamkniętego

Układy regulacji projektowane według zapasu wzmocnienia i fazy mają dominujące pierwiastki zespolone w równaniu charakterystycznym i w związku z tym można stosować uproszczony zapis (3.1).

(3.18)

Współczynnik wzmocnienia K_u można wyznaczyć ze wzoru (2.7) lub (2.8). Dla wyznaczenia liczby tłumienia ζ_z związanej z pierwiastkami dominującymi, można posłużyć się zależnością numeryczną, otrzymaną z badań członu oscylacyjnego drugiego rzędu, jak w tabeli 3.2.

Tabela 3.2. Zależność zapasu fazy i przeregulowania od liczby tłumienia
członu drugiego rzędu

ζz [-]	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70
γ [^o]	14	27	38	48	55	60	64
κ [%]	72.9	52.7	37.2	25.4	16.3	9.5	4.6

Stałą czasową T_z wynikającą z pierwiastków dominujących można obliczyć ze wzoru (3.29) przy założeniu, że ω_r ≈ ω_φ

(3.19)

3.4. Amplituda rezonansowa układu zamkniętego

3.4.1. Określenie parametrów rezonansowych

Weźmy funkcję przejścia układu zamkniętego uproszczoną do postaci

(3.20)

W zapisie widmowym otrzymamy

(3.21)

Moduł liczby zespolonej (3.21) jest równy

(3.22)

Na podstawie powyższego wzoru można naszkicować charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe jak na rysunku 3.7.

Rys. 3.7. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe dla różnych liczb tłumienia,
przy czym ζ₁ < ζ₂

Amplitudą rezonansową M_r nazywamy maksymalną wartość modułu M. W celu znalezienia tej wartości najpierw wyznaczamy pulsację rezonansową ω_r z równania

(3.23)

które prowadzi do wzoru

(3.24)

Jak widać charakterystyka amplitudowa może mieć szczyt rezonansowy, gdy

(3.25)

wartość tego szczytu wynosi

(3.26)

W trakcie projektowania układów regulacji za pomocą charakterystyk amplitudowo-fazowych przyjmuje się najczęściej

(3.27)

3.4.2. Uproszczenie zapisu funkcji przejścia układu zamkniętego

Układy regulacji projektowane według amplitudy rezonansowej mają w równaniu charakterystycznym dominujące pierwiastki zespolone i w związku z tym funkcje przejścia skomplikowanych układów można przybliżać wzorem (3.1).

(3.28)

Współczynnik wzmocnienia K_u można wyznaczyć ze wzoru (2.7) lub (2.8). W celu wyznaczenia liczby tłumienia ζ_z związanej z pierwiastkami dominującymi można posłużyć się zależnością numeryczną, wynikającą ze wzoru (3.26) oraz z innych badań członu oscylacyjnego drugiego rzędu, przedstawioną w tabeli 3.3.

Tabela 3.3. Zależność amplitudy rezonansowej i przeregulowania
od liczby tłumienia członu drugiego rzędu

ζz [-]	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70
Mr [-]	5.03	2.55	1.75	1.36	1.15	1.04	1.00
κ [%]	72.9	52.7	37.2	25.4	16.3	9.5	4.6

Stałą czasową T_z wynikającą z pierwiastków dominujących można obliczyć z przekształconego wzoru (3.24)

(3.29)

przy czym wartości parametrów rezonansowych M_r i ω_r można określić za pomocą nomogramu omówionego poniżej.

3.4.3. Wyznaczanie parametrów rezonansowych układu zamkniętego na podstawie charakterystyk w układzie otwartym

Charakterystyki częstotliwościowe w układzie otwartym są bardzo pomocne w projektowaniu układów regulacji. Z tego względu istotnym problemem jest określenie związków między charakterystykami w układzie otwartym i zamkniętym. Związki te można zbudować dla układu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, w tym celu ogólny schemat blokowy układu z rysunku 3.1 przekształcamy do postaci pokazanej na rysunku 3.8.

Rys. 3.8. Schemat blokowy układu przekształcony do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym

W schemacie wprowadzono zastępczy sygnał sterujący układem W_z(s). Sygnał ten można wyrazić wzorem, wynikającym z algebry schematów blokowych

(3.30)

Po zredukowaniu schematu blokowego można napisać funkcję przejścia układu zamkniętego

(3.31)

lub w postaci widmowej

(3.32)

Następnie wykorzystujemy zapis liczby zespolonej H(jω)G(jω) w postaci algebraicznej

(3.33)

i otrzymujemy

(3.34)

0gdzie x(ω) i y(ω) oznaczają część rzeczywistą i urojoną, odczytane z charakterystyki amplitudowo-fazowej w układzie otwartym dla konkretnej wartości pulsacji ω.

Na podstawie (3.34) wyznaczamy moduł widmowej funkcji przejścia układu zamkniętego

(3.35)

Na podstawie powyższego wzoru buduje się nomogram o dużym znaczeniu praktycznym. Ma on zastosowanie do charakterystyk amplitudowo-fazowych i wykresów Blacka.

Zastosowanie charakterystyk amplitudowo-fazowych

Zakładając, że M jest parametrem, z (3.35) otrzymujemy następujące wzory

a) w przypadku M < 1

(3.36)

Jest to równanie okręgu o parametrach (współrzędne środka i promień)

(3.37)

(3.38)

(3.39)

b) w przypadku M = 1

(3.40)

Jest to równanie prostej pionowej

c) w przypadku M > 1

(3.41)

Jest to równanie okręgu o parametrach

(3.42)

(3.43)

(3.44)

Powyższe wzory umożliwiają budowę nomogramu stałych wartości M układu zamkniętego, naniesionego na płaszczyznę charakterystyki amplitudowo-fazowej w układzie otwartym. Nomogram ten nosi nazwę krzywych M, nomogramu Halla lub linii stałych wartości modułu. Ma on postać pokazaną na rysunku 3.9.

Rys. 3.9. Nomogram Halla

Wyznaczenie parametrów rezonansowych układu zamkniętego można zilustrować w sposób pokazany na rysunku 3.10 - zasygnalizowano na mim możliwość znalezienia amplitudy rezonansowej M_r za pomocą okręgu M = const, stycznego do charakterystyki oraz wykorzystanie punktu styczności dla określenia pulsacji rezonansowej ω_r. Tak więc ostateczne możemy napisać dla punktu styczności S

(3.45)

(3.46)

Rys. 3.10. Ilustracja wyznaczania parametrów rezonansowych

Okręgi M=const, zbudowane dla M > 1, mają dwie właściwości, które można wykorzystać podczas projektowania układów regulacji metodą konwencjonalną, zilustrowane na rysunku 3.11.

Rys. 3.11. Ilustracja do opisu właściwości okręgów M=const

1. Styczna do okręgu M=const, poprowadzona z początku układu współrzędnych, ma z ujemną półosią rzeczywistą kąt określony wzorem

(3.47)

2. Odcięta punktu styczności jest stała i zawsze wynosi

(3.48)

W tabeli 3.4 zestawiono wartości dla konstrukcji okręgów M=const, przydatne w konwencjonalnym projektowaniu układów regulacji.

Tabela 3.4. Wartości dla konstrukcji okręgów M=const

M	1.10	1.15	1.20	1.25	1.30	1.35	1.40	1.45	1.50
xM	-5.77	-4.11	-3.27	-2.78	-2.45	-2.22	-2.04	-1.91	-1.80
rM	5.24	3.57	2.73	2.22	1.88	1.64	1.46	1.32	1.20
ψ [^o]	65.2	60.5	56.5	53.2	50.2	47.8	45.6	43.5	41.6

M	1.60	1.70	1.80	1.90	2.00	2.20	2.40	2.60	2.80
xM	-1.64	-1.53	-1.47	-1.38	-1.33	-1.26	-1.21	-1.17	-1.15
rM	1.03	0.90	0.84	0.73	0.67	0.57	0.51	0.45	0.41
ψ [^o]	38.7	36.0	33.7	31.7	30.0	27.0	24.6	22.6	20.9

M	3.00	3.50	4.00	4.50	5.00
xM	-1.12	-1.10	-1.07	-1.05	-1.04
rM	0.38	0.34	0.27	0.23	0.21
ψ [^o]	19.5	16.6	14.5	12.8	11.5

3.5. Zadania

Zadanie 3.1

Układ z przykładu 3.1 poddano korekcji proporcjonalnej i otrzymano funkcję przejścia

(3.49)

Dobrać wzmocnienie korektora K_r w ten sposób, aby zapas fazy przyjął wartość γ = 55 [^o].

Ile wtedy wyniesie zapas wzmocnienia?

Jaka będzie postać liczbowa przybliżonej funkcji przejścia układu zamkniętego G_z(s), jeżeli wiadomo, że K_z= 0.20?

Ile wyniesie przeregulowanie κ odpowiedzi układu zamkniętego na skokowy sygnał sterujący?

Zadanie 3.2

Wyznaczyć parametry rezonansowe M_r i ω_r układu zamkniętego, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa ma współrzędne zestawione w tabeli 3.5.

Tabela 3.5. Wartości dla konstrukcji charakterystyki amplitudowo-fazowej

ω [1/s]	1	2	4	8	12	20	50	∞
Re H(jω)G(jω)	-1.20	-1.10	-1.00	-0.87	-0.70	-0.50	-0.15	0
Im H(jω)G(jω)	-1.15	-0.94	-0.75	-0.54	-0.30	-0.10	0.04	0

Napisać przybliżoną funkcję przejścia układu zamkniętego, jeżeli wiadomo, że układ otwarty był astatyczny pierwszego rzędu oraz K_z=0.5.

44

43

---